Graphentheorie. Dr. Theo Overhagen Mathematik Universität Siegen

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1 Graphentheorie Dr. Theo Overhagen Mathematik Universität Siegen

2 I Literatur Beutelspacher/Zschiegner: Diskrete Mathematik für Einsteiger, Springer Spektrum, 204 Bollobas: Modern Graph Theory, Springer, 998. Bondy/Murty: Graph Theory, Springer, Clark/Holton: Graphentheorie - Grundlagen und Anwendungen, Spektrum, 994. Diestel: Graphentheorie, Springer, 2000 (elektron. Ausgabe) Gritzmann, Brandenberg: Das Geheimnis des kürzesten Weges, Springer, Harary: Graphentheorie, Oldenbourg Verlag, 974. Krumke/Noltemeyer: Graphentheoretische Konzepte und Algorithmen, Vieweg & Teubner, Nitzsche: Graphen für Einsteiger - rund um das Haus vom Nikolaus, Vieweg, Schwartz: Einführung in die Graphentheorie. Vorlesung Uni Würzburg, 202/3. Tittmann: Graphentheorie. Eine anwendungsorientierte Einführung. Fachbuchverlag Leipzig, Hanser Verlag Volkmann: Fundamente der Graphentheorie, Springer, 996. Wilson: Introduction to graph theory, Longman, 996.

3 0 Einleitung Um ohne Navigationsprogramm in einer fremden Stadt die Route zu einer gewünschten Zieladresse zu bestimmen, benutzt man Stadtpläne: Für die Fahrt mit dem Auto oder anderen individuellen Verkahrsmitteln in einer sehr großen Stadt vielleicht zuerst einen Übersichtsstraßenplan, in dem nur die Hauptstraßen aufgeführt sind, und dann einen detaillierten Umgebungsplan der Zieladresse, in der alle Straßen vorkommen. Für die Fahrt mit öffentlichen Verkehrsmitteln sind spezielle Linienpläne nützlich. Und während bei Straßenplänen die geografischen Gegebenheiten wie Längen und relative Lage der Straßen abgebildet werden, steht bei Plänen für große U- und/oder S-Bahnnetze die Übersichtlichkeit im Vordergrund. Dabei beschränkt man sich auf die Darstellung der Haltestellen als Punkte und der Verkehrsverbindungen zwischen den Haltestellen als (möglicherweise verschieden eingefärbte) Linien zwischen den Punkten. Bild Berliner S- /U-Bahnnetz, Vergleich Straßen-/ÖVNP-Netz Wir nennen ein solches Schema in der Mathematik Graph. Graphen sind also mathematische Modelle, um Straßen-, Computer-, Telefonnetze oder Versorgungsnetze (Gas bzw. Wasser) darzustellen. Man kann mit ihnen aber auch elektrische Schaltungen, Erdung Neutral Leiter Lampe. Schalter 2. Schalter Wechselschaltung Bindungen der Atome innerhalb chemischer Moleküle H H C O C C H H

4 0. Einleitung 2 oder wirtschaftliche oder soziale Beziehungen beschreiben. Adam Kain Seth Noah Abel Ham Haran Sem Abraham Japheth Nahar Ismael Simram Joksan Medan Isaak Midian Jesbak Suah Jakob Esau Ruben Simeon Levi Juda Joseph Benjamin Biblischer Stammbaum Gemeinsam ist diesen Anwendungen, dass eine Menge von Objekten existiert (die Orte, Computer, Atome oder Menschen), die in einer gewissen Beziehung zueinander stehen. Die Objekte stellt man einfach durch Punkte und die Beziehungen der Objekte durch Verbindungsstrecken dar. Dabei gehen natürlich die speziellen Eigenschaften der Objekte und der Beziehungen verloren. Trotzdem (oder gerade deshalb) kann man schon viele Eigenschaften des Graphen untersuchen wie z.b.: Kann man die Kanten des Graphen so durchlaufen, dass man jeden Punkt (oder jede Verbindungsstrecke) genau einmal durchläuft? Wie viele Verbindungsstrecken braucht man mindestens, um von einem Punkt zu einem anderen zu gelangen? Wie viele verschiedene Graphen mit gegebenen Anzahlen von Punkten und Verbindungsstrecken gibt es? Wie viele sind wesentlich verschieden? Kann man einen gegebenen Graphen so in die Ebene zeichnen, dass keine zwei Verbindungsstrecken sich kreuzen? Wie viele Verbindungsstrecken kann man auswählen, so dass keine zwei dieser Verbindungsstrecken in einem gemeinsamen Punkt enden? Wie viele Verbindungsstrecken kann man aus einem zusammenhängenden Graphen entfernen, so dass der neue Graph immer noch zusammenhängend ist? Um anstehende Probleme zu lösen, muss man oft spezielle zusätzliche Eigenschaften in den Graph einbauen: Für die Planung einer Urlaubsreise möchte man den kürzesten Weg zum Zielort bestimmen. Dazu betrachtet man gewichtete Graphen, bei denen die Verbindungsstrecken mit ihren Längen oder Durchfahrzeiten versehen werden.

