1. Einige Begriffe aus der Graphentheorie

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1 . Einige Begriffe aus der Graphentheorie Notation. Sei M eine Menge, n N 0. Dann bezeichnet P n (M) die Menge aller n- elementigen Teilmengen von M, und P(M) die Menge aller Teilmengen von M, d.h. die Potenzmenge von M. Bemerkung. Ist M abzählbar bzw. M = k N 0, so gilt P(M) = n=0 P n(m) bzw. P(M) = k n=0 P n(m). Definition.. Ein einfacher Graph G ist ein Paar G = (V,E) bestehend aus disjunkten Mengen V und E P 2 (V). Die Elemente in V heißen Ecken oder Knoten von G (engl. vertex, Plural vertices), und die Elemente in E heißen Kanten von G (engl. edge, Plural edges). Man nennt dann G auch einen Graphen auf V. G := V heißt Ordnungvon G und Gheißt endlich falls G <. Mandefiniert G := E. Für einen gegebenen Graphen G bezeichnet man seine Kanten- bzw. Eckenmenge auch mit E(G) bzw. V(G). Der leere Graph (, ) wird mit bezeichnet. Graphen der Ordnung heißen trivial. Falls nichts anderes gesagt wird, meinen wir mit Graph immer einen einfachen Graphen. In der Regel werden unsere Graphen immer endlich sein. Bemerkung. Endliche Graphen stellt man oft bildlich dar: z.b. G = (V(G), E(G)) mit V(G) = {a,b,c,d,e,f,g}, E(G) = {{a,b},{a,c},{a,f},{b,d},{c,d},{c,e},{d,e}}: b a c g e f d Oft bezeichnet man Kanten wie hier z.b. {a, b} schlicht mit ab (also insbesondere ab = ba). Definition.2. Ein Multigraph M = (V, E, ϕ) besteht aus disjunkten Mengen E und V und einer Abbildung ϕ : E P (V) P 2 (V). Wieder heißen die Elemente von E bzw. V die Kanten bzw. Ecken, Knoten von M. Eine Kante e E mit ϕ(e) P (V) heißt auch Schlaufe (engl. loop).

2 Alternativ lässt sich ein Multigraph definieren als ein Paar M = (V,ψ) einer Menge V (die Ecken von M) und einer Abbildung ψ : P (V) P 2 (V) N 0, wobei ψ({a}) = n bedeutet, dass in M eine Schlaufe der Vielfachheit n die Ecke a mit sich selbst verbindet (n = 0 heißt keine Schlaufe), und ψ({a,b}) = n, dass in M die Kante {a,b} die Vielfachheit n hat (n = 0 heißt keine Kante). Bemerkung. Wieder kann man sich Multigraphen bildlich veranschaulichen. Mittels der ersten Definition z.b. E = {,2,,}, V = {a,b,c} mit ϕ() = {a}, ϕ(2) = {a,b}, ϕ() = ϕ() = {b,c}: b 2 a c In der alternativen Definition M = (V,ψ) mit V = {a,b,c} hätte man damit ψ({a}) =, ψ({b}) = ψ({c}) = 0, ψ({a,b}) =, ψ({a,c}) = 0, ψ({b,c}) = 2. Definition.. Sei G = (V,E) ein Graph, x,y V, x y, e,f E, e f. Man nennt die Ecken x und y bzw. die Kanten e unf f benachbart oder adjazent falls xy E (d.h. die Ecken sind durch eine Kante verbunden) bzw. e f (d.h. die Kanten haben eine gemeinsame Ecke). x und e sind inzident falls x e. Für U,U 2 V bezeichnet man mit E(U,U 2 ) := {x x 2 E x i U i } die U -U 2 -Kanten in G. Für x V, W V schreibt man vereinfacht E(x,W) := E({x},W) und E(x) := E(x,V) = {e E x e} (die Menge aller mit x inzidenten Kanten in G). Ferner bezeichne N G (x) = {y V xy E} die Menge der zu x in G benachbarten Ecken, und entsprechend für U V definiert man N G (U) = x U N G(x). (Wir schreiben oft N(...) statt N G (...) falls klar ist, welches G gemeint ist.) Man nennt G vollständig falls E = P 2 (V), d.h. falls je zwei Ecken in G benachbart sind. Ein vollständiger Graph G mit G = n wird mit K n bezeichnet. K heißt auch ein Dreieck. K K K 5 K 9 2

