Mathematische Modelle in der Biologie Biologische Wellen: Einzelspeziesmodell - Teil 1

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1 Mathematische Modelle in der Biologie Biologische Wellen: Einzelspeziesmodell - Teil 1 Andrea Schneider Literatur: J.D. Murray: Mathematical Biology: I. An Introduction, Third Edition, Springer

2 Gliederung 1 Ziele 2 Hintergrund 3 Ausbreitung 4 Fortschreitende Welle 5 Fisher-Kolmogoroff-Gleichung Asymptotische Lösung Stabilität 6 Dichteabhängige Diffusionsreaktion Exakte Lösungen 7 Fazit

3 Ziele Vorkommen von fortschreitenden Wellen. Beschreibung von fortschreitenden Wellen. Betrachtung von Simulationen fortschreitender Wellen. Anwendungsbereiche von Modellen fortschreitender Wellen.

4 Hintergrund Fortschreitende Wellen sind an dem Entwicklungsprozess von chemischen Konzentrationen mechanischen Verformungen und elektrischen Signalen beteiligt. Beispiele.: wellenförmige Ereignisse im sich entwickelnden Embryo. Ausbreitung von Ca 2+ -Wellen auf der Oberfläche von Medaka-Eiern. chem. Konz.-Welle bei der Belousov-Zhabotinskij-Reaktion

5 Ausbreitung Beispiel: Abläufe im sich entwickelnden Embryo Realer Wertebereich für Diffusionskoeffizienten: D = 10 9 cm 2 sec cm 2 sec 1 Formale Betrachtung der Ausbreitung: Standard-Diffusionsgleichung: du dt Betrachte: O(L 2 /D), = D d 2 u dx 2 D : Diffusionskoeffizient L = 1mm O( sec) zu lang. Einfache Ausbreitung nicht Hauptmedium der Informationsübermittlung über eine bestimmte Distanz.

6 Fortschreitende Wellen Definition Eine fortschreitende Welle ist eine Welle, die sich ausbreitet ohne ihre Form zu ändern. Formal: u(x, t) = u(x ct) = u(z), z = x ct c: Geschwindigkeit z: Wellenvariable

7 Fortschreitende Wellen Standard-Diffusionsgleichung: du dt = D d 2 u dx 2 Beschreibt den Mechanismus der Ausbreitung. Lösungsansatz: D d 2 u dz 2 + c du dz = 0 u(z) = A + B e( cz D ) u beschränkt für alle z B = 0, da u für z. Somit ist u(z) = A = const. keine Wellenlösung

8 Fisher-Kolmogoroff-Gleichung Einfache Ausbreitung gekoppelt mit Bewegungsterm f (u): du dt = f (u) + D d 2 u dx 2 Nichtlineare Reaktions-Diffusions-Gleichung: du dt k, D: positive Parameter Fisher-Kolmogoroff-Gleichung = ku(1 u) + D d 2 u dx 2

9 Fisher-Kolmogoroff-Gleichung Fakten: Ursprünglich stochastisches Modell für die Ausbreitung bevorzugter Gene in einer Population. (Fisher, 1937) Ausführliche Diskussion der Gleichung durch Fife (1979), Britton (1986) und Grindrod (1996) Vereinigung von logistischem Wachstum mit Diffusionsterm. Analyse der Diffusionsausbreitung von Einzelspezies. Erlaubt die Ermittlung von Wellenfrontenlösungen.

10 Fisher-Kolmogoroff-Gleichung Variablentransformation: du dt = u(1 u) + d 2 u dx 2 u = 0 und u = 1 konstante Lösungen (stationäre Zustände) Lösungen einer Wellenfront für 0 u 1? Wellenlösung: c: Wellengeschwindigkeit Substitution von U(z): u(x, t) = U(z), z = x ct, c 0 U + cu + U(1 U) = 0

11 Fisher-Kolmogoroff-Gleichung Wellenfrontlösungen für z und z Gleichgewichtszustände erreicht Bestimmung von c mit lim U(z) = 0 und z lim U(z) = 1. z Setze: V = U, V = cv U(1 U) Daraus ergeben sich zwei singuläre Punkte: (0/0) mit Eigenwert λ = 1 2 ( c ± c 2 4) stabiler Knoten für c 2 > 4 und stabile Spirale für c 2 < 4 (1/0) mit Eigenwert λ = 1 2 ( c ± c 2 + 4) Sattelpunkt.

