VEKTOREN. Allgemeines. Vektoren in der Ebene (2D)

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1 VEKTOREN Allgemeines Man unterscheidet im Schulgebrauch zwischen zweidimensionalen und dreidimensionalen Vektoren (es kann aber auch Vektoren geben, die mehr als 3 Komponenten haben). Während zweidimensionale Vektoren aus 2 Zahlen bestehen und in einer Ebene dargestellt werden (x,y), werden bei dreidimensionalen Vektoren drei Zahlen im Raum dargestellt (x,y,z). Ein Vektor ist also eine Liste von Zahlen, die in einem Koordinatensystem (meistens als Pfeil) dargestellt werden kann. Vektoren werden meistens mittels Buchstaben mit Pfeilen bezeichnet. a = ( 3 ) 3 in x-richtung 5 b = ( 0 ) in y-richtung 2 Vektoren in der Ebene (2D) 5 in x-richtung 0 in y-richtung -2 in z-richtung Geht man von zwei Punkten, z.b. P1(1/3) und P2(/1) in einem Koordinatensystem aus, so kann man zwischen ihnen einen Vektor zeichnen (Bild 1). Dieser Vektor geht 3 nach rechts und 2 nach unten (unten = Minus), er hat deshalb die beiden Komponenten 3 und -2 => a = ( 3 ). Dieser Vektor verläuft nun von A nach B. Würde er von B nach A (also genau 2 umgekehrt) verlaufen, so wären seine Koordinaten a = ( 3 ). Man berechnet einen Vektor 2 immer mit Spitze Schaft (also der Punkt der an der Spitze steht minus den, der am Schaft steht). Ist bereits ein Vektor ohne Punkte gegeben, z.b. a = ( 1 ), so weiß man, dass man einen Pfeil zeichnen muss, der 1 nach rechts und nach oben gehen muss. Der Startpunkt dieses Pfeiles ist nicht festgelegt, deshalb kann dieser auch überall sein (Bild 2). Da auch Punkte mit 2 Zahlen beschrieben werden können, kann ein Vektor auch einen Punkt (immer von 0 weg) beschreiben. Einen solchen Vektor (der einen Punkt angibt) nennt man Ortsvektor. Wäre a = ( 1 ) ein Ortsvektor so würde durch ihn ein Punkt der vom Nullpunkt 1 nach rechts und nach oben entfernt ist, beschrieben. Also wie wenn man einen Punkt mit P(1/) hätte. a Ein Vektor zwischen zwei Punkten heißt Verbindungsvektor (Bild 1), ein Vektor als Angabe ohne Punkte heißt Verschiebungsvektor (Bild 2) und ein Vektor vom Ursprung weg heißt Ortsvektor (Bild 3).

2 Länge/Betrag eines Vektors Um die Länge eines ebenen Vektors zu bestimmen, berechnet man dessen Betrag. Dies ist mit dem Lehrsatz des Pythagoras möglich. Also einfach die Wurzel aus x-komponente² + y-komponente². Beispiel: a = ( 2 ) => a = 2 + 2² =,7 Einheitsvektor Hat ein Vektor die Länge 1, so heißt der Einheitsvektor. Einheitsvektoren bezeichnet man auch als normierte Vektoren. Man kann aus jedem beliebigen Vektor den Einheitsvektor bilden, indem man den vorgegebenen Vektor (also die x- und y-komponente) durch dessen Betrag dividiert. Beispiel: a = ( 2 ) => Der Betrag ist hier a = 2 + 2² =,7. Dividiert man nun beide Komponenten durch,7, so bekommt man den Einheitsvektor. :,7 = 0,89; 2:,7 = 0,5 => a E = ( 0,89 0,5 ) Würde man nun die Länge berechnen, so kommt 1 heraus. a E = ( 0,89 0,5 ) => a E = 0, ,5² = 1 Normalvektor Ein Normalvektor ist ein rechtwinkeliger Vektor zu einem bereits vorgegebenen Vektor. Man berechnet diesen, indem man die x- und y- Komponenten vertauscht und auf einer der beiden Seiten (Achtung: entweder nur oben oder nur unten, nicht auf beiden Seiten) das Vorzeichen wechselt. Beispiel: a = ( 2 ) => n A= ( 2 ) oder n A= ( 2 ) Inverser Vektor Ändert man bei einem Vektor auf beiden Seiten die Vorzeichen (aber ohne die x- und y-komponenten zu vertauschen), so verläuft dieser in die entgegengesetzte Richtung. Man spricht nun von einem inversen Vektor. Beispiel: a = ( 2 ) => a inv= ( 2 ) Addition von Vektoren Um zwei Vektoren zu addieren, muss man einfach die x- und y- Komponenten zusammenzählen. Wäre noch ein z-wert vorhanden, würde mit diesem genauso verfahren werden. In der Zeichnung baut man einfach einen Vektor an den anderen dran, der Ergebnisvektor geht dann vom Start bis zum Ende (blau) Beispiel: a = ( 3 2 ), b = ( 1 3 ) => a + b = ( ) = ( 5 )

