Versicherungsökonomie Lösungshinweise zu dem Aufgabenblatt zu Vorlesung 4

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1 Georg Nöldeke Frühjahr 2012 Versicherungsökonomie Lösungshinweise zu dem Aufgabenblatt zu Vorlesung 4 1. Ist Individuum 1 risikoneutral, so ist u konstant. Insbesondere gilt also für beliebieg Allokationen und Zustände s, t: u 1( c 1 (s)) u 1 ( c 1(t)) = 1. Für beliebige Zustände s, t vereinfachen sich die Borch-Bedingungen in Bezug auf Individuum i 1 und Individuum 1 daher zu: u i ( c i(s)) u i ( c i(t)) = 1. Da die Nutzenfunktion u i für i 1 streng konkav ist, impliziert dieses c i (s) = c i (t). Eine Allokation ist also nur dann effizient, wenn es Konstanten c 2,, c n gibt, so dass Individuum i 1 in jedem Zustand Konsum c i erhält. Umgekehrt ist leicht zu sehen, dass jede Allokation mit dieser Eigenschaft die Borch-Bedingungen erfüllt. In Worten heisst dieses, dass eine Allokation genau dann effizient ist, wenn die Individuen i = 2,, n durch Individuum 1 vollständig versichert werden, d.h. ein zustandsunabhängiges Einkommen erhalten. Auf Grund der Erreichbarkeitsbedingung gilt für Individuum 1: n c 1 (s) = z(s) c i. In der Edgeworthbox stimmen die effizienten Allokationen mit der Sicherheitslinie von Individuum 2 überein; d.h. sie werden durch die Gerade mit Steigung 1 durch den Punkt (10, 5) dargestellt. Siehe Abbildung Da alle Risikopräferenzen konstante absolute Risikoaversion aufweisen, sind alle effizienten Teilungsregeln linear, lassen sich also als schreiben. Dabei muss i=2 f i (z) = a i + b i z n a i = 0 (anderenfalls würde es sich nicht um eine Teilungsregel handeln) sowie i=1 b i = τ i n i=1 τ i (1) gelten. Hinweis: Für jede lineare Teilungsregel gilt c i (t) c i (s) = f i ( z(t)) f i ( z(s)) = b i [ z(t) z(s)] für alle i = 1,, n und beliebige Zustände s, t. 1

2 Abbildung 1: Die effizienten Allokationen liegen auf der Sicherheitslinie des 2 (rot dargestellt), da hier der Absolutwert der Grenzrate der Substitution des 2 dem Verhältnis der Zustandswahrscheinlichkeiten und damit dem Absolutwert der Grenzrate der Substitution des 1 entspricht. Die Indifferenzkurven des 1 sind grün, die des 2 violett. Die Grafik wurde für den Fall u 2 (w) = ln(w) und p(1) = p(2) = 1/2 erstellt. (a) Einsetzen der Angaben für τ i aus der Aufgabenstellung in (1) führt zu b 1 = 0.4, b 2 = 0.1, b 3 = 0.5. Da z(t) z(s) = 10 ist, muss (siehe den obigen Hinweis) c 1 (t) c 1 (s) = = 4, c 2 (t) c 2 (s) = = 1 gelten. Da laut Angaben in der Aufgabenstellung c 1 (s) = 2 und c 2 (s) = 7 gilt, folgt: c 1 (t) = = 6, c 2 (t) = = 8. Der Konsum von 3 lässt sich aus den Erreichbarkeitsbedingung bestimmen. Insbesondere gilt c 3 (t) = 20 c 1 (t) c 2 (t) = 6. (b) In einer effizienten Allokation muss (siehe (1) und den Hinweis) c 1 (2) c 1 (1) = c 2 (2) c 2 (1) = τ 1 τ 2 gelten. Umgekehrt gilt für jede Allokation, welche diese Bedingungen erfüllt, dass sie effizient ist, da sie sich in diesem Fall als Ergebnis der Anwendung einer effizienten Teilungsregel darstellen lässt, indem man a 1 = c 1 (1) τ 1 z(1) a 2 = c 2 (1) τ 2 z(1) 2

