V2 Felder (Funktionen mehrerer unabhängigen Variablen)
|
|
|
- Manuela Ritter
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 V2 Felder (Funktionen mehrerer unabhängigen Variablen) Orts- und zeitabhängige physikalische Größen werden durch "Felder" beschrieben. Beispiel: Maxwell-Gleichungen der Elektrodynamik: Vektor-Analysis: nützlichen Identitäten Ziel der folgenden Abschnitte ist, elementare Rechenoperationen für Felder einzuführen. Beispiel 1: Temperatur im Zimmer Menge aller Punkte im Zimmer = Temperatur am Punkt Beispiel 2: Zeitabhängige Temperatur im Zimmer Zeitintervall = Temperatur am Punkt zur Zeit Beispiel 3: Luftfluss durch Tunnel = Luftgeschwindigkeit am Punkt zur Zeit Beispiel 4: Ferromagnet Menge aller Vektoren mit Betrag = 1 = 'Magnetisierung' am Punkt zur Zeit
2 Allgemeine mathematische Struktur eines 'Feldes': 'Basismannigfaltigkeit' 'Zielmannigfaltigkeit' 'Skalarfeld' Beispiele: Temperatur, Druck, Dichte 'Vektorfeld' Beispiele: Luftfluss, Magnetfeld, Elektrisches Feld, Gravitationskraftfeld Skalarfeld: (z.b. Höhe eines Gebirges) Vektorfeld: (z.b. Stromfluss im Wassertank) Vektorfeld: (z.b. Stromfluss an Wasseroberfläche) Wie ändern sich Felder als Funktion v.? Wie bildet man Ableitungen von Feldern? C3: Partielle Ableitungen
3 C3 Partielle Ableitungen Betrachte (Skalarfeld) Beispiel für d=3, mit C3.1 Partielle Ableitung: wie ändert sich als Funktion v. nur einer der Variablen,, wenn die anderen Variablen festgehalten werden? Wie ändert sich als Funktion v. nur einer der Variablen,? Definition: 'Partielle Ableitung von am Punkt, nach ': nur ändert sich, um In Vektornotation: Lineare Näherung: eher unüblich Alternative Notationen: Lieblingsnotation von JvD Merkregel: Index oben 'im Nenner der Ableitung' = Index unten in Kurznotation! Beispiele: [Index, nicht Potenz!]
![Ableitungen vertauschbar: V3 Skalare Felder Beispiel: Höhenfeld [für Figur wurde c=1 gewählt] Kontur-Linien: Dort, wo Konturlinien dicht liegen,](/docs-images/69/59958036/images/4-1.jpg "ist es \"steil\". Funktion ändert sich am schnellsten in Richtung senkrecht zu den Konturlinien. Frage: Welcher Vektor gibt diese Richtung an?")
4 C3.2 Mehrfache partielle Ableitungen (rekursive Definition) Gemischte partielle Ableitungen: Beispiel v. Seite C3a: gleich! (falls f stetige Ableitungen bis mindestens zur 2.ten Ordnung besitzt) Satz v. Schwarz: Für hinreichend glatte Funktionen sind part. Ableitungen vertauschbar: V3 Skalare Felder Beispiel: Höhenfeld [für Figur wurde c=1 gewählt] Kontur-Linien: Dort, wo Konturlinien dicht liegen, ist es "steil". Funktion ändert sich am schnellsten in Richtung senkrecht zu den Konturlinien. Frage: Welcher Vektor gibt diese Richtung an? Antwort: Gradient: (wird im Folgenden eingeführt)
5 V3.1 Totales Differential Wie ändert sich eine Funktion an einem gegebenen Punkt in eine vorgegebene Richtung? 'totales Differential' liefert die Antwort: Das totale Differential ist eine 'Maschine', definiert bei vergleiche "Mutter aller Ableitungen", (C1b.3), die einen Vektor 'frisst' und als Antwort eine Zahl 'ausspuckt', nämlich die differenzielle Änderung v. f bei einem -Schritt. Falls Allgemein gilt: (Begründung: Seite 3d) Beispiel: Höhenfeld nachdifferenziert nach Anmerkung: trotz des "d" in der Notation, ist das totale Differential im Allgemeinen nicht infinitessimal klein! Es ist nur dann klein, wenn der Vektor im Argument klein ist: z.b.: nur, falls
6 Begründung für (V3b.3): explizit für : subtrahiere und addiere dieselbe Größe (5) eingesetzt in (2) vernachlässigbar! Analog folgt (V3b.3) für beliebiges d V3.2 Gradient Kompaktnotation: (C3a.3) Das totale Differential 'wirkt linear auf seinen Argument-Vektor': (1) und (2) lassen sich kompakt schreiben, wenn wir der Funktion f einen neuen Vektor zuordnen: Def: 'Gradient v. am Punkt : Beispiel (d=2): Höhenfeld: i-komponente des Gradienten-Vektors: Skalarproduktnotation: vergleiche (VC3.1) für (1): für (2): (siehe Fig, Seite V3a!)