12 Fisher-Kolmogoroff-Gleichung Trajektorien der Gleichung U + cu + U(1 U) = 0: Abbildung : J.D.Murray, Mathematical Biology, An Introduction Bereich der Wellengeschwindigkeit: c c min = 2 kd

13 Fisher-Kolmogoroff-Gleichung Abbildung : J.D.Murray, Mathematical Biology, An Introduction

14 Fisher-Kolmogoroff-Gleichung Betrachtung der Wellengeschwindigkeit c: U(z) abhängig von c. c abhängig von Anfangsbedingung u(x, 0) für x ±. Für kleine u gilt: du = u + d 2 u dt dx 2 Betrachte Anfangsbedingung u(x, 0) A e ax ; x u(x, t) = A e a(x ct) für t > 0. c = a + 1, 0 < a 1, c = 2, a 1. a Wellengeschwindigkeit c 2.

15 Fisher-Kolmogoroff-Gleichung Abbildung : J.D.Murray,Mathematical Biology, An Introduction

16 Fisher-Kolmogoroff-Gleichung Beispiele für die Anwendung der Fisher-Kolmogoroff-Gleichung: (Verschiedene Modelle räumlicher Ausbreitung) Das Fortschreiten von Genkultur-Wellen. (Aoki,1987) Die Ausbreitung der frühen Landwirtschaft in Europa. (Ammermann und Cavali-Sforza,1971,1983) Modellierung einer Invasion von einer oder mehrerer Spezies in ein neues Gebiet. (Bsp.: Kaninchenplage in Australien)

17 Asymptotische Lösung Keine analytische Lösung für allgemeines c für: U + cu + U(1 U) = 0 Nährungslösung für ε = 1 0, 25; 0 < ε << 1 c2 Aus U(z) = g(ξ) und ξ = z c = ε 1 2 z folgt: ε d 2 g dξ 2 + dg 1 + g(1 g) = 0; 0 < ε dξ cmin 2 Randbedingungen: g( ) = 1, g( ) = 0 Wahl von g(0) = 1 ergibt eindeutige Lösung. 2 = 0, 25

18 Asymptotische Lösung Ansatz: Betrachte: g(ξ, ε) = g 0 (ξ) + εg 1 (ξ) +... O(1) : dg 0 dξ = g 0(1 g 0 ) g 0 (ξ) = ε ξ O(ε) : dg 1 dξ +(1 2g 0)g 1 = d 2 g 0 dξ 2 dg ( 1 g dξ 0 g... 0 mit Randbedingungen für g i (ξ) für i = 0, 1, 2... g 0 ( ) = 1, g 0 ( ) = 0, g o (0) = 1 2 g i (± ) = 0, g i (0) = 0 für i = 1, 2,.... ) g 1 = g 0

19 Asymptotische Lösung Durch Integration und aus den Randbedingungen folgt: [ g 1 = g 0 ln(4 g 0 ) = 1 εξ (1 + ε ξ ) 2 ln 4ε ξ ] (1 + ε ξ ) 2 In Originalvariablen: U(z; ε) = (1+e z c ) c 2 e z c (1+e z c ) 2 ln c c min = 2 [ 4e z c (1 + e z c ) 2 ] +O ( ) 1 c 4 ; Nährung nullter Ordnung weicht nur geringfügig von exakter Lösung ab.

20 Asymptotische Lösung Geschwindigkeit der Ausbreitung Steilheit der Wellenfront: Aus U = 0 Wendepunkt folgt: ξ = 0 z = 0. g 0 (ξ) + εg 1 (ξ) + O(ε2 ) = 0 Mit s=betrag des maximalen Gradienten U (z) ergibt sich bei z = 0: U (0) = s = 1 4c + O ( 1 c 5 ) Je höher die Geschwindigkeit der Ausbreitung desto niedriger die Steilheit der Wellenfront.

21 Asymptotische Lösung Abbildung : J.D.Murray, Mathematical Biology, An Introduction Je flacher die Welle, desto schneller die Ausbreitung.

