Mit Skalarprodukt und Vektorprodukt lässt sich ein weiteres, kombiniertes Produkt, das Spatprodukt

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1 Mit Skalarprodukt und Vektorprodukt lässt sich ein weiteres, kombiniertes Produkt, das Spatprodukt a ( b c) bilden. Aus der geometrischen Interpretation von Skalarprodukt und Vektorprodukt ist sofort ersichtlich, dass der Betrag des Spatprodukts das Volumen des, durch a, b und c aufgespannten Parallelepipeds liefert. Drückt man das Spatprodukt durch Veka c b Abbildung 2: Parallelepiped, das durch die 3 Vektoren a, b und c aufgespannt wird. torkomponenten (bezüglich einer rechtshändigen Orthonormalbasis) aus, so nimmt es eine recht einfach Form an: a ( a 1 a 2 a 3 b c) = b 1 b 2 b 3 = b ( c a) = c ( a b). c 1 c 2 c 3 Nachdem wir nun gesehen haben, dass die Komponentendarstellung von Vektoren bezüglich einer Orthonormalbasis besonders einfache Ausdrücke für diverse Vektorprodukte liefert, wollen wir uns ein systematisches Verfahren ansehen, mit dem man aus einer Menge von linear unabhängigen Elementen eines (beliebigen) euklidischen oder unitären Vektorraums ein Orthonormalsystem konstruieren kann. Der Algorithmus läuft unter dem Namen Gram-Schmidt sches Orthonormierungsverfahren: {ṽ 1,ṽ 2,ṽ 3,...}seieinelinearunabhängigeTeilmengeeineseuklidischenoderunitären Vektorraums V. 1. Schritt: Normierung von ṽ 1 auf Eins: v 1 = ṽ1 ṽ 1 mit ṽ 1 = ṽ 1,ṽ 1. 48

2 2. Schritt: Subtraktion der Komponente von ṽ 2 in Richtung von v 1 und Normierung von w 2 auf Eins w 2 = ṽ 2 v 1 v 1,ṽ 2 v 2 = w 2 w 2 Damit sind v 2 und v 1 orthonormiert. Dieses Verfahren wird nun fortgesetzt, wobei vom neuen unnormierten Vektor immer alle Komponenten in Richtung der schon orthonormierten Vektoren subtrahiert werden.. v 1 v 1 v 2 v 2 W 2 -v 1 (v 1, v 2 ) Abbildung 3: Zweiter Schritt des Gram-Schmidt-Verfahrens. k. Schritt: Subtraktion der Komponenten von ṽ k in Richtung von v 1,v 2,...,v k 1 und Normierung von w k auf Eins k 1 w k = ṽ k v i v i,ṽ k i=1 v k = w k w k 49

3 Mit {v 1,v 2,v 3,...} hat man schließlich ein Orthonormalsystem gewonnen. Wir haben ja zu Beginn dieses Kapitels festgestellt, dass wir mit R 2 bzw. R 3 nicht nur die Vektorräume der Parallelverschiebungen der Ebene bzw. des Raums verbinden können, die dann bei Vorliegen einer Basis durch reelle Zahlenpaare bzw. Zahlentripel dargestellt werden, sondern auch affine(punkt)räume. Das Pendant zum Basisbegriff in einem Vektorraum ist der Begriff des Koordinatensystems in einem affinen Raum. Bei Vorliegen eines Koordinatensystems ist in einem affinen Raum jeder Punkt eindeutig durch Angabe eines n-tupels von Zahlen eindeutig festgelegt. Definition 3.10 Ein (n+1)-tupel (P 0,P 1,P 2,...,P n ) von Punkten P i P heißt Koordinatensystem des affinen Raums (P, V), wenn die Vektoren P 0 P 1, P 0 P 2, P 0 P 3,..., P 0 P n eine Basis des Vektorraums V sind. Ist (P 0,P 1,P 2,...,P n ) ein Koordinatensystem von (P,V), so existieren zu jedem Punkt X P eindeutig bestimmte Skalare x 1, x 2,...,x n K, sodass P 0 X die Basisdarstellung P 0 X = x 1 P 0 P 1 +x 2 P 0 P 2 + +x n P 0 P n besitzt. Die Skalare x 1,x 2,...,x n heißen Koordinaten des Punktes X bezüglich des Koordinatensystems (P 0,P 1,P 2,...,P n ). Bemerkung Die Dimension eines affinen Raums (P,V) ist gleich der Dimension des zugehörigen Vektorraums V. Der Punkt P 0 wird Ursprung des Koordinatensystems genannt und manchmal auch mit O bezeichnet. P 0 X wirdortsvektordespunktesx genannt.derkoordinatenvektorvon P 0 X (siehe Seite 45) ist durch die Koordinaten des Punktes X bezüglich 50