7 Geometrische Interpretation des Gradienten-Vektors Skizze in d = 2 Dimensionen, zur Veranschaulichung: (sei ein Einheitsvektor, Richtung beliebig) zeigt in Richtung maximaler Steigung Steigung in -Richtung Höhen-, Konturlinien: = konst. maximal falls 0 falls zeigt in Richtung maximaler Steigung v. (allgemeiner: Höhenflächen) steht auf den Höhenlinien v. Beispiel: Sei mit Analog für die anderen Komponenten, also: = nach 'aussen' gerichteter Einheitsvektor
8 Zusammenfassung C3: Partielle Ableitungen Partielle Ableitung: Satz v. Schwarz: Totales Differential: Kettenregel: Zusammenfassung V2: Konzept eines Feldes Zusammenfassung V3: Skalarfelder, Gradient Totales Differential: differentielle Änderung von bei durch einen -Schritt: Gradient: zeigt in Richtung maximaler Steigung v. steht auf den 'Höhenflächen' v.
Mathematischer Vorkurs für Physiker WS 2012/13
TU München Prof. P. Vogl Mathematischer Vorkurs für Physiker WS 2012/13 Übungsblatt 2 Wichtige Formeln aus der Vorlesung: Basisaufgaben Beispiel 1: 1 () grad () = 2 (). () () = ( 0 ) + grad ( 0 ) ( 0 )+
Vorlesung: Analysis II für Ingenieure. Wintersemester 07/08. Michael Karow. Themen: Niveaumengen und Gradient
Vorlesung: Analysis II für Ingenieure Wintersemester 07/08 Michael Karow Themen: Niveaumengen und Gradient Wir betrachten differenzierbare reellwertige Funktionen f : R n G R, G offen Zur Vereinfachung
Mathematik-Tutorium für Maschinenbauer II: Differentialgleichungen und Vektorfelder
DGL Schwingung Physikalische Felder Mathematik-Tutorium für Maschinenbauer II: Differentialgleichungen und Vektorfelder Johannes Wiedersich 23. April 2008 http://www.e13.physik.tu-muenchen.de/wiedersich/
Definition: Euklidischer Raum mit Skalarprodukt. Die kanonische Basis von Einheitsvektoren sind paarweise orthogonal zueinander:
Definition: Euklidischer Raum mit Skalarprodukt Einsteinsche Summenkonvention (ES): über doppelt vorkommende Indizes wird summiert. Die kanonische Basis von Einheitsvektoren sind paarweise orthogonal zueinander:
Elemente der Analysis II
Elemente der Analysis II Kapitel 5: Differentialrechnung im R n Informationen zur Vorlesung: http://www.mathematik.uni-trier.de/ wengenroth/ J. Wengenroth () 17. Juni 2009 1 / 31 5.1 Erinnerung Kapitel
konvergent falls Sei eine allgemeine ("gutmütige") Funktion. Frage: kann man sie in der Nähe des Punktes darstellen mittels einer Potenzreihe in
C5 Funktionen: Reihenentwicklungen C5.1 Taylorreihen Brook Taylor (1685-1731) (Analysis-Vorlesung: Konvergenz von Reihen und Folgen) Grundlegende Frage: Wann / unter welchen Voraussetzungen lässt sich
1.4 Gradient, Divergenz und Rotation
.4 Gradient, Divergenz und Rotation 5.4 Gradient, Divergenz und Rotation Die Begriffe Gradient, Divergenz und Rotation erfordern die partiellen Ableitung aus Abschnitt.. sowie das Konzept des Differentialoperators.
1 Vektoralgebra (3D euklidischer Raum R 3 )
Institut für Physik der Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg WS 202/203 Vorlesung Elektrodynamik LAG PD Dr. Angelika Chassé) Vektoralgebra 3D euklidischer Raum R 3 ). Grundbegriffe = Vektordefinition
Vorkurs Mathematik B
Vorkurs Mathematik B Dr. Thorsten Camps Fakultät für Mathematik TU Dortmund 20. September 2011 Definition (R n ) Wir definieren: 1 Der R 2 sei die Menge aller Punkte in der Ebene. Jeder Punkt wird in ein
Kräfte zwischen Ladungen: quantitative Bestimmung
Einführung in die Physik II für Studierende der Naturwissenschaften und Zahnheilkunde Sommersemester 2007 VL #3 am 25.04.2007 Vladimir Dyakonov Kräfte zwischen Ladungen: quantitative Bestimmung Messmethode:
Theoretische Physik 1, Mechanik
Theoretische Physik 1, Mechanik Harald Friedrich, Technische Universität München Sommersemester 2009 Mathematische Ergänzungen Vektoren und Tensoren Partielle Ableitungen, Nabla-Operator Physikalische
Partielle Ableitungen, Gradient, Lineare Näherung, Extrema, Fehlerfortpflanzung
Partielle Ableitungen, Gradient, Lineare Näherung, Extrema, Fehlerfortpflanzung Jörn Loviscach Versionsstand: 29. Juni 2009, 18:41 1 Partielle Ableitungen, Gradient Die Ableitung einer Funktion f an einer
2. VEKTORANALYSIS 2.1 Kurven Definition: Ein Weg ist eine stetige Abbildung aus einem Intervall I = [a; b] R in den R n : f : I R n
![2. VEKTORANALYSIS 2.1 Kurven Definition: Ein Weg ist eine stetige Abbildung aus einem Intervall I = [a; b] R in den R n : f : I R n](/thumbs/49/25862272.jpg "2. VEKTORANALYSIS 2.1 Kurven Definition: Ein Weg ist eine stetige Abbildung aus einem Intervall I = [a; b] R in den R n : f : I R n")
2. VEKTORANALYSIS 2.1 Kurven Definition: Ein Weg ist eine stetige Abbildung aus einem Intervall I = [a; b] R in den R n : f : I R n f ist in dem Fall ein Weg in R n. Das Bild f(t) des Weges wird als Kurve
Mathematik II Frühlingsemester 2015 Kap. 9: Funktionen von mehreren Variablen 9.2 Partielle Differentiation
Mathematik II Frühlingsemester 2015 Kap. 9: Funktionen von mehreren Variablen 9.2 Partielle Differentiation www.math.ethz.ch/education/bachelor/lectures/fs2015/other/mathematik2 biol Prof. Dr. Erich Walter
Sei Φ(x, y, z) ein skalares Feld, also eine Funktion, deren Wert in jedem Raumpunkt definiert ist.
