Nachrichtentechnik [NAT] Kapitel 3: Zeitkontinuierliche Systeme. Dipl.-Ing. Udo Ahlvers HAW Hamburg, FB Medientechnik

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1 Nachrichtentechnik [NAT] Kapitel 3: Zeitkontinuierliche Systeme Dipl.-Ing. Udo Ahlvers HAW Hamburg, FB Medientechnik Sommersemester 2005

2 Inhaltsverzeichnis Inhalt Inhaltsverzeichnis 3 Zeitkontinuierliche Systeme Motivation Was ist ein System? Systembeschreibung durch Testsignale Erregung mit einem Rechtecksignal Erregung mit einem Dirac-Impuls Faltung Grafische Deutung Rechenregeln Faltung mit Dirac-Impulsen Systemeigenschaften Kausalität Stabilität Linearität Zeitinvarianz Eigenfunktion Ausblick Dipl.-Ing. Udo Ahlvers Nachrichtentechnik [NAT] 3-2

3 3 Zeitkontinuierliche Systeme Inhalt 3 Zeitkontinuierliche Systeme 3.1 Motivation Bisher: Beschreibung kontinuierlicher Signale im Zeitbereich Jetzt: Einführung des Systems Zusammenhang zwischen Signalen und Systemen Systemtheorie! Viele natürliche elektrische Effekte sowie alle Methoden der Signalverarbeitung können mithilfe der Systemtheorie beschrieben werden. Ständige Verwendung der bereits bekannten Basisfunktionen (s. Kap. 2). Dipl.-Ing. Udo Ahlvers Nachrichtentechnik [NAT] 3-3

4 3.2 Was ist ein System? Inhalt 3.2 Was ist ein System? Mathematische Beschreibung: System = Abbildung bzw. Transformation T { } eines Eingangssignals x(t) in ein Ausgangssignal y(t): y(t) = T {x(t)}. (1) Anschauliche Beschreibung: Wie wird das betrachtete Signal x(t) verändert? Darstellung: x(t) Tfá g y(t) Beispiele: Filter (HP,TP,BP,...) Audio-Effekte Bildbearbeitung, -analyse Dipl.-Ing. Udo Ahlvers Nachrichtentechnik [NAT] 3-4

5 3.3 Systembeschreibung durch Testsignale Inhalt 3.3 Systembeschreibung durch Testsignale Aufgabe: Beschreibung des Übertragungsverhaltens eines Systems Vorgehen: Vergleich des Eingangssignals (Testsignal, Erregung des Systems) mit dem Ausgangssignal (Antwort des Systems). Ziel: Wahl der Erregung so, dass ihre Eigenschaften und Parameter nicht mehr in der Antwort des Systems auftauchen. Beispiel: R i(t) u 1 (t) C y(t) = u 2 (t) Dipl.-Ing. Udo Ahlvers Nachrichtentechnik [NAT] 3-5

6 3.3 Systembeschreibung durch Testsignale Inhalt Aufstellen der DGL: i(t) = C du 2(t) dt (2) = C u 2 (t) (3) T = RC (4) u 1 (t) = i(t)r + u 2 (t) = RC u 2 (t) + u 2 (t) = T u 2 (t) + u 2 (t) (5) Lösung der DGL (ohne Herleitung): u 2 (t) = 1 T e t/t t e τ/t u 1 (τ) dτ (6) Frage: Wie muss das Eingangssignal u 1 (t) gewählt werden, um das o.g. Ziel zu ereichen? Dipl.-Ing. Udo Ahlvers Nachrichtentechnik [NAT] 3-6

7 3.3 Systembeschreibung durch Testsignale Inhalt Erregung mit einem Rechtecksignal 1/T 1 u 1 (t) Fläche 1 -T 1 /2 T 1 /2 t Eingangssignal: Ausgangssignal: u 2 (t) = 1 T e t/t t u 1 (t) = 1 ( ) t rect T 1 T 1 e τ/t u 1 (τ) dτ = 1 T e t/t t (7) e τ/t 1 ( ) τ rect dτ (8) T 1 T 1 Dipl.-Ing. Udo Ahlvers Nachrichtentechnik [NAT] 3-7

8 3.3 Systembeschreibung durch Testsignale Inhalt u 2 (t) = 0 für t T 1 /2 1 (1 e t+0.5t 1 T ) für T 1 /2 < t T 1 /2 T 1 1 (e t 0.5T 1 T 1 T e t+0.5t 1 T ) für T 1 /2 < t (9) Ausgangssignal ist abhängig von der Länge T 1 des Rechtecksignals: 1/T 1/T t 0 t Dipl.-Ing. Udo Ahlvers Nachrichtentechnik [NAT] 3-8

