Grundlagen der Entscheidungstheorie

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1 Kaptel 0 Grudlage der Etschedugstheore B. 0 (Gegestad) De Etschedugstheore befasst sch mt dem Etschedugsverhalte vo Idvdue ud Gruppe. Se besteht aus we Telgebete. Deskrptve Etschedugstheore De deskrptve Etschedugstheore beschrebt we Etscheduge der Realtät Getroffe werde.. Präskrptve (ormatve) Etschedugstheore De präskrptve (ormatve) Etschedugstheore formulert, we etschede werde soll, damt de Etschedug m Rahme festgelegter Regel optmal bw. ratoal ausfällt. B. 0 We werde us desem Kaptel ledglch mt präskrptver (ormatver) Etschedugstheore befasse. B. 0 (Etelug der präskrptve Etschedugstheore) De Etschedugsprobleme sch ach verschedee Krtere etele: I. Aahl der Zelgröße a) Ekrterell (ee Zelgröße) b) Mehrkrterell (mehrere Zelgröße) II. Ketsse über de Zustäde a) Etschedug uter Scherhet b) Etschedug uter Ugewsshet c) Etschedug uter Rsko III. Zethorot a) Statsche (de Zelgröße hägt vo eer Etschedug ab) b) Dyamsche (m Zetablauf werde wederholt Etscheduge getroffe) Sehe detallert heru später.

2 IV. Gegespeler a) De Zustäde werde ur vo der Umwelt bestmmt. b) De Zustäde werde auch vo ratoal hadelde Gegespeler bestmmt V. Forme vo Etscheduge a) Etschedugsträger st e Idvduum b) Etschedugsträger st ee Gruppe D. 0. (Etschedugstabelle, Etschedugsmatr) Folgede Tabelle (Matr) heßt Etschedugstabelle (Etschedugsmatr):.. a.. a.. a m. m. m m Dabe sd: a : Alteratve =,,..., m; : Zustad =,,..., ; : Koseque aus dem Zusammetreffe vo Alteratvea mt Zustad. D. 0 (Etelug der Etschedugsprobleme) Beüglch der Ketsse über de Zustäde werde folgede Etschedugsprobleme defert: () Etschedug uter Scherhet De etretede Zustäde sd bekat () Etschedug uter Ugewsshet Wahrschelchkete für das Auftrete der Zustäde sd cht bekat. Daher werde se als glech wahrschelch ageomme. () Etschedug uter Rsko De Wahrschelchkete für das Auftrete der eele Zustäde sd bekat.

3 B. 0 (Doma) Zur Verefachug des Etschedugsproblems sollte deege Alteratve cht betrachtet werde, de vo adere Alteratve domert werde. Wr uterschede u.a.. Absolute Doma. Zustadsdoma D. 0 (Absolute Doma) Ee Alteratvea domert ee Alteratvea absolut, we das gergstmöglche Kosequet (Ergebs) vo acht kleer st als das größtmöglche Ergebs voa : BS. 0 adomerta. a a m ma k k k k a a a D. 0 (Zustadsdoma) Nach dem Prp der Zustadsdoma domert dea de Alteratvea, we bem paarwesem Verglech de Ergebsse voa keem Zustad schlechter als ee voa sd ud mdestes eem Zustada u eem bessere Ergebs alsa führt: BS. 0 adomerta. a a k =,,..., m k : > k k k k a a a Es gbt auch wetere Domabegrffe,.B. stochastsche Doma, de her cht behadelt werde.

4 B (Etschedug uter Scherhet) Im Falle der Etschedug uter Scherhet hat ma für = folgede Etschedugstabelle: Alteratve Zustad a a a Typsche Fälle für Etschedugsprobleme uter Scherhet sd determstsche Optmerugsprobleme. m B (Etschedug uter Ugewsshet) Vo eer Etschedugsstuato uter Ugewsshet wrd gesproche, we eer Alteratve mehrerer Zustäde ugeordet werde ka, wobe aber kee Kets über dere Etrttswahrschelchket vorlegt. Ma köte auch sage, dass de Zustäde glechwahrschelch sd. BS. 0 De Nachfrage ach eer Zetug eem klee Ort ka 0,, oder se. E Zetugskosk kauft e Eemplar deser Zetug für 0.0 ud verkauft es für 0.5. Damt steht folgede Etschedugstabelle (Ausahlugsmatr): m 0 a a a a De Frage st: We vel Eemplare soll der Zetugskosk etspreched der ewelge Stuato kaufe? B (Etschedugsregel be Ugewsshet) Es gbt u.a. folgede Regel:. Laplace-Regel. Mam-Regel. Mma-Regel. Mama-Regel 5. Hurwc-Regel 6. Savage-Nehas-Regel 7. Krelle-Regel

5 B (Laplace-Regel) Wähle de Alteratvea k glt. = ma k. =,,..., m = = BS 0 (Fortsetug) 0 = a a a a Damt wrd de Alteratvea B (Mam-Regel/Wald) Wähle de Alteratvea k ma(0, 8.75,.5, 7.50) =.5. Z = ma Z : = mam k =,,..., m Dese Regel st sehr pessmstsch. Her wrd das ewels ugüstgste Eregs betrachtet, welches be Wahl eer bestmmte Alteratve de verschedee Zustäde etrete ka. De Alteratve werde ur ahad deses ewels schlechteste Ergebsses verglche; alle adere Ergebsse eer Alteratve werde cht berückschtgt. Z et ma das Scherhetsveau voa ud bedeutet, dassa ee Mmumbetrag vo mdestesz für de Etschedugsträger garatert. BS. 0 (Fortsetug) 0 m a a a a