3 Bemerkung.. Sei G = (V,E) ein Graph mit G = n N. Dann gilt: (i) N(x) n x V; (ii) N(x) = n x V G = K n. Definition.5. Zwei Graphen G = (V,E) und G = (V,E ) heißen isomorph, in Zeichen G = G, falls es eine Bijektion ϕ : V V gibt sodass x,y V, x y, gilt: xy E ϕ(x)ϕ(y) E. Bemerkung. Oftschreibt man ungenaug = G und meintg = G. Dieswird abernormalerweise aus dem Kontext klar. So spricht man von dem vollständigen Graphen der Ordnung n: K n und meint dabei jeden Graphen G mit G = K n. Definition.6. (i) Sei G = (V,E) ein Graph. Man nennt G = (V,E ) einen Teilgraph von G, in Zeichen G G, falls V V und E E. (ii) Sind G i = (V i,e i ), i =,2, Graphen, so definiert man die Vereinigung und den Schnitt wie folgt: G G 2 := (V V 2,E E 2 )G G 2 := (V V 2,E E 2 ). G und G 2 heißen disjunkt falls G G 2 =. (iii) Sei G = (V,E) ein Graph, V V. Der von V aufgespannte oder induzierte Teilgraph in G ist definiert als G[V ] := (V,E P 2 (V )). Ein Teilgraph G G heißt Untergraph von G falls V V mit G = G[V ]. Beispiel. Betrachte G 2 G 2 G 2 G 2 G = G[{,2,}] ist ein Untergraph von G. G ist ein Teilgraph von G aber kein Untergraph. G ist kein Teilgraph von G aber isomorph zu einem Untergraphen von G. Definition.7. (i) Das Komplement G eines Graphen G = (V,E) ist definiert als G := (V,P 2 (V)\E). Also x,y V sind benachbart in G x,y sind nicht benachbart in G. (ii) Der Kantengraph L(G) eines Graphen G = (V,E) ist definiert wie folgt: V(L(G)) = E und für e,f E, e f, gelte ef E(L(G)) genau dann falls e,f in G benachbart sind, d.h. falls e f.

4 Beispiel. d a d e c e c b G 2 2 G a L(G) b Falls nichts Gegenteiliges gesagt wird, so seien ab jetzt alle Graphen endlich. Definition.8. Sei G = (V,E) eingraph, x V. Der Grad vonxistdefiniertalsdeg G (x) = N G (x) = E(x) (man schreibt auch schlicht deg(x) falls klar ist, was G ist). x heißt isoliert falls deg(x) = 0. Man definiert ferner den Minimalgrad bzw. Maximalgrad von G als δ(g) = min{deg(x) x G} bzw. (G) = max{deg(x) x G}, und den Durchschnittsgrad von G als d(g) = G x V deg(x). Bemerkung. δ(g) d(g) (G). Proposition.9. Sei G = (V,E) ein Graph. Dann gilt 2 E = x V deg(x) = G d(g). Insbesondere ist die Anzahl der Ecken von ungeradem Grad immer gerade. Beweis. Zur Summe x V deg(x) = x V E(x) trägt jede Kante xy E genau zu E(x) und zu E(y) bei, und 0 zu E(z) mit x z y. Also trägt jede Kante genau 2 zu x V E(x) bei, daher 2 E = x V E(x). Der Nachsatz ist damit klar. Definition.0. Ein Weg ist ein nicht-leerer Graph P = (V,E) mit V = {x 0,x,...,x k }, x i x j für i j, und E = {x 0 x,x x 2,...,x k x k }. Man nennt dann k die Länge des Weges P. Man schreibt auch kurz P = x 0 x...x k und bezeichnet P als Weg von x 0 nach x k bzw. als x 0 -x k -Weg. Ein Kreis der Länge k 2 ist ein Graph C = (V,E) mit V = {x 0,x,...,x k }, x i x j für i j, und E = {x 0 x,x x 2,...,x k 2 x k,x k x 0 }. Man schreibt auch P k bzw. C k für den bis auf Isomorphie eindeutig bestimmten Weg bzw. Kreis der Länge k. Bemerkung. P 0 = ({x 0 }, ) ist der triviale Weg.