3 Subtraktion von Vektoren Auch hier muss man einfach die x- und y-komponenten subtrahieren. Wäre noch ein z-wert vorhanden, würde mit diesem genauso verfahren werden. In der Zeichnung baut man entweder beide Vektoren mit der Spitze oder mit dem Schaft aneinander, die Linie zwischen den Vektoren (blau) ist dann das Ergebnis. Beispiel: a = ( 3 2 ), b = ( 1 3 ) => a - b = ( ) = ( 2 1 ) Multiplikation von Vektoren mit einer reellen Zahl Wird ein Vektor mit einer Zahl multipliziert, so rechnet man diese Zahl (ähnlich wie beim hineinmultiplizieren in eine Klammer) mit der x- und y-komponente. Beispiel: a = ( 3 2 ) beide werden multipliziert mit 3 => 3*( 3 2 ) = (9 ). Der Pfeil 6 hat nun die 3-fache Länge. Multiplikation zweier Vektoren (=Skalarprodukt) Werden zwei Vektoren miteinander multipliziert, so kommt kein neuer Vektor heraus, sondern eine Zahl. Man spricht auch von einem Skalarprodukt. Hierbei multipliziert man die beiden x-komponenten, sowie die beiden y-komponenten und zählt diese zusammen. Beispiel: a = ( 3 2 ), b = ( 1 3 ) => a * b = ( 3 2 )*(1 ) = 3*1 + 2*3 = 9 3 Wichtig: Ist das Skalarprodukt zweier Vektoren Null, stehen die beiden Vektoren senkrecht (=orthogonal) aufeinander. Graphisch gesehen bedeutet das Skalarprodukt, dass man eine Länge mit der anderen Länge (aber auf die erste projiziert) multipliziert, siehe Bild. Vektorprodukt oder Kreuzprodukt Ein Vektor- oder Kreuzprodukt ist nur bei dreidimensionalen Vektoren möglich, daher siehe Rubrik Vektoren im Raum (3D). Winkel zwischen zwei Vektoren Um den Winkel zwischen zwei Vektoren zu berechnen, muss man einfach in die untenstehende Formel einsetzen. Im Zählen berechnet man das Skalarprodukt, im Nenner das Produkt der Beträge. cos(α) = a b a b

4 Beispiel: a = ( 3 2 ), b = ( ) => cos(α) = ² ² => cos(α) = 9 => cos(α) = 0,79 3,6 3,16 => α = 37,87 Mittelpunkt einer Strecke Hat man zwei Punkte gegeben und einen Verbindungsvektor zwischen diesen, so kann man den Mittelpunkt dieser Strecke berechnen, indem man einfach die x- und y-komponente des Vektors halbiert und diesen dann vom ersten Punkt weg abträgt. Beispiel: P(3/2), Q(9/6) => a = ( 6 ) => a: 2 = ( 3 ) => von 2 P weg 3 nach rechts und 2 nach oben => M(3+3/2+2) => M(6/) Darstellung von Geraden 1. Parameterform Eine Gerade kann einerseits mittel Parameterform, andererseits mittels Normalvektorform gegeben werden. Bei der Parameterform wird sie über einen Punkt mit einem unendlich langen Richtungsvektor definiert. Eine Parameterform sieht so aus: X = Punkt + v*richtungsvektor Das v steht für einen Faktor, um den der Richtungsvektor vergrößert wird. Ist v z.b. 2, so wird er um das Doppelte vergrößert, ist v keine Zahl, sondern einfach nur der Buchstabe, so wird er unendlich vergrößert => man bekommt statt einer Strecke eine Gerade. Nachdem ein Vektor aber einfach ein Pfeil in eine bestimmte Richtung ist, dieser aber beliebig verschiebbar ist, gibt man davor noch einen Punkt an, sodass der Vektor durch diesen verläuft. Beispiel: X = (2/1) + Buchstabe (z.b. v)*( 3 2 ) 2. Normalvektorform Eine Gerade kann auch über die Normalvektorform gegeben werden. Hierbei wird sie in der Form g: n * X = n * R dargestellt und kann dann weiter verarbeitet werden. n steht dabei für den Normalvektor und R für einen vorgegebenen Punkt. Das X ist ein Vektor aus einer x- und y-komponente und kann dann zur gewohnten Form y=k*x+d umgewandelt werden. Beispiel: R(3/-1), Normalvektor n = ( 2 1 ) g: ( 2 1 ) X = ( 2 1 ) ( 3 1 ) => ( 2 1 ) (x y ) = ( 2 1 ) ( 3 ) => 2*x + (-1)*y=2*3 + (-1)*(-1) 1 Durch Ausmultiplizieren erhält man die Normalform der Geradengleichung: 2x - y = 7 Ist eine Gerade in der Parameterform gegeben, so kann man den Normalvektor aus dem Richtungsvektor ableiten, indem man diesen umdreht und auf einer Seite das Vorzeichen ändert.

