~ v 2. Abbildung 3: Zweiter Schritt des Gram-Schmidt-Verfahrens. k 1. i=1. v k = w k

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Herbert Giese
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1 v 1 v 1 v 2 v 2 W 2 -v (v, v ) Abbildung 3: Zweiter Schritt des Gram-Schmidt-Verfahrens. k. Schritt: Subtraktion der Komponenten von ṽ k in Richtung von v 1,v 2,...,v k 1 und Normierung von w k auf Eins k 1 w k = ṽ k v i (v i,ṽ k ) i=1 v k = w k w k Mit {v 1,v 2,v 3,...} hat man schließlich ein Orthonormalsystem gewonnen. Wir haben ja zu Beginn dieses Kapitels festgestellt, dass wir mit R 2 bzw. R 3 nicht nur die Vektorräume der Parallelverschiebungen der Ebene bzw. des Raums verbinden können, die dann bei Vorliegen einer Basis durch reelle Zahlenpaare bzw. Zahlentripel dargestellt werden, sondern auch affine(punkt)räume. Das Pendant zum Basisbegriff in einem Vektorraum ist der Begriff des Koordinatensystems in einem affinen Raum. Bei Vorliegen eines Koordinatensystems its in einem affinen Raum jeder Punkt eindeutig durch Angabe eines n-tupels von Zahlen eindeutig festgelegt. 50

2 Definition 1.28 Ein (n+1)-tupel (P 0,P 1,P 2,...,P n ) von Punkten P i P heißt Koordinatensystem des affinen Raums (P, V), wenn die Vektoren P 0 P 1, P 0 P 2, P 0 P 3,..., P 0 P n eine Basis des Vektorraums V sind. Ist (P 0,P 1,P 2,...,P n ) ein Koordinatensystem von (P,V), so existieren zu jedem Punkt X P eindeutig bestimmte Skalare,,...,x n K, sodass P 0 X die Basisdarstellung P 0 X = P 0 P 1 + P 0 P 2 + +x n P 0 P n besitzt. Die Skalare,,...,x n heißen Koordinaten des Punktes X bezüglich des Koordinatensystems (P 0,P 1,P 2,...,P n ). Bemerkung Die Dimension eines affinen Raums (P,V) ist gleich der Dimension des zugehörigen Vekorraums V. Der Punkt P 0 wird Ursprung des Koordinatensystems genannt und manchmal auch mit O bezeichnet. P 0 X wirdortsvektordespunktesx genannt.derkoordinatenvektorvon P 0 X (siehe Seite 45) ist durch die Koordinaten des Punktes X bezüglich des Koordinatensystems (P 0,P 1,P 2,...,P n ) gegeben: P 0 X =. x n { P 0 P 1, P 0 P 2,..., P 0 P n} Definition 1.29 Sei (P,V) ein affiner Raum und V ein euklidischer oder unitärer Vektorraum (d.h. ein reeller bzw. komplexer Vektorraum mit Skalarprodukt). Dann heißt (P, V) ein euklidischer bzw. unitär affiner Raum. Ist { P 0 P 1, P 0 P 2, P 0 P 3,..., P 0 P n } eine Orthonormalbasis von V, so heißt (P 0,P 1,P 2,...,P n ) ein kartesisches Koordinatensystem von (P,V). 51

3 Analytische Geometrie Sobald man in einem affinen Raum ein Koordinatensystem eingeführt hat, wird es möglich geometrische Sachverhalte rechnerisch zu erfassen. Geometrische Beziehungen gehen dann in rechnerische Beziehungen zwischen Zahlen über, nämlich zwischen den Koordinaten jener Punkte, die die betrachteten geometrischen Objekte charakterisieren. Die Lage eines Punktes P bezüglich eines (oft kartesischen) Koordinatensystems wird durch den Ortsvektor r = OP = e 1 + e 2 +x 3 e 3 beschrieben. Dieser Vektor verbindet den Ursprung des Koordinatensystems O mit dem Punkt P. Es ist ein gebundener Vektor, der von der Wahl des Ursprungs abhängig ist und somit kein Vektor (d.h. Element eines Vektorraums) im eigentlichen Sinn. e 3 O e 1 e 2 r P Wenn der Ortsvektor von einem reellen Parameter t abhängt und t die reellen Zahlen durchläuft, so beschreibt r(t) eine Kurve im Raum. e 3 r(t) O e 1 e 2 Im einfachsten Fall ist die t-abhängigkeit linear und man erhält die Parameterform einer Geraden r(t) = r 0 +t a. e 3 r 0 a Der Parameter t legt die Punkte auf der Geraden eindeutig fest. Zu t = 0 befindet man sich am Punkt mit Ortsvektor r 0. a gibt die Richtung der Geraden vor. O e 1 e 2 52

