4.3.2 Ableitungsregeln

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1 Vorbereitungskurs auf die Aufnameprüfung der ETH: Matematik Ableitungsregeln Der Differentialquotient [s. 43] zur Definition der Ableitung beinaltet eine Grenzwertbildung Limes), welce meist dadurc ausgefürt wird, dass man den Quotienten algebraisc so umformt, dass der Grenzwert leict zu erkennen ist. Alles in allem aber je nac Funktion eine mer oder weniger aufwändige Angelegeneit. Damit man nun nict jede einzelne Funktion, die einem über den Weg laufen könnte z.b. in einer Prüfungsaufgabe) auf diese Weise ableiten muss, werden in diesem Abscnitt einige sogenannte Ableitungsregeln bewiesen. Diese besagen, wie die Ableitung einer Funktion, welce aus anderen Funktionen zusammengesetzt ist, lautet, wenn man die Ableitungen dieser anderen Funktionen kennt. Dabei bedeutet zusammengesetzt, dass es z.b. die Summe oder das Produkt zweier Funktionen ist, oder dass es sic um eine Hintereinanderausfürung zweier Funktionen andelt eine Funktion ist in die andere Funktion eingesetzt ), und änlice Kombinationen. Mit diesen Regeln lassen sic bereits eine grosse Klasse von Funktionen insbesondere natürlic alle, die an einer Prüfung verlangt werden können) in einfacere Funktionen zerlegen. Von diesen sozusagen elementaren Funktionen benötigt man dann doc noc die Ableitung, aber es andelt sic um eine kleine Liste, deren Differentialquotienten man nur einmal bilden muss, und sic das Resultat einfac merkt sie steen alle auc in der Formelsammlung). Dies wird dann in [433] gesceen. Die Regeln dieses Abscnitts und die Ableitungen der elementaren Funktionen des näcsten Abscnitts sind ser wictig. Man muss die Letztgenannten gut auswendig kennen und die Erstgenannten oft anzuwenden geübt aben. Wenn man an der Prüfung erst die passende Regel finden und dann die einzelnen Ableitungen nacsclagen muss, verliert man viel zu viel Zeit! Und mindestens eine Aufgabe, in der eine Ableitung bestimmt werden muss, ist ganz sicer in der Prüfung dabei denn: wie gesagt: wictig!). Jedoc kann ganz klar unterscieden werden: An einer scriftlicen Prüfung müssen die Regeln nur angewendet werden, nie bewiesen oder ergeleitet mit dem Differentialquotienten). An einer mündlicen Prüfung wird ingegen ser oft nac der Definition der Ableitung gefragt, also nac dem Differentialquotienten one dass dieses Wort fallen muss, scliesslic geört es dazu, die Definition der Ableitung zu kennen.) Dann kann durcaus eine einface) Funktion von Hand über den Grenzwert abzuleiten verlangt sein, oder eine Ableitungsregel soll dadurc begründet werden. Hier genügt es, sic für jede der folgenden Regeln den entsceidenden Scritt im Beweis zu merken. Wenn man nict den ganzen Beweis lückenlos inbekommt, mact das nicts! Zu versucen, sic den entsceidenden Scritt jedes der folgenden Beweise zu merken, bedeutet auc, ein besseres Verständnis dafür zu aben, warum die Regeln eigentlic so lauten, wie sie lauten. Und das wiederum ilft für das Verständnis ganz vieler Dinge aus der Differential- und Integralrecnung! Igor Režan für ExamPrep GmbH 205 M 4 3