5 Beispiel: X = (2/1) + v*( 3 2 ) => Richtungsvektor = (3 ) => Normalvektor = ( ) => Normalform g: ( 2 3 ) (x y ) = ( 2 3 ) (2 1 ) => -2x+3y = -1 => y = 2 x Ebenso kann man eine Gleichung von der Normalvektorform in die Parameterform bringen: -2x+3y = -1 => Richtungsvektor bestimmen indem man den Normalvektor umwandelt => Normalvektor = ( 2 3 ) => Richtungsvektor => (3 ). Jetzt noch einen Punkt finden, indem man 2 einfach einen beliebigen x-wert in die Ausgangsgleichung einsetzt (z.b. x=2) => -2*2+3y = -1 => y = 1 => Parameterform: X = (2/1) + v*( 3 2 ) Gerade bestimmen Eine Gerade kann entweder durch 2 Punkte oder 1 Punkt und einen Vektor ermittelt werden. Sind ein Punkt und ein Vektor bereits gegeben, so hat man die Gleichung bereits im Vorfeld, denn die Parameterform besteht ja (wie oben erwähnt) aus diesen beiden. Hat man zwei Punkte, so kann man zwischen diesen den Richtungsvektor bestimmen. Diesen erhält man wieder durch die Regel Spitze minus Schaft, also den Endpunkt minus den Anfangspunkt. Beispiel: Punkte A(-1/3) und B(0/7) => Richtungsvektor = ( 1 ) Nun verwendet man einen der beiden Punkte als Referenzpunkt (egal welchen, es kommt dieselbe Gerade heraus) und stellt die Parameterform auf: g: X = (-1/3) + p*( 1 ) Prüfen, ob Punkt auf Gerade liegt Wenn man überprüfen will, ob ein vorgegebener Punkt auf einer auch vorgegebenen Geraden liegt, so setzt man diesen Punkt einfach für das X am Beginn der Gleichung ein und stellt dann über jede Zeile eine Gleichung auf. Für den Buchstaben muss die gleiche Zahl herauskommen, ansonsten liegt Punkt nicht auf Geraden. Beispiel: Liegt C(1/11) auf der Geraden g: X = (-1/3) + p*( 1 )? g: ( x y ) = ( 1 3 ) + p*(1 ) => ( 1 11 ) = ( 1 3 ) + p*(1 ) => Gleichungen aufstellen 1 = -1 + p*1 => p = 2 11 = 3 + p* => p = 2 Punkt liegt auf Geraden Weitere Punkte auf Geraden ermitteln Will man weitere Punkte auf der Geraden ermitteln, so braucht man nur einen beliebigen Wert für die Variable (im oberen Fall p) einzusetzen um wieder über jede Zeile die drei Komponenten zu erhalten. Beispiel: Gerade g: X = (-1/3) + p*( 1 ) Punkt 1 (für p einfach 3 eingesetzt): g: ( x y ) = ( 1 3 ) + 3*(1 ) => ( 2 15 ) Punkt 2 (für p einfach 0,5 eingesetzt): g: ( x y ) = ( 1 3 ) + 0,5*(1 ) => ( 0,5 5 )