4 Bemerkung Diese Form der Geradengleichung ist in beliebigen Dimensionen gültig. Sehen wir uns nun die Geradengleichung in 2 Dimensionen etwas näher an: ( ) ( ) ( ) ( ) (t) x 01 a 1 x 01 +ta 1 r(t) = = r 0 +t a = +t =. (t) a 2 +ta 2 Ein Vergleich der beiden Komponenten ergibt = x 01 +ta 1 = t = ( x 01 ) a 1, = +ta 2 = t = ( ) a 2. Gleichsetzen der beiden rechten Seiten führt schließlich zur impliziten Form der Geradengleichung (in 2 Dimensionen): ( x 01 ) a 1 = ( ) a 2 = ( a 2 x 01 ) a }{{ 1 } + a 2 a 2 }{{} c = c +. c ist dabei die Steigung (d /d ) der Geraden und der Schnittpunkt der Geraden mit der Achse. Steigung c Um eine Gerade festzulegen, brauchen wir also die Koordinaten eines Punktes auf der Geraden (Ortsvektor r 0 ) und einen Vektor a, der die Richtung der Geraden vorgibt. Statt des Richtungsvektors kann man auch einen zweiten Punkt (Ortsvektor r 1 ) auf der Geraden angeben. Der Richtunsgvektor ergibt sich dann als a = r 1 r 0. 53

5 In 2 Dimensionen kann die Gerade auch durch einen Punkt (mit Ortsvektor r 0 ) und einen Normalvektor n auf die Gerade festgelegt werden. Dies führt zur Hesse schen Normalform der Geradengleichung (in der Ebene): Wenn r der Ortsvektor eines beliebigen Punktes auf der Geraden ist, so ist ( r r 0 ) ein Richtungsvektor der Geraden, Dieser muss aber orthogonal zum Normalvektor n sein, es muss also ( r r 0 ) n = 0 gelten. In Komponenten ausgeschrieben bedeutet das: [( ) ( )] ( ) r 0 (r-r 0 ) r n x 01 n 1 n 2 = ( x 01 )n 1 +( )n 2 = n 1 +n 2 (n 1 x 01 +n 2 ) = 0. Die Komponenten des Normalvektors lassen sich also als Koeffizienten von und identfizieren. Bemerkung Eliminiert man aus der Parameterform der Geradengleichung im Raum den Parameter t so erhält man die implizite Darstellung der Geraden in 3 Dimensionen in Form von 2 linearen Gleichungen in den 3 Unbekannten,, x 3. 54

6 In Analogie zu einer Geraden kann meine eine Ebene durch einen Punkt in der Ebene (mitortsvektor r 0 )und2(linearunabhängigen)richtungsvektoren uund v festlegen. Das führt zur Parameterform der Ebene: r(s,t) = r 0 +s u+t v bzw. (s,t) (s,t) = x 3 (s,t) = x 01 x 03 +s u 1 u 2 u 3 +t x 01 +su 1 +tv 1 +su 2 +tv 2. v 1 v 2 v 3 r 0 P n v u r (r-r 0 ) x 03 +su 3 +tv 3 O Die Parameter s und t legen bei vorgegebenen Richtungsvektoren u und v die Position eines Punktes uaf der Ebene eindeutig fest. Eliminiert man aus den 3 Gleichungen für die Komponenten die Parameter s und t, so resultiert 1 lineare Gleichung in den 3 Unbekannten, und x 3. Diese Gleichung ist die implizite Form der Ebenengleichung. Analog zu einer Geraden in der Ebene lässt sich eine Ebene im Raum auch durch einen Punkt in der Ebene (Ortsvektor r 0 ) und einen Vektor n, der normal auf die Ebene steht, festlegen. Das führt zur Hesse schen Normalform der Ebene im Raum: ( r r 0 ) n = 0, wobei r der Ortsvektor eines beliebigen Punktes in der Ebene ist. Komponentenweise hingeschrieben ergibt sich auch die implizite Form der Ebenengleichung: x 01 n 1 n 2 = ( x 01 )n 1 +( )n 2 +(x 3 x 03 )n 3 x 3 oder kurz x 03 n 3 = n 1 +n 2 +n 3 x 3 (n 1 x 01 +n 2 +n 3 x 03 ) = 0, }{{} c n 1 +n 2 +n 3 x 3 = c. In dieser impliziten Darstellung einer Ebene im Raum liefern also die Koeffinizienten von, und x 3 die Komponenten des Normalvektors auf die Ebene. 55

7 Kennt man den Normalvektor, so lässt sich sehr einfach der (Normal)Abstand eines Punktes Q im Raum von der Ebene ermitteln. Es ist die Projektion des Vektors PQ, der von einem Punkt P in der Ebene zum Punkt Q geht, auf den normierten Normalvektor n/ n : FQ = PQ n n, wobei F der Fußpunkt des Lots durch Q auf die Ebene ist. P n Q 56

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