Beim Differenzieren von Vektoren im Zusammenhang mit den Kreisbewegungen haben wir bereits gesehen, dass ein Vektor als dreiwertige Funktion a(x, y, z) aufgefasst werden kann, die an jedem Punkt im dreidimensionalen
Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler Kapitel 4-6. Universität Trier Wintersemester 2013 / 2014
Mathematik für Kapitel 4-6 Universität Trier Wintersemester 2013 / 2014 Kapitel 4 1. Extremwerte 2. Lokale Optimalpunkte 3. Wendepunkte 2 Kapitel 4.1 EXTREMWERTE 3 Extrempunkte und Extremwerte 4 Strikte
Vorkurs Mathematik für Informatiker. 1 Potenzen. Michael Bader, Thomas Huckle, Stefan Zimmer Oktober Kap.
1 Potenzen Michael Bader, Thomas Huckle, Stefan Zimmer 1. 9. Oktober 2008 Kap. 1: Potenzen 1 Potenzen Definition Für reelle Zahl x R (Basis) und eine natürliche Zahl n N (Exponent): x n := x x x... x }{{}
Vektoralgebra Anwendungen der Vektorrechnung VEKTORRECHNUNG. Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet. Hochschule Esslingen 1/64
1/64 VEKTORRECHNUNG Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Hochschule Esslingen März 2011 2/64 Overview Vektoralgebra 1 Vektoralgebra 2 Was sind Vektoren? 3/64 Vektoren werden geometrisch definiert als Pfeilklassen:
Lösung 05 Klassische Theoretische Physik I WS 15/16. y a 2 + r 2. A(r) =
Karlsruher Institut für Technologie Institut für theoretische Festkörperphsik www.tfp.kit.edu Lösung Klassische Theoretische Phsik I WS / Prof. Dr. G. Schön Punkte Sebastian Zanker, Daniel Mendler Besprechung...
2. Vorlesung Wintersemester
2. Vorlesung Wintersemester 1 Mechanik von Punktteilchen Ein Punktteilchen ist eine Abstraktion. In der Natur gibt es zwar Elementarteilchen (Elektronen, Neutrinos, usw.), von denen bisher keine Ausdehnung
Partielle Ableitungen & Tangentialebenen. Folie 1
Partielle Ableitungen & Tangentialebenen Folie 1 Bei Funktionen mit einer Variable, gibt die Ableitung f () die Steigung an. Bei mehreren Variablen, z(,), gibt es keine eindeutige Steigung. Die Steigung
Fehlerfortpflanzung & Extremwertbestimmung. Folie 1
Fehlerfortpflanzung & Etremwertbestimmung Folie 1 Fehlerfortpflanzung Einführung In vielen technischen Zusammenhängen sind die Werte bestimmter Größen nicht genau bekannt sondern mit einer Unsicherheit
Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler
Knut Sydsaeter Peter HammondJ Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler Basiswissen mit Praxisbezug 2., aktualisierte Auflage Inhaltsverzeichnis Vorwort 13 Vorwort zur zweiten Auflage 19 Kapitel 1 Einführung,
Satz v. Gauß: Volumenintegral der Divergenz = Flussintegral über Fläche. suggestive Notation. "Ausfluss pro Volumenelement"
Zusammenfassung: Satz v. Gauß Satz v. Gauß: Volumenintegral der Divergenz = Flussintegral über Fläche Volumen Rand des Volumens = Oberfläche Symbolisch: suggestive Notation Geometrische Definition der
Inhaltsverzeichnis. Vorwort Kapitel 1 Einführung, I: Algebra Kapitel 2 Einführung, II: Gleichungen... 57
Vorwort... 13 Vorwort zur 3. deutschen Auflage... 17 Kapitel 1 Einführung, I: Algebra... 19 1.1 Die reellen Zahlen... 20 1.2 Ganzzahlige Potenzen... 23 1.3 Regeln der Algebra... 29 1.4 Brüche... 34 1.5
Vektoren, Vektorräume
Vektoren, Vektorräume Roman Wienands Sommersemester 2010 Mathematisches Institut der Universität zu Köln Roman Wienands (Universität zu Köln) Mathematik II für Studierende der Chemie Sommersemester 2010
4 Gradient einer skalaren Funktion, Potential
4 GRADIENT EINER SKALAREN FUNKTION, POTENTIAL 1 4 Gradient einer skalaren Funktion, Potential 4.1 1-dimensionaler Fall Als Beispiel betrachten wir eine (skalare) Funktion in einer Dimension x! f(x), diez.b.
