Digitale Signalübertragung 3. Übung

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Harry Sachs
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1 Fakultät Elektrotechnik und Informationstechnik Institut für Nachrichtentechnik Vodafone Stiftungslehrstuhl für Mobile Nachrichtensysteme Prof. Dr.-Ing. G. Fettweis Digitale Signalübertragung 3. Übung 3. Optimaler Empfang von NRZ-Impulsen () Für den optimalen Empfang von NRZ-Impulsen (NRZ: No Return to Zero) wird anstelle eines Kurzzeitintegrators (Integrate and Dump, I&D) mit Impulsantwort { /τ t T h KZI (t) = sonst ein RC-Glied benutzt: R S w(t) C S R y(t) τ = R C R C a) Erläutern Sie die Funktionsweise der angegebenen Schaltung! b) Berechnen Sie allgemein den Verlust an Signal/Rauschverhältnis ) SNR db loss = lg ( ( ) RC-Glied Kurzzeitintegrator der durch die unvollkommene Integration eintritt, wobei y(kt) die Amplitude des Nutzsignals zu den Abtastzeitpunkten t = kt und der Effektivwert der vorausgesetzten AWGR-Störung mit der Rauschleistungsdichte N / ist., c) Berechnen Sie den Verlust, wenn für die Impulsdauer T =,7τ gilt. d) Bei welchem Verhältnis T/τ ergibt sich der geringste Verlust an Signal/ Rauschabstand? Lösung: ( ( e b) SNRloss db t/τ ) ) τ, T c) SNRloss db =,4 db, d) T/τ =,56

2 .6 u(t)/a.4. w(t) y KZI (t) y RC (t) t/t Abbildung : Vergleich Kurzzeitintegrator und RC-Glied Lösungsweg: Allgemein gehen wir davon aus, dass zum Zeitpunkt t am Eingang des Kurzzeitintegrators oder des RC-Glieds das Rechtecksignal { A t T w(t) = sonst anliegt. Abbildung zeigt dieses Signal. Das Signal kann durch zwei Sprungsignale (t), (t T) dargestellt werden: w(t) = A (t) A (t T). a) Für t < ist der Kondensator entladen und beide Schalter sind geöffnet. Ab t = wird der Kondensator C über den Widerstand R aufgeladen. Dabei nähert sich die Spannung y RC (t) entsprechend der Exponentialfunktion A( e t/τ ) der Spannung A an. Abbildung zeigt diesen Aufladevorgang. Zum Zeitpunkt t = T wird die Aufladung beendet. Durch Schließen des Schalters S zum Zeitpunkt T wird der Signalwert y[ T] ausgelesen. Bevor der Wert des nächste Impulswert ermittelt werden kann, wird der Kondensator C bei geschlossenen Schalter S über den Widerstand R sehr schnell entladen. b) Kurzzeitintegrator = T h KZI (t) w(t u) du = T τ A du = τ AT

3 = N H KZI (f) df = N h KZI(t) dt }{{} nach Satz von Parseval = N τ T = AT τ N T τ = A T E = N N E = A T ist die Energie des Signals RC-Glied h RC (t) = L { τ } = /τ +s τ e t/τ = = N = N T h RC (t) w(t u) du = H RC (f) df df = N jπfτ + mit πfτ = x und df = dx folgt πτ = N πτ x + dx }{{} arctan(x) = N T τ e t/τ A du = A( e T/τ ) π πτ = N 4τ (πfτ) + df 4τ = A( e T/τ ) N SNR db loss = lg ( ( ) ) RC-Glied Kurzzeitintegrator ( ) τ = lg ( e T/τ ) T Abbildung zeigt die Funktion SNRloss. db c) Für T =,7τ folgt: SNR db loss = lg = lg ( ) ( e,7 ) =,4dB,7 3 A( e T/τ ) A T N 4τ N

4 SNR db loss T/τ 6 Abbildung : Verlust an Signal/Rauschverhältnis d) Ableitung von SNR loss und Bestimmung des Maximalwerts, siehe Abbildung mittels dsnr loss =, mit x = T/τ. dx d SNR loss = d dx dx A( e x ) x = (e x x )e x! = x x Erfüllt, wenn gilt: = e x x x e x = Daraus folgt SNR db loss,max =, 8994 db gültig für x = T τ =, Signalangepasstes Empfangsfilter () In dem in Abbildung 3 gegebenen Datenübertragungssystem werden Impulse empfangen, die das. und. Nyquistkriterium erfüllen. Die Impulsrate beträgt r = /T. Gehen Sie zunächst davon aus, dass die Datenquelle DQ Dirac-Impulse ausgibt. a) Welches SpektrumH(f) müssen die Impulse am Ausgang des EmpfangsfiltersH (f) besitzen? b) Wie lautet die Übertragungsfunktion des EmpfangsfiltersH (f), wenn ein optimaler Empfang mit einem signalangepassten Filter realisiert werden soll? c) Wie lautet die Übertragungsfunktion des Sendefilters H (f), wenn die Datenquelle DQ NRZ-Impulse ausgibt? 4

