Reguläre Sprachen und endliche Automaten

Transkript

1 2 Reguläre Sprchen und endliche Automten Sei Σ = {, b,...} ein endliches Alphbet. Ein endliches Wort über Σ ist eine Folge w = 0... n 1, wobei i Σ für i = 0,...,n 1. Wir schreiben w für die Länge von w, lso n in diesem Fll, und w(i) für ds i-te Symbol i von w. Ds leere Wort, lso die Folge der Länge 0, wird mit ǫ bezeichnet. Σ bezeichnet die Menge ller Wörter über Σ und Σ + die Menge ller nichtleeren Wörter über Σ. Die Konktention zweier Wörter w und v entsteht durch Anhängen der Folge v n die Folge w und wird mit wv bezeichnet. Eine Sprche ist eine Menge von Wörtern, lso eine Teilmenge L Σ. Somit sind lle üblichen, mengentheoretischen Opertionen wie Vereinigung, Schnitt, Komplement, Differenz, etc. uch Opertionen uf Sprchen. Ds Komplement einer Sprche L bezeichnen wir üblicherweise mit L, und es ist definiert ls Σ \ L. Andere wichtige Opertioen uf Sprchen sind Konktention und Kleene- Abschluss (Kleene-Stern). Sind L 1 und L 2 zwei Sprchen, so ist deren Konktention die Sprche L 1 L 2 := {w 1 w 2 w 1 L 1, w 2 L 2 }, die lso durch Konktention beliebiger Wörter us L 1 mit beliebigen Wörtern us L 2 entsteht. Ist L eine Sprche, dnn ist ihr Kleene-Abschluss die Sprche L := {w 1... w n n N, w i L für lle i = 1,...,n}. Diese entsteht lso durch beliebig, ber nur endlich, oft wiederholte Konktention der Sprche mit sich selbst. Bechte, dss ǫ L für jedes L Σ gilt, denn uch n = 0 ist in der Definition des Kleene-Abschlusses zugelssen. Anders gesgt gilt für lle L Σ : L 0 := {ǫ} L i+1 := LL i L := i N L i Eine Klsse von Sprchen, für die wir uns hier insbesondere interessieren, ist die der regulären Sprchen über dem Alphbet Σ, bezeichnet mit REG Σ. Knn Σ us dem Kontext erknnt werden, so schreiben wir uch einfch nur REG. Sie ist definiert ls die kleinste Klsse von Sprchen, für die gilt:

2 6 2 Reguläre Sprchen und endliche Automten 1. REG Σ, {ǫ} REG Σ und {} REG Σ für jedes Σ, 2. wenn L 1, L 2 REG, dnn L 1 L 2 REG, L 1 L 2 REG und L 1 REG. Hier bedeutet kleinste Klsse, dss keine Sprche, die nicht durch (1) oder (2) bgedeckt ist, zu REG gehört. Dies ist gleichbedeutend dmit, dss eine Sprche nur dnn zu REG gehört, wenn sie entweder von einer in (1) gennnten Form ist, oder ber sich lut (2) us einer oder zweien Sprchen zusmmensetzt, von denen bereits beknnt ist, dss sie zu REG gehören. Noch nders gesgt: Jede reguläre Sprche lässt sich durch Anwenden von nur endlich vielen Opertionen, die in (2) gennnt sind, us den Sprchen, die in (1) gennnt sind, erzeugen. Mn sieht z.b. leicht, dss jede endliche Menge von Wörtern eine reguläre Sprche bildet, d sich jede Sprche, die nur ein Wort enthält durch endlich viele Konktentionen von Sprchen der Form {} bilden lässt. Eine Sprche mit endlich vielen Wörtern lässt sich dnn leicht ls endliche Vereinigung beschreiben. Bechte, dss die Klsse der regulären Sprchen nicht unter unendlichen Vereinigungen bgeschlossen ist, denn dnn wäre j jede Sprche regulär, d sich jede Sprche ls unendliche Vereinigung der Einermengen ihrer Wörter schreiben lässt. Der Punkt (2) in der Definition von REG bedeutet, dss REG bgeschlossen ist unter den Opertionen Vereinigung, Konktention und Kleene- Itertion. REG ist drüberhinus noch bgeschlossen unter einer gnzen Menge nderer Opertionen, u.. unter ll den üblichen mengentheoretischen Opertionen. Dies ist jedoch für den Schnitt und ds Komplement nicht unbedingt offensichtlich us der Definition. Um solche Abschlusseigenschften zu beweisen, brucht mn in der Regel ndere Chrkterisierungen der regulären Sprchen. Diese sind uch nötig, um reguläre Sprchen repräsentieren und verrbeiten zu können, d es sich bei Sprchen im Allgemeinen um unendlich große Mengen hndelt. Wir behndeln im folgenden drei solcher Chrkterisierungen: reguläre Ausdrücke, nicht-deterministische endliche Automten, deterministische endliche Automten. Definition 1. Die Syntx von regulären Ausdrücken über dem Alphbet Σ ist die Folgende. α ::= ǫ αα α α α wobei Σ. In nderen Worten: Es gibt die tomren, regulären Ausdrücke, ǫ und für jedes Σ, und reguläre Ausdrücke lssen sich us denen durch Verwendung der zweistelligen Symbole für Vereinigung und Konktention (hier lediglich durch Hintereinnderschreiben bezeichnet) sowie des einstelligen Stern-Symbols zusmmensetzen. Die Größe α eines regulären Ausdrucks α ist definiert, ls die Zhl der in ihm enthltenen Symbole ohne Klmmern, lso z.b.: (b c) = 5. Jedem regulären Ausdruck α wird induktiv über seinen Aufbu eine Sprche L(α) über Σ zugeordnet.

3 2 Reguläre Sprchen und endliche Automten 7 L( ) := L() := {} L(ǫ) := {ǫ} L(αβ) := L(α)L(β) L(α β) := L(α) L(β) L(α ) := (L(α)) Wir benutzen uch die Abkürzung α + := αα. Theorem 1. Für lle Sprchen L gilt: L is regulär gdw. es einen regulären Ausdruck α gibt mit L = L(α). Mn bechte, dss verschiedene reguläre Ausdrücke durchus die gleiche Sprche definieren können. Zum Beispiel ist L(α 1 ) = L(α 2 ) für lph 1 := (b) (b) und α 2 := ǫ (ǫ (b) bb(b) )b über dem Alphbet Σ = {, b}. Die Frge, ob zwei reguläre Ausdrücke dieselbe Sprche definieren lässt sich nhnd der syntktischen Struktur der Ausdrücke nur mühsm erkennen. Chrkterisierungen der regulären Sprchen mit Automten, die wir nunmehr einführen, erluben die lgorithmische Bentwortung solcher Frgen uf recht direkte Weise. Definition 2. Ein nicht-deterministischer Automt (NFA) ist ein Tupel A = (Q, Σ, q I, δ, F) mit endlicher Zustndsmenge Q, Eingbelphbet Σ, Strtzustnd q I Q, Trnsitionsfunktion δ : Q Σ 2 Q, Endzustndsmenge F Q. Ein Luf eines NFA A uf einem Wort w = 0... n 1 ist eine Folge q 0... q n, so dss q 0 = q I und für lle i = 0,...,n 1 gilt: q i+1 δ(q i, i ). Der Luf heißt kzeptierend, flls q n F. Sei L(A) := {w Σ es gibt einen kzeptierenden Luf von A uf w} die von A erknnte Sprche. Ein NFA A heißt deterministisch (DFA), flls für lle q Q und lle Σ gilt: δ(q, ) = 1. In diesem Fll schreiben wir uch einfch δ(q, ) = p sttt δ(q, ) = {p}. NFAs lssen sich m einfchsten ls knten-beschrifteter Grph drstellen. Die Zustände bilden die Knoten, die Zustndsübergngsfunktion δ wird durch Knten in dem Grph repräsentiert. Ist q δ(q, q) für einen Zustnd q und ein Alphbetsymbol, so wird eine Knte von q nch q mit Beschriftung gezogen. Normlerweise wird der Anfngszustnd durch eine von nirgendwoher eingehende und unbeschriftete Knte gekennzeichnet und Endzustände durch einen Doppelkreis usgezeichnet. Beispiel 1. Sei A der folgende NFA.