5 0. Einleitung 3 Um die Zuverlässigkeit eines Kommunikationsnetzes zu bestimmen, gewichtet man Punkte und/oder Verbindungsstrecken mit den Ausfallwahrscheinlichkeiten. Um möglichst konstengünstige Netze herzustellen, betrachtet man in der Planung ein Netz mit allen möglichen Verbindungen, bewertet die Verbindungsstrecken mit ihren Kosten und sucht ein entsprechendes Teilnetz aus. In Straßennetzen treten auch Einbahnstraßen auf. Daher ist auch die Betrachtung gerichteter Graphen sinnvoll, bei denen die Verbindungsstrecken mit einer Richtung versehen sind.

6 4 Grundbegriffe, Eulersche und Hamiltonsche Graphen. Definitionen Beispiel.. Bei dem ersten graphentheoretisch beschriebenen Problem (Euler 736), dem Königsberger Brückenproblem, geht es darum, einen Spaziergang durch die Innenstadt von Königsberg so zu planen, dass man am Ende wieder zu Hause ankommt und auf dem Spaziergang jede der 7 Brücken genau einmal überquert hat. Offensichtlich ist für die Betrachtung der Fragestellung nur wichtig, wie die Ufer und Inseln durch Brücken verbunden sind. Reduziert man die Inseln und die durch den Fluss getrennten Festlandteile auf Punkte und stellt die Brücken durch Verbindungskurven dar, dann erhält man C A D B Definition..2 Sei E eine beliebige nichtleere endliche Menge und K eine weitere endliche und zu E disjunkte Menge, deren Elemente - oder 2-elementige Mengen von E sind. Gibt es eine Abbildung, die jedem k K ein bzw. zwei Elemente von E zuordnet, dann heißt G = (E,K) (endlicher) (ungerichteter) Graph. Die Elemente von E heißen Ecken oder Knoten und die Elemente von K Kanten des Graphen. Bemerkungen..3 () Nach Definition gehören zu jeder Kante k zwei (nicht notwendig verschiedene) Ecken x und y. Diese Ecken heißen benachbart oder adjazent und die Kante k inzident mit den Ecken x und y. k heißt Verbindungskante von x und y. Die Menge Γ(x) der zu einer Ecke x benachbarten Ecken heißt Nachbarschaftsmenge

7 . Grundbegriffe, Eulersche und Hamiltonsche Graphen 5 von x. Wir bezeichnen eine Verbindungskante von x und y im folgenden oft mit xy. (2) Umgekehrt heißen zwei Kanten mit einer gemeinsamen Ecke benachbart bzw. adjazent. (3) Kanten, die eine Ecke mit sich selbst verbinden, heißen Schlingen. (4) Seien x,y Ecken. Gibt es mehrere Kanten mit den Ecken x,y, dann heißen diese Kanten parallel bzw. Mehrfachkanten. (5) Enthält K weder Mehrfachkanten noch Schlingen, dann heißt (E, K) schlichter Graph. Die Bezeichnungen sind nicht einheitlich: Manchmal heißt ein Graph (E, K) mit Mehrfachkanten und Schlingen Multigraph, und ein schlichter Graph wird einfach als Graph bezeichnet. (6) Eine Ecke muss in keiner Kante liegen. Solche Ecken heißen isoliert. (7) Wir stellen Graphen entsprechend dem Königsberger Brückenproblem oft durch Zeichnungen dar, in denen die Ecken als (dicke) Punkte und die Kanten als entsprechende Verbindungslinien dargestellt werden. Kanten können sich in der Zeichnung schneiden - diese Schnittpunkte gelten aber nicht als Ecken. Beispiele..4 () In dem (schlichten) Graph mit der Eckenmenge E = {e,e 2,e 3,e 4,e 5,e 6,} und der Kantenmenge K = {k = e e 2,k 2 = e 2 e 3,k 3 = e 3 e 4,k 4 = e 4 e 5,k 5 = e 2 e 5,k 6 = e e 4,k 7 = e e 5 } sind z.b. die Ecken e und e 2 und die Kanten k 5 und k 7 benachbart, die Ecken e 2 und e 4 sowie die Kanten k 5 und k 6 sind nicht benachbart. e 6 ist eine isolierte Ecke. Die Nachbarschaftsmenge von e ist {e 2,e 4,e 5 } und die Nachbarschaftsmenge von e 6 ist leer. e 6 e 5 k 7 k 4 e k 6 e 4 k 5 k k 3 e 2 e 3 k 2

