Übungen zur Physik II PHY 121, FS 2017

Transkript

1 Übungen zur Physik II PHY 121, FS 2017 Serie 12 Ausbreitungsgeschwindigkeit = propagation speed Lichtstrahl = light ray Laufzeit = propagation time Brechung = refraction Optisch dicht = optically dense Abgabe: muss nicht abgegeben werden Wellengleichung = wave equation Wellenlänge = wave length Strahlengang = ray trace Brechungsindex = refractive index Optisch dünn = optically thin Allgemeine Fragen 1. Was ist eine elektromagnetische Welle? Wie hängt die Ausbreitungsgeschwindigkeit mit dem Medium zusammen? Ist sie transversal oder longitudinal? Wir betrachten die Maxwell schen Gleichungen: D =ρ, (0.1) B =0, (0.2) E = B t, (0.3) H = j + D t. (0.4) Zur Erinnerung D, B, E, H sind zeitlich und räumlich variable Vektorfelder, deren Werte dreidimensionale Vektoren mit den Einheiten A s, T = V s, V m 2 m 2 m, A m sind. Zusätzlich hat man bei linearen, homogenen, isotropen Materialien (Standardvoraussetzungen) die Materialgleichungen D =ɛ 0 ɛ r E, (0.5) B =µ 0 µ r H, (0.6) Kombiniert man die Materialgleichungen mit den Maxwellgleichungen erhält man ɛ 0 ɛ r E =ρ, (0.7) B =0, (0.8) E = B t, (0.9) 1 E B = j + ɛ 0 ɛ r µ 0 µ r t. (0.10) Wir nehmen an, wir wären in einem ungeladenen, nicht stromdurchflossenen Medium, das heisst: ρ = 0, (0.11) j = 0. (0.12) Die Gleichungen 0.9 und 0.10 können kombiniert werden indem 0.9 zuerst mit dem Rotationsoperator umgewandelt wird: ( E) (0.9) = ( B t ) = ( B) (0.10) E = µ 0 µ r ɛ 0 ɛ r t t t. (0.13) 1

2 Aus der Analysis dreidimensionaler (genügend oft stetig differenzierbarer) Vektorfelder kennt man für ein beliebiges Vektorfeld A die Identität ( A) = ( A) A, (0.14) wobei A = 2 A x A y A z 2 der Laplaceoperator für A ist. Damit erhält man aus (0.13) die Gleichung µ 0 µ r ɛ 0 ɛ r 2 E t 2 = ( E) = ( E) E (0.7) = ( 0 ɛ 0 ɛ r ) E = E. (0.15) Benutzt man statt (0.9), (0.10) und (0.7) die Gleichungen (0.10), (0.9) und (0.8), so erhält man eine analoge Gleichung mit vertauschten Rollen von E und B, also zusammen: 1 Mit der Substitution v = µ0µ rɛ 0ɛ r (kurz: e.m.) Wellen: µ 0 µ r ɛ 0 ɛ r 2 E t 2 = E, (0.16) µ 0 µ r ɛ 0 ɛ r 2 B t 2 = B. (0.17) erhält man die bekannten Wellengleichungen für elektromagnetische 2 E t 2 = v2 E, (0.18) 2 B t 2 = v2 B. (0.19) Eine elektromagnetische Welle (im gegebenen Material oder im Vakuum) ist nun eine Lösung beider Gleichungen, deren beide Komponenten E und B so aufeinander abgestimmt sind, dass die Maxwellgleichungen erfüllt sind. Dazu muss nur eine Lösungskomponente, etwa E, gegeben sein, dann kann die andere, hier B, daraus abgeleitet werden (bis auf einen konstanten Offset). Die Kopplung durch die Maxwellgleichungen kann so verstanden werden, dass die räumliche Änderung des einen Feldes gerade eine Veränderung des anderen Feldes in der Zukunft verursacht: die Felder erzeugen sich fortlaufend gegenseitig. Eine spezielle Klasse von Lösungen stellt die Klasse der in Koordinatenrichtungen ( e x und e y ) polarisierten, ebenen e.m.-wellen dar, die sich in z-richtung ausbreiten, wobei k = 2π λ der Betrag des Wellenvektors ist und ω = 2πf die Kreisfrequenz der Welle ist. E 1 = E 0 sin(ωt kz) e x, (0.20) B 1 = B 0 sin(ωt kz) e y, (0.21) sowie E 2 = E 0 sin(ωt kz) e y, (0.22) B 2 = B 0 sin(ωt kz) e x. (0.23) Dabei sind E 0, B 0 die Maximalwerte der Auslenkungen der E- und B-Felder, also die Amplituden. Die erste Welle ist linear polarisiert mit Polarisierung des E-Feldes in x-richtung, die zweite linear polarisiert mit E-Feld-Polarisierung in y-richtung. Ausbreitungsrichtung k, E-Feldvektor und B-Feldvektor bilden ein Rechtssystem, es gilt also in dieser Reihenfolge die Drei-Finger-Regel. Daneben gibt es aber noch weitere Polarisierungsformen, etwa zirkular polarisiert (vgl. Abb. 2). 2