4 8 2 Reguläre Sprchen und endliche Automten b b b b b b b b b Dnn gilt L(A) = () ( b ( b() b() ) + b b ( () b() b ) b ) () Mit nderen Worten: L besteht us der Menge ller Wörter, in denen der Buchstbe nur in Blöcken gerder Länge vorkommt und die entweder ein b, oder eine ungerde Anzhl 3 oder eine gerde Anzhl 2 des Buchstben b enthlten. Diese Sprche lässt sich uch einfcher beschreiben: L(A) = () b ( () b). Außerdem gilt L(A) = L(A ) für den folgenden NFA A. b b Viele der Opertionen, unter denen die Klsse der regulären Sprchen bgeschlossen ist, lssen sich ebenflls uf NFAs usführen, welches die folgenden Lemmt besgen. Wir zeigen exemplrisch die Konstruktion für den Kleene-Stern, die nderen sind Übungen. Lemm 1. Seien A i zwei NFAs für i = {1, 2}. Dnn existieren NFAs A und A ;, sodss L(A ) = L(A 1 ) L(A 2 ) und L(A ; ) = L(A 1 )L(A 2 ). Beweis. Übung. Lemm 2. Sei A ein NFA. Dnn existiert ein NFA A, sodss L(A ) = L(A).

5 2 Reguläre Sprchen und endliche Automten 9 Beweis. Sei A = (Q, Σ, q I, δ, F) und q I ein neuer Zustnd, der nicht in Q enthlten ist. Wir geben zuerst die Konstruktion von A n und beweisen dnn, dss dieser NFA die gewünschte Sprche erkennt. A := (Q {q I}, Σ, q I, δ, F {q I}) wobei für lle Σ und lle q Q {q I }: δ(q I, ), flls q = q I δ (q, ) := δ(q, ) δ(q I, ), flls q F δ(q, ), flls q Q \ F Wir beobchten, dss ein Zustnd in A lso dieselben Trnsitionen wie derselbe Zustnd in A ht mit dem Unterschied, dss Endzustände zusätzlich noch die Trnsitionen des ursprünglichen Anfngszustnd hben. Der neue Anfngszustnd ist eine Kopie des lten Anfngszustnds, der ber von keinem nderen Zustnd us erreichbr ist. Es bleibt zu zeigen, dss L(A ) = L(A) gilt. Für den -Teil nehmen wir n, dss w L(A ) für ein w = 1... n Σ gilt. Also existiert ein kzeptierender Luf q I, q 1,...,q n uf w. Aus obiger Beobchtung folgt sofort, dss es i 0, i 1,...,i m gibt, sodss i 0 = 0, i 0 < i 1... < i m, i m = n, für lle j = 1,..., m ist q ij 1,...,q ij ein kzeptierender Luf von A uf ij ij. Somit ist w L(A). Für den -Teil sei w L(A). Flls w = ǫ, so gilt w L(A ), d der Anfngszustnd von A uch Endzustnd ist. Sei w ǫ. Also existiert eine Zerlegung w = v 0...v k, sodss v i ǫ und v i L(A) für lle i = 0,...,k. Wir zeigen nun durch Induktion über k, dss v 0... v k L(A ) gilt. Im Induktionsnfng ist k = 0, d.h. w = v 0. D v 0 L(A) gibt es einen kzeptierenden Luf q 0, q 1,..., q m von A uf v 0 mit q m F. D v 0 ǫ gilt m 1. Jetzt ist ber q I, q 1,...,q m uch ein kzeptierender Luf von A uf v 0, d der neue Anfngszustnd q 0 dieselben Trnsitionen wie der lte q 0 ht und q m uch weiterhin Endzustnd in A ist. Sei nun k > 0 und v 0... v k 1 L(A ), d.h. es gibt einen kzeptierenden Luf q I, q 1,...,q m von A uf v 0... v k 1. D v k L(A) gibt es uch einen kzeptierenden Luf von p 0,..., p l von A uf v k. Insbesondere gilt p 0 = q I, p l F und l 1, d v k ǫ. Dnn ist ber q I, q 1,...,q m, p 1,..., p l ein kzeptierender Luf von A uf v 0... v k, denn es gilt p 1 δ (q m, v k (0)), d p 1 δ(q I, v k (0)). Theorem 2. Wird L von einem regulären Ausdruck α beschrieben, so wird L uch von einem NFA A erknnt, sodss A = O( α ) gilt.

6 10 2 Reguläre Sprchen und endliche Automten Wir überlssen ds genue Führen dieses Beweises ls Übungsufgbe. Die Konstruktion eines NFAs knn induktiv über den Aufbu regulärer Ausdrücke erfolgen, wobei der Induktionsschritt die obigen Lemms benutzt. Mn bechte jedoch, dss Aussge über die Größe des NFAs zu schwch ist, um durch Induktion bewiesen zu werden: Es gilt zwr z.b. O(n) + O(n) = O(n); wenn mn ber eine Anzhl von Termen der Form O(n) ddiert, die wiederum selbst von n bhängt, so ist die Summe im llgemeinen nicht mehr liner in n. Die Umkehrung des obigen Stzes gilt ebenflls, llerdings brucht mn dzu z.b. ds Arden sche Lemm. Lemm 3. Seien U, V Σ Sprchen, sodss ǫ U, und L Σ eine Sprche, sodss L = UL V. Dnn gilt L = U V. Den Beweis stellen wir wieder ls Übungsufgbe. Dieses Lemm ist ds Werkzeug mit dem sich für die von einem NFA beschriebene Sprche ein regulärer Ausdruck finden lässt. Der Trick dbei ist, einen NFA mit n Zuständen ls rekursives Gleichungssystem mit n Gleichungen zu betrchten, welches mn sukzessive durch Anwendung des Arden schen Lemms lösen knn. Theorem 3. Wird L von einem NFA mit n Zuständen erknnt, so gibt es uch einen regulären Ausdruck α, der L beschreibt, sodss α = O( A ) gilt. Beweis. Sei L = L(A) für einen NFA A = (Q, Σ, q I, δ, F). O.B.d.A. nehmen wir n, dss Q = {0,..., n 1} und q I = 0 gilt. Für jedes i = 0,..., n 1 definieren wir nun die Sprche X i bestehend us ll den Wörtern, für die es einen in i beginnenden kzeptierenden Luf in A gibt. Formell lso X i = L(Q, Σ, i, δ, F). Bechte, dss L = X 0. Diese Sprchen genügen nun dem folgenden Gleichungssystem: X i = ( { ) {ǫ}, flls i F {}X j, sonst Σ j δ(i,) Mithilfe von offensichtlichen Trnsformtionen und sukzessiver Anwendung des Arden schen Lemms können nun reguläre Ausdrücke für die X i und somit uch für L selbst bestimmt werden. Als Beispiel betrchten wir: 1 0 b b 3 2 Ds Gleichungssystem lutet (wir lssen Mengeklmmern bei Einermengen weg):

7 Einsetzen von IV in III liefert lso Einsetzen von VI und II in I liefert 2 Reguläre Sprchen und endliche Automten 11 X 0 = X 1 bx 2 (I) X 1 = X 0 (II) X 2 = X 3 bx 0 {ǫ} (III) X 3 = X 2 (IV) X 2 = X 2 bx 0 ǫ (V) X 2 = () (bx 0 ǫ) (VI) X 0 = X 0 b() (bx 0 ǫ) X 0 = ( b() b)x 0 b() X 0 = ( b() b) b() wobei sich die zweite Gleichung durch Vereinfchung und die dritte Gleichung wiederum mit dem Arden schen Lemm ergibt. Diese beinhltet den gesuchten regulären Ausdruck. Theorem 4. Wird eine Sprche L von einem NFA mit n Zuständen erknnt, so wird L uch von einem DFA mit höchstens 2 n vielen Zuständen erknnt. Beweis. Sei L = L(A) für einen NFA A = (Q, Σ, q 0, δ, F). Dnn sei P := (2 Q, Σ, {q 0 },, F ) wobei für jedes S Q und jedes Σ. (S, ) := q S δ(q, ) und F := {S Q F S }. Mn bechte, dss P in der Tt ein DFA ist: Vom Zustnd S erreicht mn unter Lesen von genu einen Zustnd, uch wenn die Trnsitionsfunktion hier ls Vereinigungsmenge geschrieben ist. Zustände sind llerdings Mengen von Zuständen us A, weswegen solch eine Vereinigungsmenge einen Zustnd drstellt. Es bleibt zu zeigen, dss L(P) = L(A) gilt. Für die -Richtung existiere ein kzeptierender Luf q 0,..., q n von A uf einem Wort w = 0,..., n 1. D P deterministisch ist, existiert ein eindeutiger Luf S 0,..., S n von P uf w. Es gilt offensichtlich q 0 S 0, d S 0 = {q 0 }. Drüberhinus wird die folgende Invrinte für lle i = 0,...,n 1 bewhrt: Ist q i S i, so ist q i+1 S i+1. Dies ist der Fll, weil q i+1 δ(q i, i ) für lle diese i gilt. Somit gilt letztendlich uch q n S n, und d q n F uch F S n, weswegen S 0,...,S n ein kzeptierender Luf von P uf w ist. Für die -Richtung sei S 0,..., S n ein kzeptierenden Luf von P uf einem Wort w = 0... n 1. Flls n = 0, lso w = ǫ, so muss S 0 F gelten, ws ber q 0 F bedeutet, weswegen A uch w kzeptiert.