Das Amperesche Gesetz Der Maxwellsche Verschiebungsstrom Magnetische Induktion Lenzsche Regel
11. Elektrodynamik 11.5.4 Das Amperesche Gesetz 11.5.5 Der Maxwellsche Verschiebungsstrom 11.5.6 Magnetische Induktion 11.5.7 Lenzsche Regel 11.6 Maxwellsche Gleichungen 11.7 Elektromagnetische Wellen
Mathematik für Naturwissenschaftler I WS 2009/2010
Mathematik für Naturwissenschaftler I WS 2009/2010 Lektion 18 8. Januar 2010 Kapitel 5. Funktionen mehrerer Veränderlicher, Stetigkeit und partielle Ableitungen 5.2. Partielle Ableitungen von Funktionen
Vorlesungsfolien Mathematik 3 WS 2010/11 UMIT. Einleitung
Vorlesungsfolien Mathematik 3 WS 2010/11 Dr. Leonhard Wieser UMIT Einleitung Begriff Vektoranalysis: Kombination aus Linearer Algebra/Vektorrechnung mit Differential- und Integralrechnung Inhaltsangabe:
(x 1. Vektoren. g: x = p + r u. p r (u1. x 2. u 2. p 2
Vektoren Mit der Vektorrechnung werden oft geometrische Probleme gelöst. Wenn irgendwelche Aufgabenstellungen geometrisch darstellbar sind, z.b. Flugbahnen oder Abstandsberechnungen, dann können sie mit
(geometrische) Anschauung
(geometrische) Anschauung Marcus Page Juni 28 In dieser Lerneinheit widmen wir uns dem schon oft angesprochenen Zusammenhang zwischen Matrizen und linearen Abbildungen. Außerdem untersuchen wir Funktionen,
Rechnen mit Vektoren. 1. Vektoren im Koordinatensystem Freie Vektoren in der Ebene
Rechnen mit 1. im Koordinatensystem 1.1. Freie in der Ebene 1) Definition Ein Vektor... Zwei sind gleich, wenn... 2) Das ebene Koordinatensystem Wir legen den Koordinatenursprung fest, ferner zwei zueinander
3.4 Gradient, Divergenz, Rotation in anderen Koordinaten
3.3.5 Rechenregeln Für Skalarfelder f, g und Vektorfelder v, w gelten die Beziehungen fg) = f g + g f v w) = v ) w + w ) v + v w) + w v) f v) = f v + v f v w) = w v) v w) 3.5a) 3.5b) 3.5c) 3.5d) f) = div
Lineare Gleichungssysteme (Teschl/Teschl 11.1)
Lineare Gleichungssysteme (Teschl/Teschl.) Ein Lineares Gleichungssystem (LGS) besteht aus m Gleichungen mit n Unbekannten x,...,x n und hat die Form a x + a 2 x 2 +... + a n x n b a 2 x + a 22 x 2 +...
Kurs über Lineare Gleichungssysteme. PD Dr. Karin Halupczok
Kurs über Lineare Gleichungssysteme PD Dr. Karin Halupczok Mathematisches Institut Albert-Ludwigs-Universität Freiburg http://home.mathematik.unifreiburg.de/halupczok/diverses.html karin.halupczok@math.uni-freiburg.de
"wahre Anomalie": (= Winkel bzgl. Fokus) "exzentrische Anomalie": const =
Beipiel 4: Iteratives Lösen von Gleichungen Kepler-Gleichung: Finde Lösung für bis inklusive! Physikalische Anwendung im Kepler-Problem: Gl. (1) bestimmt den Zusammenhang zwischen Laufzeit t und der "exzentrischen
Lernmaterialblatt Mathematik. Vektorrechnung eine Einführung. Anwendung Mathematik I. Einleitung:
Vektorrechnung eine Einführung Einleitung: Um beispielsweise das Dreieck ABC in der Abbildung an die Position A'B'C' zu verschieben, muss jeder Punkt um sieben Einheiten nach rechts und drei nach oben
Inhaltsverzeichnis. 1 Lineare Algebra 12
Inhaltsverzeichnis 1 Lineare Algebra 12 1.1 Vektorrechnung 12 1.1.1 Grundlagen 12 1.1.2 Lineare Abhängigkeit 18 1.1.3 Vektorräume 22 1.1.4 Dimension und Basis 24 1.2 Matrizen 26 1.2.1 Definition einer
& sind die Vektorkomponenten von und sind die Vektorkoordinaten von. A x. a) Der Betrag eines Vektors
Einführu hnung Was ist ein Vektor? In Bereichen der Naturwissenschaften treten Größen auf, die nicht nur durch eine Zahlenangabe dargestellt werden können, wie Kraft oder Geschwindigkeit. Zur vollständigen
Mathematik für Biologen mathematische Ergänzungen und Beispiele Teil I
Mathematik für Biologen mathematische Ergänzungen und Beispiele Teil I 1. Mengen und Abbildungen In der Mathematik beschäftigt man sich immer -direkt oder indirekt- mit Mengen. Wir benötigen den Mengenbegriff
Grundsätzliches Produkte Anwendungen in der Geometrie. Vektorrechnung. Fakultät Grundlagen. Juli 2015
Vektorrechnung Fakultät Grundlagen Juli 205 Fakultät Grundlagen Vektorrechnung Übersicht Grundsätzliches Grundsätzliches Vektorbegriff Algebraisierung der Vektorrechnung Betrag 2 Skalarprodukt Vektorprodukt
37 Gauß-Algorithmus und lineare Gleichungssysteme
37 Gauß-Algorithmus und lineare Gleichungssysteme 37 Motivation Lineare Gleichungssysteme treten in einer Vielzahl von Anwendungen auf und müssen gelöst werden In Abschnitt 355 haben wir gesehen, dass
Definition: Variablentransformation d. Form (2) heisst "kanonisch", wenn sie d. Form der kanonischen Bewegungsgleichungen erhält, d.h.