8 . Grundbegriffe, Eulersche und Hamiltonsche Graphen 6 (2) Die nächsten Beispiele zeigen einen Graph G mit 3 Ecken, 3 parallelen Verbindungskanten e e 3 und zwei parallelen Verbindungskanten e 2 e 3 sowie einen Graph G 2 mit 3 Ecken, 2 parallelen Verbindungskanten e e 2, einer Schlinge e 3 e 3 und zwei parallelen Schlingen e 2 e 2. e 3 e 3 k 6 k 5 k 4 e e 2 k G k 2 k 3 e e 2 G 2 Definition..5 Sei G = (E,K) ein Graph, x E eine Ecke. (a) Die Anzahl der mit x inzidenten Kanten heißt Grad der Ecke. Bezeichnung: grad x. Eine Schlinge wird beim Grad der inzidenten Ecke zweimal gezählt. Ist grad x gerade, dann heißt die Ecke gerade, sonst ungerade. (b) Wir bezeichnen den minimalen Eckengrad in G mit δ(g) und den maximalen Eckengrad mit (G). (c) Hat jede Ecke von G denselben Grad m, dann heißt G (m-)regulär. Beispiele und Bemerkungen..6 () Im Graph von Beispiel..4 () ist grade = grade 2 = grade 4 = grade 5 = 3, grade 3 = 2, grade 6 = 0. Im Graph G von Beispiel..4 (2) ist Im Graph G 2 von Beispiel..4 (2) ist grade = 4, grade 2 = 3, grade 3 = 5. grade = 3, grade 2 = 7, grade 3 = 4. (2) Ist G ein schlichter Graph mit Ecke x, dann ist gradx die Anzahl der zu x benachbarten Ecken. Sonst ist grad x im allgemeinen größer. (3) Ist G ein (p )-regulärer schlichter Graph mit p Ecken, dann heißt G vollständiger Graph. Bezeichnung K p. ( ) p Ein vollständiger Graph G mit p Ecken hat Kanten. 2

9 . Grundbegriffe, Eulersche und Hamiltonsche Graphen 7 Um nichtsymmetrische Beziehungen (z.b. Zuneigungen zwischen Menschen, Einbahnstraßen in Straßenkarten oder Produktionsschritte, die vom Abschluss anderer Produktionsschritte abhängen,) darzustellen, ist es sinnvoll, Graphen mit orientierten Kanten (mit Richtung) zu betrachten. Definition..7 (a) Sei E eine beliebige nichtleere endliche Menge, K eine weitere endliche und zu E disjunkte Menge. Gibt es eine Abbildung, die jedem k K ein geordnetes Paar aus E zuordnet, dann heißt G = (E, K) (endlicher) gerichteter Graph (oder Digraph). (b) Die Elemente von K heißen (gerichtete) Kanten von G. Bezeichnung: xx bzw. xy. xx heißt Schlinge, x heißt Anfangsecke und y Endecke einer Kante xy. (c) Seien x,y Ecken. Gibt es mehrere Kanten mit Anfangsecke x und Endecke y, dann heißen diese Kanten parallel bzw. Mehrfachkanten. Zwei Kanten xy und yx heißen invers. (d) G heißt schlicht, wenn G keine Schlingen und für jedes Eckenpaar x,y mit x y höchstens eine Kante xy besitzt. (e) Der Graph G = (E,K ), der entsteht, wenn man jeder gerichteten Kante von G eine entsprechende nichtgerichtete Kante zuordnet, heißt der dem gerichteten Graph G unterliegende Graph. Umgekehrt heißt G Orientierung von G. (f) Für eine Ecke e E heißt die Anzahl der Kanten, die e als Endecke haben, der Eingangsgrad grad (e) von e, die Anzahl der Kanten, die e als Anfangsecke haben, der Ausgangsgrad grad + (e) von e, und Grad von e. grad(e) := grad (e)+grad + (e) Beispiel und Bemerkungen..8 Folgender Graph G ist ein gerichteter Graph und G der zugehörige unterliegende Graph: G =(E,K) mit E = {e,e 2,e 3,e 4 }, K = {k = e e 2,k 2 = e 2 e 2,k 3 = e 2 e 3,k 4 = e 4 e 3,k 5 = e 4 e 3,k 6 = e 4 e,k 7 = e e 3,k 8 = e e 4 } k 5 e 4 e 3 k 4 e 4 e 3 k 6 k 8 k 7 k 3 e k e 2 k 2 G e e 2 G