8 12 2 Reguläre Sprchen und endliche Automten Sei lso n > 0. Bechte, dss jeder A-Zustnd q in einem S i in gewissem Sinne mit einem q S i 1 verbunden ist: Für jedes i = 1,...,n und jedes q S i existiert ein q S i 1, sodss q δ(q, i 1 ). Dies ist eine sofortige Konsequenz us der Definition von. Dies bedeutet ber uch, dss sich für jedes i = 1,..., n und jedes q S i ein Luf von A uf dem Wort 0... i 1 konstruieren lässt, der in q endet. D S n F, gibt es ein q S n mit q F. Die Anwendung dieser Beobchtung uf dieses q und i = n liefert dnn einen kzeptierenden Luf von A uf w. D jeder DFA uch ein NFA per Definition ist, folgt lso, dss NFAs, DFAs und reguläre Ausdrücke lle genu die regulären Sprchen erkennen bzw. beschreiben. Korollr 1 (Kleene). Die folgenden Aussgen sind für eine beliebige Sprche L lle äquivlent. L REG Es gibt einen regulären Ausdruck α mit L = L(α). Es gibt einen NFA A mit L = L(A). Es gibt einen DFA A mit L = L(A). Eine wichtige Konsequenz us der Ttsche, dss DFAs usreichen, um reguläre Sprchen zu beschreiben, ist der Komplementbschluss der Klsse der regulären Sprchen. Bechte, dss zu einem gegebenen regulären Ausdruck α nicht ohne weiteres ein regulärer Ausdruck ᾱ gefunden werden knn, sodss L(ᾱ) = L(α) := Σ \ L(α). Dsselbe gilt für NFAs, d ds Komplementieren us der existenziellen Quntifizierung über Läufe eine universelle Quntifizierung mchen würde. Diese knn ber i.a. nicht wieder ls existentielle Quntifizierung beschrieben und somit mit einem NFA erknnt werden. D DFAs ber uf einem gegebenen Wort jeweils einen eindeutigen Luf ht, sind bei diesem Automtenmodell die Aussgen es gibt einen Luf uf w und für lle Läufe uf w äquivlent. Theorem 5. Für lle L Σ gilt: L REG L REG. Beweis. Sei L REG. Lut Stz 1 existiert dnn ein regulärer Ausdruck α mit L = L(α). Lut Stz 2 lässt sich drus ein NFA A konstruieren, sodss ebenflls L(A ) = L(α) = L gilt. Nch Stz 4 lässt sich dieser per Potenzmengenkonstruktion in einen äquivlenten DFA A umwndeln. Es gilt lso uch L(A) = L. Sei nun A = (Q, Σ, q 0, δ, F). Definiere A := (Q, Σ, q 0, δ, Q \ F). Es bleibt zu zeigen, dss L(A) = L(A) gilt. Für die -Richtung nehmen wir n, dss w L(A) gilt für ein beliebiges w Σ. D A deterministisch ist, gibt es einen eindeutigen Luf q 0,..., q n von A uf w, sodss q n Q \F. Bechte, dss Q \F die Endzustände von A sind. D A und A ber dieselben Anfngszustände und Trnsitionsfunktion hben,

9 2 Reguläre Sprchen und endliche Automten 13 ist q 0,...,q n uch ein Luf von A uf w. Dieser endet ber in einem Nicht- Endzustnd bzgl. A. D ein DFA höchstens einen Luf uf einem gegebenen Wort hben knn, gibt es keinen kzeptierenden Luf von A uf w, und somit gilt w L(A) bzw. w L(A). Für die -Richtung benutzen wir die -Richtung. Bechte, dss A wiederum ein DFA ist, für den dnn uch die -Richtung, lso L(A) L(A) gelten muss. D F Q gilt uch Q\(Q\F) = F. Ds bedeutet einfch, dss zweiml Komplementieren wieder den lten Automten herstellt, lso A = A, worus L(A) L(A) folgt. Dies ist ber äquivlent dzu, dss L(A) L(A) = L(A) gilt, ws noch zu beweisen wr. Somit ist A uch ein NFA und nch den Sätzen 3 und 1 ist L(A) = L uch eine reguläre Sprche. Sei L lso eine reguläre Sprche L, die von einem NFA mit n Zuständen erknnt wird. Dnn lässt sich zwr prinzipiell ein DFA für diese Sprche und dmit uch für L konstruieren. Die Anzhl seiner Zustände ist im llgemeinen ber exponentiell in n, d.h. sie knn nur durch 2 n nch oben bgeschätzt werden. Mn knn sogr zeigen, dss dies optiml ist, d.h., dss es Sprchen L n, n N gibt, die von einem NFA mit n+1 Zuständen, ber nicht von einem DFA mit weniger ls 2 n Zuständen erknnt werden. Bechte, dss ds Verfhren im obigen Beweis so präsentiert ist, dss der resultierende DFA immer 2 n Zustände ht. Dies lässt sich jedoch verbessern, indem mn nur den Teil des DFA konstruiert, der vom Anfngszustnd {q 0 } us erreichbr ist. In den meisten Fällen erhält mn so einen DFA mit wesentlich weniger ls 2 n Zuständen. Drüberhinus knn der entstndene DFA noch durch Zusmmenfssung ununterscheidbrer Zustände minimiert werden. Hierbei sind stets Endzustände von Nicht-Endzuständen unterscheidbr und ußerdem sind rekursiv q 1, q 2 unterscheidbr, wenn es ein Symbol gibt, sodss δ(q 1, ) und δ(q 2, ) unterscheidbr sind. Für Detils zu dieser Prozedur verweisen wir uf die Litertur, z.b. [?]. Zum Abschluss dieses Kpitels betrchten wir noch die lgorithmische Hndhbbrkeit der regulären Sprchen. Dzu definieren wir zwei Entscheidungsprobleme. Ds Leerheitsproblem für reguläre Sprchen ist ds folgende. Gegeben ist eine reguläre Sprche L in der Form eines regulären Ausdrucks, NFAs oder DFAs, entscheide, ob L = ist. Ds Wortproblem für reguläre Sprchen ist: Gegeben eine reguläre Sprche L wie zuvor sowie ein Wort w Σ, gilt w L? Ersteres ist im Grunde ds wichtigste Entscheidungsproblem für reguläre Sprchen, d sich viele ndere Frgen so uch z.b. ds Wortproblem uf dieses zurückführen lssen. Bevor wir zeigen, dss diese beiden Probleme entscheidbr sind, mchen wir noch zwei Bemerkungen. Erstens knn die Komplexität solcher (oder ähnlicher) Entscheidungsprobleme ntürlich von