2 Vorbereitungskurs auf die Aufnameprüfung der ETH: Matematik Einface Formulierungen der Ableitungsregeln In diesem Abscnitt werden alle benötigten Ableitungsregeln formuliert und bewiesen. Zu jeder Aussage Regel) geört eigentlic eine Aufzälung der Voraussetzungen, die erfüllt sein müssen. So müssen natürlic die verknüpften Funktionen an den jeweiligen Stellen definiert, stetig, sogar differenzierbar sein. Diese Voraussetzungen werden ier zunäcst weggelassen, damit der Blick auf die eigentlicen Regeln frei bleibt. Im näcsten Abscnitt werden die nötigen tecniscen Details nacgereict. In den Beweisen wird natürlic an einigen Stellen dennoc auf die Voraussetzungen Bezug genommen sonst wären es ja keine Voraussetzungen!). Die Ableitung der konstanten Funktion ist Null c ) ' = 0 Bemerkung: Vorsict, es ist gefärlic sic die Regel zu merken als eine Konstante gibt abgeleitet Null. Gemeint ist nämlic die konstante Funktion f x) = c, welce überall den gleicen Wert c annimmt. Der Grap ist eine waagrecte Gerade, welce die y Acse bei y = c scneidet der Wert an der Stelle 0). Da die Gerade waagrect ist, also überall die Steigung 0 at, erstaunt das Resultat nict. Dennoc wird der Beweis mitilfe der Definition der Ableitung, also dem Differentialquotienten, gefürt: Beweis: c ) ' 0 c c 0 0 = 0 Ein konstanter Summand verscwindet beim Ableiten f x ) + c ) ' = f ' x) Bemerkung: Der konstante Summand bewirkt, da er an jeder Stelle den gleicen Wert at eben konstant ist), eine Parallelversciebung des Grapen von f x) in Rictung der y Acse um c Eineiten je nac Vorzeicen von c nac oben oder unten). Jedenfalls ändert sic dadurc die Steigung des Grapen nirgends. Also ist auc dieses Resultat grapisc anscaulic. Der formale Beweis folgt natürlic auc: Beweis: f x ) + c ) ' 0 f x + ) + c f x) + c ) 0 f x + ) f x) = f ' x) Merke: Der konstante Summand ebt sic im Differentialquotienten weg.) Ein konstanter Faktor bleibt beim Ableiten eralten Faktorregel ) c f x) ) ' = c f ' x ) Igor Režan für ExamPrep GmbH 205 bfreimann@gmx.net M 4 32

3 Vorbereitungskurs auf die Aufnameprüfung der ETH: Matematik Bemerkung: Der konstante Faktor bewirkt eine Streckung des Grapen in die y Rictung. Dadurc eröt sic auc die Steigung um den entsprecenden Faktor. Beweis: c f x) ) ' 0 = c lim 0 f x + ) f x ) c f x + ) c f x ) = c f ' x ). 0 c f x + ) f x) ) Der nötige Umformungsscritt war also ein simples Ausklammern. Dass man den konstanten Faktor ausklammern kann, liegt ja gerade daran, dass er konstant ist, also an der Stelle x und x + denselben Wert at! Weiter wurde eine Regel über das Recnen mit Grenzwerten verwendet: die Reienfolge von Produkt und Grenzwertbildung darf vertausct werden.) Man siet: Die Ableitungsregeln, wenn eine Funktion einen konstanten Summanden entält, einen konstanten Faktor entält oder sogar selbst überall konstant ist, müssen unterscieden werden! Mit Hilfe der folgenden Additions- und Produktregel lassen sic die Regeln für konstanten Summanden und konstanten Faktor auf die Regel über die Ableitung der konstanten Funktion zurückfüren, aber es ist leicter, diese Regeln welce somit Spezialfälle der erwänten Regeln darstellen) direkt anzuwenden. Es ist natürlic beruigend, dass sic die Regeln nict widersprecen! Summen und Differenzen können einzeln abgeleitet werden f x) ± g x) ) ' = f ' x) ± g ' x) Das eisst in Worten: Die Ableitung einer Summe Differenz) von Funktionen ist die Summe Differenz) der Ableitungen dieser Funktionen. Eine Summe beliebig vieler Summanden dürfen auc negativ sein) darf also gliedweise abgeleitet werden. Im folgenden Beweis sind die beiden Aussagen für Summe und Differenz gleiczeitig notiert es stet jeweils ein ± ). Man kann den Beweis auc für Summe und Differenz