Zusammenfassung: kanonische Transformationen Definition: Variablentransformation d. Form (2) heisst "kanonisch", wenn sie d. Form der kanonischen Bewegungsgleichungen erhält, d.h., wenn ein existiert,
Passerelle. Beschrieb der Fach-Module. von der Berufsmaturität. zu den universitären Hochschulen
Passerelle von der Berufsmaturität zu den universitären Hochschulen Beschrieb der Fach-Module Fachbereich Mathematik Teilmodule Teilmodul 1: Analysis (Differential- und Integralrechnung) Teilmodul 2: Vektorgeometrie
Definition, Rechenoperationen, Lineares Gleichungssystem
Bau und Gestaltung, Mathematik, T. Borer Aufgaben / Aufgaben Matrizen Definition, Rechenoperationen, Lineares Gleichungssystem Lernziele - die Bezeichnung der Matrixelemente kennen und verstehen. - den
Das Skalarprodukt zweier Vektoren
Beim Skalarprodukt zweier Vektoren werden die Vektoren so multipliziert, dass sich ein Skalar eine Zahl ergibt. Die Berechnung des Skalarproduktes ist ziemlich einfach, aber die weiteren Eigenschaften
Mathematik anschaulich dargestellt
Peter Dörsam Mathematik anschaulich dargestellt für Studierende der Wirtschaftswissenschaften 15. überarbeitete Auflage mit zahlreichen Abbildungen PD-Verlag Heidenau Inhaltsverzeichnis 1 Lineare Algebra
Outline. 1 Funktionen von mehreren Veränderlichen. 2 Grenzwert und Stetigkeit. 3 Partielle Ableitungen. 4 Die verallgemeinerte Kettenregel
Outline 1 Funktionen von mehreren Veränderlichen 2 Grenzwert und Stetigkeit 3 Partielle Ableitungen 4 Die verallgemeinerte Kettenregel 5 Das totale Differential 6 Extremstellen Roman Wienands (Universität
16 Elektromagnetische Wellen
16 Elektromagnetische Wellen In den folgenden Kapiteln werden wir uns verschiedenen zeitabhängigen Phänomenen zuwenden. Zunächst werden wir uns mit elektromagnetischen Wellen beschäftigen und sehen, dass
Grundlagen der Vektorrechnung
Grundlagen der Vektorrechnung Ein Vektor a ist eine geordnete Liste von n Zahlen Die Anzahl n dieser Zahlen wird als Dimension des Vektors bezeichnet Schreibweise: a a a R n Normale Reelle Zahlen nennt
Extrema von Funktionen mit zwei Variablen
Extrema von Funktionen mit zwei Variablen Es gilt der Satz: Ist an einer Stelle x,y ) f x x,y ) = und f y x,y ) = und besteht außerdem die Ungleichung f xx x,y )f yy x,y ) f xy x,y ) >, so liegt an dieser
3.4 Der Gaußsche Algorithmus
94 34 Der Gaußsche Algorithmus Wir kommen jetzt zur expliziten numerischen Lösung des eingangs als eine Motivierung für die Lineare Algebra angegebenen linearen Gleichungssystems 341 n 1 a ik x k = b i,
Überblick. Kapitel 7: Anwendungen der Differentialrechnung
Überblick Kapitel 7: Anwendungen der Differentialrechnung 1 Beispiel 1: Kapitel 7.1: Implizites Differenzieren 1 Beispiel 1: Steigung der Tangente Kapitel 7.1: Implizites Differenzieren 2 Beispiel 1: Steigung
8. Mehrkomponentensysteme. 8.1 Partielle molare Größen. Experiment 1 unter Umgebungsdruck p:
8. Mehrkomponentensysteme 8.1 Partielle molare Größen Experiment 1 unter Umgebungsdruck p: Fügen wir einer Menge Wasser n mit Volumen V (molares Volumen v m =V/n) bei einer bestimmten Temperatur T eine
entspricht der Länge des Vektorpfeils. Im R 2 : x =
Norm (oder Betrag) eines Vektors im R n entspricht der Länge des Vektorpfeils. ( ) Im R : x = x = x + x nach Pythagoras. Allgemein im R n : x x = x + x +... + x n. Beispiele ( ) =, ( 4 ) = 5, =, 4 = 0.