3 Es gilt der Zusammenhang v = ω k = λf = 1 µ0µ rɛ 0ɛ r und man stellt fest, dass dieser Wert die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle in Medien ist. Die Materialkonstanten µ r, ɛ r beeinflussen v. Licht ist eine e.m.-welle, die Vakuumlichtgeschwindigkeit ist also c = 1 µ0ɛ 0 = m s ist exakt so definiert; der Fehler ist 0). (dieser Wert Durch Fourier-Analyse (d.h. Summen und Reihen solcher Lösungen wie eben) und Symmetrien (Drehungen und Verschiebungen in Raum und Zeit) lassen sich alle periodischen e.m.-wellen aus obigen speziellen Lösungen beschreiben. Daneben gibt es auch andere e.m.-wellen die nicht-periodisch sind. Abbildung 1: Ausschnitt entlang der Ausbreitungsachse einer linear polarisierten, ebenen e.m.-welle. Die gezeigten Felder sind nicht zueinander skaliert. Quelle: hebbeker/lectures/ph2_02/p202_l05/img108.gif. Abbildung 2: Ausschnitt entlang der Ausbreitungsachse einer zirkular polarisierten, ebenen em-welle. Rot: E-Feld, blau: B-Feld. Quelle: Für die gezeigten speziellen Wellen gilt, dass die Feldvektoren in x- bzw. y-richtung ausgerichtet sind, während die Ausbreitungsrichtung die z-richtung ist; e.m.-wellen sind also transversale Wellen. Longitudinale Moden können nicht angeregt werden. 2. Was ist der Poynting Vektor? Der nach dem britischen Physiker John Henry Poynting benannte Poynting-Vektor gibt die Richtung des Energieflusses und die Energieflussdichte (= Leistung / Volumen = Leistungsdichte) eines elektromagnetischen Feldes an. Seine Definition ist S = E H (0.24) resp. im Vakuum S = 1 µ 0 E B. (0.25) 3