einzeln lesen und jeweils überall nur + bzw. einsetzen. Aus dem Beweis der Summenregel könnte man übrigens mit dem konstanten Faktor - ebensogut die Differenzregel erleiten. Und wie oben scon erwänt: Setzt man für g x) die konstante Funktion c ein, so ergibt sic aus dieser Regel zusammen mit der Regel, dass die Ableitung der konstanten Funktion Null ist, wieder die Regel über den konstanten Summanden. Beweis: f x ) ± g x) ) ' f x + ) ± gx + ) f x) ± g x) ) 0 f x f x ± g x g x 0 0 f x f x ± lim 0 g x g x = f ' x ± g ' x Es fällt auf, wie gut sic die Addition und Subtraktion) mit dem Differentialquotienten vertragen. Alles lässt sic übsc aufteilen. Wieder wurde die Vertauscbarkeit von Limesbildung mit Plus bzw. Minus benötigt wie oben für Mal.) Igor Režan für ExamPrep GmbH 205 bfreimann@gmx.net M 4 33

4 Vorbereitungskurs auf die Aufnameprüfung der ETH: Matematik Die Produktregel f x ) g x ) ) ' = f ' x ) g x ) + f x ) g ' x ) In Worten: Die Ableitung eines Produkts von zwei Funktionen ist die Summe der beiden möglicen Produkte dieser beiden Funktionen, wenn jeweils die eine Funktion abgeleitet ist, die andere aber nict. Wie untersceidet sic die Produktregel von der Regel des konstanten Faktors oben? Hier andelt es sic um ein Produkt, welces in beiden Faktoren die Variable x entält. Ein Faktor, der unabängig von x ist, wäre ingegen konstant. Auc die Ableitung eines konstanten Faktors ist ein Spezialfall dieser Regel, denn der Summand, der die Ableitung der Konstanten also Null) entält, verscwindet: c f x ) ) ' = c ' f x ) + c f ' x ) = 0 f x ) + c f ' x ) = c f ' x ). Beweis: f x ) g x ) ) ' f x + ) g x + ) f x) g x) 0 f x + ) g x + ) f x ) g x + ) + f x) g x + ) f x) g x) 0 Es wird also Null addiert, damit man verscieden!) ausklammern kann: f x g x ' f x f x g x f x g x g x 0 f x f x g x g x g x f x 0 = f ' x) g x) + f x) g ' x ) Hätte man bei der Addition von Null die Klammern umgekert gewält, also ± f x + ) g x ), so ätte das Ergebnis f x) g ' x) + f ' x) g x) gelautet, nac dem Kommutativgesetz ist das aber dasselbe.) Im Gegensatz zur Summe ist beim Produkt nict auf den ersten Blick ersictlic, wie die Ableitung eines Produkts von mer als zwei Faktoren, also z.b. f x)g x)x) lautet. Auf den zweiten Blick jedoc scon. Erst überlegen, dann umblättern! Die Antwort lautet: f g )' = f ' g + f g ' + f g ' : In jedem der drei Summanden ist jeweils nur eine der Funktionen abgeleitet das gilt entsprecend auc für mer als drei): f g )' = f g))' = f g )' + f g ) ' = f ' g + f g ' ) + f g ' = f ' g + f g ' + f g '. Igor Režan für ExamPrep GmbH 205 bfreimann@gmx.net M 4 34

5 Vorbereitungskurs auf die Aufnameprüfung der ETH: Matematik Die Quotientenregel f x) gx) ) ' = f ' x) gx) f x ) g ' x ) g 2 x) In Worten: Die Ableitung eines Quotienten zweier Funktionen Zäler- und Nennerfunktion) ist die Differenz der Produkte der Ableitung der Zäler- und der nict abgeleiteten Nennerfunktion bzw. umgekert, geteilt durc das Quadrat der Nennerfunktion. Wictig: Beginne immer mit der Ableitung des Zälers! ) Die Struktur entsprict stark der Produktregel, nur stet anstelle des Plus ein Minus wie ja auc statt des Mals des Produkts ier ein Durc des Quotienten stet.) Bei der Differenz kommt es jedoc im Gegensatz zur Summe auf die Reienfolge an, es lont sic daer, auc bei der Produktregel stets die gleice Reienfolge zu verwenden f ' g + f g ' ). Beweis: Null addieren:) f x) gx) ) ' 0 0 