10 . Grundbegriffe, Eulersche und Hamiltonsche Graphen 8 () Es gilt grad (e ) =, grad (e 2 ) = 2, grad (e 3 ) = 4, grad (e 4 ) =, grad + (e ) = 3, grad + (e 2 ) = 2, grad + (e 3 ) = 0, grad + (e 4 ) = 3, grad(e ) = grad(e 2 ) = grad(e 3 ) = grad(e 4 ) = 4. (2) Nimmt man in G die Schlinge k 2 und eine der Parallelkanten, z.b. k 5, heraus, dann entsteht ein schlichter gerichteter Graph G. Die gerichteten Kanten k 6 und k 8 des Graphen G sind invers, also nicht parallel, aber die induzierten Kanten in dem G unterliegenden Graph G sind parallel. G ist also nicht schlicht. (3) Inzident, adjazent und benachbart sind wie bei ungerichteten Graphen definiert. So sind z.b. im Graph G die Ecken e, e 3 bzw. e 3, e 4 und die Kanten k,k 3 bzw. k,k 7 bzw. k 3,k 7 benachbart, und die Ecken e und e 2 inzident mit der Kante k. Die Betrachtung der Eckengrade kann z.b. bei Fragen nach der Existenz bestimmter Graphen helfen. Der nächste Satz beantwortet zum Beispiel die Frage, ob es einen (gerichteten) Graphen mit 5 Ecken und den zugehörigen Eckengraden, 2, 3, 4, 5 gibt. Satz..9 (Handshaking-Lemma) Sei G ein gerichteter Graph mit p Ecken {e,...,e p } und q Kanten. Dann gilt p p p grad (e i ) = grad + (e i ) = q, grad(e i ) = 2q. i= i= Korollar..9. (a) Hat ein ungerichteter G p Ecken {e,...,e p } und q Kanten, dann gilt entsprechend p grad(e i ) = 2q. i= (b) Die Anzahl der ungeraden Ecken eines ungerichteten oder gerichteten Graphen G ist gerade. (c) Jeder 3-reguläre (kubische) ungerichtete Graph hat gerade Eckenzahl. Ist m IN ungerade, dann hat jeder m-reguläre ungerichtete Graph gerade Eckenzahl. (d) Für einen ungerichteten Graph G gilt (e) Ein vollständiger Graph G mit p Ecken hat p(p ) 2 i= δ(g) 2q p (G). Kanten..2 Matrixdarstellungen von Graphen, Isomorphie Graphentheoretische Probleme werden für Graphen mit vielen Ecken und Kanten oft algorithmisch mit Hilfe von Computerprogrammen bearbeitet. Dazu müssen die Beziehungen der Ecken und Kanten entsprechend gespeichert werden. Die beiden folgenden Matrix-Darstellungen sind Beispiele:

11 . Grundbegriffe, Eulersche und Hamiltonsche Graphen 9 Definition.2. Sei G ein Graph mit den p Ecken {e,...,e p } und den q Kanten {k,...,k q }. (a) Ist G ein ungerichteter Graph, dann ist die Adjazenzmatrix von G die (p p)-matrix A mit a ij := Anzahl der Kanten mit zugehörigen Ecken e i und e j, i,j p. Ist G ein gerichteter Graph, dann ist die Adjazenzmatrix von G die (p p)-matrix A mit a ij := Anzahl der Kanten mit Anfangsecke e i und Endecke e j, i,j p. (b) Ist G ein schlingenfreier ungerichteter Graph, dann ist die Inzidenzmatrix von G die (p q)-matrix B mit falls e i Ecke der Kante k j ist, b ij :=, i p, j q. 0 sonst Ist G ein schlingenfreier gerichteter Graph, dann ist die Inzidenzmatrix von G die (p q)- Matrix B mit falls e i Anfangsecke der Kante k j ist, b ij := falls e i Endecke der Kante k j ist,, i p, j q. 0 sonst Beispiele und Bemerkungen.2.2 () Die Graphen G und G 2 von Beispiel..4 (2) haben die Adjazenzmatrizen 0 3 A = 0 2 bzw. 0 2 A = Der Graph von Beispiel..8 hat die Adjazenzmatrix 0 A = (2) Der Graph G von Beispiel..4 (2) hat die Inzidenzmatrix 0 0 I = Der Graph von Beispiel..8 (ohne die Schlinge k 2 ) hat die Inzidenzmatrix I =

12 . Grundbegriffe, Eulersche und Hamiltonsche Graphen 0 (3) Die Adjazenzmatrix eines ungerichteten Graphen ist symmetrisch. Der Grad einer Ecke in einem ungerichteten Graph ist gleich der Zeilensumme in der zugehörigen Zeile bzw. gleich der Spaltensumme in der zugehörigen Spalte der Adjazenzmatrix und gleich der Anzahl der in der zugehörigen Zeile der Inzidenzmatrix. (4) Der Ausgangsgrad einer Ecke in einem gerichteten Graph ist gleich der Zeilensumme in der zugehörigen Zeile der Adjazenzmatrix und gleich der Anzahl der in der zugehörigen Zeile der Inzidenzmatrix. Der Eingangsgrad gleich der Spaltensumme in der zugehörigen Spalte der Adjazenzmatrix und gleich der Anzahl der - in der zugehörigen Zeile der Inzidenzmatrix. (5) Für einen kantengewichteten Graph G = (E, K, c) ohne Parallelkanten mit Kantengewicht c ij der Kante e e j bzw. ei e j definiert man die zugehörige Adjazenzmatrix A durch c ij falls e i e j K bzw. ei e j K a ij :=. 0 sonst Natürlich kann man jeden Graphen auf verschiedenste Art durch eine Zeichnung darstellen - entscheidend sind die durch die Kanten festgelegten Beziehungen der Ecken untereinander. Definition.2.3 Zwei Graphen G = (E,K ) und G 2 = (E 2,K 2 ) heißen isomorph, falls es bijektive Abbildungen ϕ : E E 2 und Φ : K K 2 gibt, die die Nachbarschaftsrelation erhalten, d.h. für die gilt k = xy K Φ(k) = ϕ(x)ϕ(y) K 2 für alle x,y E bzw. k = xy K Φ(k) = ϕ(x)ϕ(y) K 2 für alle x,y E. Beispiele und Bemerkungen.2.4 () Die folgenden 4 schlichten ungerichteten Graphen sind isomorph. a 5 a 6 b 6 b 5 c 5 c 6 d 5 d 6 a 3 a 4 b b 4 c 3 c 4 d 3 d 4 a a 2 c c 2 b 2 b 3 (2) Die folgenden zwei schlichten gerichteten Graphen sind isomorph. d d 2 a 5 a 4 a 3 b 4 b 3 b 5 a a 2 b b 2 G 2 G 2