4 Da bei einer ebenen e.m.-welle im Vakuum das E-Feld und das B-Feld senkrecht zueinander stehen und beide Felder in Phase schwingen gilt B = 1 c E (0.26) wobei beide Feldvektoren senkrecht auf dem Wellenvektor (Ausbreitungsrichtung) k stehen. Setzt man diese Beziehung in die Definition des Poynting-Vektors im Vakuum ein (Kreuzprodukt vereinfacht sich wegen den 90 Winkel) erhält man S = S = 1 µ 0 E B = ɛ 0 ce 2 = I. (0.27) I ist die Strahlungsintensität oder die Leistungsdichte zu einem gegebenen Zeitpunkt und Ort und hat die Einheit [S] = 1 W/m 2. Oft wird auch der zeitliche Mittelwert der Strahlungsintensität, I = S, angegeben. Beachte, dass die Faktoren (z.b. 1/µ 0 ) mit der Beziehung c 2 = 1/(µ 0 ɛ 0 ) umgeschrieben werden können und daher in der Literatur verschiedene Schreibweisen auftauchen. 3. Was ist ein Lichtstrahl in der geometrischen Optik? Nach welchem Prinzip breiten sich Lichtstrahlen aus? In der geometrischen Optik, die eine gültige Theorie darstellt für den Grenzfall von Wellenlängen, die klein gegenüber der transversalen Ausdehnung einer e.m.-welle ist, nimmt man an, dass sich Licht in linearen, homogene Medien entlang stückweise gerader Strahlen ausbreitet. In der geometrischen Optik gelten folgende vier Axiome für Lichtstrahlen: (a) In optisch homogenem Material (Brechungsindex n = konst.) sind die Lichtstrahlen gerade. (b) An der Grenze zwischen zwei linearen, homogenen, isotropen Materialien wird das Licht im Allgemeinen nach dem Reflexionsgesetz reflektiert und nach dem Brechungsgesetz gebrochen. (c) Der Strahlengang ist umkehrbar, ein Lichtstrahl stellt für beide Richtungen einen gültigen Lichtweg dar. (d) Lichtstrahlen (mit nicht zu grosser Intensität) kreuzen einander, ohne sich gegenseitig zu beeinflussen (keine Ablenkung der Strahlen). Lichtstrahlen breiten sich dabei nach dem Fermat schen Prinzip aus. Dieses besagt, dass ein Lichtstrahl, von einem Punkt A ausgesandt, sich immer auf dem Weg zu Punkt B bewegt, auf welchem die Laufzeit minimiert wird. Die ersten beiden Axiome der geometrischen Optik lassen sich aus diesem Prinzip herleiten. 4. Was ist die Bedeutung des Brechungsindex in der geometrischen Optik? Über das Snelius sche Brechungsgesetz bestimmen die Brechungsindizes von aneinandergrenzenden Medien Brechungswinkel (Richtungsänderung) und Reflexionsverhalten. Es gilt nach der Antwort zur Frage 1.: n = c v = µ0 µ r ɛ 0 ɛ r µ0 ɛ 0 = µ r ɛ r. (0.28) Bei zwei Medien mit verschiedenen Brechungsindizes heisst das Medium mit grösserem n das optisch dichtere Medium und entsprechend das andere optisch dünner. 5. Wie lautet das Brechungs- und Reflexionsgesetz in der geometrischen Optik? 4

5 Hat man eine ebene Grenzschicht (siehe Abb. 3) zwischen zwei Materialien M 1 und M 2 mit verschiedenen Brechungsindizes n 1 und n 2 (für feste Wellenlänge), so kommt es nach dem vorher erläuterten Fermat schen Prinzip zu einem Knick der Lichtstrahlen (Einfallswinkel α 1 gegenüber der Flächennormalen). Dabei kann es zu Reflexion (Reflexionswinkel β gegenüber der Flächennormalen) oder Lichtbrechung (Brechungswinkel α 2 gegenüber der negativen Flächennormalen) oder beidem gleichzeitig kommen. Abbildung 3: Ein einfallender Lichtstrahl e wird am optisch dichteren Medium teilweise reflektiert (r) und teilweise gebrochen transmittiert (t). Bei Reflexion im Material M 1 am Material M 2 gilt für die Lichtstrahlen das Reflexionsgesetz α 1 = β, (0.29) bei Brechung vom Material M 1 ins Material M 2 gilt dagegen das Snelius sche Brechungsgesetz n 1 n 2 = sin(α 2) sin(α 1 ). (0.30) Bei der Reflexion vom optisch dünneren Medium am optisch dichteren Medium kommt es zu einem Phasensprung von 180, bei allen anderen Kombinationen (d.h. optisch dünn zu dicht transmitiv, optisch dicht zu dünn transmitiv und reflexiv) bleibt die Phase der e.m. Welle am Übergang erhalten. Definiert man mit den Intensitäten vom einfallenden Strahl I e, vom reflektierten Strahl I r und vom transmittierten Strahl I t den Reflexionskoeffizienten R und den Transmissionkoeffizienten T durch so gilt stets das Gesetz der Intensitätserhaltung R = I r I e, (0.31) T = I t I e, (0.32) R + T = 1. (0.33) 6. Unter welchen Voraussetzungen kommt Totalreflexion zustande? Diskutiere eine Anwendung. Totalreflexion kommt dann zustande, falls keine Brechung erfolgen kann. Dies geschieht dann, wenn der 5