ausklammern:) 0 0 f x + ) g x + ) f x ) g x ) f x + ) gx) f x ) g x + ) 0 g x + ) g x) f x + ) gx) f x) gx) + f x ) g x ) f x) g x + ) gx + ) gx) f x + ) f x) g x) g x + ) g x ) + f x) ) g x + ) g x) ) f x + ) f x ) f 'x) g x + ) g x) g x) f x) g ' x) ) ) g x + ) gx ) Es wird also wie bei der Produktregel Null addiert, aber dann muss noc zusätzlic ein Minus ausgeklammert werden, damit genau ein Differentialquotient dastet. Als Nebeneffekt des Gleicnamigmacens stet noc ein g 2 im Nenner. = f ' x) gx) f x) g ' x) g 2 x) Alternativer Beweis: Erst die Ableitung der reziproken Funktion beweisen siee unten, get etwas einfacer), und dann die Produktregel benutzen.. Igor Režan für ExamPrep GmbH 205 bfreimann@gmx.net M 4 35

6 Vorbereitungskurs auf die Aufnameprüfung der ETH: Matematik Die Ableitung der reziproken Funktion f x ) ) ' = f ' x) f 2 x) Vorsict: Nict verwecseln mit der Ableitung der Umkerfunktion siee unten). Diese Regel brauct nict unbedingt auswendig gelernt zu werden! Sie folgt direkt aus der Quotientenregel siee auc der folgende Beweis) und ist bei Bedarf beinae so scnell angewendet wie diese. Beweis:. Metode: Falls wie oben) die Quotientenregel bereits bewiesen wurde, ist es ein einfacer Spezialfall dieser Regel. Man setze für f x) = und für g x) = f x) in die Quotientenregel ein: f x ) ) ' = 0 f x) f ' x) f 2 x ) = f ' x) f 2 x) 2. Metode: Man bildet ganz normal den Differentialquotienten: f x ) ) ' 0 f x + ) f x) f x + ) f x) 0 0. f x) f x + ) f x + ) f x) f x + ) f x) = f ' x) f 2 x). In diesem Fall könnte man wie oben erwänt nun umgekert die Quotientenregel aus dieser Regel und der Produktregel gewinnen: f x) gx) ) ' = f x) gx) ) ' = Produktregel = Reziproke f ' x ) g x) + f x ) g ' x ) g 2 x) ) f ' x) gx) + f x) gx) ) ' = f ' x) g x) f x ) g 'x ) g 2 x) ) Igor Režan für ExamPrep GmbH 205 bfreimann@gmx.net M 4 36

7 Vorbereitungskurs auf die Aufnameprüfung der ETH: Matematik Die Ableitung einer verscactelten Funktion Kettenregel) [ f g x ) ) ] ' = f ' g x ) ) g ' x) Die Verscactelung der Funktionen bedeutet, dass eine Funktion ier g x), genannt innere Funktion ) in die andere Funktion ier f z) mit z = g x ), genannt äussere Funktion ) eingesetzt wurde. Man kann sic vorstellen, eine Funktion wird nict auf die Variable x, sondern auf eine bereits verarbeitete Variable g x) angewendet. In der Leibnizscen Screibweise ist dies ser eingängig: mit y = f g x)) = f z) : dy dx = dy dz dz dx Die Regel besagt also in Worten: Sind zwei Funktionen verscactelt, so ist die Ableitung dieser verscactelten Funktion gleic der Ableitung der äusseren Funktion wobei sic an der inneren Funktion nicts ändert ) mal die Ableitung der inneren Funktion. Beweis: [ f g x) ) ] ' 0 0 f g x + ) ) f g x) ) f gx + ) ) f g x) ) gx + ) gx ) gx + ) gx ) Es wurde also mit Eins multipliziert bzw. erweitert. Nenner vertauscen:) 0 f gx ) + gx + ) gx ) ) f g x) ) g x + ) g x ) g x + ) g x) Null addiert!) Substituiere im linken Faktor: z = g x) sowie k = g x + ) gx ) : f z + k ) f z) k gx + ) gx). Nun get mit gegen Null auc 0 g x + ) gegen g x), also auc k = g x + ) gx ) gegen Null. An dieser Stelle wird die Voraussetzung benutzt, dass g x) an der Stelle x 0 stetig sein muss. Denn sonst könnte es sein, dass zwar gegen Null get, aber k nict! Vergleice die beiden folgenden Bilder mit stetigem g x) links und unstetigem g x) rects: k x 0 gx) g x) gx) at an der Stelle x 0 eine Unstetigkeit, z.b. einen