Jgst. 11/I 1.Klausur

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1 Jgst. /I.Klausur..00 A. Bestimme den Scnittpunkt und den Scnittwinkel der beiden folgenden Geraden: g : x y = 5 : + y = 5x Zunäcst müssen die beiden Geraden auf Normalform gebract werden: x y = 5 y = x + 5 y = x 5 + y = 5x y = 5x + y = 5 x + Somit sind die Steigungen: m g = arctan( ) 56. und m = arctan( 5 ) 5.0. Offenbar ist der Scnittwinkel.7. Zum Berecnen des Scnittpunktes müssen die beiden Geraden gleic gesetzt werden: x 5 = 5 x + 5 = 6 x + 6 = 6 x = x Setzt man diesen Wert in eine der Gleicungen ein, dann erält man: y = ( ) 5 = 7. Der Scnittpunkt ist also: SP( / 7). A. Gegeben ist die Gerade g : y = x + und der Punkt P(/). a) Weise nac, dass der Punkt P nict auf der Geraden g liegt. b) Bestimme die Gleicung einer Geraden, die durc den Punkt P get und den Steigungswinkel 60 at. a) Zum Nacweis, dass P nict auf g liegt, muss der Punkt nur in die Geradengleicung eingesetzt werden: = + = Offenbar ist die Aussage falsc und daer ergibt sic, dass P nict auf g liegt. b) Wenn der Steigungswinkel 60 beträgt, dann ist die Steigung der gesucten Geraden: m = tan(60) =.7. Damit kann die Gleicung der Geraden berecnet werden: = + n = n 5. n Die gesucte Geradengleicung ist also: : y =.7x 5.

2 A. Untersuce recnerisc, ob die Punkte A(/6), B( /) und C(6/8) auf einer Geraden liegen. Zunäcst muss zu zwei Punkten die Geradengleicung bestimmt werden, auf denen diese beiden Punkte liegen: 6 = m + n 8 = 6m + n 6 m = n 8 = 6m + 6 m 6 m = n = m 5 = n = m Somit lautet die Gleicung y = x + 5. Um zu testen, ob auc der dritte Punkt (B) auf der Geraden liegt, müssen seine Koordinaten in diese Gleicung eingesetzt werden: = + 5 = Offenbar liegen alle drei Punkte auf einer Geraden, da die Aussage war ist. A. Gegeben ist ein Viereck durc die vier Punkte A(/), B(/6), C(/7) und D(/5). Berecne die Innenwinkel des Vierecks (auf eine Dezimalstelle genau). Um welce Sonderform eines Vierecks andelt es sic (Wird nur auf Grundlage einer Berecnung gewertet!) Um die Innenwinkel des Vierecks bestimmen zu können, müssen zunäcst die vier Geraden bestimmt werden, auf denen die Eckpunkte des Vierecks liegen (außerdem können sofort die Steigungswinkel berecnet werden): Damit ergeben sic die folgenden Innenwinkel: = m + n 6 = m + n n = m = a AB : y = x + α = 8. b BC : y = 5 x + 5 β =. c CD : y = x + γ = 8. d DA : y = x δ = 7.6 A B C D : = 5. : =.7 : 80 (8. +.) = 50. : = 6.8 Da die Strecken a und c parallel sind und die Strecken b und d nict, andelt es sic um ein Trapez. A5. Gegeben ist ein Dreieck durc die Punkte A(/), B(/7) und C(5/). In welcem Punkt scneiden sic die Höen des Dreiecks? Es müssen nur zwei Höen berecnet werden, denn die drei Höen scneiden sic immer in einem Punkt. Daer werden ier nur die Höen a und b berecnet. Zu a, der Höe vom Punkt A auf die Seite a.

3 Die Gerade auf der die Seite a liegt, get durc die Punkte B und C. Sie at die Steigung: m a = 7 5 = = Somit at die gesucte Höe die Steigung: m a =. Damit berecnet sic deren Gleicung zu: = + n = n und somit: a : y = x +. Analog ergibt sic für b : y = x +. Der Scnittpunkt der beiden Höen berecnet sic zu: x + = x + x + = x = 5 x = 5 Durc Einsetzen erält man: y = und damit den gesucten Scnittpunkt: SP(.88/.) A6. Kannst du das noc? Der Winkel zwiscen der Spitze eines in der Ebene steenden Turms und der Horizontalen ist.6 groß. Nacdem man sic dem Turm um 0m genäert at, beträgt dieser Winkel nun.7. Wie oc ist der Turm? Bezeicnet man die Höe des Turms mit und die (zweite) Entfernung zum Turm mit x, dann ergeben sic die Gleicungen: x + 0 = tan(.6) x = tan(.7) Dieses Gleicungsszstem lässt sic leict lösen und es ergibt sic: x = 57.6 und = 7.65 Der Turm ist also 7.65m oc!

