Differenzengleichungen in der Elektrotechnik

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1 HTB Kapfenberg Differenzengleichungen in der Elektrotechnik Seite 1 von 11 Kaiser Gerald gerald.kaiser@htl-kapfenberg.ac.at Differenzengleichungen in der Elektrotechnik Mathematische / Fachliche Inhalte in Stichworten: Differenzenquotient, Differenzengleichungen Kurzzusammenfassung Es werden Ein- und Ausschaltvorgänge bei einem C-Glied und -Glied mit Hilfe von Differenzengleichnungen dargestellt. Dabei wird auf die elektrotechnischen Kenntnisse, wie Kirchhoffschen Gesetze (Maschenregel), Kapazität und adungsmenge, Induktiviät und zeitliche Änderung des Stromes aufgebaut. Didaktische Überlegungen / Zeitaufwand Meine Erfahrungen im Unterricht lassen sich in der ichtung beschreiben, dass der Übergang von der Maschenregel in die "Differenzenform" den Schülern erhebliche Schwierigkeiten bereitete. Die Darstellung in Form von Differenzengleichungen sind dem Schüler gänzlich unbekannt. Durch die anschließende grafische Darstellung erkennt dann der Schüler jedoch wieder bekannte Funktionsgrafen. Der Zeitaufwand beträgt 6-8 Stunden. ehrplanbezug (bzw. Gegenstand / Abteilung / Jahrgang): Angewandte Mathematik, 3.Jahrgang, elektrotechnische Abteilungen Mathcad-Version: Mathcad 2001 iteraturangaben: Ingenieur-Mathematik 3 Timischl/Kaiser Dorner-Verlag Ingenieur-Mathematik 4 Timischl/Kaiser Dorner-Verlag Anmerkungen bzw. Sonstiges: Zu den iteraturangaben: Im Band 3 findet man eine Einführung in die Theorie und Anwendung der Differenzengleichungen. Im 4. Band kann man im Kapitel Differentialgleichungen Anregungen für die Umsetzung mit Differenzengleichungen finden.

2 HTB Kapfenberg Differenzengleichungen in der Elektrotechnik Seite 2 von 11 I ) C-Glied A) Einschaltvorgang Es soll die Spannung am Kondensator C als Funktion der Zeit t dargestellt werden. Zunächst wird allgemein eingangsseitig eine Spannung u(t) angelegt. Im Weiteren wird dann die Eingangsspannung zunächst eine Gleichspannung und dann eine sinusförmige Wechselspannung sein. Herleitung der Spannung am Kondensator. Zum Zeitpunkt t = 0s wird der Schalter geschlossen. Der Kondensator ist zunächst ungeladen. Nach der 2. Kirchhoff ' schen egel gilt: u u C = u Für die Spannung am Ohmschen Widerstand gilt: u = i = q q = q n q n 1 Für die Kondensatorspannung uc gilt: 1 u C = C q q 1 C q n 1 = u Einsetzen von q in die Maschenregel und Auflösung der Differenzengleichung nach q n q n = 1 C q n 1 u Dividiert man die Differenzengleichung durch C, so erhält man die Differenzengleichung für die Spannung am Kondensator. = 1 C 1 u C mit uc(0) =0 = C

3 HTB Kapfenberg Differenzengleichungen in der Elektrotechnik Seite 3 von 11 1) Eingangsspannung ist eine Gleichspannung U 0 = V, mit = kω und C = 40µF u = U 0 = 1 1 U 0 mit uc(0) =0 V Definition der einzelnen Parameter: := 0.4 s U 0 := V n := Anfangsbedingung: uc 0 := 0 V Wählt man für zunächst größere Werte, so kann man sehr schön die inearisierung im Zeitintervall erkennen. Verkleinert man schrittweise, so kann man die Annäherung an die "tatsächliche" Funktion sehen. a) := 0.3 s Eingangsspannung: u n := U 0 Für die graphische Darstellung ist eine Indexverschiebung in der Differenzengleichung notwendig. Kondensatorspannung: 1 := 1 U 0 u n n b) := 0.1 s Eingangsspannung: u n := U 0 Kondensatorspannung: 1 := 1 U 0

4 HTB Kapfenberg Differenzengleichungen in der Elektrotechnik Seite 4 von 11 u n n c) := 0.04 s Eingangsspannung: u n := U 0 Kondensatorspannung: 1 := 1 U 0 u n n 2.) Eingangsspannung ist eine Wechselspannung mit u(t)= *sin(6t) Eingangsspannung: u( t) = U 0 sin( ω t) 1 uc u( t) = n 1 mit uc(0) =0 V

