1.1.1 Konstruktion der ganzen Zahlen, Vertretersystem (nicht-negative und negative ganze Zahlen)

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1 Zahlentheorie LVA C. Fuchs Inhaltsübersicht Inhaltsübersicht Die Zahlentheorie gehört zu den Kerngebieten der Mathematik und steht historisch und thematisch in ihrem Zentrum. Es geht um Zahlen - gemeint sind die ganzen Zahlen - sowie deren Eigenschaften. Nach einer präzisen Einführung der ganzen Zahlen inklusive der algebraischen Operationen und der Ordnung, beschäftigen wir uns mit grundlegenden Eigenschaften: Division mit Rest, ggt und kgv, euklidischer Algorithmus, Primzahlen. Im Anschluß betrachten wir Restklassenringe ganzer Zahlen (Stichwort: Uhrenarithmetik); diese spielen nicht nur als Bausteine bei der Klassifizierung von allgemeineren Objekten eine wichtige Rolle, sondern kommen auch in Anwendungen in der Datensicherheit an prominenter Stelle vor. Insbesondere konzentrieren wir uns auf die Einheitengruppe von Restklassenringen. Am Ende übertragen wir die Resultate auf Polynome; auch sie bilden einen Ring (diese algebraischen Konstrukte bilden in der Vorlesung die gemeinsame Sprache), welcher sich sehr ähnlich dem Ring der ganzen Zahlen verhält. Die Vorlesung behandelt (voraussichtlich) die folgenden Themen: 1. Die ganzen Zahlen 2. Teilbarkeitslehre 3. Restklassenringe 4. Einheiten in Restklassenringen 5. Polynome Bei Fragen oder Bemerkungen (speziell Hinweise auf Fehler aller Art sind willkommen; Tippfehler ausgenommen) schicken Sie ein an clemens.fuchs@sbg.ac.at. 1. Die ganzen Zahlen 1.1 Arithmetik der ganzen Zahlen Konstruktion der ganzen Zahlen, Vertretersystem (nicht-negative und negative ganze Zahlen) e Addition und Multiplikation; Definition und Wohldefiniertheit Satz algebraische Eigenschaften 1

2 1.1.4 Ordnung auf Z inklusive Eigenschaften Subtraktion 1.2 Ringe Definition des Rings Satz Z ist ein kommutativer Ring Eigenschaften in Ringen Vielfache und Potenzen von Ringelementen inklusive Eigenschaften 1.3 e für Ringe Funktionenringe Direkte Produkte Matrizenringe 1.4 Homomorphismen und Unterringe Definition des Homomorphismus Satz φ(0) = 0, φ( a) = φ(a) Mono, Epi, Endo, Iso, Auto, isomorph: R = S Satz id ist der einzige Endo von Z Kern eines Homomorphismus, Idealeigenschaft von kerφ und Homomorphiesatz für Ringe Definition von Unterringen : Unterringe von Z Satz φ(r) ist ein Unterring Unterringkriterium 2. Teilbarkeitslehre 2.1 Division mit Rest Betrag einer ganzen Zahl + Eigenschaften 2

3 2.1.2 Satz Divisionsalgorithmus : 9 = = ( 2)( 4) + 1, 9 = ( 3)4 + 3 = 3( 4) Teilbarkeit, Teiler/Vielfaches, echter Teiler, assoziiert + Eigenschaften von Teilbarkeit Definition des ggt Satz Existenz und Eindeutigkeit des ggt teilerfremd Eigenschaften des ggt; inbesondere das Restegesetz: (a, b) = (a mod b, b) falls b kgv, Eigenschaften, Zusammenhang zu ggt 2.2 Der euklidische Algorithmus Motivierendes : a = 385, b = Satz Euklidischer Algorithmus Satz des ggt) Bezout a, b Z x, y Z: (a, b) = ax+by (idealtheoretische Charakterisierung Erweiterter euklidischer Algorithmus (Berlekamp-Algorithmus) (Fortsetzung von 2.2.1) Erweiterung für a 1,..., a n 2.3 Primfaktorisierung Definition der Primzahlen, Primteiler, P Fermat- und Mersenne-Zahlen, Primzahlrekorde Satz (Lemma Euklid) Fundamentalsatz/Hauptsatz Primfaktordarstellung der Zahlentheorie Satz 5 Beweise Euklid P = Sieb des Erathostenes : Primzahlen Primzahlsatz 3

