5.3 Lokale Extrema und Mittelwertsätze

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Rolf Hofmeister
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1 92 5 Diffrntiation Bispil : a, a >, R : α, >, α R :, > : a α ln a ln a a α ln α ln ln ln + ln a ln a α ln a a α ln α α α + ln 5.3 Lokal Etrma un Mittlwrtsätz Dfinition 5.3. Ein Funktion, Df a, b, hat in a, b in lokals Maimum bzw. Minimum gnau ann, wnn in Zahl σ > istirt, so ass gilt. f bzw. f für all σ, + σ a, b f bsitzt in Df in globals Maimum bzw. Minimum gnau ann, wnn für all Df gilt f bzw. f. Lmma Si iffrnzirbar in Df a, b, un bsitz in in lokals Maimum bzw. Minimum. Dann gilt f. B w i s : o.b..a. hab in in lokals Maimum,.h. f, σ, + σ f iffrnzirbar in Bm. nach Lmma 5..4 f f + f σ < < < < + σ f < f > f }{{ } f f }{{ } f + f f + f f Bmrkung : Ein Funktion kann in in lokals Etrmum habn, ohn ort iffrnzirbar zu sin, z.b. hat in lokals Minimum in. Aus f folgt noch nicht i Eistnz ins lokaln Etrmums, z.b. hat 3 in kin lokals Etrmum, abr f. Satz von Roll 6 Si sttig auf [a, b] un iffrnzirbar in a, b, wobi zusätzlich fa fb glt. Dann istirt minstns in ξ a, b, für as f ξ gilt.

2 5.3 Lokal Etrma un Mittlwrtsätz 93 B w i s : f trivial, also o.b..a. f, f sttig auf [a, b] Satz [a, b] : f min [a,b] [a, b] : f ma [a,b] fa fb, f s könnn nicht bi Punkt, Ranpunkt sin, o.b..a. a, b ist lokals Maimum Lmma f, ξ :. Satz Mittlwrtsatz Si sttig auf [a, b] un iffrnzirbar in a, b. Dann istirt in ξ a, b, für as gilt f ξ fb fa. fb fξ fa a f ξ b fb fa B w i s : h : fa a h sttig auf [a, b], iffrnzirbar in a, b, ha hb ξ a, b : h ξ ξ a, b : f fb fa ξ Bispil : Für > gilt sin <.. Fall: 2π > sin < 2. Fall: < < 2π Bwis mit Satz 5.3.4: sin f, f iffrnzirbar auf R, f cos ; stzn a, b Satz ξ, : sin sin sin cos ξ < ξ < 2π sin < Folgrung Si sttig auf [a, b] un iffrnzirbar in a, b. i Gilt f in a, b, so ist f monoton wachsn auf a, b bzw. strng monoton wachsn für f >. ii Gilt f in a, b, so ist f monoton falln auf a, b bzw. strng monoton falln für f <. Satz vrallgminrtr Mittlwrtsatz Sin un g sttig auf [a, b] un iffrnzirbar in a, b. Zusätzlich glt g für all a, b. Dann istirt in ξ a, b, für as gilt f ξ fb fa g ξ gb ga. B w i s : gb ga : Annahm : gb ga, h : g ga ξ a, b : h ξ g ξ h : fa ha hb fb fa gb ga g ga h sttig auf [a, b], iffrnzirbar in a, b, ξ a, b : h ξ ξ a, b : 6 Michl Roll Ambrt / Frankrich Paris f ξ fb fa g ξ gb ga