13 . Grundbegriffe, Eulersche und Hamiltonsche Graphen (3) Natürlich können Graphen mit verschiedenen Eckenzahlen oder Kantenzahlen nicht isomorph sein. Aber wie die beiden folgenden zu den Graphen aus.2.4 () nicht isomorphen Graphen zeigen, ist das keine hinreichende Bedingung. e 5 e 6 f 5 f 6 e 3 e 4 f 3 f 4 e e 2 f f 2 Bei dem ersten Graphen ist dies leicht zu erkennen, denn jede Ecke der Graphen aus Beispiel.2.4 () ist zu genau 3 Ecken benachbart, aber e 3 ist zu 4 Ecken benachbart und e 5 zu 2 Ecken. (4) Eine Funktion, die jedem Graphen einen Wert und isomorphen Graphen denselben Wert zuordnet, heißt Invariante. Eckenzahl und Kantenzahl sind Invarianten..3 r- und bipartite Graphen Definition.3. Sei G = (E,K) ein Graph, r IN, r 2. (a) Gibt es eine Zerlegung von E in paarweise disjunkte Mengen E,...,E r, so dass für jedes i, i r, keine zwei Ecken von E i benachbart sind (d.h. die Endpunkte jeder Kante liegen in verschiedenen Eckenmengen), dann heißt G r-partit und für r = 2 bipartit oder paar. (b) Ist G r-partit und schlicht, und gilt xy K für alle x E i, y E j mit i < j r, dann heißt G vollständiger r-partiter Graph. Ein vollständiger bipartiter Graph, bei dem E m Ecken und E 2 n Ecken enthält, wird mit K m,n bezeichnet. Bemerkungen und Beispiele.3.2 () K, = K 2 ist der einzige vollständige bipartite Graph, der auch vollständig ist. (2) G ist bipartit, aber nicht vollständig bipartit. G 2, G 3 und G 4 sind vollständig bipartit, d.h. es gilt G 2 = K,8, G 3 = K 3,3, G 4 = K 2,2. G 5 ist 3-partit. G (3) Ein r-partiter Graph hat keine Schlingen. G 2 G 3 (4) Der vollständige bipartite Graph K m,n hat genau m+n Ecken und m n Kanten. (5) Ein Graph ist genau dann bipartit, wenn alle seine Kreise gerade Länge haben. G 4 G 5

14 . Grundbegriffe, Eulersche und Hamiltonsche Graphen 2.4 Eulersche Graphen Wir wollen das Königsberger Brückenproblem lösen. Dazu benötigen wir einige weitere Definitionen. Definition.4. Sei G ein ungerichteter oder gerichteter Graph. (a) Eine endliche Folge W = e 0 k e k 2 e 2...k n e n von sich abwechselnden Ecken e 0,...,e n und Kanten k,...,k n von G mit k i = e i e i bzw. k i = e i e i heißt Kantenfolge von e 0 nach e n oder kurz e 0 -e n -Kantenfolge. e 0 und e n heißen Anfangs- bzw. End-Ecke und die anderen Ecken innere Ecken der Kantenfolge. n heißt die Länge der Kantenfolge. Die Kantenfolge heißt geschlossen, wenn e 0 = e n, und sonst offen. (b) Sind alle Kanten der Kantenfolge W = e 0 k e k 2 e 2...k n e n verschieden, dann heißt W Kantenzug. (c) Sind alle Ecken der offenen Kantenfolge W = e 0 k e k 2 e 2...k n e n verschieden, dann heißt W Weg. (d) Sind alle Ecken e,e 2,...,e n der geschlossenen Kantenfolge W = e l k e k 2 e 2...k n e n verschieden, dann heißt W Kreis oder Zyklus. Beispiele.4.2 Wir betrachten den Graph k 2 k 3 k 9 e 3 k 0 e 5 k 6 k 8 e 4 k 7 k 5 k 4 e e 2 k () W = e k e 2 k 5 e 2 k 6 e 3 k 2 e k e 2 k 8 e 5 ist eine offene e -e 5 -Kantenfolge der Länge 6, aber - da k doppelt vorkommt - kein Kantenzug und kein Weg. (2) W 2 = e k e 2 k 5 e 2 k 6 e 3 k 2 e k 4 e 4 k 7 e 2 k 8 e 5 ist ein offener e -e 5 -Kantenzug der Länge 7, aber - da die Ecken e und e 2 mehrfach vorkommen - kein Weg. (3) W 3 = e k e 2 k 5 e 2 k 6 e 3 k 2 e k e 2 k 7 e 4 k 4 e ist eine geschlossene Kantenfolge der Länge 7, aber - da k doppelt vorkommt - kein Kantenzug und kein Kreis.