4 2.3.9 Folgerungen für ggt und kgv 3. Restklassenringe 3.1 Definition und Eigenschaften Kongruenzen mod n Satz Eigenschaften Der Restklassenring mod n Notation Z n : Z Ideale (Bezug zu Aufgaben 3 und 4 am 2. Übungsblatt) Satz Reduktion mod n ist ein Epi Square and Multiply Satz Neunerprobe 3.2 Lineare Kongruenzen Motivierendes Chinesischer Restsatz : x 3(11), x 6(8), x 2(15) Satz Aus n = n i mit n i paarweise teilerfremd folgt Z n = Zni. Spezialfall: Primfaktorzerlegung von n und : Z Modulare Arithmetik : mittels 420 = Einheiten in Restklassenringen 4.1 Einheiten und Nullteiler Lineare Kongruenzen revisited Einheiten mit Eigenschaften 4

5 4.1.3 Inversenberechnung : 5 1 = 5 (mod 5) Nullteiler mit Eigenschaften : Z Anzahl der Einheiten Eulersche φ-funktion : n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, Satz Formel für φ(n) Satz von Euler Satz Fermat Anwendungsbeispiel: p 2, p x p 1 (mod 4) Potenzieren : (13), (17) 4.3 Integritätsbereiche und Körper Einheiten in Ringen mit Eigenschaften Integritätsbereich : Z, Z n ist ein Körper genau dann, wenn n P Körper e: Q, R, C, Z n ist ein Körper genau dann, wenn n P 4.4 Anwendung in der Kryptografie RSA-Verfahren Formaler Beweis der Korrektheit Anforderungen an ein Public-Key-Kryptosystem 5. Polynome 5.1 Polynomring Definition der Polynome Addition und Multiplikation + alg. Eigenschaften Satz R[X] besitzt einen zu R isomorphen Unterring. 5

6 5.1.4 Grad, Führungskoeffizient und Eigenschaften Satz Ist R ein Integritätsbereich, so auch R[X]. Die Einheiten in R[X] sind dann genau die Einheiten von R Assoziiert 5.2 Teilbarkeitslehre Satz Divisionsalgorithmus, mod, div : f = x 3 + 2x 2 + 3x + 1, g = x 2 x Teilbarkeit und Eigenschaften ggt, kgv und Eigenschaften Satz (euklidischer Algorithmus) Satz Bezout 5.3 Nullstellen Polynomabbildungen und Eigenschaften : x p x Z p [x] Auswertungshomomorphismus Nullstelle Wurzelsatz f(α) = 0 genau dann, wenn (X α) f Satz f = (x α 1 ) k1 (x α m ) km g, g K[x], g(α) 0 für α K Satz Jedes Polynom f hat höchstens deg(f) Nullstellen Satz Die Zuordnung Polynom Polynomfunktion ist über unendlichen Körper ein Isomorphismus Ohne Beweis: Fundamentalsatz der Algebra Rationaler Nullstellentest e 5.4 Irreduzible Polynome Irreduzibel e 6

7 5.4.2 Satz (Lemma von Euklid für Polynome) Hauptssatz der Zahlentheorie fü r Polynome Modulares Irreduzibilitätskriterium : f = x 3 + 4x 2 + 8x + 6, p = Polynom-Interpolation Chinesischer Restsatz für Polynome Lagrange sche Interpolationsformel : f( 1) = 1, f(0) = f(1) = 0, f(2) = 5 Literatur 1. K.-H. Zimmermann, Diskrete Mathematik, Books on Demand, 2006, ISBN M. Aigner, Zahlentheorie, vieweg, P. Bundschuh, Einführung in die Zahlentheorie, Springer Verlag, C. Fuchs, Zahlentheorie, Vorlesungsskript, ETH Zürich, A. Leutbecher, Zahlentheorie, Springer, A. Pethő, Algebraische Algorithmen, vieweg,