5 HTB Kapfenberg Differenzengleichungen in der Elektrotechnik Seite 5 von 11 Definition der einzelnen Parameter: := 0.4 s U 0 := V n := ω := 6 1 s Anfangsbedingung: u 0 := 0 V a) := 0.16 s Für die graphische Darstellung ist eine Indexverschiebung in der Differenzengleichung notwendig. Spannung am Kondensator: 1 := 1 U 0 sin[ ω ( n 1) ] Eingangsspannung: u n 1 := U 0 sin[ ω ( n 1) ] u n n b ) := 0.04 s Für die graphische Darstellung ist eine Indexverschiebung in der Differenzengleichung notwendig. Spannung am Kondensator: 1 := 1 U 0 sin[ ω ( n 1) ] Eingangsspannung: u n 1 := U 0 sin[ ω ( n 1) ]

6 HTB Kapfenberg Differenzengleichungen in der Elektrotechnik Seite 6 von 11 u n n B) Entladevorgang Ein Kondensator mit der Kapazität C wird auf die Spannung U 0 aufgeladen. Zum Zeitpunkt t = 0s beginnt die Entladung des Kondensators. Es soll der zeitliche Verlauf der Kondensatorspannung darstellt werden. Zunächst wird wieder mit Hilfe der Maschenregel der Zusammenhang der einzelnen Spannungen dargestellt. u u C = 0 2. Kirchhoffsches Gesetz Mit den gleichen Überlegungen wie bei A) kommt man zur Differenzengleichung: u cn = 1 C u cn 1 mit uc(0) =U 0 Definition der einzelnen Parameter. := kω C := 40 µf

7 HTB Kapfenberg Differenzengleichungen in der Elektrotechnik Seite 7 von 11 a ) := 0.2 s uc 0 := V := C 1 := 1 n := n b ) := 0.02 s uc 0 := V := C 1 := 1 n := n

8 HTB Kapfenberg Differenzengleichungen in der Elektrotechnik Seite 8 von 11 II) - Glied An einem -Glied wird zum Zeitpunkt t = 0 s die Eingangsspannung u(t) wirksam. Es soll der Strom i(t) durch eine Differenzengleichung dargestellt werden. Im Weiteren soll die Spannung am ohmschen Widerstand und an der Induktivität dargestellt werden. Dabei soll im 1.Schritt u(t) eine Gleichspannung und im 2.Schritt eine sinusförmige Wechselspannung sein. Allgemeine Herleitung der Differenzengleichung für den Strom i(t) Nach der 2. Kirchhoff ' schen egel gilt: u u = u Für die Spannung am Ohmschen Widerstand gilt: u = i Für die Spannung an der Spule u gilt: u = i mit i = i n i n 1 i n 1 i = u( t) i n 1 i n i n 1 = u( t) i n = 1 i n 1 u( t) = 1) Eingangsspannung ist eine Gleichspannung u(t) = 20 V Definition der einzelnen Parameter: := Ω := 0.5 H := = 0.05 s Eingangsspannung: u( t) := 20 V Zeitintervall: := s

9 HTB Kapfenberg Differenzengleichungen in der Elektrotechnik Seite 9 von 11 Für die graphische Darstellung ist eine Indexverschiebung in der Differenzengleichung notwendig. i n 1 := 1 i n u( t) n := Anfangsbedingung: i 0 := 0 A 2 i n n 2.) Eingangsspannung ist eine Wechselspannung u(t) = 85*sin(5t) u( t) = U 0 sin( ω t) i n = 1 i n 1 U 0 sin( ω n ) mit i(0) =0A Definition der einzelnen Parameter: := 0.05 s U 0 := 85 V n := ω := 5 1 s Zeitintervall: := 0.05 s i n 1 := 1 i n U 0 sin( ω n ) i 0 := 0 A Für die graphische Darstellung ist eine Indexverschiebung in der Differenzengleichung notwendig.

10 HTB Kapfenberg Differenzengleichungen in der Elektrotechnik Seite von 11 i n n Spannung am Ohmschen Widerstand Für die Darstellung der Spannung am Ohmschen Widerstand wird die Differenzengleichung für den Strom mit multipliziert. Es ergibt sich: u n 1 = i n 1 Zeitintervall: := 0.05 s n := Anfangswert: u 0 := 0V ergibt sich, da i(0) = 0 u n 1 := 1 u n U 0 sin( ω n ) Spannung an der Spule Für die Spannung an der Spule u gilt: u = i Für i gilt: i = i n2 - i n1 i n 2 := 1 i n 1 U 0 sin[ ω ( n 1) ] i n 1 := 1 i n U 0 sin( ω n ) u( n) i n 2 i n 1 :=

11 HTB Kapfenberg Differenzengleichungen in der Elektrotechnik Seite 11 von u n u( n) n