15 . Grundbegriffe, Eulersche und Hamiltonsche Graphen 3 (4) W 4 = e k e 2 k 5 e 2 k 6 e 3 k 2 e k 3 e 3 k 9 e 4 k 4 e ist ein geschlossener Kantenzug der Länge 7, aber - da die Ecken e und e 2 mehrfach vorkommen - kein Kreis. (5) W 5 = e k e 2 k 8 e 5 k 0 e 3 k 9 e 4 ist ein e -e 4 -Weg der Länge 4. (6) W 6 = e 2 k 5 e 2 und W 7 = e k e 2 k 6 e 3 k 9 e 4 k 4 e sind Kreise der Länge bzw. 4. Bemerkungen.4.3 (a) Jeder Weg ist auch ein Kantenzug, und analog ist jeder Kreis ein geschlossener Kantenzug. Die Umkehrung gilt im allgemeinen nicht. (b) Alle Kreise mit gleicher Eckenzahl sind zueinander isomorph. Satz.4.4 Sei G ein Graph mit Ecken e,e 2. Dann beinhaltet jede e -e 2 -Kantenfolge einen e - e 2 -Weg, falls e e 2, bzw. einen Kreis durch e. Satz.4.5 Sei G ein ungerichteter Graph mit δ(g) 2. Dann gilt: (a) G enthält mindestens einen Kreis. (b) Ist G schlicht, dann enthält G einen Kreis der Länge mindestens δ(g)+. Definition.4.6 Sei G ein ungerichteter Graph mit Ecken e, e 2. (a) Gibt es eine e -e 2 -Kantenfolge in G, dann nennt man e und e 2 zusammenhängend. (b) Sind je zwei Ecken von G zusammenhängend, dann heißt G zusammenhängend, und sonst nicht zusammenhängend. (c) Der Teil-Graph der mit e zusammenhängenden Ecken zusammen mit den entsprechenden Kanten heißt (die e enthaltende) Komponente von G. Bemerkung.4.7 zusammenhängend ist eine Äquivalenzrelation auf der Eckenmenge E und die Ecken einer Äquivalenzklasse zusammen mit den entsprechenden Kanten bilden eine Komponente des Graphen. Beispiele.4.8 Der Graph aus Beispiel..4 () hat 2 Komponenten, die isolierte Ecke 6 und den Rest-Teilgraph. Alle anderen bisherigen Beispiele sind zusammenhängend. Für gerichtete Graphen muss man zusammenhängend modifizieren: Definition.4.9 Sei G = (E, K) ein gerichteter Graph.

16 . Grundbegriffe, Eulersche und Hamiltonsche Graphen 4 (a) Seien a,b E beliebige Ecken. b heißt von a aus erreichbar, wenn es einen gerichteten a-b-weg gibt. a und b heißen stark zusammenhängend, wenn a von b aus und b von a aus erreichbar ist. (b) G heißt stark zusammenhängend, wenn je zwei verschiedene Ecken stark zusammenhängend sind. (c) G heißt schwach zusammenhängend, wenn der unterliegende Graph zusammenhängend ist. Bemerkung.4.0 Starkzusammenhängend isteineäquivalenzrelationaufe.dieäquivalenzklassen heißen starke (Zusammenhangs-) Komponenten von G. Beispiel.4. Der folgende gerichtete Graph G ist schwach zusammenhängend, aber nicht stark zusammenhängend. Er hat die 4 starken Komponenten K, K 2, K 3, K 4. e 3 e 6 e 9 e 3 e 6 e 4 e 0 e 9 e 2 e 5 e 8 e 0 e e 4 G e 7 e 2 K K e 2 K3 e 5 e 7 e 8 K 4 Definition.4.2 Sei G = (E, K) ein ungerichteter oder gerichteter Graph, (A, B) eine Partition von E (d.h. A B, A B =, E = A B). Dann heißt (A,B) Schnitt in G. Satz.4.3 Sei G = (E,K) ein gerichteter Graph mit p Ecken und q Kanten. (a) G ist stark zusammenhängend genau dann, wenn für jeden Schnitt (A,B) jede Ecke aus B von jeder Ecke aus A erreichbar ist. (b) G ist schwach zusammenhängend genau dann, wenn es für jeden Schnitt (A, B) Kanten gibt, die A und B verbinden. (c) Ist G stark zusammenhängend mit mindestens 2 Ecken, dann gilt q p. (d) Ist G schwach zusammenhängend mit mindestens 2 Ecken, dann gilt q p. (e) Sei G eine starke Komponente mit mindestens 2 Ecken, a,b Ecken in G. Dann enthält jede gerichtete a-b-kantenfolge nur Ecken aus G. Weiter gibt eine geschlossene Kantenfolge, die alle Ecken aus G enthält.