6 Brechungswinkel α 2 den Grenzwert 90 erreicht, also sin(α 2 ) = 1 wird. Der Grenzeinfallswinkel α 1 = α g erfüllt also n1 n 2 = 1 sin(α g) und damit ( ) n2 α g = arcsin. (0.34) Damit dieser Winkel eine definierte, reelle Zahl ist, muss n 2 < n 1 sein, also der Strahl sich nur im optisch dichteren (grösserer Brechungsindex) Material ausbreiten. Trifft dann ein Strahl unter grösserem Winkel als α g auf die Grenzfläche, so kommt es zu Totalreflexion. Eine Anwendung besteht bei Glasfasern (Abb. 4), die mit optisch dünnerem Plastik ummantelt sind. Sie werden in der Telekommunikation zur schnellen Datenübermittlung eingesetzt über das Informationsträgermedium Licht. Durch die Totalreflexion von eingespeisten Lichtsignalen am Plastikmantel geht kaum Licht (Signalstärke) aus der Glasfaser in die Umgebung verloren. n 1 Abbildung 4: Ummantelte Glasfasern als Lichtwellenleiter: wegen Totalreflexion entstehen kaum Intensitätsverluste. Aufgaben 1 Elektromagnetische Wellen [3P] Eine elektromagnetische Welle wird durch E = E 0 sin(ωt kz) e x B = B 0 sin(ωt kz) e y beschrieben. Ferner gelte ω = s 1 und B 0 = 10 6 T. (a) [1P] Handelt es sich hierbei um eine ebene Welle? In welche Richtung pflanzt sich die Welle fort? Ist sie polarisiert? (b) [1P] Wie gross ist E 0? Wie gross ist die Wellenlänge in Meter angegeben? Könnte man die Welle mit dem blossen Auge sehen? (c) [1P] Wie gross ist die Intensität der Welle? Lösung (a) Es handelt sich um eine ebene Welle, denn der Wert von E und B sind nach Betrachtung der gegebenen Funktionsterme offenbar nicht abhängig von x- und y-koordinaten, also hat die Welle auf der x-y-ebene 6

7 zu einem gegebenen z-wert stets einen konstanten Auslenkungswert für E- und B-Felder; diese Ebenen stellen Wellenfronten dar. Wegen der Unabhängigkeit von x- und y-koordinaten setzen wir ab sofort E(t; z) = E(t; x, y, z) Die Welle pflanzt sich in z-richtung fort. Betrachtet man etwa das E-Feld für zwei nahe aneinanderliegende Zeitwerte t 1 und t 2, so erhält man an einem gegebenen z-wert z = z 1 die Auslenkung E(t 1 ; z 1 ) = E 0 sin(ωt 1 kz 1 ) e x. Nun fragt man nach dem nächsten 1 Ort z 2, an dem zum späteren Zeitpunkt t 2 dieselbe Auslenkung auftritt: E(t 2 ; z 2 ) = E(t 1 ; z 1 ) (1.1) = E 0 sin(ωt 1 kz 1 ) e x (1.2) = E 0 sin(ωt 2 ω(t 2 t 1 ) kz 1 ) e x (1.3) = E 0 sin(ωt 2 k(z 1 + ω k (t 2 t 1 ))) e x. (1.4) Also ist z 2 = z 1 + ω k (t 2 t 1 ) > z 1, weil t 2 > t 1 ist. Die Welle breitet sich also in positive z-richtung. Die Welle ist polarisiert: Die E-Felder haben nur Werte in x-richtung und die B-Felder haben nur Werte in y-richtung, die Welle ist also linear polarisiert. Für eine Zeichnung siehe Abb. 1. (b) Es gilt die Beziehung E 0 = cb 0 aus den Maxwellgleichungen. Unter der Annahme, dass sich die e.m. Welle in Vakuum oder Luft ausbreitet, kann die Ausbreitungsgeschwindigkeit gleich der Lichtgeschwindigkeit in Vakuum angenähert werden. Damit ergibt sich: E 0 c 0 B 0 = m s T V m. (1.5) Die Wellenlänge ist λ = c f = 2πc ω 2πc 0 ω = 2π m s s m. (1.6) Mit etwa 20 µm ist die Welle im Infrarotbereich und damit nicht sichtbar. (c) Die Intensität ist das Produkt aus mittlerer Energiedichte (hier in Vakuum) und Ausbreitungsgeschwindigkeit c. In unserem Fall ergibt sich: w = 1 2 (ɛ 0 E 2 + µ 0 H 2 ) = ɛ 0 E 2 (1.7) I ɛ 0 E 2 c 0 (1.8) = 1 2 ɛ 0E 2 mc 0 (1.9) = 1 2 c3 0ɛ 0 Bm 2 (1.10) = 1 ( m ) A s ( T ) 2 (1.11) 2 s V m W m 2. (1.12) 1 Die Bedingung nahe aneinanderliegende und nächster ist notwendig, da eine periodische Welle auch an vielen anderen Orten dieselbe Auslenkung annimmt wegen der Periodizität; es gilt etwa: E 0 sin(ωt 2 k(z 1 + ω k (t 2 t 1 ))) e x = E 0 sin(ωt 2 k(z 1 + ω k (t 2 t 1 ) + 2π k )) ex 7