10 14 2 Reguläre Sprchen und endliche Automten der Art und Weise, wie L repräsentiert ist, bhängen. Zweitens interessiert mn sich oft für komplementäre Probleme. So will mn z.b. wissen, ob ein gegebener NFA eine nicht-leere Sprche beschreibt. Genu genommen hndelt es sich dbei um ds Nicht-Leerheitsproblem. Im folgenden werden wir diese beiden ber nicht weiter unterscheiden. Der Grund dfür ist, dss wir bei solchen Entscheidungsverfhren meistens n deterministischen Verfhren interessiert sind, und bei solchen mcht es prinzipiell keinen Unterschied, ob mn ds gegebene Problem oder sein Komplement löst. Theorem 6. Ds Leerheitsproblem für NFAs mit n Zuständen lässt sich in Zeit O(n) lösen. Beweis. Sei A = (Q, Σ, q 0, δ, F) mit Q = n. Mn knn A ls gerichteten und kntenbeschrifteten Grphen mit Knotenmenge Q und Kntenreltion q q gdw. q δ(q, ), uffssen. Mithilfe einer Breiten- oder Tiefensuche, die lle von q 0 us erreichbren Zustände mrkiert, lässt sich in Zeit O(n) feststellen, ob es einen Zustnd q F gibt, welcher von q 0 us erreichbr ist. Ist dies der Fll, so ist L(A), denn der Pfd von q 0 nch q beschreibt einen kzeptierenden Luf von A uf dem Wort, welches durch Konkntention der einzelnen Kntenbeschriftungen entlng dieses Pfdes entsteht. Wird in der Suche kein Endzustnd mrkiert, so muss L(A) = sein, dnn kein Luf von A uf irgendeinem Wort knn in einem Endzustnd enden. Ein Entscheidungsverfhren für reguläre Sprchen, die durch reguläre Ausdrücke gegeben sind, erhält mn dnn z.b. durch Vorschlten der Konstruktion us Stz 2. Ds Wortproblem ist ebenflls entscheidbr. Mn knn im Prinzip ein ähnliches Verfhren verwenden, in dem der NFA A wieder ls gerichteter Grph ufgefsst wird. Allerdings wird dieser so modifiziert, dss nur noch Pfde vom Anfngszustnd us existieren, deren Beschriftung genu ds Eingbewort w ergibt. Dies ist jedoch nicht gnz trivil, d solche Pfde Schleifen bilden können, wobei mn ufpssen muss, dss der entstehende Grph nicht einen NFA drstellt, welcher ufgrund der Schleifen mehr erkennt ls nur ds Wort w. Allgemein konstruiert mn zuerst einen NFA A w, dessen Sprche genu {w} ist. Dies ist leicht mit w + 1 vielen Zuständen möglich. Dnn benutzt mn den Abschluss der regulären Sprchen unter Durchschnitt (siehe Aufgbe 7 unten), um einen NFA zu erhlten, der die Sprche L(A) {w} erkennt, welchen mn dnn mit obigen Verfhren us Leerheit testet. Insgesmt ist dies in Zeit O(n w ) möglich, flls A genu n Zustände ht. Theorem 7. Die folgenden Probleme sind für reguläre Sprchen L, L und Wörter w Σ entscheidbr. 1. Ds Wortproblem: Gegeben w und L, gilt w L? 2. Ds Leerheitsproblem: Gegeben L, ist L =? 3. Ds Universlitätsproblem: Gegeben L, ist L = Σ? 4. Ds Schnittproblem: Gegeben L, L, ist L L =?

11 2 Reguläre Sprchen und endliche Automten Ds Äquivlenzproblem: Gegeben L, L, ist L = L? 6. Ds Inklusionsproblem: Gegeben L, L, ist L L? Beweis ls Übung.

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13 3 Spiele Spiele sind ein wesentliches Hilfsmittel bei der Betrchtung logischer und utomtentheoretischer Probleme. Solche lssen sich oft spieltheoretisch chrkterisieren. Dbei hndelt es sich um nichts nderes ls eine Reduktion. Ein Entscheidungs- oder Berechnungsproblem L 1 wird in ein nderes L 2 eingebettet, so dss ein Algorithmus zum Entscheiden oder Lösen von L 2 uch für L 1 verwendet werden knn. Ds llgemeinere Problem L 2 ist in vielen Fällen dnn ds Problem, ein gegebenes Spiel zu lösen. In diesem Kpitel erklären wir zunächst, wie mn Spiele formlisieren knn, um sie dnn ls solch ein generisches Hilfsmittel zum Lösen nderer Probleme zu benutzen, und ws es überhupt heißt, ein Spiel zu lösen. Aus spieltheoretischer Sicht betrchten wir hier nur sehr einfche Spiele sogennnte 2-Personen-Nullsummen-Spiele mit perfekter Informtion. Der Nme besgt, dss sich in dem Spiel zwei Spieler mit entgegengesetzen Zielen gegenüberstehen. Der eine Spieler gewinnt genu dnn, wenn der ndere verliert. Zusätzlich sind zu jedem Zeitpunkt beide Spieler immer voll informiert über den momentnen Zustnd des Spiels, d.h. es gibt keine versteckte Informtion. Dies schließt z.b. die meisten Krtenspiele us, bei denen ein Spieler typischerweise nicht weiß, welche Krten sein Gegenüber besitzt. Auch Spiele wie Tic-Tc-Toe fllen us diesem Rhmen. Dies ist zwr ein 2-Personen- Nullsummen-Spiel mit perfekter Informtion, ber es ist nicht der Fll, dss der eine Spieler gewinnt genu dnn, wenn der ndere verliert, d in diesem Spiel Unentschieden möglich ist. Beispiele der von uns betrchteten Spiele sind Chomp oder Nim. Alle diese Spiele hben die Eigenschft, dss sie nur von endlicher Duer sind und dss der Gewinner nur nhnd der m Ende erreichten Konfigurtion ermittelt wird. Bei Nim z.b. geht es nur drum, wer ds letzte Streichholz ufnimmt, die zuvor genommenen oder deren Reihenfolge etc. hben keinen Einfluss uf den Gewinn. Solche Spiele nennt mn Erreichbrkeitsspiele. Später werden wir uch noch Spiele betrchten, die zwr weiterhin 2-Personen- Nullsummen-Spiele mit perfekter Informtion, jedoch von unendlicher Duer sind. Diese können ntürlich nicht wirklich gespielt werden, sondern entstehen

14 18 3 Spiele ls Abstrktionen oder uch Vernschulichungen bestimmter utomtentheoretischer Aufgbenstellungen und Definitionen. 3.1 Spiele ls Grphen Wir definieren zunächst eine Aren ls einen pritionierten, gerichteten Grphen. Intuitiv gesehen beginnt ein Spiel in einem Knoten einer Aren, und die Prtitionierung bestimmt, welcher Spieler den nächsten Knoten uswählt. Dieser muss ein Nchfolger des ktuellen Knoten in dem Grphen sein. Definition 3. Eine Aren für ein Spiel zwischen zwei Spielern P 0 und P 1 ist ein gerichteter Grph G = (V, V 0, V 1, E) mit Knotenmenge V und Kntenmenge E, so dss V = V 0 V 1 und V 0 V 1 =. Eine Prtie ist eine (möglicherweise unendliche und) mximle Sequenz von Knoten v 0, v 1,..., so dss für lle i gilt: (v i, v i+1 ) E. Mximlität bedeutet, dss sie entweder unendlich lng ist oder in einem v n endet, so dss es kein w V gibt mit (v n, w) E. Wir sgen, dss diese Prtie in Knoten v 0 beginnt. Ein Spiel ist ein Pr (G, W), wobei W eine Menge von Prtien ist. Diese gibt n, welche Prtien von Spieler P 0 gewonnen werden. Spieler P 1 gewinnt lle nderen Prtien. Eine Strtegie für Spieler P i in Knoten v 0 ist eine Funktion σ, die jeder endlichen Sequenz v 0,...,v n von Knoten, für die (v j, v j+1 ) E für lle j = 0,...,n 1 und v n V i gilt, einen Knoten w zuordnet, so dss (v n, w) E. Eine Prtie v 0, v 1,... ist konform mit einer Strtegie σ für Spieler P i, flls für lle j gilt: wenn v j V i dnn v j+1 = σ(v 0,..., v j ). Eine Strtegie σ für Spieler P i ist eine Gewinnstrtegie, flls P i jede Prtie gewinnt, die konform mit σ ist. Ds Problem, ein Spiel zu lösen, ist dnn, zu einem gegebenen Spiel und einem gegebenen Knoten v in dessen Aren zu entscheiden, ob Spieler P 0 eine Gewinnstrtegie in v ht. Gegebenenflls wird noch verlngt, diese zu berechnen. Mn bechte, dss es üblicherweise uf endlichen Arenen bereits unendlich viele Prtien geben knn. Deswegen betrchtet mn normlerweise symbolische Repräsentierungen der Menge W von Prtien, die von dem einen Spieler gewonnen werden. Diese können z.b. von der Art sein, dss er jede Prtie gewinnt, in der ein gewisser Knoten vorkommt oder unendlich oft uftritt, etc. In solchen Fällen erluben wir uns, von der strikten Nottion (G, W) bzurücken und solche Spiele uf entsprechende Art und Weise zu notieren. Auch werden wir je nch Bedrf Spielernmen wählen, die ussgekräftiger für die jeweilige Anwendung sind ls die hier verwendeten P 0 und P 1.