17 . Grundbegriffe, Eulersche und Hamiltonsche Graphen 5 Eine Möglichkeit, in einer Stadt die anfallenden Verkehrsströme bei gleichbleibender Straßenbreite zu ermöglichen, ist Einbahnstraßen einzurichten. Wenn man in einem Straßenplan jede Kreuzung durch eine Ecke und die Straßen zwischen den Kreuzungen durch nichtgerichtete Kanten repräsentiert, erhält man einen zusammenhängenden nicht gerichteten Graph G. Nach Einrichtung der Einbahnstraßen sollte immer noch jeder Ort erreichbar sein. Die Frage ist also, ob es eine stark zusammenhängende Orientierung G von G gibt. Satz.4.4 Ein ungerichteter Graph hat genau dann eine stark zusammenhängende Orientierung, wenn er zusammenhängend ist und keine Kanten enthält, nach deren Entfernung G nicht mehr zusammenhängend wäre. Das Königsberger Brückenproblem ist genau dann lösbar, wenn es im Graphen von Beispiel.. einen geschlossenen Kantenzug gibt, der alle Kanten des Graphen enthält. Definition.4.5 Sei G ein gerichteter oder ungerichteter Graph. Eine geschlossene Kantenfolge, die jede Kante von G mindestens einmal enthält, heißt Tour. Ein Kantenzug in G, der jede Kante von G genau einmal enthält, heißt Eulerscher Kantenzug, ein geschlossener Eulerscher Kantenzug heißt Eulersche Tour und ein Graph mit einer Eulerschen Tour heißt Euler-Graph. Wir betrachteten zuerst gerichtete Graphen. Satz.4.6 Sei G ein schwach zusammenhängender gerichteter Graph. (a) Hat G mindestens eine Kante, dann gilt: G ist Eulersch genau dann, wenn für jede Ecke der Eingangsgrad gleich dem Ausgangsgrad ist. Insbesondere ist der Graph dann stark zusammenhängend. (b) Hat G mindestens 2 Ecken, dann gilt: G enthält einen Eulerschen Kantenzug genau dann, wenn es 2 Ecken a und b gibt mit grad + (a) = grad (a)+, grad (b) = grad + (b)+ und für alle anderen Ecken der Eingangsgrad gleich dem Ausgangsgrad ist. (c) G ist genau dann Eulersch, wenn er sich in disjunkte geschlossene gerichtete Kantenzüge zerlegen lässt. Bemerkung.4.7 Gilt in einem gerichteten schwach zusammenhängenden Graphen, dass für jede Ecke Eingangs- und Ausgangsgrad gleich sind, dann kann man eine Euler-Tour konstruieren. Der Beweis folgt dem Algorithmus von Hierholzer. Für ungerichtete Graphen folgt Satz.4.8 Sei G = (E,K) ein zusammenhängender ungerichteter Graph, e,e 2 E mit e e 2.

18 . Grundbegriffe, Eulersche und Hamiltonsche Graphen 6 (a) G ist genau dann Eulersch, wenn der Grad jeder Ecke gerade ist. (b) G hat genau dann einen Eulerschen Kantenzug von e nach e 2, wenn e und e 2 die einzigen Ecken mit ungeradem Grad sind. Bemerkungen.4.9 () Analog zeigt man: Ein zusammenhängender ungerichteter Graph mit 2n ungeraden Ecken enthält eine Familie von n kantendisjunkten Kantenzügen, die zusammen alle Kanten des Graphen enthalten. (2) Es gibt also keine Euler-Tour durch Königsberg. (3) Mit dem vorigen Satz kann man feststellen, welche ebenen Figuren man zeichnen kann, ohne abzusetzen und ohne eine Linie doppelt zu zeichnen: Kennzeichnet man jeden Schnittpunkt von Linien als Ecke, dann gelingt das genau dann, wenn höchstens 2 Ecken ungeraden Grad haben. Beim Haus des Nikolaus gibt es einen Eulerschen Kantenzug, der Graph ist aber nicht Eulersch, während der Graph zu der 2. Zeichnung Eulersch ist. Haus des Nikolaus: Satz.4.20 Sei G ein zusammenhängender ungerichteter Graph mit mehr als Ecke. (a) G ist genau dann Eulersch, wenn man G als Vereinigung von kantendisjunkten Kreisen darstellen kann. (b) G hat eine geschlossene Kantenfolge, in der jede Kante von G genau zweimal vorkommt. Beispiele.4.2 () Für eine Ausstellung soll dem Publikum ein Weg so vorgegeben werden, dass jedes Ausstellungsstück genau einmal betrachtet wird. Die Exponate sind beiderseits eines Ganges platziert, d.h. jeder Gang soll genau einmal in jeder Richtung durchlaufen werden. Fasst man die Gänge als parallele Doppel-Kanten und ihre Kreuzungspunkte als Ecken auf, dann haben die Ecken offensichtlich geraden Grad und der Graph ist zusammenhängend, d.h. es gibt eine Euler-Tour.