3 94 5 Diffrntiation Folgrung i Sin iffrnzirbar auf a, b un f, a, b. Dann istirt in c R, so ass c für all a, b gilt. ii Sin in a, b iffrnzirbar, f sttig in a, b un f. Dann istirt in σ >, so ass auf σ, + σ strng monoton ist. B w i s : zu i : Sin, 2 a, b rfüllt auf [, 2 ] i Vorausstzungn von Satz ξ, 2 : f ξ f 2 f f 2 f für blibig, 2 a, b i 2 zu ii : o.b..a. f >, f sttig in σ > : σ, +σ a, b, f f > 2 sin nun, 2 σ, + σ, < 2, wnn Satz auf un [, 2 ] an ξ, 2 : f 2 f f ξ f > f 2 > f ii 2 2 Satz von L Hospital 7 Sin un g sttig auf [a, b], iffrnzirbar in a, b, wobi zusätzlich fa ga, g auf a, b un g auf a, b gltn. Falls r Grnzwrt f g istirt, so istirt auch g f g., s gilt g B w i s : Bmrkung : Si a, b, g fa g ga analogs Rsultat für b g, Satz f ξ g ξ a < ξ < a, b zulässig g ξ a f ξ g ξ Ausrück r Form,, so brchnbar, mit ln auch,, Bispil : n n n n, n N sin cos ln cos 2 sin 2 cos Guillaum François Antoin Marquis L Hospital 66 74

4 5.4 Kurvniskussion 95 Satz Sin un g sttig auf [a, b], iffrnzirbar in a, b, wobi zusätzlich g, g auf a, b un g auf a, b gltn. Falls r Grnzwrt f g istirt, so istirt auch g, s gilt g f g. Bispil : ln ln Satz Satz ln p sttig p / / ln p stzn : ln } {{ }, p ln 5.4 Kurvniskussion Für in ggbn Funktion f : R R sollt man u.a. folgn Eignschaftn untrsuchn: K Dfinitionsbrich Df, Wrtbrich W f rmittln K2 Untrsuchung auf Sttigkit, Typ r Unsttigkitsstlln, Diffrnzirbarkit K3 Monotoni-Vrhaltn rmittln, ggbnnfalls mittls f Folg K4 asymptotischs Vrhaltn an n Ränrn von Df bzw. bi ± un ggbnnfalls in r Näh r Polstlln untrsuchn K5 Nullstlln bstimmn, z.b. mittls Nwton 8 -Vrfahrn: sin f sttig iffrnzirbar mit f in [a, b], [a, b] f n f n+ n f n f n, n N n n+ ξ 8 Sir Isaac Nwton Woolsthorp/Englan Lonon

5 96 5 Diffrntiation Satz 5.4. Si f zwimal sttig iffrnzirbar auf [a, b] un f, [a, b]. Sin [a, b] un Witrhin glt i Dann konvrgirt i Folg n n N n+ n f n f [a, b], n N. n f α ma [a,b] f 2 <. in [a, b], ξ n n. ii ξ ist i inzig Nullstll von f in [a, b], fξ. iii Für blibig n N gilt i Fhlrabschätzung: n+ ξ αn α 2. B w i s : zu i: si g f n+ g n, n N, g sttig iffrnzirbar mit g f 2 f f 2 f f 2 Vor. sin, y [a, b] blibig MWS sin nun [a, b] un k N blibig gwählt k+ k g k g k also gilt für j > l, j j l k+ k kl α l 2 i g gy y g u α j kl α i α s.o. α k 2 2 αl 2 α l g α <, [a, b] α y α k k α k 2, j l i α l+i j l j,l j j Cauchy-Folg Satz ξ [a, b] : k ξ k zu ii: g sttig, k ξ g k gξ k Folg k ξ gξ fξ k k+ gξ n.z.z. : Einutigkit, Annahm: ξ η : fξ fη ξ gξ, η gη < ξ η gξ gη α ξ η Wirspruch zu α < zu iii: Abschätzung r Güt r Approimation im n + -tn Schritt : n+ ξ n+ n+2 + n+2 ξ α n 2 + g n+ gξ α n 2 + α n+ ξ ξ n+ ξ α n α 2 Bmrkung : Vrbssrung r Approimation: n+ ξ g n gξ α n ξ α n ξ, n N