15 Beispiel Erreichbrkeitsspiele 19 Die oben ngeführte Definition des Problems, ein Spiel zu lösen, knn mn uch ls lokles Lösen bezeichnen, d nur verlngt wird, eine Strtegie zu finden, die Gewinnstrtegie in einem einzigen Knoten des Spiels ist. Ds globle Problem würde dementsprechend verlngen, für jeden Knoten des Spiels zu entscheiden, ob Spieler P 0 eine Gewinnstrtegie in diesem Knoten ht. Es sollte klr sein, dss diese beiden Probleme bis uf einen lineren Fktor im Zeitverbruch äquivlent sind. Außerdem ist es häufig so, dss Uniformität gilt: Ht ein Spieler Gewinnstrtegien für zwei verschiedenen Knoten, so gibt es uch eine Strtegie, welche Gewinnstrtegie in beiden Knoten ist. Dies muss ber dnn im Einzelfll überprüft werden. Spiele sind besonders interessnt, weil sich mit ihrer Hilfe viele Resultte dulisieren lssen. Dies ist der Fll, wenn Spiele determiniert sind. Definition 4. Ein Spiel (G, W) zwischen Spielern P 0 und P 1 mit G = (V, V 0, V 1, E) ist determiniert, wenn für lle Knoten v V gilt und lle i {0, 1}: Spieler P i ht eine Gewinnstrtegie in v gdw. Spieler P 1 i keine Gewinnstrtegie in Knoten v ht. Der Teil = dieser Äquivlenz gilt immer (Übung). Wenn ein Spieler eine Gewinnstrtegie in einem Knoten ht, so knn der ndere keine in diesem Knoten hben. Die Schwierigkeit Determiniertheit eines Spiels zu zeigen besteht lso drin, us der Nicht-Existenz einer Gewinnstrtegie für den einen Spieler die Existenz einer solchen für den nderen zu folgern. Wir betrchten noch spezielle Strtegien, die lgorithmisch einfcher zu hndhben sind ls llgemeine. Definition 5. Sei G = (V, V 0, V 1, E) eine Aren. Eine Strtegie für Spieler P i in Knoten v 0 V heißt positionl, wenn für lle Knoten v 0, v 1, v 1,..., v n 1, v n 1, v n gilt: σ(v 0, v 1,..., v n 1, v n ) = σ(v 0, v 1,...,v n 1, v n) Ein Spiel (G, W) heißt positionl determiniert, wenn es determiniert ist und drüberhinus für beide Spieler P i und lle Knoten v V gilt: Spieler P i ht eine Gewinnstrtegie in v gdw. Spieler P i eine positionle Gewinnstrtegie in v ht. In nderen Worten gesprochen hängt bei einer positionlen Strtegie die Whl eines Nchfolgerknotens in der Aren nicht von dem Weg b, uf dem der ktuelle Knoten erreicht wurde, sondern nur von diesem selbst. Aus diesem Grund werden solche Strtegien mnchml uch gedächtnislos gennnt. 3.2 Erreichbrkeitsspiele Zum Abschluss betrchten wir noch eine spezielle Klsse von Spielen für die sich Determiniertheit und die Existenz von gedächtnislosen Gewinnstrtegien reltiv einfch zeigen lssen.

16 20 3 Spiele Definition 6. Sei (G, W) ein Spiel zwischen Spielern P 0 und P 1 mit G = (V, V 0, V 1, E). Dies ist ein Erreichbrkeitsspiel, wenn jede Prtie in der Aren G endlich ist und für lle Prtien π = v 0,..., v n und π = w 0,...,w m gilt: flls v n = w m, dnn ist π W gdw. π W. In einem Erreichbrkeitsspiel ist der Gewinner einer Prtie lso eindeutig durch den letzten Knoten in dieser Prtie bestimmt. Bechte, dss ein Erreichbrkeitsspiel nicht unbedingt selbst endlich sein muss. In der Erweiterung von Nim, wo ein Spieler zuerst eine beliebige Anzhl von Streichhölzern uf den Tisch legt, woruf dnn Nim mit dieser Anzhl in üblicher Weise gespielt wird, ist jede Prtie nur endlich lng, ber es gibt unendlich viele verschiedene Spielpositionen, nämlich ungefähr eine für jede Anzhl n Streichhölzern und jeden Spieler, der ls nächstes ziehen muss. Erreichbrkeitsspiele hben die Eigenschft, dss sich die Knotenmenge liner wohl-ordnen lässt, so dss bei jedem Zug ein Abstieg in der Ordnung erfolgt. Ist ds Spiel drüber hinus noch endlich, so knn mn die Knotenmenge dnn mit einem Anfngsstück der ntürlichen Zhlen indizieren, so dss der Abstieg in den Indizes sichtbr wird. Definition 7. Eine wohlfundierte Ordnung uf einer Menge M ist eine binäre Reltion M M, für die folgendes gilt. (Trnsitivität) Für lle x, y, z M mit x y und y z gilt x z. (Reflexivität) Für lle x M gilt x x. (Anti-Symmetrie) Für lle x, y M gilt: Flls x y und y x, dnn ist x = y. (Wohlfundiertheit) Es gibt keine unendliche Kette x 0, x 1, x 2,..., so dss für lle i N gilt: x i+1 x i und x i+1 x i. Lemm 4. Die trnsitive Hülle der Kntenreltion eines Erreichbrkeitsspiels ist eine wohlfundierte Ordnung uf dessen Knotenmenge. Beweis. Sei (G, W) ein Erreichbrkeitsspiel. Für die Aussge des Lemms ist W uninteressnt. Sei G = (V, V 0, V 1, E) und E + die trnsitive Hülle der Kntenreltion E. D.h. (v, w) E + gdw. es ein n N und v 0,...,v n gibt, so dss v 0 = v, v n = w und (v i, v i+1 ) E für lle i = 0,..., n 1. Offensichtlich ist E + trnsitiv. Es bleibt lediglich zu zeigen, dss G nicht Aren eines Erreichbrkeitsspiels sein knn, wenn E + nicht reflexiv, nicht nti-symmetrisch oder nicht wohl-fundiert wäre. In llen drei Fällen ließen sich sofort unendliche Prtien konstruieren. Wir zeigen nun in einem, dss Erreichbrkeitsspiele determiniert sind und die Spieler jeweils positionle Gewinnstrtegien besitzen. Theorem 8. Erreichbrkeitsspiele sind positionl determiniert.

17 3.2 Erreichbrkeitsspiele 21 Beweis. Sei (G, W) ein Erreichbrkeitsspiel mit G = (V, V 0, V 1, E). Lut Lemm 4 ist die trnsitive Hülle E + der Kntenreltion E eine wohlfundierte Ordnung uf V. Wir zeigen nun durch wohlfundierte Induktion, dss für lle v V gilt: Spieler P i ht eine positionle Gewinnstrtegie für v, flls Spieler P i 1 keine Gewinnstrtegie für v ht. Es sollte klr sein, dss drus Determiniertheit folgt, d die Umkehrung immer gilt. Sei v V. Betrchte die Menge U := {w V (v, w) E}. Offensichtlich gilt U {w V (v, w) E + }, und somit können wir die Aussge für lle w U ls bereits bewiesen nnehmen. Ds bedeutet, dss es für jedes w U ein j w {0, 1} und eine positionle Gewinnstrtegie σ w für Spieler P jw in Knoten w gibt. Jetzt unterscheiden wir zwei Fälle. Fll 1, v V i und es gibt w U mit p w = i. D.h. es gibt einen Nchfolgerknoten w, so dss der Besitzer des ktuellen Knotens v us ds Spiel beginnend in diesem Nchfolger gewinnt. Dnn gewinnt er uch von v us mit der Strtegie σ v := σ w [v w]. Diese erweitert die positionle Strtegie σ w um den Zug v w, ws weiterhin positionl ist. Es ist ußerdem eine Gewinnstrtegie für Spieler P i, d jede Prtie, die mit σ v konform ist, eine Prtie, die wiederum mit σ w konform ist, ls echtes Suffix ht, und somit P i uch jede solche Prtie gewinnen muss, denn der Gewinner ist eindeutig durch den letzten Knoten in einer Prtie bestimmt. Fll 2, v V i und für lle w U gilt p w = 1 i. D.h. Spieler 1 i gewinnt von llen Nchfolgern von v us. Dnn gewinnt Spieler 1 i uch von v us, denn Spieler i muss von dort zu einem dieser Nchfolger ziehen. Eine positionle Gewinnstrtegie für Spieler 1 i ergibt sich durch Vereinigung der positionlen Strtegien σ w für lle w U. Diese können jedoch nichtdisjunkte Domins hben. Deswegen sei U = {w 1,..., w k } eine Aufzählung ller Nchfolger von v. Definiere für beliebiges u V : { σ wj (u), flls u dom(σ wj ) und u dom(σ wh ) für lle h < j σ v (u) :=, sonst Ds bedeutet, dss σ v so ziehen lässt wie ds jeweilige σ w für ds kleinste w nch der festgelegten Aufzählung. Somit ht jede Prtie, die konform zu σ v ist, ein Suffix, welches konform zu einem σ w ist. D diese lle von Spieler 1 i gewonnen werden, gewinnt Spieler 1 i uch lle Prtien, die konform zu σ v sind. Außerdem ist σ v offensichtlich positionl. Dmit ist gezeigt, dss Spieler 1 i eine positionle Gewinnstrtegie ht, flls Spieler i keine ht.

