Lösung Klausur. p(t) = (M + dm)v p(t + dt) = M(v + dv) + dm(v + dv u) Wir behalten nur die Terme der ersten Ordnung und erhalten.

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1 T1 I. Theorieeil a) Zur Zei wird ein Pake der Masse dm mi der Geschwindigkei aus der Rakee ausgesoÿen. Newon's zweies Gesez läss sich schreiben als dp d = F p( + ) p() = F d = Av2 d Der Impuls des Sysems aus Rakee und Treibso bevor und nachdem der Treibso ausgesoÿen wurde is p() = (M + dm)v p( + d) = M(v + dv) + dm(v + dv u) Wir behalen nur die Terme der ersen Ordnung und erhalen Mdv um = Av 2 d M dv = γu Av2 d oder ( + M f γ) v d = γu Av2 Dabei wurde γ für d/dm eingesez b) Dami die Rakee bei konsaner Geschwindigkei bleib, muss dv/d gleich null sein. Also γu = Av 2 0 c) Wenn die Rakee kein Treibso mehr ha, ha sie die Masse und keinen Schub mehr. Somi wird die Gleichung in Teil a) zu dv d = Av2 Diese Dierenialgleichung is separabel und kann Inegrier werden v() v 0 dv v 2 = 0 A 1 v() 1 v 0 = v() = v Av 0 A d 1

2 T2 Für die kineische Energie gil allgemein T = 1 2 mv2 = p2 2m Berache die kineische Energie der einzelnen Massen vor der Kollision. Es gil: und Ti 1 = 1 2 m 1v1 2 = p2 1 = (2p)2 2m 1 2m = 2p2 m Ti 2 = 1 2 m 2v2 2 = p2 2 = 2m 2 2 (2m) = p2 4m Für die gesame kineische Energie vor der Kollision gil also T i = Ti 1 + Ti 2 = 9p2 4m Für die kineische Energie nah der Kollision ergib sich analog: Also insgesam T 1 f = p2 2m, T 2 f = p 2 (2p)2 2 (2m) = p2 m T f = T 1 f + T 2 f = 3p2 2m Der Verlus der kineischen Energie ergib sich nun aus der Dierenz der beiden, also T3 T = T f T i = 3p2 4m Wir suchen die Bewegungsgleichung für das gesame Sysem, welches sich aus den Massen m b und m w zusammensez. Die Gesammasse des Sysem is dami folglich m = m b + m w. Berachen wir zunächs die Kraf die auf die Massen wirken einzeln. Für m w gil: und auf m b F = m w g F = µm b g Die Kraf die folglich auf das Gesamsysem mi der Masse m wirk is ma = g(m w µm b ) a = g(m w µm b ) m a = g(m w µm b ) m w + m b g 2

3 T4 a) Da keine dissipaiven Kräfe wirken, is die Energie des Sysems erhalen. Man kann also die Energieerhalung zum Lösen der Aufgabe ausnuzen. Es gil also: T i = mv2 = mv 2 Aus der Energieerhalung und dem Hook'schen Gesez folg nun mv 2 = 1 2v 2 k x2 x = 2 k 2m m = k v b) Man seze das Resula aus a) ein und erhäl T5 2m F max = k x = k k v = 2mk v Eine Kombinaion aus mindesens einer losen und einer fesen Rolle wird Flaschenzug genann. Die nöige Zugkraf an einem Flaschenzug ergib sich aus der Anzahl der Seilsücke, auf die sich die zu hebende Las vereil. Als ragendes Seilsück wird dabei jedes Seilsück angesehen, das zwischen einer fesen und einer losen Rolle verläuf. Bei n ragenden Seilsücken ergib sich die resulierende Kraf aus F res = 1 n F In diesem Fall hier, is die wirkende Kraf F = Mg. Da es drei ragende Seilsücke gib, folg für die resulierende Kraf F res = 1 3 F = Mg 3 T6 Verikal: Da sich der Block nich nach oben oder unen bewegen soll gil Horizonal: Es gil N = m 1g cos θ m 1 g = N cos θ m 1 a = N sin θ a = g an θ N 2 = N cos θ + m 2 g N 2 + F N sin θ = m 2 a F = m 2 a + N sin θ + N 2 µ K = m 2 g an θ + N sin θ + (N cos θ + m 2 g)µ K = m 2 g(µ K + an θ) + N(sin θ + µ K cos θ) = m 2 g(µ K + an θ) + m 1 g(µ K + an θ) = (m 1 + m 2 )g(mu K + an θ) 3

4 R1 a) Wellenlänge λ = 2 m Periodendauer T = 0, 4 s Ausbreiungsgeschwindigkei v = λ T = 5m/s Ampliude=0,1m b) y = A sin(kx ω) c) dy = Aω cos(kx ω) d v max = Aω = 1, 57m/s R2 a) K i = 1 2 Iω2 = 1 ( ) 2π 2 MR2 = 33000J T b) c) Es gil auÿerdem τ = µ K F R ω 0I L = Iω = 6300 kgm2 s 0 = ω 0 τ I τ = ω 0I = µ K F R F = ω 2π 0I µ K R = T MR2 µ K R 4

5 d) τ = ω 0I = 2π T MR2 = 630Nm e) W = KE = 33000J R3 a) Für die Lösung dieser Aufgabe kann die Koninuiäsgleichung verwende werden, also A 1 v 1 = A 2 v 2 Dann berechne man die Fläche am Rohranfang, also A 1 = πr 2 1 = π(0.01m)2. Analog berechne man die Fläche an der Engselle, also A 2 = πr 2 2 = π(0.0075m)2. Der Volumendurchsaz im Rohr is demnach Es gil: dv = v 1 A 1 d v 1 = dv d = Für die Geschwindigkei an der Engselle gil 90L 1 min = m 3 60s dv A 1 d v 1 = m s π(0.01m) 2 v 1 = 4.77 m s A 1 v 1 = A 2 v 2 v 2 = A 1v 1 A 2 = π(0.01m)2 4.77m/s π(0.0075m) 2 = 8.48 m s b) Für die Lösung dieser Aufgabe kann die Bernoulli-Gleichung verwende werden. Diese laue hier: p ρv2 1 = p ρv2 2 p 2 = p (ρv2 1 ρv 2 2) R4 Der Druck am Beginn der Röhre berechne sich zu p 1 = 3bar = P a. Dami folg: p 2 = P a E mech = K i + V i = K f + V f Φ + Φ = Φ mg(h + s) K s2 F = 5N = K s s = F max K ( Φ = mg H + F ) max + 1 ( k 2 K Fmax k ) 2 F 2 max = mhhk mgf max F max 2 K = F max H mgh = 2, 9N/m 5

6 R5 a) h = 1 2 g2 2h = = 10, 1S g b) an Φ = v 0 1 = 2v 0 2 g2 g Φ = 0, 84 = 1, 11 c) v = v 2 + v2 h = (g 2 ) + v0 2 = 113m/s R6 a) n 0 is die exerne Kraf in x-richung p i = p f 2(m 1 + m 2 ) = 2m 1 + v 2f m 2 v 2f = 4m 1 + 2m 2 m 2 = 3m/s b) 1 2 K x2 = K = K f K i = 1 2 m 2v 2 2f m 1v 2 1f 1 2 (m 1 + m 2 )v 2 i = 0, 02m 6