Sprung. gx 0 ) sei unten.) ist die Breite des senkrecten gestricelten Streifens, k ist die Höe des waagrecten gestricelten Streifens. Links get mit auc k gegen Null, wärend rects der rot markierte Streifen mit einer Höe ungleic Null für k übrig bleibt, auc wenn scon Null ist! Also ist der linke Faktor gleic dem Differentialquotienten der Funktion f z) : = f ' z ) g ' x) = f ' g x) ) g ' x) z rücksubstituiert.) k Es wurde wieder der Grenzwertsatz für Produkte verwendet Limes und Mal vertausct). x 0 Igor Režan für ExamPrep GmbH 205 bfreimann@gmx.net M 4 37

8 Vorbereitungskurs auf die Aufnameprüfung der ETH: Matematik Die Kettenregel ist ein mäctiges Werkzeug, denn durc Verscacteln von Funktionen lassen sic ser komplizierte Vorgänge bescreiben. Wenn eine Funktion merfac verscactelt ist, wird einfac von aussen nac innen abgeleitet, wobei immer mit der Ableitung der näcstinneren Funktion multipliziert wird, falls diese selber verscactelt war, noc mit der Ableitung deren innerer Funktion etc., bis man bei einer nict mer verscactelten Funktion ankommt. So eine Funktion at als innere Funktion nur noc die Variable x. Sollte man die als die einface Funktion y = x auffassen und unnötigerweise) noc mit deren Ableitung, also, multiplizieren, so mact das zum Glück nicts. Oder anders gesagt: Man kann auc eine gar nict verscactelte Funktion nac der Kettenregel ableiten, es kommt nicts Falsces eraus!) Die Ableitung der Umkerfunktion f x) ) ' = f ' f x) ) Die Regel besagt, dass man für jede Funktion, deren Ableitung man kennt, auc die Ableitung irer Umkerfunktion angeben kann. Es genügt, die Umkerfunktion in das Reziproke der abgeleiteten Funktion einzusetzen. Die Regel lautet also in Worten: Die Ableitung der Umkerfunktion einer Funktion ist das Reziproke der Ableitung dieser Funktion, angewendet auf die Umkerfunktion. Beweis: Die Regel lässt sic mit Hilfe der Kettenregel beweisen. Zunäcst ist nac Definition der Umkerfunktion: f f x) ) = x. Beide Seiten ableiten die linke Seite gemäss der Kettenregel): f ' f x ) ) f x) ) ' =. Nun nac der gesucten Ableitung der Umkerfunktion auflösen: f x) ) ' =. f ' f x) ) Igor Režan für ExamPrep GmbH 205 bfreimann@gmx.net M 4 38

9 Vorbereitungskurs auf die Aufnameprüfung der ETH: Matematik Genauere Formulierung der Ableitungsregeln Nun werden, wie erwänt, einige tecnisce Details nacgetragen und zwar kleingedruckt: Wer will, kann diesen Abscnitt auc überspringen). Als erstes: Was ist eigentlic gemeint mit einem Ausdruck wie f x) + gx) ) '? Der Ableitungsstric nac der Klammer bedeutet, dass man die Ableitungsfunktion der Funktion, die in der Klammer stet, suct. Der Ausdruck in der Klammer ist jedoc eine Summe von Funktionen. Gemeint ist, dass für eine beliebige Stelle x der Funktionswert der Funktion f x) und der Funktionswert der Funktion g x) gebildet wird, und diese beiden Zalen addiert werden. Es ergibt sic dann der Funktionswert der Funktion x ) = f x) + gx) an der Stelle x. Der Ausdruck f x) + gx) ist also eine Kurzscreibweise für die Funktion x ), welce auf die bescriebene Weise definiert ist. Dies gilt entsprecend für alle in obigen Regeln vorkommenden Verknüpfungen von Funktionen. Daraus ergeben sic jedoc einige wictige Einscränkungen: Die Ableitungsfunktion ist nur für diese Werte x definiert, für welce sowol f x) als auc g x) definiert sind sofern beide Funktionen vorkommen). Weiter müssen, falls in der