11. Vorlesung Wintersemester
11. Vorlesung Wintersemester 1 Ableitungen vektorieller Felder Mit Resultat Skalar: die Divergenz diva = A = A + A y y + A z z (1) Mit Resultat Vektor: die Rotation (engl. curl): ( rota = A Az = y A y
19.3 Oberflächenintegrale
19.3 Oberflächenintegrale Definition: Sei D R 2 ein Gebiet und p : D R 3 eine C 1 -Abbildung x = p(u) mit x R 3 und u = (u 1, u 2 ) T D R 2 Sind für alle u D die beiden Vektoren und u 1 linear unabhängig,
ein geeignetes Koordinatensystem zu verwenden.
1.13 Koordinatensysteme (Anwendungen) Man ist immer bemüht, für die mathematische Beschreibung einer wissenschaftlichen Aufgabe ( Chemie, Biologie,Physik ) ein geeignetes Koordinatensystem zu verwenden.
Funktionen mehrerer Variabler
Funktionen mehrerer Variabler Fakultät Grundlagen Juli 2015 Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Übersicht Funktionsbegriff 1 Funktionsbegriff Beispiele Darstellung Schnitte 2 Partielle Ableitungen
8 Extremwerte reellwertiger Funktionen
8 Extremwerte reellwertiger Funktionen 34 8 Extremwerte reellwertiger Funktionen Wir wollen nun auch Extremwerte reellwertiger Funktionen untersuchen. Definition Es sei U R n eine offene Menge, f : U R
Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt 10 21.12.2009
Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt 10 21.12.2009 Aufgabe 35: Thema: Singulärwertzerlegung und assoziierte Unterräume Sei A eine m n Matrix mit Rang r und A = UDV T ihre Singulärwertzerlegung.
Vorkurs Mathematik-Physik, Teil 5 c 2016 A. Kersch
Vorkurs Mathematik-Physik, Teil 5 c 206 A. Kersch Vektoren. Vektorrechnung Definition Ein Vektor ist eine gerichtete Größe welche einen Betrag ( Zahl und eine Richtung ( in 2D, 2 in 3D hat. Alternativ
Mathematischer Vorkurs Lösungen zum Übungsblatt 5
Mathematischer Vorkurs Lösungen zum Übungsblatt 5 Prof. Dr. Norbert Pietralla/Sommersemester 2012 c.v.meister@skmail.ikp.physik.tu-darmstadt.de Aufgabe 1: Berechnen Sie den Abstand d der Punkte P 1 und
Analytische Geometrie I
Analytische Geometrie I Rainer Hauser Januar 202 Einleitung. Geometrie und Algebra Geometrie und Algebra sind historisch zwei unabhängige Teilgebiete der Mathematik und werden bis heute von Laien weitgehend
Lösung zu den Testaufgaben zur Mathematik für Chemiker II (Analysis)
Universität D U I S B U R G E S S E N Campus Essen, Mathematik PD Dr. L. Strüngmann Informationen zur Veranstaltung unter: http://www.uni-due.de/algebra-logic/struengmann.shtml SS 7 Lösung zu den Testaufgaben
Eine lineare Abbildung ist bijektiv, d.h. ihre Matrix ist invertierbar, falls und nur falls
Kriterien für Invertierbarkeit einer Matrix Eine lineare Abbildung ist bijektiv, d.h. ihre Matrix ist invertierbar, falls und nur falls (i) für jede Basis, die Bildvektoren auch eine Basis, bilden; (intuitiv
Multivariate Analysis
Kapitel Multivariate Analysis Josef Leydold c 6 Mathematische Methoden I Multivariate Analysis / 38 Lernziele Funktionen in mehreren Variablen Graph und Niveaulinien einer Funktion in zwei Variablen Partielle
Differentialrechnung
Kapitel 7 Differentialrechnung Josef Leydold Mathematik für VW WS 205/6 7 Differentialrechnung / 56 Differenzenquotient Sei f : R R eine Funktion. Der Quotient f = f ( 0 + ) f ( 0 ) = f () f ( 0) 0 heißt
Vektoren - Basiswechsel
Vektoren - Basiswechsel Grundprinzip Für rein geometrische Anwendungen verwendet man üblicherweise die Standardbasis. Damit ergibt sich in den Zahlenangaben der Koordinaten kein Unterschied zu einem Bezug
QED Materie, Licht und das Nichts. Wissenschaftliches Gebiet und Thema: Physikalische Eigenschaften von Licht
QED Materie, Licht und das Nichts 1 Wissenschaftliches Gebiet und Thema: Physikalische Eigenschaften von Licht Titel/Jahr: QED Materie, Licht und das Nichts (2005) Filmstudio: Sciencemotion Webseite des
Vektoren. Kapitel 3. 3.1 Skalare, Vektoren, Tensoren. 3.2 Vektoren
Kapitel 3 Vektoren 31 Skalare, Vektoren, Tensoren Viele physikalische Größen lassen sich bei bekannter Maßeinheit durch Angabe ihres Betrages als reelle Zahl vollständig angeben Solche Größen nennt man