5 n(t) DQ H (f) H (f) u(t) } {{ } H(f) y(t) Abbildung 3: Datenübertragungssystem Lösungsweg: a). Nyquistkriterium k= H(f k ) = (maximale vertikale Augenöffnung bei T t = kt) ) = cos(πft) (maximale horizontale Augenöffnung bei H(f) = ) Für bandbegrenzte Signale, die beiden Filter verursachen die Bandbegrenzung, werden beide Nyquistkriterien nur durch den RC-Impuls mit α = erfüllt:. Nyquistkriterium k= ( )k H(f k T H(f) = { ( ) H cos π f 4 B N sonst., f B N b) Für signalangepasste Filter (matched filter) gilt: h (t) = h (t t) H (f) = H (f)e jπft H(f) = H (f) H (f) = H (f) da gilt: H (f) = H (f) somit folgt: H (f) = { ) π f H cos( 4 B H(f) = N, f B N sonst. Diese Funktion wird als Root-Raise-Cosine-Funktion (RRC-Funktion) bezeichnet. Abbildung 4 zeigt das Amplitudenspektrum des RRC-Impulses (Sende- und Empfangsfilter) als auch des RC-Impulses (Gesamtsystem). c) Für eine Datenquelle mit NRZ-Impulsen (Impulsbreite T = B N ) gilt entsprechend Übung Reale Eingangsimpulse und Nyquistkriterium H DQ (f) = A T sinc(πft) }{{} symmetrischer Rechteckimpuls e } jπft {{}, Verschiebung um T/ somit ergibt sich für die Übertragungsfunktion H(f) = H DQ (f) H (f) H (f). Für ein signalangepasstes Empfangsfilter gilt nun: H DQ (f) H (f) = H (f). Damit folgt: H (f) = H (f) H DQ (f) = ) f B N, f B sinc(πft) N cos( π H 4, sonst mith = H T A. Abbildung 4 ist dieses Amplitudenspektrum fürh =,6 dargestellt. 5

6 . RC-Impuls ( H(f) ) RRC-Impuls ( H (f), H (f) ideal) H (f) für NRZ-Impulse der Datenquelle f/b N Abbildung 4: Beträge der Übertragungsfunktionen (H =, H =,5) 3.3 Bitfehlerwahrscheinlichkeit () Gegeben ist das folgende Modell einer Datenübertragung im Basisband: n(t) u(t) TP y(t) ˆd(k) u(t) = d(k)h s (t kt), k= y(t) = x(t)+ñ(t), d(k) {,}. Das Sendesignal u(t) ist ein gleichverteiltes, unipolares Binärsignal und wird durch additives, weißes, gaußsches Rauschen (englisch: additive white gaussian noise, AWGN) mit der Leistungsdichte N / gestört. Der Empfangstiefpass besitzt die Übertragungsfunktion H E (f) und gewährleistet ISI-Freiheit. Zu den Abtastzeitpunkten gilt für das unverrauschte Signal x(t), x(t +kt) {,A }. Die Entscheidungsschwelle γ des Komparators liegt bei A /. a) Berechnen Sie allgemein die Bitfehlerwahrscheinlichkeit P b als Funktion des Verhältnisses A / ( = Effektivwert des Rauschsignals am Tiefpassausgang). b) Vergleichen Sie das Ergebnis mit der Bitfehlerwahrscheinlichkeit bei einer Datenübertragung mit gleichverteilten, polaren Impulsen (d(k) {, }, γ = ) und stellen Sie die Funktion P b = f(a /) für beide Fälle graphisch dar. 6

7 Lösung: a) P b = / ( )) ( )) erf( A, b) P b = / erf( A n n Lösungsweg: Für die Verteilungsfuntion eines mit additiven weißen gaußchen Rauschen (AWGN) gestörten Signals gilt: p(y d k ) = e (y E(y d k )) πn n. a) Abbildung 5(a) zeigt die Verteilungsfunktionen für die beiden Signale, sowie die Fläche des zu berechnenden Integrals. Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit P b eine unipolren Binärsignals mit dem Schwellwert γ = A / berechnet sich mit P b = P(d ) = A / A / p(y d ) dy, p(y d ) dy +P(d ) p(y d ) dy A / wenn gilt: P(d ) = P(d ) =. Unter der Bedingung p(y d k) dy = folgt P b = p(y d ) dy }{{} / = / A / πn A / p(y d ) dy e y n dy, mit E(y d ) = mit der Substitution u = y n und dy = n du erhalten wir P b = / A n e u du π ( ( )) A = / erf n b) Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit P b eine polaren Binärsignals mit dem Schwellwert γ = berechnet sich mit P b = P(d ) p(y d ) dy +P(d ) p(y d ) dy 7

8 p.8 p(y d ) p(y d ) Schwellwert.6.4. A A A A y p.8.6 p(y d ) p(y d ) p(y d ) (a) d und d Schwellwert.4. A A (b) d und d A A y Abbildung 5: Bedingte Wahrscheinlichkeitsdichten 8

9 P b P b,unipolar P b,polar lg(a / n ) mit P(d ) = P(d ) = / folgt = Abbildung 6: Bitfehlerwahrscheinlichkeiten p(y d ) dy = A p(y d ) dy, denn p(y d ) entspricht dem um A verschobenen p(y d ), wie in Abbildung 5(b) zu sehen ist. Somit erhalten wir P b = p(y d ) dy = / πn A = / A e y n dy ( ( )) A erf n p(y d ) dy Abschließend sind in Abbildung 6 die Bitfehlerwahrscheinlichkeiten der beiden Übertragungsvarianten dargestellt. Der Abstand zwischen den Funktionen beträgt im mittleren Bereich ca. 6 db. 9

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