4 Jgst. /I.Klausur A. Gegeben sind die beiden Geraden g : x + 5 = y und : y x + 7 = 0 Bestimme von diesen beiden Geraden den Scnittpunkt und Scnittwinkel. Zuerst müssen die beiden Geraden in Normalform gebract werden: x + 5 = y y x + 7 = 0 y = x + 5 y = x + 5 y = x 7 y = x 7 Da gilt: m g m = = erkennt man sofort, dass die Geraden aufeinander senkrect steen. Zur Berecnung des Scnittpunktes müssen die beiden Geraden gleic gesetzt werden: x + 5 = x 7 5 = 5 x 7 = 5 x 5 = x Setzt man diesen Wert in eine der Gleicungen ein, dann erält man: y = 5 7 = 5. Der Scnittpunkt ist also SP( 5 / 5 ) oder SP(.7/ 0.0) A. Gegeben ist die Gerade: g : y = x + und der Punkt P( / ). a) Weise nac, dass der Punkt P nict auf der Geraden g liegt. b) Bestimme die Gleicung der Geraden, die durc den Punkt P get und den Steigungswinkel 0 at. a) Zum Nacweis, dass P nict auf g liegt, muss der Punkt nur in die Geradengleicung eingesetzt werden: = ( ) + = 5 Offenbar ist die Aussage falsc und daer liegt P nict auf g. b) Die Steigung der gesucten Geraden ist: m = tan(0 ) = Setzt man diese Steigung und den Punkt in die allgemeine Geradengleicung ein, dann ergibt sic: = ( ) + n + = n.67 n Somit lautet die gesucte Gleicung: : y = 0.58x.67

5 A. Weise recnerisc nac, ob die drei Punkte A(/5), B( / ) und C( /5) auf einer Geraden liegen. Zunäcst muss für zwei der Punkte die Geradengleicung der Geraden berecnet werden, auf der sie liegen: 5 = m + n = m + n 5 m = n = m + 5 m = n = m Die Geradengleicung ist also y = x+. Um nun zu ermitteln, ob auc der dritte Punkt auf dieser Geraden liegt, müssen seine Koordinaten in diese Gleicung eingesetzt werden. 5 = + 5 = Offenbar liegt der Punkt C nict auf der Geraden, da die Aussage falsc ist. A. Gegeben ist ein Viereck durc die vier Punkte A( /), B(5/), C(/8) und D( 8/5). Bestimme die vier Innenwinkel des Vierecks (auf eine Dezimalstelle genau) und gib an, um welce Sonderform eines Vierecks es sic andelt (Wird nur bei Berecnung gewertet!) Zunäcst müssen die vier Geradengleicungen der Vierecksseiten und ire jeweiliger Steigungswinkel berecnet werden: = m + n = 5m + n Daraus ergeben sic die folgenden Innenwinkel: n = m = a AB : y = x + α =.0 b BC : y = x + β = 76.0 c CD : y = x + 7 γ =.0 d DA : y = 5 x + 5 δ =.0 A B C D : 80 ( + ) = 80 = 6 : 0 : 0 : + = Da a und c parallel sind, andelt es sic um ein Trapez (die beiden recten Winkel aben keinen weiteren Einfluss). A5. Gegeben ist ein Dreieck durc seine Eckpunkte A( /0), B(/ ) und C(/6). Bestimme den Scnittpunkt der drei Höen dieses Dreiecks. Da sic die drei Höen eines Dreiecks immer in einem Punkt scneiden, muss nur der Scnittpunkt von zwei Höen berecnet werden. Hier wird der Scnittpunkt der Höen a und b berecnet. Zu a, also von A auf die Strecke BC. Die Gerade von B nac C at die Steigung: m = 6 ( ) = 7 = 7

6 Die gesucte Höe at daer die Steigung: m a = 7. Damit lässt sic auc der yaa ausrecnen: 0 = ( ) 7 + n 7 = n Somit ist a : y = 7 x + 7. Analog ergibt sic für b : y = x = 0. Der Scnittpunkt der beiden Geraden ergibt sic zu: 7 x + 7 = x /over7 = x = x Durc Einsetzen erält man: y = = und damit den Scnittpunkt: SP( 0.6/0.). A6. Kannst du das noc? Der Winkel zwiscen dem näeren Ufer eines 00m breiten Flusses und der Horizontalen wird aus einem Ballon gemessen. Der Winkel zwiscen der Horizontalen und dem ferneren Ufer beträgt 6.5. Wie weit ist der Ballon vom näeren Ufer entfernt (orizontale Entfernung)? Nennt man die gesucte Entfernung x und die Höe des Ballons, dann ergeben sic die beiden Gleicungen: x + 00 = tan(6.5) x = tan() Dieses Gleicungssystem löst sic zu: x = 87.7 und =.0 Die gesucte Entfernung beträgt also ca. 87.5m.

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