Mathematik für Physiker 1
Klaus Weltner Mathematik für Physiker 1 Basiswissen für das Grundstudium der Experimentalphysik 14. überarbeitete Auflage mit 231 Abbildungen und CD-ROM verfasst von Klaus Weltner, Hartmut Wiesner, Paul-Bernd
Inhaltsverzeichnis. 4 Elementare Funktionen und ihre Graphen...51
Inhaltsverzeichnis 1 1 Analysis...17 1.1 Funktionen...17 1.1.1 Begriff...17 1.1.2 Nutzen von Funktionen...19 1.1.3 Graph der Funktion...19 1.2 Aufgaben der Analysis...21 1.3 Vorschau...22 2 Elementares
2.4 Die Länge von Vektoren
.4 Die Länge von Vektoren 59 Wir können dies auch so sagen: Wir identifizieren (,1)-Spaltenmatrizen mit Vektoren (oder Punkten) aus R, das heißt die Menge R und R 1 werden miteinander identifiziert. Einen
Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler. Universität Trier Wintersemester 2013 / 2014
Mathematik für Universität Trier Wintersemester 2013 / 2014 Inhalt der Vorlesung 1. Gleichungen und Summen 2. Grundlagen der Funktionslehre 3. Rechnen mit Funktionen 4. Optimierung von Funktionen 5. Funktionen
Stetigkeit an der Stelle X0 2 Rn (Folgen) f : Rn! Rm. Stetigkeit an der Stelle X0 2 Rn
Body-Mass-nde/Ko rpermasseinde BM = Gewicht (Gro ße) Ko rpermasseinde (betrachte aber nur > 0, y > 0) fu r y = c fest: eine Gerade B() = c fu r = c fest: eine Hyperbel B(y ) = yc BM = Ko rpermasseinde
Für räumliche Vektorfelder F, G und räumliche Skalarfelder U, V gelten folgende Rechenregeln. Rechenregeln für Differentialoperatoren 1-1
Rechenregeln für Differentialoperatoren Für räumliche Vektorfelder F, G und räumliche Skalarfelder U, V gelten folgende Rechenregeln. Rechenregeln für Differentialoperatoren 1-1 Rechenregeln für Differentialoperatoren
1. Funktionen. 1.3 Steigung von Funktionsgraphen
Klasse 8 Algebra.3 Steigung von Funktionsgraphen. Funktionen y Ist jedem Element einer Menge A genau ein E- lement einer Menge B zugeordnet, so nennt man die Zuordnung eindeutig. 3 5 6 8 Dies ist eine
Geometrische Objekte im 3-dimensionalen affinen Raum oder,... wie nützlich ist ein zugehöriger Vektorraum der Verschiebungen
Geometrische Objekte im -dimensionalen affinen Raum Bekanntlich versteht man unter geometrischen Objekten Punktmengen, auf die man die üblichen Mengenoperationen wie z.b.: Schnittmenge bilden: - aussagenlogisch:
16 Vektorfelder und 1-Formen
45 16 Vektorfelder und 1-Formen 16.1 Vektorfelder Ein Vektorfeld v auf D R n ist eine Abbildung v : D R n, x v(x). Beispiele. Elektrisches und Magnetisches Feld E(x), B(x), Geschwindigkeitsfeld einer Strömung
Zahlen und metrische Räume
Zahlen und metrische Räume Natürliche Zahlen : Die natürlichen Zahlen sind die grundlegendste Zahlenmenge, da man diese Menge für das einfache Zählen verwendet. N = {1, 2, 3, 4,...} bzw. N 0 = {0, 1, 2,
2 Funktionen mehrerer Veränderlicher
2 Funktionen mehrerer Veränderlicher 4 2 Funktionen mehrerer Veränderlicher Wir betrachten nun Funktionen, die auf einer Teilmenge des R n definiert sind. Wir betrachten eine Funktion f, deren Definitionsbereich
Großes Lehrbuch der Mathematik für Ökonomen
Großes Lehrbuch der Mathematik für Ökonomen Von Professor Dr. Karl Bosch o. Professor für angewandte Mathematik und Statistik an der Universität Stuttgart-Hohenheim und Professor Dr. Uwe Jensen R. Oldenbourg
14 Partielle Ableitung, totales Differential und Gradient
27 14 Partielle Ableitung, totales Differential und Gradient 14.1 Die partielle Ableitung Die geometrische Bedeutung der Ableitung einer Funktion mit einer Variablen ist bekanntlich die Steigung der Tangente
1 Euklidische und unitäre Vektorräume
1 Euklidische und unitäre Vektorräume In diesem Abschnitt betrachten wir reelle und komplexe Vektorräume mit Skalarprodukt. Dieses erlaubt uns die Länge eines Vektors zu definieren und (im Fall eines reellen
f(x) f(x 0 ) lokales Maximum x U : gilt, so heißt x 0 isoliertes lokales Minimum lokales Minimum Ferner nennen wir x 0 Extremum.