6 Damt wrd de Alteratvea ma(0, -0, -0, -0) = 0. B (Mma-Regel) Wähle de Alteratvea k mt w w k = m maw,, : = ma. BS. 0 (Fortsetug) w 0 maw a a a a Damt wrd de Alteratvea m( 5, 55, 60, 75) = 5. B. 0 De Mam- ud Mma-Regel führe mmer um gleche Ergebs. B. 0 (Mama-Regel) Wähle de Alteratvea k k = ma ma. De Mama-Regel st ee sehr optmstsche Etschedugsregel. Herbe wrd ede Alteratve ur ahad des Ergebsses, das bem ewels für dese Alteratve güstgste Zustad etrete ka, beurtelt. 6

7 BS. 0 (Fortsetug) 0 ma a a a a Damt wrd de Alteratvea B. 0 (Savage-Nehas-Regel) Wähle de Alteratvea k ma(0, 5, 0, 5) = 5. mt k = m mar, r = ma. BS. 0 (Fortsetug) r 0 mar a a a a Damt wrd de Alteratvea m(5, 0, 0, 0) = 0. B. 0 De Savage-Nehas-Regel wrd auch als Regel des kleste Bedauers beechet. De Matr R: = ( r ), =,,..., m; =,,...,, heßt da Matr des Bedauers. Nach deser Regel soll der Etschedugsträger deege Alteratve wähle, be der der mamale Opportutätsverlust (Bedauer) möglchst kle st. 7

8 B (Pessmsmus-Optmsmus-Regel/Hurwc) Wähle de Alteratvea k Dabe sd: α : Optmsmusfaktor α : Pessmsmusfaktor. BS. 0 (Fortsetug) Se α : = 0.7 { α α } = ma ma + ( ) m, k 0 α. 0 α ma + ( α) m a = 0 a ( ) a ( ) a ( ) = = =.5 ma(0; 7.5; 5;.5 ) =.5. Damt wrd de Alteratvea B De Hurwc-Regel st ee Kombato vo Mma- ud Mama-Regel ud erlaubt Kompromsse wsche pessmstsche ud optmstsche Etschedugsregel. Der Etschedugsträger ka see subektve Estellug durch de Optmsmusfaktorα um Ausdruck brge. B (Etschedugsregel ud hre Rskoestellug) Etschedugsregel Rskoestellug Bayes Rskoeutral Mam Rskoscheu Mma Rskoscheu Mama Rskofreudg Savage-Nehas Abhägg vom Optmsmusfaktorα Hurwc Äußerst rskoscheu 8

9 B (Etschedug uter Rsko) Vo eer Etschedugsstuato uter Rsko wrd gesproche, we der Etschedugsträger de Wahrschelchkete für das Etrete der Zustäde ket. Uter adere gbt es her folgede Regel:. Deµ -Regel/Bayes. De Beroull -Regel (bw. das Beroull -Prp). Deµ σ -Regel B (µ-regel/bayes) Wähle de Alteratvea k Her sd: E = ma p( ). k = p( ): de Wahrschelchket für das Etrete vo, E k : der Erwartugswert voa k. BS. 0 (Fortsetug) p( s ) = 0.0 p( s ) = 0.5 p( s ) = 0.0 ( ) p s = E a a a a Damt wrd de Alteratvea B (De Beroull-Regel) Wähle ee Alteratvea k glt. ma(0.00,.50, 6.5, 0.00) = 6.5 E ( ) = ma u p( ), k = Dabe st ( ),,,..., ;,,..., u = m = : de Nutefukto (bw. Rsko-Nute-Fukto) vo. 9

10 B. 0 (Rskoestellug) De Nutefukto gbt de Rskoestellug des Etschedugsträgers weder: < 0 Rskoscheu u''( ) = 0 Rskoeutral > 0 Rskofreudg BS. 0 (Fortsetug) Se u = 0.0 +,, =,,,: u p( ) = 0.0 p( ) = 0.5 p( ) = 0.0 ( ) p = E a a a a Damt wrd de Alteratvea I desem Falle st wege ma(0.000,.50, 7.875, 8.750) = u = 0.0 +, u = 0.0< 0,, =,,, ' '' Der Etschedugsträger rskoscheu. B. 0 (De( µ σ) Regel) Wähle ee Alteratvea k Her st ( µ, σ) Φ ee Präferefukto. ( µ σ ) Φ = ma Φ,. k B. 0 (Rskoestellug) Präferefukto gbt de Rskoestellug des Etschedugsträgers weder: < 0 Rskoscheu Φ = 0 Rskoeutrall σ > 0 Rskofreudg 0

11 B. 0 (Fortsetug) Se ( ) Φ µ, σ = 5µ 0.5 σ. µ = 0.00, µ =.50, µ = 6.5, µ = σ = 0.00, σ = 7.50, σ = , σ = p( ) = 0.0 p( ) = 0.5 p( ) = 0.0 ( ) p = µ σ a a a a Φ Damt wrd de Alteratvea ma(0.00, , 7.89, 9.5) = (Lette Aktualserug: )

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