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19 Übungsufgben Übung 1. Beweise Stz 1. Hinweis: Beide Richtungen der Äquivlenz können leicht durch Induktion (über den Aufbu regulärer Sprchen bzw. den Aufbu regulärer Ausdrücke) gezeigt werden. Übung 2. Wrum ist es nicht nötig, in der Definition der regulären Sprchen uch {ǫ} miteinzuschließen? Übung 3. Beweise Lemm 1: Zu zwei gegebenen NFAs knn mn jeweils einen NFA konstruieren, der genu die Vereinigung bzw. die Konktention der von den beiden gegebenen NFAs erknnten Sprchen erkennt. Übung 4. Beweise Stz 2: Reguläre Ausdrücke lssen sich induktiv in NFAs übersetzen. Der resultierenden NFA ist von derselben Größenordung wie der reguläre Ausdruck. Übung 5. Beweise ds Arden sche Lemm (Lemm 3). Hinweis: Benutze dbei, dss L = i N Li gilt. Übung 6. Sei α n := ( b) ( b) n 1 für beliebiges n 2, wobei β 0 := ǫ und β i+1 := ββ i. Zeige, dss ) L(α n ) von einem NFA mit n + 1 Zuständen erknnt wird. b) L(α n ) nicht von einem DFA mit weniger ls 2 n Zuständen erknnt wird. Übung 7. Zeige, dss die Klsse REG neben den zentrlen Opertionen Vereinigung, Konktention und Kleene-Stern noch unten den folgenden Opertionen bgeschlossen ist. 1. Durchschnitt: (L 1, L 2 REG L 1 L 2 REG), 2. Differenz: (L 1, L 2 REG L 1 \ L 2 REG), 3. Spiegelung: (L REG { n n L} REG, 4. Homomorphismen: Seien Σ, Alphbete und h : Σ eine Abbildung. Diese knn homomorph zu einer Abbildung ĥ : Σ erweitert werden: ĥ(ǫ) = ǫ und ĥ(v) = h()ĥ(v) für jedes Σ. Zeige nun, dss gilt: L REG {ĥ(w) w L} REG.

20 24 3 Spiele 5. Shuffle-Produkt: Wir definieren eine Abbildung, die zwei Wörter uf die Menge ller ihrer Verzhnungen bbildet. Für lle Σ, lle w, v Σ sei ǫ v := {v} w v := {uu uu w v} Bechte, dss in der letzten Klusel u und u uch jeweils ds leere Wort sein können. Diese Verzhnung lässt sich dnn in ntürlicher Weise uf Sprchen fortsetzen: L 1 L 2 := w v v L 2 w L 1 Zeige nun, dss gilt: L 1, L 2 REG L 1 L 2 REG. Übung 8. Sei (G, W) ein Spiel zwischen Spielern P 0 und P 1, so dss G = (V, V 0, V 1, E). Sei v V. Angenommen, Spieler P i ht eine Gewinnstrtegie in v. Zeigen Sie, dss Spieler P 1 i keine Gewinnstrtegie in v hben knn. Hinweis: Nehmen Sie n, dss dies der Fll wäre, und führen Sie dies zu einem Widerspruch, indem Sie eine bestimmte Prtie konstruieren.

21 Teil II Endliche Wörter

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23 4 Die schwche mondische Logik zweiter Stufe In diesem Kpitel lernen wir die erste Anwendung von Automten uf Entscheidungsprobleme in der Logik kennen. Wir definieren die schwche mondische Logik zweiter Stufe (engl.: wek mondic second order logic, wmso) und zeigen, dss die Allgemeingültigkeit und Erfüllbrkeit von Formeln in dieser Logik mithilfe von Automten entschieden werden knn. 4.1 Syntx und Semntik Definition 8. Seien zwei bzählbr unendliche Mengen von erststufigen Vriblen V 1 = {x, y,...} und zweitstufigen Vriblen V 2 = {X, Y,...} gegeben. Formeln der schwchen mondischen Logik zweiter Stufe über V 1, V 2 sind gegeben durch folgende Grmmtik. ϕ ::= x < y X(x) ϕ 1 ϕ 2 ϕ x.ϕ X.ϕ wobei x, y V 1 und X V 2. Ds bedeutet lso, dss für je zwei erststufige Vriblen x, y der Ausdruck x < y eine Formel ist. Außerdem ist X(x) eine Formel, wenn X zweitstufige und x erststufige Vrible ist. Sind ϕ 1, ϕ 2 Formeln, so uch ϕ 1 ϕ 2. Ist ϕ Formel, so uch ϕ und x.ϕ und X.ϕ, wobei wiederum x erst- und X zweitstufig ist. In der Regel verwendet mn Kleinbuchstben für erststufige Vriblen und Großbuchstben für zweitstufige Vriblen. Mn knn ber uch ndere Objekte, z.b.: Bezeichner, für die Vriblen verwenden; es muss nur immer klr sein, ws eine Vrible ist und welche Stufe sie ht. Intuitiv rngieren die erststufigen Vriblen über ntürliche Zhlen und die zweitstufigen über endliche Mengen von ntürlichen Zhlen. Die nderen Symbole hben die übliche Bedeutung, wir definieren sie später noch forml. So bedeutet etw die Formel y.y < x, dss x gleich Null ist.

24 28 4 Die schwche mondische Logik zweiter Stufe Wir benutzen die üblichen Abkürzungen ϕ ψ := ( ϕ ψ), ϕ ψ := ϕ ψ, x.ϕ := x. ϕ, X.ϕ := X. ϕ, x y := (y < x), x = y := x y (x < y), x=0 := y.y < x, etc. Die Formel X.( x.x=0 X(x)) ( x.x(x) y.x < y X(y)) besgt dnn, dss eine endliche Menge X existiert, die die Null enthält, lso insbesondere nicht leer ist, und die zu jedem Element noch ein größeres enthält. So eine Menge gibt es nicht, lso ist diese Formel flsch genuso, wie etw die Formel x.x < x. Ein Vorkommen einer Vriblen x (oder X) in einer Formel heißt gebunden, wenn im Syntxbum über ihm der Opertor x, bzw. X vorkommt. Ansonsten heißt dieses Vorkommen frei. Wir schreiben uch ϕ(x 1,..., X n, x 1,...,x m ) um nzudeuten, dss die freien Vriblen in ϕ zu der Menge {X 1,...,X n, x 1,...,x m } gehören. Eine Formel ohne freie Vriblen wird uch Stz gennnt. In der Formel y.y < x ist lso x frei und y gebunden. In der Formel x.( y.y < x) X(x) ist X frei und x, y sind beide gebunden. Die Bedeutung einer Formel hängt von den Werten ihrer freien Vriblen b; je nch deren Belegung knn sie whr oder flsch sein. Ein Stz ist lso per se entweder whr oder flsch. Z.B.: ist die o.. Formel x.x < x ein flscher Stz, während X. x.x(x) y.x < y X(y) ein whrer Stz ist; mn knn nämlich für X die leere Menge nehmen. Definition 9. Wir definieren die Semntik einer wmso-formel ls eine Reltion = zwischen Belegungen und Formeln; erstere sind definiert ls Abbildungen I, die erststufigen Vriblen ntürliche Zhlen und zweitstufigen Vriblen endliche Mengen von ntürlichen Zhlen zuordnen. I = x = y I = x < y I = X(x) I = ϕ ψ I = ϕ I = x.ϕ I = X.ϕ gdw. I(x) = I(y) gdw. I(x) < I(y) gdw. I(x) I(X) gdw. I = ϕ oder I = ψ gdw. I = ϕ gdw. es gibt ein i N, sodss I[x i] = ϕ gdw. es gibt eine endliche Teilmenge M N, sodss I[X M] = ϕ wobei I[x i] diejenige Abbildung ist, die x uf i bbildet und sich wie I uf llen nderen Argumenten verhält. Zwei Formeln sind äquivlent, ϕ ψ, flls für lle I gilt: I = ϕ gdw. I = ψ. Ist ϕ ein Stz, so gilt I = ϕ I = ϕ für lle Belegungen I, I ; die Bedeutung eines Stzes hängt lso gr nicht von der Belegung b. Mn schreibt in diesem Flle dher = ϕ, flls I = ϕ für ein und dmit für lle I gilt.