22 Stabilität Bestimmung der Stabilität einer Front: Betrachte Bewegungsgleichung für die Front: u t = u(1 u) + cu z + u zz wobei u(x, t) = u(z, t) und z = x ct u c (z) Lösung von U + cu + U(1 U) = 0

23 Stabilität Betrachte kleine Störung um die Front zur Geschwindigkeit c c min = 2: u(z, t) = u c (z) + ωv(z, t), 0 < ω << 1. Durch Substitution erhält man aus den ω- Termen die folgende Gleichung: v t = [1 2u c (z)]v + cv z + v zz Front ist gegenüber Störung stabil für: lim v(z, t) = 0 oder lim v(z, t) = du c(z) t t dz

24 Stabilität Lösung der Gleichung für v t : Ansatz: v(z, t) = g(z) e λt Substitution: g + cg + [λ + 1 u c (z)]g = 0 wobei v = 0 außerhalb [ L, L] Mit g(z) = h(z) e cz 2 ergibt sich für h: [ )] h + λ (2u c (z) + c2 4 1 h = 0, h(±l) = 0; Für c 2, u c (z) > 0, L z L gilt: 2u c (z) + c u c(z) > 0

25 Stabilität Auswertung: Alle Eigenwerte λ sind positiv. v(z, t) 0 für t u c (z) stabil für Störungen in kleinen beschränkten Bereichen. Numerische Simulationen der Fisher-Kolmogoroff-Gleichung resultieren in einer stabilen Wellenfrontlösung mit c = 2.

26 Dichteabhängige Diffusionsreaktion Integration von dichteabhängiger Diffusion durch Betrachtung von Gleichungen der Form: du = f (u) + d [ D(u) du ] dt dx dx f (0) = 0, f (1) = 0, D(u) = D 0 u m f (u) = ku p (1 u q ) Umskalierung von t und x: du dt = u p (1 u q ) + d dx [ u m du ] dx = u p (1 u q ) + mu m 1 ( du dx ) 2 + u m d 2 u dx 2

27 Exakte Lösungen 1. Fall: m = 0,p = 1 du dt = u(1 u q ) + d 2 u dx 2, q > 0 Betrachte L(U) = U + cu + U(1 U q ) = 0 mit u(x, t) = U(z), z = x ct, U( ) = 1, U( ) = 0 U(z) = 1 (1 + ae bz ) s L(U) = 0 2 sq = 0, 1 oder 2 s = 2 q, 1 (oder sq = 0) q

28 Exakte Lösungen s = 1 q b = 0 nicht möglich, da b > 0 s = 2 q b = q q + 4, c = [2(q + 2)] 1 2 [2(q + 2)] 1 2 c steigt mit q an. q = 1 s = 2, b = 1 6, c = Für z = 0,a = 2 1 ergibt sich die Lösung: U(z) = 1 [1 + ( 2 1)e z 6 ] 2 Problem von exakten Lösungen: Nicht alle möglichen Lösungen werden ermittelt. Quantitative Wellenform ist verschieden.

29 Exakte Lösungen 2. Fall: m = 0, p = q + 1, q > 0 U(z) = du dt = u q+1 (1 u q ) + d 2 u dx 2 1 (1 + ae bz ) s, s = 1 q, b = q, c = (q + 1) (q + 1) 1 2

30 Exakte Lösungen 3. Fall: p = q = 1,m = 1 du dt = u(1 u) + d dx [ u du ] dx Population verteilt sich schneller auf Regionen niedrigerer Dichte als eine Region überbevölkert ist. Betrachte: UU + cu + U(1 U) = 0 mit Phasenportrait: U = V, UV = cv V 2 U(1 U) Entfernung der Singularität bei U = 0 führt zu: dv dξ = cv V 2 U(1 U) mit du dξ = UV (1, 0) und (0, c) Sattelpunkte (0, 0) stabiler Knoten (nicht linear)

31 Exakte Lösungen Trajektorien für variables c: Abbildung : J.D.Murray, Mathematical Biology, An Introduction

32 Fazit Fortschreitende Wellen kommen in vielfältigen biologischen Prozessen vor. Lösungen sind in kompaktem Bereich stabil. Es ex. eine Lösung einer fortschreitenden Wellenfront für du dt = f (u) + d 2 dx 2 mit best. Anfangsbedingungen; c c min = 2(f (0)) 1 2 Fisher-Kolmogoroff-Gleichung mit c = 2[kD] 1 2 Ausbreitungen im sich entwickelnden Embryo: O(5x sec): Wesentlich kürzer als reine Diffusionszeit O( ). Modell beschreibt reale Werte.