5 Man spricht von Wegen und Kreisen in Graphen und meint damit Teilgraphen mit den entsprechenden Eigenschaften. Proposition.. Jeder Graph G = (V,E) enthält einen Weg der Länge δ(g) und, falls δ(g) 2, auch einen Kreis der Länge δ(g)+. Beweis. OBdA δ(g). Es sei x x...x k ein längster Weg in G (sicher k da δ(g) ) und sei y N(x k ). Dann muss gelten y {x 0,...,x k } denn sonst wäre x x...x k y ein längerer Weg. Also N(x K ) {x 0,...,x k } und damit k N(x k ) = deg(x k ) δ(g). Angenommen δ(g) 2, also auch im obigen längsten Weg k 2. Beachte: x k N(x k ). Daher existiert ein minimales i, 0 i k, mit x i N(x k ). Nun gilt N(x k ) {x 0,...,x k } und N(x k ) δ(g), und daher nach dem Schubfachprinzip sicher i k δ(g). Dann ist aber x i x i+...x k x k x i ein Kreis der Länge k i+ δ(g)+. Definition.2. Sei G = (V,E) ein Graph. (i) Die Länge eines kürzesten bzw. längsten Kreises in G nennt man Taillenweite (engl. girth) g(g) bzw. Umfang (engl. circumference) c(g). Enthält G keinen Kreis (d.h. G ist kreislos oder kreisfrei) so definiert man g(g) = und c(g) = 0. (ii) Seien x,y V. Man definiert den Abstand (oder die Distanz) dist G (x,y) wie folgt: dist G (x,x) = 0 und für x y gelte dist G (x,y) = falls es keinen x-y-weg in G gibt, und andernfalls dist G (x,y) = k wobei k die Länge eines kürzesten x-y-weg in G ist. Wir schreiben oft einfach dist(x, y) falls klar ist, welches G gemeint ist. (iii) Der Durchmesser (engl. diameter) diam(g) des Graphen G ist definiert als diam(g) = sup{dist G (x,y) x,y E} Proposition.. Für alle Graphen G = (V, E), die einen Kreis enthalten, gilt: g(g) 2diam(G)+. Beweis. OBdA diam(g) <. Angenommen g(g) 2diam(G) + 2 und sei C ein Kreis der Länge 2 diam(g) + 2. Dann existieren x, y V(C) die in C (und daher in G) durch einen Weg der Länge k := diam(g) + verbunden sind: xx x 2...x k y. Nach Voraussetzung gibt es dann aber einen y-x-weg der Länge l < k: yx k+ x k+2...x k+l x. Falls {x,...,x k } {x k+,...,x k+l =, so ist xx x 2...x k yx k+ x k+2...x k+l x einkreisderlängek+l 2k = 2diam(G)+. Falls{x,...,x k } {x k+,...,x k+l } =, so lässt sich aus ( ) sogar ein noch kürzerer Kreis herausschneiden. ( ) Definition.. Sei G = (V,E) ein nicht-leerer Graph. x,y V heißen verbunden falls es einen x-y-weg in G gibt, in Zeichen x y. 5

6 Lemma.5. Sei G = (V,E) ein Graph ein nicht-leerer Graph. Dann wird durch x y, x,y V eine Äquivalenzrelation auf V definiert. Definition.6. Sei G = (V,E) ein nicht-leerer Graph. Sei V x die zu x V gehörende Äquivalenzklasse bzgl.. Dann heißt G[V x ] die Zusammenhangskomponente (oder einfach nur Komponente) von x in G. G heißt zusammenhängend wenn G nur aus einer Zusammenhangskomponente besteht (d.h. also V x = V x V). Bemerkung. Aus der Definition folgt sofort: Jeder Graph G ist disjunkte Vereinigung seiner Zusammenhangskomponenten: G = G... G k mit G i = (V i,e i ) zusammenhängend und V i V j = = E i E j falls i j. Ferner ist jede Zusammenhangskomponente von G ein Untergraph von G. Definition.7. Ein kreisfreier Graph heißt Wald. Ein kreisfreier zusammenhängender Graph heißt Baum. Falls G ein Baum ist, so heißt eine Ecke x V(G) mit deg(x) = ein Blatt von G. Bemerkung. (i) Jeder nicht-triviale Baum hat Blätter (siehe Proposition.). (ii) Die Zusammenhangskomponenten eines Waldes sind Bäume. Ein Baum Satz.8. Sei T ein nicht-trivialer Graph. Dann sind äquivalent: (i) T ist ein Baum. (ii) x,y V(T), x y gilt:! x-y-weg in T. (iii) T ist zusammenhängend, aber e E(T) gilt: (V(T),E(T)\{e}) ist nicht zusammenhängend. (iv) T ist kreisfrei, aber x,y V(T), x y gilt: (V(T),E(T) {xy}) enthält einen Kreis. 6

7 Proposition.9. Sei G = (V, E) ein zusammenhängender Graph mit G = n. Dann existiert eine Eckenaufzählung (v,v 2,...,v n ) (wobei v i V, v i v j für i j), sodass G i := G[v,...,v i ] zusammenhängend ist für alle i n. Beweis. Induktion nach i: Wähle v V beliebig. Dann ist sicher G = G[v ] = ({v }, ) zusammenhängend. Alsoangenommen i < nundv,...,v i sind schonsogewählt, dassg k zusammenhängend istfür k i. Sei v V \{v,...,v i }. DaGzusammenhängend ist, existiert ein v-v -Weg P in G. Wähle als v i+ die letzte Ecke von P, die in V \{v,...,v i } liegt. Dann hat v i+ einen Nachbarn in G i. Daher gilt G i+ = (V(G i ) {v i+ },E(G i ) ({v k v i+ k i} E)) }{{} und da G i zusammenhängend ist, ist es auch G i+. Korollar.20. Jeder Baum T mit T = n N hat eine Eckenaufzählung (v,v 2,...,v n ), sodass i gilt: v i hat genau einen Nachbarn in {v,...,v i }. Korollar.2. Sei G ein zusammenhängender Graph, G = n N. Dann gilt: G ist ein Baum G hat n Kanten. Korollar.22. Sei T ein Baum und G ein Graph mit δ(g) T. Dann ist T isomorph zu einem Teilgraphen von G. 7