Fabian Kohler Karolina Stoiber Ferienkurs Analsis für Phsiker SS 4 A Extrema In diesem Abschnitt sollen Extremwerte von Funktionen f : D R n R diskutiert werden. Auch hier gibt es viele Ähnlichkeiten mit
VIII.1.4 Magnetisches Feld induziert durch einfache Ladungsströme
V. Grundbegriffe und -ergebnisse der Magnetostatik 5 V..4 Magnetisches Feld induziert durch einfache Ladungsströme m Fall eines Ladungsstroms durch einen dünnen Draht vereinfacht sich das ntegral im Biot
Übungen zu Kurvenintegralen Lösungen zu Übung 12
Übungen zu Kurvenintegralen Lösungen zu Übung. Sei der obere Halbreis mit dem Radius r um (, ), und sei f(x, y) : y. Berechnen Sie f(x, y) ds. Das ist jetzt eine leine Aufgabe zum Aufwärmen. Guter Tric:
Kapitel 3. Konvergenz von Folgen und Reihen
Kapitel 3. Konvergenz von Folgen und Reihen 3.1. Normierte Vektorräume Definition: Sei V ein Vektorraum (oder linearer Raum) über (dem Körper) R. Eine Abbildung : V [0, ) heißt Norm auf V, falls die folgenden
Länge, Skalarprodukt, Vektorprodukt
Länge, Skalarprodukt, Vektorprodukt Jörn Loviscach Versionsstand: 20. April 2009, 19:39 1 Überblick Ein Vektorraum muss nur eine Minimalausstattung an Rechenoperationen besitzen: die Addition zweier Vektoren
r a t u Parametergleichung der Geraden durch den Punkt A mit dem Richtungsvektor u t R heisst Parameter
8 3. Darstellung der Geraden im Raum 3.. Parametergleichung der Geraden Die naheliegende Vermutung, dass eine Gerade des Raumes durch eine Gleichung der Form ax + by + cz +d = 0 beschrieben werden kann
A2.3 Lineare Gleichungssysteme
A2.3 Lineare Gleichungssysteme Schnittpunkte von Graphen Bereits weiter oben wurden die Schnittpunkte von Funktionsgraphen mit den Koordinatenachsen besprochen. Wenn sich zwei Geraden schneiden, dann müssen
Einführung in die Physikalische Chemie Teil 2: Makroskopische Phänomene und Thermodynamik
Einführung in die Phsikalische Chemie Teil 2: Makroskopische Phänomene und Thermodnamik Kapitel 7: Boltzmann-Verteilung Kapitel 8: Statistische Beschreibung makroskopischer Grössen Kapitel 9: Thermodnamik:
12. Elektrodynamik. 12. Elektrodynamik
12. Elektrodynamik 12.1 Quellen von Magnetfeldern 12.2 Das Ampere sche Gesetz 12.3 Maxwell sche Verschiebungsstrom 12.4 Magnetische Induktion 12.5 Lenz sche Regel 12.6 Magnetische Kraft 12. Elektrodynamik
9. Vorlesung Wintersemester
9. Vorlesung Wintersemester 1 Die Phase der angeregten Schwingung Wertebereich: bei der oben abgeleiteten Formel tan φ = β ω ω ω0. (1) ist noch zu sehen, in welchem Bereich der Winkel liegt. Aus der ursprünglichen
Mathematik in der Biologie
Erich Bohl Mathematik in der Biologie 4., vollständig überarbeitete und erweiterte Auflage Mit 65 Abbildungen und 16 Tabellen ^J Springer Inhaltsverzeichnis Warum verwendet ein Biologe eigentlich Mathematik?
Übung 22: Gradient und Richtungsableitung; Extremwertaufgaben für Funktionen mehrerer Veränderlicher
Technische Universität Chemnitz 1. Juli 20 Fakultät für Mathematik Höhere Mathematik I.2 Übung 22: Gradient und Richtungsableitung; Extremwertaufgaben für Funktionen mehrerer Veränderlicher 1. Durch ein
f f(x ɛξ) f(x) 0, d.h. f (x)ξ = 0 für alle ξ B 1 (0). Also f (x) = 0. In Koordinaten bedeutet dies gerade, dass in Extremstellen gilt: f(x) = 0.
Mehrdimensionale Dierenzialrechnung 9 Optimierung 9 Optimierung Definition Seien U R n oen, f : U R, x U x heiÿt lokales Maximum, falls eine Umgebung V U von x existiert mit y V : fx fy x heiÿt lokales
Mathematik für Chemische Technologie 2
Mathematik für Chemische Technologie 2 Themenüberblick: Funktionen mehrerer unabhängigen Veränderlichen Vektoralgebra Lineare Gleichungssysteme und Determinanten Fehlerrechnung Schwerpunkt des Sommersemesters