9 3.3 Systembeschreibung durch Testsignale Inhalt Erregung mit einem Dirac-Impuls Eingangssignal: ( ) 1 t u 1 (t) = δ(t) = lim rect T1 0 T 1 T 1 (10) Ausgangssignal: u 2 (t) = 1 T e t/t t e τ/t u 1 (τ) dτ (11) = 1 T e t/t t e τ/t δ(τ) dτ (12) 1 = T e t/t für t > 0 0 für t < 0 (13) = 1 T e t/t ǫ(t) (14) Dipl.-Ing. Udo Ahlvers Nachrichtentechnik [NAT] 3-9

10 3.3 Systembeschreibung durch Testsignale Inhalt Erkenntnis: Das Ausgangssignal hängt nur von den Systemparametern R, C ab und nicht vom Eingangssignal. Schlussfolgerung: Die Antwort eines Systems auf eine Erregung mit Dirac-Impuls wird Impulsantwort h(t) genannt und beschreibt das Systemverhalten: x(t) = (t) Tfág y(t) = h(t) Allgemeine Schreibweise für das System: x(t) h(t) y(t) Dipl.-Ing. Udo Ahlvers Nachrichtentechnik [NAT] 3-10

11 3.4 Faltung Inhalt 3.4 Faltung Bekannt: Impulsantwort h(t), mit der ein System auf eine Erregung mittels Dirac-Impuls δ(t) reagiert. Gesucht: Reaktion y(t) am Ausgang des Systems bei Erregung mit einem beliebigen Signal x(t). x(t) h(t) y(t) =? Ansatz: Das Eingangssignal mithilfe des Dirac-Impulses ausdrücken: x(t) = x(τ) δ(t τ) dτ (15) Dipl.-Ing. Udo Ahlvers Nachrichtentechnik [NAT] 3-11

12 3.4 Faltung Inhalt Das Ausgangssignal entsteht durch Abbildung des Eingangssignals T {x(t)}, also: y(t) = T {x(t)} = Es ergibt sich das sog. Faltungsintegral: x(τ) T {δ(t τ)} dτ (16) }{{} =h(t τ) y(t) = x(τ) h(t τ) dτ (17) Kurzschreibweise: y(t) = x(t) h(t) (18) Damit kann die Systemantwort y(t) bei bekannter Impulsantwort h(t) für beliebige Eingangssignale x(t) bestimmt werden! Dipl.-Ing. Udo Ahlvers Nachrichtentechnik [NAT] 3-12

13 3.4 Faltung Inhalt Grafische Deutung a) l u(t) b) l h(t) t h(- ) t c) Spiegelung (Faltung) h(t l - ) d) Verschiebung t l u( ). h(t l - ) e) Multiplikation f) Integration t l g) Ergebnis y(t) l t l t Dipl.-Ing. Udo Ahlvers Nachrichtentechnik [NAT] 3-13

14 3.4 Faltung Inhalt a) b) h(t) u(t) l l t u(- ) t c) Spiegelung (Faltung) u(t l - ) d) Verschiebung t l h( ). u(t l - ) e) Multiplikation f) Integration t l g) Ergebnis y(t) l t l t Dipl.-Ing. Udo Ahlvers Nachrichtentechnik [NAT] 3-14

15 3.4 Faltung Inhalt Rechenregeln Kommutativität (Vertauschbarkeit): x(t) h(t) = h(t) x(t) (19) Assozivität (Reihenschaltung): [x(t) h 1 (t)] h 2 (t) = x(t) [h 1 (t) h 2 (t)] (20) Distributivität (Parallelschaltung): x(t) [h 1 (t) + h 2 (t)] = x(t) h 1 (t) + x(t) h 2 (t) (21) h (t) 1 x(t) h 1(t) h 2(t) y(t) x(t) y(t) h (t) 2 Dipl.-Ing. Udo Ahlvers Nachrichtentechnik [NAT] 3-15

16 3.4 Faltung Inhalt Faltung mit Dirac-Impulsen Faltung eines Signals x(t) mit dem Dirac-Impuls δ(t): x(t) δ(t) = x(τ) δ(t τ) dτ = x(t) (22) Faltung eines Signals mit dem verschobenem Dirac-Impuls: x(t) δ(t t 0 ) = x(τ) δ(t t 0 τ) dτ = x(t t 0 ) (23) x(t) δ(t t 0 ) x(t) δ(t t 0 ) t 0 t t t t 0 Merke: Das Signal x(t) wird unverändert an die Stelle t 0 verschoben! Dipl.-Ing. Udo Ahlvers Nachrichtentechnik [NAT] 3-16