Ableitungsregel auf der recten Seite die entsprecenden Ableitungen f ' x) oder g ' x ) vorkommen, beide an dieser Stelle existieren und dürfen, falls sie in einem Nenner steen, nict zu einer Division durc Null füren.) Andererseits existieren Ableitungen nur für solce Stellen, für welce die Funktion definiert ist sie muss sogar auf einer ganzen Umgebung dieser Stelle definiert sein). Insofern genügt die zweite Bedingung. Meist sagt man daer nur: Sind zwei Funktionen f x) und gx) an einer Stelle x 0 differenzierbar, so ist auc ire Summe / Differenz / Produkt /... differenzierbar und es gilt... Am Beispiel der Quotientenregel soll illustriert werden, wie die Aussagen jeweils eigentlic korrekt formuliert werden müssten: Die Quotientenregel Beispiel einer ausfürlicen Formulierung) Sind f x) und gx) zwei Funktionen mit Definitionsbereic D f bzw. D g, so verstet man unter dem Quotient der beiden Funktionen, f x ), diejenige Funktion, welce an jeder Stelle x aus dem g x ) Definitionsbereic D f D g den Wert f x ) annimmt, wobei ier natürlic zusätzlic g x) 0 gelten g x ) muss. Falls an einer Stelle x die beiden Funktionen f x) und gx) definiert sind, gx) 0 ist und die beiden Ableitungen f ' x) und g ' x ) existieren, so existiert dort auc die Ableitung des f x ) Quotienten der beiden Funktionen, und für iren Wert gilt: g x ) ) ' f ' x ) g x ) f x ) g' x) = g 2 x ) Zweitens: Wo wird Stetigkeit der Funktionen f x) und g x) vorausgesetzt? Zum Beispiel im Beweis der Produktregel: Es wird der Grenzwert lim gx + ) = gx) gebildet. 0 Dies gilt natürlic nur, wenn die Funktion g x) an der Stelle x stetig ist! Siee auc das Bild im Kleingedruckten im Beweis der Kettenregel. Da Stetigkeit einer Funktion an einer gegebenen Stelle immer eine notwendige Bedingung für die Differenzierbarkeit einer Funktion an dieser Stelle ist jedoc keine inreicende!), genügt es also auc ierfür, die Differenzierbarkeit der einzelnen Funktionen vorauszusetzen. Und Drittens: Bei allen Ableitungsregeln wird zum Beweis die Gültigkeit der Grenzwertregeln vorausgesetzt, also dass der Grenzwert einer Summe, eines Produktes etc. gleic der Summe, dem Produkt etc. der einzelnen Grenzwerte ist. Dies gilt z.b. nict, wenn einer der Faktoren einen uneigentlicen Grenzwert ätte. Desalb muss es im obigen Beispiel auc eissen, dass die Ableitungen der einzelnen Funktionen alleine scon existieren müssen. Die Ableitungsregeln sind so geseen eigentlic direkte Konsequenzen der Grenzwertregeln, denn jede Ableitung ist ja ein Grenzwert, nämlic ein Differentialquotient. Igor Režan für ExamPrep GmbH 205 bfreimann@gmx.net M 4 39

10 Vorbereitungskurs auf die Aufnameprüfung der ETH: Matematik Ableitungsregeln in Kurzform Es bezeicnen in allen Regeln f und g Funktionen, die abängig von der Stelle x sind, jedoc c eine konstante Zal, die unabängig von der Stelle x immer denselben Wert c besitzt. c ) ' = 0 Konstante allein) gibt abgeleitet Null f + c ) ' = f ' Konstanter Summand verscwindet beim Ableiten c f ) ' = c f ' Konstanter Faktor bleibt beim Ableiten eralten Faktorregel) f + g ) ' = f ' + g ' Summen und Differenzen dürfen einzeln abgeleitet werden Summenregel) f g ) ' = f ' g + f g ' Produktregel f g ) ' = f ' g f g' g 2 Quotientenregel [ f g ) ] ' = f ' g ) g ' Kettenregel Äussere mal Innere,... mal die innere Ableitung ) f ) ' = f ' f ) Ableitung der Umkerfunktion Igor Režan für ExamPrep GmbH 205 bfreimann@gmx.net M 4 40