8 2 Linear polarisiertes Licht [2P] Ein linear polarisierter Lichtstrahl wird durch ein System von zwei polarisierenden Folien geschickt. Die Polarisationsrichtungen der beiden Folien sind relativ zur Polarisationsrichtung des einfallenden Strahles bei θ für die erste Folie und bei 90 für die zweite Folie. Wie gross ist θ, wenn insgesamt 10% der Intensität des einfallenden Lichts durch die beiden Folien geht? Lösung Die Amplitude E 0 z.b. des E-Feldes der Welle nimmt hinter einem Polarisationsfilter, der um θ gegen die ursprüngliche Polarisationsrichtung gedreht ist, ab auf E 0,1 = E 0 cos(θ). (2.1) Nach dem zweiten Polarisationsfilter, der um 90 θ gegen den ersten gedreht sein muss, wird die Amplitude E 0,2 = E 0,1 cos(90 θ) = E 0 cos(θ) cos(90 1 θ) = E 0 sin(2θ). (2.2) 2 Die Intensität einer ebenen e.m.-welle im Vakuum ist gegeben durch I = 1 2 ɛ 0E 2 0c 0. Auflösen nach θ ergibt: ( ) sin(2θ) = (2.3) Als Lösungen ergeben sich: θ {20, 70 } + {n 90 : n Z}. Bis auf Rotationssymmetrie gibt es also 8 verschiedene, mögliche Einstellungen für θ: θ 20, 70, 110, 160, 20, 70, 110, Strahlender Dipol [2P] Der Sendedipol einer Mondlandefähre erzeugt im Abstand r 1 = 500 m senkrecht zur Dipolachse eine harmonische Welle mit der maximalen elektrischen Feldstärke E 1 = 0.4 V/m. (a) [1.5P] Welche magnetische Feldstärke H 1 erhält man senkrecht zur Dipolachse im Abstand r 1 = 500m? Wie gross ist dort die gesamte maximale Energiedichte w 1 und deren zeitlicher Mittelwert w 1? Welchen Betrag des Poynting-Vektors S = E H erhält man? Wie gross ist die mittlere Strahlungsintensität S 1? Welche mittlere Intensität erhält man in 500 m Abstand unter einem Winkel von 45 zur Dipolachse? (b) [0.5P] Der Empfänger benötigt als Mindestfeldstärke E 2 = 0.5 µv/m. Können damit auf der Erde Signale vom Mond empfangen werden (Entfernung Erde-Mond r 2 = km)? Hinweis: In grossem Abstand lautet die elektrische Feldstärke eines Hertz schen Dipols E = µ 0 4πr 2 ( p r) r r (3.1) wobei p = q d den schwingenden Dipol beschreibt. Das magnetische Feld wird gerade B = 1 c E. 8