25 4.2 Verbindung zur Theorie formler Sprchen 29 Gilt I = ϕ für mindestens ein I, so ist ϕ erfüllbr. Eine Interprettion I mit I = φ heißt Modell von ϕ. Die kleinste Zhl n, sodss I(x) < n und I(X) {0,...,n 1} heißt Größe des Modells I. Eine Formel, die kein Modell ht, heißt unerfüllbr. Eine Formel ϕ, derrt dss I = ϕ für lle I gilt, heißt llgemeingültig. Eine Formel ϕ ist llgemeingültig, genu dnn, wenn ϕ unerfüllbr ist Endliche Belegungen Allgemeiner gilt, dss I = ϕ I = ϕ, flls I und I uf den freien Vriblen von ϕ übereinstimmen; die Bedeutung einer Formel ϕ hängt lso nur von der Einschränkung der jeweiligen Belegung uf die freien Vriblen b. Dher definiert mn die Nottion I = ϕ uch für endliche, prtielle Belegungen I solnge diese uf den freien Vriblen von ϕ definiert sind. Ddurch knn mn insbesondere uch sinnvoll die Frge stellen, ob es zu gegebenem I und ϕ entscheidbr ist, ob I = ϕ gilt. Wir werden diese Frge weiter unten bejhen. 4.2 Verbindung zur Theorie formler Sprchen Sei Σ ein Alphbet; für jedes Symbol Σ führen wir eine zweitstufige Vrible P ein. Ein Wort w über Σ definiert dnn eine Belegung I w dieser Vriblen durch I w (P ) = {i < w w i = }. Es bezeichnet lso I w (P ) ll diejenigen Positionen, n denen in w ein steht. Diese Positionen werden immer b 0 gezählt, lso ist z.b.: (bb) 1 = b und I w (P b ) = {1, 3}. Bechte, dss die Menge I w (P ) stets endlich ist. Um I w uch forml zu einer Belegung zu mchen, legt mn I w für die nderen Vriblen willkürlich fest oder beruft sich uf die in getroffene Konvention über endliche Belegungen. Umfssen die freien Vriblen einer Formel ϕ höchstens die Vriblen P für Σ, lso keine erststufigen Vriblen und uch keine nderen zweitstufigen Vriblen ls die P, so mcht es Sinn, ihren Whrheitswert unter einer Belegung I w zu betrchten, denn dieser hängt dnn nicht von den willkürlichen Setzungen b. Mit der weiter oben diskutierten Erweiterung der Semntik uf prtielle Belegungen, knn mn dnn uch uf die willkürlichen Setzungen verzichten. Betrchten wir ls Beispiel Σ = {, b} und die Formel ϕ := x. (P (x) P b (x)). Für jedes Wort w Σ gilt hier I w = ϕ, denn n keiner Position knn sowohl, ls uch b, stehen. Die Formel ψ := x. y.(p (x) P b (y)) x < y gilt nicht für lle Wörter: es ist I bbbb = ψ, ber I bb = ψ. Dies deshlb, weil hier P b (2) (forml 2 I bb (P b )) und P (3) gilt, ber ntürlich nicht 3 < 2.

26 30 4 Die schwche mondische Logik zweiter Stufe Auf diese Weise definieren wmso-formeln Mengen von Wörtern, lso Sprchen: Definition 10. Sei Σ ein Alphbet und ϕ eine wmso-formel deren freie Vriblen usschließlich zweitstufig und in {P Σ} enthlten sind. Die Sprche L(ϕ) Σ ist dnn definiert durch wobei I w (P w ) = {i < w w i = }. L(ϕ) := {w Σ I w = ϕ} Definition 11. Eine Sprche L Σ heißt wmso-definierbr, flls es eine wmso-formel ϕ gibt mit L = L(ϕ). Die Formel ψ := x. y.(p (x) P b (y)) x < y definiert lso die Sprche b. Wir geben jetzt weitere Beispiele: Beispiel L(Σ bσ ) ist wmso-definierbr durch die Formel x. y.p (x) P b (y) x < y z.x < z z < y 2. L = {w {, b} w ist ungerde } ist wmso-definierbr durch: mx.( (P (mx) P b (mx))) ( y. (P (y) P b (y)) mx y) X.X(0) ( x. y.succ(x, y) y mx (X(x) X(y)) ) X(mx) wobei ψ(0) := z.z=0 ψ(z) und succ(x, y) := x < y z.x < z z < y. Die Vrible mx bezeichnet hier immer die Wortlänge; sie ist j festgelegt uf die kleinste Position n der kein Buchstbe mehr steht. Die Menge X umfsst lle gerden Zhlen kleiner oder gleich der Wortlänge, d sie 0 enthält und immer bwechselt. 3. L = {w {, b, c} in w folgen uf jedes nur s bis irgendwnn ein b uftritt }: x.p (x) y.p b (y) x < y z.x < z z < y P (z) Die hier (in Bsp. 2) definierte Formel succ(x, y) besgt, dss y der Nchfolger von x ist. Mn knn wmso uch mit succ(x, y) nstelle von x < y ls primitiver zweistelliger Formel einführen: Die Formel x < y lässt sich dnn nämlich wie folgt definieren: x y := X.( u.x(u) v.succ(u, v) succ(y, v) X(v)) X(x) X(y) x=y := x y y x x < y := x y (x = y) Mit nderen Worten: x y, genu dnn, wenn jede endliche Menge, die bis einschließlich y unter Nchfolger bgeschlossen ist, mit x uch y enthält.

27 4.2.1 Von Automten zu Formeln 4.2 Verbindung zur Theorie formler Sprchen 31 Theorem 9. Zu jeder regulären Sprche L über einem Alphbet Σ lässt sich eine wmso-formel ϕ L ngeben, sodss L(ϕ L ) = L. Beweis. Es sei ein NFA A = (Q, Σ, q I, δ, F) für L vorgelegt. Wir nehmen n, dss Q = {0, 1,..., n} mit q I = 0. Wir führen nun zweitstufige Vriblen X 0,..., X n ein, die diesen Zuständen entsprechen. Die Idee ist, ϕ L in der Form X 0... X n... zu konstruieren, wobei die existentiellen Zeugen für die X i dnn einen erfolgreichen Luf des Automten repräsentieren sollen. Insbesondere soll X q (i) bedeuten, dss der Automt nch Abrbeiten des i-ten Symbols im Zustnd q ist. Hierzu definieren wir folgende Hilfsformeln: uni(mx) := x.x < mx ( q X q(x)) ( q q (X q(x) X q (x))) init(mx) := mx = 0 x.x=0 (q,):q δ(0,) P (x) X q (x)) luf(mx) := y.y < mx x.succ(x, y) (q,q,):q δ(q,) P (x) X q (x) X q (y) kz(mx) := [mx=0 ] x.succ(x,mx) q F X q(x) Der eckig eingeklmmerte Teil in der letzten Formel wird nur dnn hinzugenommen, wenn q I F, nsonsten entfällt er. Ein großes oder, wie in q... ϕ q bezeichnet eine Disjunktion ( ) mit n = Q Summnden. Mn bechte, dss n fest ist, sodss mn solch eine Disjunktion mit der vorhndenen Syntx usdrücken knn. Eine lterntive Nottion wäre ϕ 0 ϕ n. Anlog bezeichnet q q... eine Konjunktion mit n 2 n Fktoren, die den Zustndspren (q, q ) mit q q entsprechen. Jetzt setzen wir ϕ L := X 0... X n. mx.( (P (mx) P b (mx))) ( y. (P (y) P b (y) mx y) uni(mx) init(mx) luf(mx) kz(mx)) Wie im Beispiel weiter oben bezeichnet mx gerde die Wortlänge. Die Klusel uni(mx) stellt sicher, dss n jeder Position x < w genu eine der X(x) gesetzt ist; init(mx) stellt sicher, dss der Zustnd n Position 0 durch Lesen des ersten Symbols vom Strtzustnd us entsteht, es sei denn, mx = 0. Die Klusel luf(mx) besgt, dss n llen weiteren Positionen der Folgezustnd us dem vorherigen mithilfe von δ entsteht und kz(mx) schließlich besgt, dss der letzte Zustnd ein Endzustnd ist es sei denn mx = 0 und q I F Von Formeln zu Automten Nunmehr wollen wir eine Art Umkehrung des eben bewiesenen Stzes formulieren, dhingehend, dss die Semntik beliebiger wmso-formeln durch NFA beschrieben werden knn. Hierzu repräsentieren wir Belegungen I einer