17 3.4 Faltung Inhalt Faltung mit mehreren Dirac-Impulsen: x(t) [δ(t + t 1 ) + δ(t) + δ(t t 2 )] = x(t) δ(t + t 1 ) + x(t) δ(t) + x(t) δ(t t 2 ) (24) = x(t + t 1 ) + x(t) + x(t t 2 ) x(t) δ(t t i ) x(t) δ(t t i ) t t 1 0 t 2 t t 1 0 t 2 t Merke: Das Signal x(t) wird unverändert an alle Stellen t i verschoben! Dipl.-Ing. Udo Ahlvers Nachrichtentechnik [NAT] 3-17

18 3.5 Systemeigenschaften Inhalt 3.5 Systemeigenschaften Kausalität Ein System ist genau dann kausal, wenn das Ausgangssignal y(t) für jeden Zeitpunkt t nur von gegenwärtigen und vergangenen Werten des Eingangssignals x(t) abhängt. Dies ist gegeben, wenn die Impulsantwort h(t) für alle negativen Zeiten verschwindet: h(t) = 0 für t < 0. (25) Merke: Die Impulsantwort h(t) ist an sich ein Signal, welches das System beschreibt. Daher gilt die Bedingung der kausalen Signale (s. Kap ) auch für Systeme. Anwendung: Überprüfung auf technische Realisierbarkeit! Dipl.-Ing. Udo Ahlvers Nachrichtentechnik [NAT] 3-18

19 3.5 Systemeigenschaften Inhalt Stabilität Ein System heißt stabil, wenn es auf jedes beschränkte Eingangssignal x(t) mit x(t) < M 1 < t mit einem beschränkten Ausgangssignal y(t) reagiert. y(t) = x(τ)h(t τ) dτ x(τ) h(t τ) dτ (26) < M 1 h(t τ) dτ = M 1 h(τ) dτ (27) Die Impulsantwort h(t) muss also absolut integrierbar sein, d.h. h(t) dt < M 2 <, (28) damit y(t) beschränkt ist mit y(t) < M 1 M 2 <. (29) Dipl.-Ing. Udo Ahlvers Nachrichtentechnik [NAT] 3-19

20 3.5 Systemeigenschaften Inhalt Linearität Für beliebige Paare von Abbildungen y 1 (t) = T {x 1 (t)} und y 2 (t) = T {x 2 (t)} und beliebige Skalare k 1 und k 2 gilt stets: T {k 1 x 1 (t) + k 2 x 2 (t)} = k 1 T {x 1 (t)} + k 2 T {x 2 (t)}. (30) Linearität für unendliche Summen: Linearität für Integrale: T { i= k i x i (t)} = i= k i T {x i (t)} (31) T { k(τ) x(t,τ) dτ} = k(τ) T {x(t,τ)} dτ (32) Voraussetzung: die Summen und Integrale müssen existieren. Dipl.-Ing. Udo Ahlvers Nachrichtentechnik [NAT] 3-20

21 3.5 Systemeigenschaften Inhalt Zeitinvarianz Zeitinvariante Systeme reagieren auf ein verschobenes Eingangssignal x(t τ) mit einem entsprechend verschobenen, aber sonst gleichen Ausgangssignal y(t τ). 1 x(t) = δ(t) 1 y(t) = h(t) t 0 5 t 1 x(t) = δ(t τ) y(t) = h(t τ) 1 0 τ 0 τ 0 5 t 0 5 t Dipl.-Ing. Udo Ahlvers Nachrichtentechnik [NAT] 3-21

22 3.5 Systemeigenschaften Inhalt Eigenfunktion Die komplexe Exponentialfunktion x(t) = A x e jωt (mit σ = 0) ist eine Eigenfunktion von LTI-Systemen. Bestimmung des Ausgangssignals (Faltungsintegral): y(t) = h(τ) x(t τ) dτ = h(τ) A x e jω(t τ) dτ (33) = h(τ) e jωτ dτ } {{ } H(jω) A x e }{{ jωt = A } y e jωt (34) x(t) Amplitude des Ausgangssignals: A y = H(jω) A x (35) Der Frequenzgang H(jω) gibt die Veränderung der Amplitude A x beim Durchgang durch das LTI-System in Abhängigkeit von der Kreisfrequenz ω an. Dipl.-Ing. Udo Ahlvers Nachrichtentechnik [NAT] 3-22

23 3.5 Systemeigenschaften Inhalt Berechnung aus der Impulsantwort: H(jω) = h(t) e jωt dt = H(jω) e jϕ(ω) (36) H(jω) Beispiel: RC-Glied ϕ(ω) ω/2π Dipl.-Ing. Udo Ahlvers Nachrichtentechnik [NAT] 3-23

24 3.6 Ausblick Inhalt 3.6 Ausblick Für dieses Semester: Behandlung kontinuierlicher Signale Nächster Termin: Einführung des Frequenzbereichs (FB) Darstellung von Signalen und Systemen im FB Fourier-Reihen Fourier-Transformation Werkzeuge und Rechenregeln Dipl.-Ing. Udo Ahlvers Nachrichtentechnik [NAT] 3-24