4 des Koordinatensystems (P 0,P 1,P 2,...,P n ) gegeben: P 0 X ( P 0 P 1, P 0 P 2,..., P 0 P n) = x 1 x 2. x n ( P 0 P 1, P 0 P 2,..., P 0 P n) Definition 3.11 Sei (P,V) ein affiner Raum und V ein euklidischer oder unitärer Vektorraum (d.h. ein reeller bzw. komplexer Vektorraum mit Skalarprodukt). Dann heißt (P, V) ein euklidischer bzw. unitär affiner Raum. Ist { P 0 P 1, P 0 P 2, P 0 P 3,..., P 0 P n } eine Orthonormalbasis von V, so heißt (P 0,P 1,P 2,...,P n ) ein kartesisches Koordinatensystem von (P,V). Analytische Geometrie Sobald man in einem affinen Raum ein Koordinatensystem eingeführt hat, wird es möglich geometrische Sachverhalte rechnerisch zu erfassen. Geometrische Beziehungen gehen dann in rechnerische Beziehungen zwischen Zahlen über, nämlich zwischen den Koordinaten jener Punkte, die die betrachteten geometrischen Objekte charakterisieren. Die Lage eines Punktes P bezüglich eines (oft kartesischen) Koordinatensystems wird durch den Ortsvektor r = OP = x 1 e 1 +x 2 e 2 +x 3 e 3 beschrieben. Dieser Vektor verbindet den Ursprung des Koordinatensystems O mit dem Punkt P. Es ist ein gebundener Vektor, der von der Wahl des Ursprungs abhängig ist und somit kein Vektor (d.h. Element eines Vektorraums) im eigentlichen Sinn. e 3 O e 1 e 2 r P 51

5 Wenn der Ortsvektor von einem reellen Parameter t abhängt und t die reellen Zahlen durchläuft, so beschreibt r(t) eine Kurve im Raum. e 3 r(t) O e 1 e 2 Im einfachsten Fall ist die t-abhängigkeit linear und man erhält die Parameterform einer Geraden r(t) = r 0 +t a. e 3 r 0 a Der Parameter t legt die Punkte auf der Geraden eindeutig fest. Zu t = 0 befindet man sich am Punkt mit Ortsvektor r 0. a gibt die Richtung der Geraden vor. O e 1 e 2 Bemerkung Diese Form der Geradengleichung ist in beliebigen Dimensionen gültig. Sehen wir uns nun die Geradengleichung in 2 Dimensionen etwas näher an: ( ) ( ) ( ) ( ) x 1 (t) x 01 a 1 x 01 +ta 1 r(t) = = r 0 +t a = +t =. x 2 (t) x 02 a 2 x 02 +ta 2 Ein Vergleich der beiden Komponenten ergibt x 1 = x 01 +ta 1 = t = (x 1 x 01 ) a 1 sofern a 1 0, x 2 = x 02 +ta 2. Setzt man t in die 2. Gleichung ein, ergibt sich schließlich die implizite Form der Geradengleichung (in 2 Dimensionen): x 2 = (x 02 a 2 x 01 ) a }{{ 1 } x 02 + a 2 a 1 }{{} c x 1 = cx 1 + x

6 x 2 c ist dabei die Steigung (dx 2 /dx 1 ) der Geraden und x 02 der Schnittpunkt der Geraden mit der x 2 Achse. x 02 Steigung c x 1 Um eine Gerade festzulegen, brauchen wir also die Koordinaten eines Punktes auf der Geraden (Ortsvektor r 0 ) und einen Vektor a, der die Richtung der Geraden vorgibt. Statt des Richtungsvektors kann man auch einen zweiten Punkt (Ortsvektor r 1 ) auf der Geraden angeben. Der Richtungsvektor ergibt sich dann als a = r 1 r 0. In 2 Dimensionen kann die Gerade auch durch einen Punkt (mit Ortsvektor r 0 ) und einen Normalvektor n auf die Gerade festgelegt werden. Gilt zusätzlich n = 1, so gelangt man zur Hesse schen Normalform der Geradengleichung (in der Ebene): Wenn r der Ortsvektor eines beliebigen Punktes auf der Geraden ist, so ist ( r r 0 ) ein Richtungsvektor der Geraden, Dieser muss aber orthogonal zum Normalvektor n sein, es muss also ( r r 0 ) n = 0 gelten. In Komponenten ausgeschrieben bedeutet das: [( ) ( )] ( ) (r r 0 ) n x 1 x 2 x 01 x 02 n 1 n 2 r 0 r = (x 1 x 01 )n 1 +(x 2 x 02 )n 2 = n 1 x 1 +n 2 x 2 (n 1 x 01 +n 2 x 02 ) = 0. Die Komponenten des Normalvektors lassen sich also als Koeffizienten von x 1 und x 2 identifizieren. Bemerkung Eliminiert man aus der Parameterform der Geradengleichung im Raum den Parameter t so erhält man die implizite Darstellung der 53

u + v = v + u. u + (v + w) = (u + v) + w. 0 V + v = v + 0 V = v v + u = u + v = 0 V. t (u + v) = t u + t v, (t + s) u = t u + s u.

u + v = v + u. u + (v + w) = (u + v) + w. 0 V + v = v + 0 V = v v + u = u + v = 0 V. t (u + v) = t u + t v, (t + s) u = t u + s u. Universität Stuttgart Fachbereich Mathematik Prof. Dr. C. Hesse PD Dr. P. H. Lesky Dipl. Math. D. Zimmermann Msc. J. Köllner FAQ 3 Höhere Mathematik I 4..03 el, kyb, mecha, phys Vektorräume Vektorräume

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