28 32 4 Die schwche mondische Logik zweiter Stufe festen endlichen Teilmenge X der Vriblen ls Wörter w I über einem geeigneten Alphbet Σ X und ordnen dnn jeder Formel ϕ, die nur Vriblen us X enthält (frei oder gebunden) einen NFA A ϕ zu (und zwr durch ein konstruktives Verfhren), derrt dss I = ϕ w I L(A ϕ ). Mn knn dnn insbesondere feststellen, ob ein Stz ϕ whr ist, indem mn prüft, ob L(A ϕ ) ist. Sei lso jetzt eine endliche Vriblenmenge X fixiert, die sowohl erst- ls uch zweitstufige Vriblen beinhltet. Wir wählen ls Alphbet Σ X Bewertungen dieser Vriblen mit Whrheitswerten, lso Σ X = 2 X Ein Buchstbe in Σ ist lso eine Funktion von X nch {0, 1}. Einer Belegung I der Vriblen in X ordnen wir jetzt ein Wort w I Σ X zu. Die Länge von w I ist gerde so groß, dss lle Zhlen, die in I eine Rolle spielen, Positionen in w I sind, d.h. w I wird so klein wie möglich gewählt unter der Bedingung, dss für lle x X gilt I(x) < w I und für lle X Xund i I(X) gilt i < w I. Für i < w I definieren wir dnn den i-ten Buchstben (w I ) i durch (w I ) i (x) = 0, flls i I(x) (w I ) i (x) = 1, flls i = I(x) (w I ) i (X) = 0, flls i I(X) (w I ) i (X) = 1, flls i I(X) Mn knn sich ds Wort w I ls ein mehrspuriges 0 1-Wort vorstellen, mit einer Spur für jede Vrible. Ist zum Beispiel X = {X, Y, x} und I(X) = {0, 4} und I(Y ) = {1, 3} und I(x) = 2, so ht w I die Länge 5 und knn wie folgt vernschulicht werden: X Y x Der Buchstbe (w I ) 3 ist lso die Funktion, die X uf 0 und Y uf 1 und x uf 0 bbildet, oder zusmmengefsst die Splte Die Spuren, die erststufigen Vriblen entsprechen, enthlten immer genu eine 1 und sonst nur 0en, während die Spuren, die den zweitstufigen Vriblen entsprechen, beliebige Bitmuster ufweisen. Durch Induktion über den Formelufbu definieren wir nun den gesuchten Automten A ϕ. Der Automt erwrtet jeweils, dss ds Eingbewort ttsächlich von der Form w I ist. Der Automt für X(x) muss prüfen, ob n der Stelle, n der in der x-spur eine 1 steht, uch in der X-Spur eine 1 steht. Der Automt für x < y prüft, ob ds Vorkommen der Eins uf der x-spur vor dem uf der y-spur erscheint.

29 4.3 MONA: eine Implementierung der mondischen Logik 33 Den Automten für ϕ ψ erhält mn us den Automten für ϕ und ψ wie in der Automtenkonstruktion für die Vereinigungsmenge; intuitiv rät mn nichtdeterministisch, ob mn ds ngebotene Wort entweder gemäß A ϕ oder gemäß A ψ verrbeiten möchte. Den Automten für ϕ erhält mn us A ϕ durch Komplementierung, lso Determinisierung mit der Potenzmengenkonstruktion gefolgt von der Ersetzung von F durch Q \ F. Den Automten für X.ϕ erhält mn us A ϕ, indem mn den Inhlt der zu X gehörigen Spur nichtdeterministisch rät. Die Zustände von A X.ϕ sind dieselben wie die von A ϕ, uch Strt- und Endzustände sind unverändert. Die Folgezustände von (q, ) umfssen lle Folgezustände von q in A ϕ, die einem Symbol entsprechen, ds mit n llen Spuren bis uf der zu X gehörigen übereinstimmt. Drüberhinus ist noch der Möglichkeit Rechnung zu trgen, dss X Elemente enthält, die größer oder gleich der Länge des Eingbewortes sind. Alle Zustände, von denen us ein Pfd zu einem Endzustnd existiert, dessen Beschriftungen llenflls in der X-Spur eine Eins enthlten, werden dher zu Endzuständen gemcht. Den Automten für x.ϕ erhält mn in ähnlicher Weise, wobei mn zusätzlich dfür Sorge trgen muss, dss genu einml eine 1 gerten wird und sonst immer nur 0er. Die detillierte Konstruktion in diesem Flle verbleibt ls Übung. Aus der geschilderten Konstruktion ergeben sich nun wichtige Folgerungen: Theorem 10. Sei ϕ eine Formel und I eine Belegung. Es ist entscheidbr, ob I = ϕ. Theorem 11 (Büchi-Elgot, 60). Eine Sprche L Σ ist regulär gdw. sie MSO-definierbr ist. Zuletzt nlysieren wir noch die worst-cse-komplexität der Übersetzung einer MSO-Formel in einen NFA. Seien A 1 und A 2 zwei NFAs mit jeweils höchstens n Zuständen. Dnn ht ein NFA für die Vereinigung höchstens 2n + 1, für ds Komplement höchstens 2 n, für die existenzielle Quntifizierung höchstens n Zustände. Dmit knn eine Formel ϕ mit k logischen Opertoren zu einem NFA A mit 2 c O(k) vielen Zuständen für ein c N führen, wobei 2 c 0 := c 2 c k+1 := 2 2c k 4.3 MONA: eine Implementierung der mondischen Logik In diesem Abschnitt lernen wir die prktisch einsetzbre Implementierung MONA (www. brics.dk/mon) der schwchen mondischen Logik kennen.

30 34 4 Die schwche mondische Logik zweiter Stufe Ds Werkzeug MONA liest eine wmso Formel, konstruiert den dzugehörigen Automten, entscheidet mit dessen Hilfe, ob die Formel gültig, unerfüllbr, oder keines von beiden ist. Flls erfüllbr, so wird eine erfüllende Interprettion minimler Größse ngegeben. Flls nicht gültig, so wird eine flsifizierende Interprettion minimler Größe ngegeben ( Gegenbeispiel ). Flls gewünscht, wird uch der Automt ls Zustndstbelle ngegeben. Wir erläutern die Syntx und Verwendung von MONA hier nhnd von Beispielen; für die formle Definition verweisen wir uf die Dokumenttion Einfches Beispiel Sei even.mon eine Dtei des folgenden Inhlts: vr2 A; vr1 mxi; mxi = 9; 0 notin A & ll1 i: i < mxi => (i+1 in A <=> i in A) Die ersten beiden Zeilen deklrieren zwei freie Vriblen: A (zweitstufig) und mxi (erststufig). Die dritte Zeile entspricht der Formel x 0. x 2... x 9. i<9succ(x i, x i+1 ) x 0 = 0 x 9 = mxi und stellt sicher, dss mxi den Wert neun erhält. Mit dem Befehl mon even.mon erhält mn folgende erfüllende Interprettion: A ˆ= A = {1, 3, 5, 7, 9} mxi = 9 Mit der Option -w erhält mn uch den Automten. Die MONA-Dtei knn, wie uch in diesem Beispiel, mehrere Formeln enthlten; diese verstehen sich ls Konjunktion, sind lso simultn zu erfüllen Binärzähler Als nächstes wollen wir mit vier Mengenvriblen bis 16 zählen: vr2 A, B, C, D; vr1 mxi;