9 Lösung (a) Da µ = ε = 1 (Vakuum), gilt: H 1 = B 1 /µ 0 = E 1 /(µ 0 c) = A m (3.2) wobei dies die maximale magnetische Feldstärke ist. Wir befinden uns ja in grossem Abstand zur Antenne der Mondfähre, also r l, wobei d die Dimension der Antenne und r der Abstand zur Mondfähre ist. Für die maximale Energiedichte gilt: w 1 = ε 0 2 E2 1 + µ 0 2 H2 1 = J m 3. (3.3) Da sowohl das H- als auch das E-Feld harmonisch in Phase oszillieren, ist die zeitlich gemittelte Feldstärke: wobei der Faktor 1/2 von 2π 0 dt cos 2 (t)/2π = 1/2 kommt. w 1 = w 1 2 = J m 3, (3.4) Für den Poynting-Vektor gilt: S = E H. Da die Felder senkrecht zueinander stehen gilt für den Betrag: S = E 1 H 1 = J. (3.5) m2 s Die gemittelte Strahlungsintensität ist der zeitlich gemittelte Betrag des Poynting-Vektors, folglich gilt S 1 = S /2 = J. (3.6) m2 s Die Intensität der Strahlung eines Hertz schen Dipols hängt mit dem Winkel zur Dipolachse gemäss S sin 2 φ ab. Somit beträgt die Intensität in 500 m Abstand unter einem Winkel von 45 zur Dipolachse: S 1,φ=45 = S 1 sin 2 45 = J. (3.7) m2 s (b) Wie in der Formel in der Aufgabe ersichtlich nimmt die elektrische Feldstärke des Hertz schen Dipols mit 1/r ab. Somit gilt: E 2,eff = r 1 r 2 E 1 = V m, (3.8) was über der Mindestfeldstärke von V/m liegt. Somit können die Signale empfangen werden. 4 Fische unter Seerosenblatt [2P] Ein Fisch will sich unter einem runden Seerosenblatt verstecken (n Wasser = 1.33). In welchem Bereich muss er sich aufhalten, damit er aus der Luft nicht gesehen werden kann (Skizze und Rechnung)? Wir nehmen an, dass der Fisch klein genug ist, dass er sich unter dem Seerosenblatt verstecken kann. 9

10 1). Das Verhältnis vom Winkel im Wasser (γ) zum Winkel in der Luft (α) lässt sich mit den Brechungsindizes (Gesetz von Snellius) berechnen: sinα sinγ = nw n L (7) Lösung Aus der Formel für die Totalreflexion kann der maximale Winkel berechnet werden, bei dem ein Lichtstrahl gerade nicht mehr vom Betrachter gesehen werden kann: sinγ = nl n W = γt R = 48.8 (8) Es werden demnach alle Lichtstrahlen mit einem Winkel γ γ T R an der Wasseroberfläche zurück reflektiert. Damit kann man den Fisch nicht sehen, wenn dieser sich im schraffierten Bereich unter dem Seerosenblatt befindet. Figure 1: Fisch unter Rosenblatt. Links, der Fisch ist sichtbar für den Beobachter. Rechts, der Fisch verschwindet, solange er im grauen Bereich umher schwimmt. Der Fisch muss sich in einem Kegel mit Öffnungswinkel φ = 2γ aufhalten, wobei γ der kritische Winkel für Totalreflexion ist. Befindet 4. [2P] sich Wieder grossfisch muss der innerhalb Krümmungsradius dieses eines Kegels, Hohlspiegels wirdsein, alles damit vom dieser Fisch ein aufrechtes, reflektierte Licht entweder zweifach vergrössertes Bild in 50 cm Abstand vom Beobachter erzeugt? Konstruieren Sie den gegen die Unterseite der Seerose Strahlenverlauf. einfach, oder aber mit einem Winkel gleich oder grösser als der kritische Winkel an der Wasseroberfläche totalreflektiert. Der Fisch ist von aussen unsichtbar. Lösung Abbildung 2 zeigt die gefragte Situation. Es entsteht ( ein) aufrechtes vergrössertes virtuelles Bild des Betrachters hinter dem Spiegel. Für den Abstand nl vom Betrachter zum Bild soll gelten (negatives Vorzeichen für den Bildabstand φ = 2γ = b weil 2 arcsin Bild virtuell ist): n W g + ( b) = g b = 50 cm (9) (4.1) Wenn die kreisrunde Seerose Das Bild einen soll zweifach Radius vergrössert r hat, sein: so hat der kreisrunde Kegel ebenfalls Radius r und Höhe h = r tan(γ) m = B G = b g = 2 (10) r. (4.2) 18. Mai