3 definiert. 1 Auf Grund der Erreichbarkeitsbedingung ist eine der beiden Gleichungen c 1 (2) c 1 (1) = c 2 (2) c 2 (1) = τ 1 τ 2 redundant (das heisst: ist eine der beiden Gleichungen erfüllt, so gilt die andere zwangsläufig). Also ist eine Allokation genau dann effizient, wenn sie die erste diese Gleichungen erfüllt. Diese wiederum kann als c 1 (2) = τ 1 + c 1 (1) geschrieben werden. In der Edgeworthbox beschreibt dieses eine Gerade mit Steigung 1. Der vertikale Achsenabschnitt dieser Geraden ist streng grösser als Null, so dass die Gerade oberhalb der Sicherheitslinie von Individuum 1 liegt. Da der vertikale Achsenabschnitt streng kleiner als z(2) z(1) ist, liegt die Gerade unterhalb der Sicherheitslinie von Individuum 2. Die Gerade, welche die effizienten Allokationen beschreibt, verläuft also zwischen der Sicherheitslinie von Individuum 1 und Individuum 2. Abbildung 2: Die Grafik stellt den Fall z(1) = 5, z(2) = 10, τ 1 = τ 2 = 1 und p(1) = p(2) = 1/2 dar. Die effizienten Allokationen liegen auf der braun dargestellten Geraden, die durch c 1 (2) = c 1 (1) gegeben ist. Ein grösserer Wert von τ 1 impliziert eine Parallelverschiebung der Geraden nach oben (da z(2) > z(1)). Im Grenzfall τ 1 entspricht sie der Sicherheitslinie von Individuum 2; im Grenzfall τ 1 0 der Sicherheitslinie von Individuum 1. Siehe Abbildungen 2 und Die Edgeworthbox hat eine Länge von z(1) = 6 und eine Höhe von z(2) = 12. Siehe auch Abbildung 4. 1 Woher weiss man, dass dann a 1 + a 2 = 0 gilt? Und dass die Allokation c 1, c 2 aus der Anwendung einer effizienten Teilungsregel resultiert? 3

4 Abbildung 3: Die Parameterwerte sind wie in Abbildung 2, nur dass nun τ 1 = 4 gilt. Dadurch verschieben sich die effizienten Allokationen in Richtung der Sicherheitslinie des 2; die entsprechende Geradengleichung ist nun c 1 (2) = 4 + c 1 (1). Um die effizienten Allokationen zu finden, kann man das Ergebnis verwenden, dass bei identischen Risikopräferenzen mit konstanter relativer Risikoaversion eine Teilungsregel genau dann effizient ist, wenn es Konstanten b i > 0 mit i b i = 1 gibt, so dass f i (z) = b i z für alle i gilt. Im hier betrachteten Spezialfall mit nur zwei Individuen und zwei Zuständen ist eine Allokation also genau dann effizient, wenn es b 1 mit 0 < b 1 < 1 gibt, so dass c 1 1) = b 1 z(1), c 2 1) = (1 b 1 ) z(1), c 1 (2) = b 1 z(2) c 2 (2) = (1 b 1 ) z(2). Auf Grund der Erreichbarkeitsbedingung genügt es, die Bedingungen für Individuum 1 zu betrachten. Löst man die erste dieser Bedingungen nach b 1 auf und setzt in die zweite Bedingung ein, erhält man c 1 (2) = z(2) z(1) c 1(1). Dieses beschreibt die Gerade, welche die beiden Eckpunkte (0, 0) und ( z(1), z(2)) der Edgeworthbox verbindet. Setzt man für die Zahlenwerte aus der Aufgabenstellung ein, erhält man c 1 (2) = 2 c 1 (1). Die effizienten Allokationen sind durch die Punkte auf der Geraden beschrieben, die im Inneren der Edgeworthbox liegen. 4. Es gibt hier vier Zusände: s = 1: Kein Haus brennt ab. Hier gilt z(1) = 24. s = 2: Das Haus des 1 brennt ab. Hier gilt z(2) = 12. s = 3: Das Haus des 2 brennt ab. Hier gilt z(3) = 12. 4

5 Abbildung 4: Edgeworthbox zu Aufgabe 3. Die effizienten Allokationen sind durch die braune Gerade beschrieben, welche die Eckpunkte (0, 0) und (6, 12) der Edgeworthbox verbindet. Dass entlang dieser Gerade die Borch-Bedingungen gelten ist hier für den Fall der Bernoulli- Nutzenfunktion u(w) = ln(w) illustriert. Beachte: Die Darstellung ist nicht massstabsgetreu. s = 4: Beide Häuser brennen ab. Hier gilt z(4) = 0. Schliessen die beiden Individuen einen Vertrag mit dem Parameter α ab, so ist die resultierende Allokation: c 1 (1) = 12, c 1 (2) = 12α, c 1 (3) = 12 12α, c 1 (4) = 0 c 2 (1) = 12, c 2 (2) = 12 12α, c 2 (3) = 12α, c 2 (4) = 0 (a) Das Gegenseitigkeitsprinzip besagt hier, dass c 1 (2) = c 1 (3) sowie c 2 (2) = c 2 (3) gelten soll, da in Zuständen 2 und 3 das Gesamtvermögen gleich gross ist. Dieses ist offenkundig nur für α = 1/2 der Fall. (b) Nein, das muss nicht gelten. Die aus α = 1/2 resultierende Allokation ist identisch zu der, welche aus der Anwendung der Teilungsregel f 1 (z) = f 2 (z) = 0.5z resultiert. Diese Teilungsregel (und damit die resultierende Allokation) ist z.b. dann nicht effizient, wenn beide Individuen konstante absolute Risikoaversion besitzen und eines der beiden Individuen risikoaverser als das andere ist. (c) Sind die Bernoulli-Nutzenfunktionen der beiden Individuen identisch, so ist die Teilungsregel f 1 (z) = f 2 (z) = 0.5z effizient. Also führt die Wahl von α = 1/2 zu einer effizienten Allokation. 5