19 . Grundbegriffe, Eulersche und Hamiltonsche Graphen 7 (2) Eine weitere Anwendung ist das Problem des chinesischen Briefträgers, das zuerst in einer Arbeit des chinesischen Mathematikers Kuan 962 untersucht wurde: Bevor ein Briefträger seine Briefe zustellen kann, muss er sie vom Postamt abholen. Danach trägt er sie in jeder Straße seines Zustellungsbereichs aus, und kehrt am Ende zu seinem Postamt zurück, um die nicht zustellbaren Briefe abzugeben. Er möchte natürlich seine Route so wählen, dass die Gesamtstrecke möglichst kurz wird. Graphentheoretisch beschreibt man das Problem so: Jede Straße entspricht einer Kante und die Kreuzungspunkte den Ecken eines Graphen. Den Kanten wird die Länge der entsprechenden Straße als Wert zugeordnet. Die Bewertung einer Tour ist dann die Summe der Werte der Kanten der Tour. Ist der Graph Eulersch, dann kommt jede Kante genau einmal in einer Eulerschen Tour vor, eine Eulersche Tour hat also einen minimalen Wert (und alle anderen Eulerschen Touren denselben). Wenn aber der Graph G nicht Eulersch ist, dann enthält jede Route einige der Kanten öfter als einmal. Eine solche Route in G entspricht aber einer Eulerschen Tour in einem Graphen G, der aus G entsteht, indem man zu jeder Kante k, die in der Route n-mal durchlaufen wird, n Parallelkanten mit gleichem Wert wie k hinzufügt. Einer optimalen Route entspricht dann eine Erweiterung, bei der die Summe der Werte der hinzugefügten Kanten minimal ist. Natürlich ist die Lösung des Problems immer noch kompliziert, weil man nicht sofort erkennen kann, welche Kanten man für eine minimale Route hinzufügen muss. Hat man aber nur zwei Ecken a und b mit ungeradem Grad, dann sucht man einen kürzesten Weg von a nach b und verdoppelt die zugehörigen Kanten..5 Hamiltonsche Graphen Der irische Mathematiker William Hamilton ( ) erfand ein Puzzle in Form eines Dodekaeders, dessen Ecken jeweils durch den Namen einer Hauptstadt gekennzeichnet waren. Gesucht war eine Rundreise, die jede Hauptstadt genau einmal besucht und wieder beim Startpunkt ankommt. Betrachtet man wieder den Graphen, der alle Ecken und Kanten des Dodekaeders enthält, dann ist also ein Weg gesucht, der jede Ecke des Graphen genau einmal enthält.

20 . Grundbegriffe, Eulersche und Hamiltonsche Graphen 8 Definition.5. Ein Weg in einem Graphen G, der jede Ecke von G enthält, heißt Hamilton- Weg, ein entsprechender Kreis Hamilton-Kreis. G heißt Hamiltonscher Graph, wenn es einen Hamilton-Kreis in G gibt. Bemerkungen.5.2 () Für eine Euler-Tour wird gefordert, dass es einen geschlossenen Kantenzug gibt, der jede Kante des Graphen genau einmal enthält. Ersetzt man die Bedingung jede Kante genau einmal durch jede Ecke genau einmal, dann ergibt sich die Problemstellung des Hamilton-Graphen. (2) Die Eigenschaften Eulersch und Hamiltonsch sind unabhängig. Eulersch u. Hamiltonsch nur Hamiltonsch nur Eulersch weder noch (3) Jeder Hamiltonsche Graph enthält auch einen Hamilton-Weg. Die Umkehrung gilt nicht allgemein. (4) Ein Euler-Kantenzug bzw. eine Euler-Tour in einem zusammenhängenden Graphen G enthält jede Kante von G genau einmal, und damit auch jede Ecke von G, aber i.a. mehrmals. Ein Hamilton-Weg bzw. Hamilton-Kreis enthält jede Ecke von G genau einmal und damit i.a. nicht alle Kanten von G, denn er enthält (höchstens) zwei Kanten mit gemeinsamer Ecke. (5) Sei G ein beliebiger Graphund G der Graph, der entsteht, wenn man bei der Kantenmenge von G Schlingen weglässt und bei Mehrfachkanten zwischen je zwei Ecken alle diese Kanten außer einer weglässt. Dann ist der schlichte Graph G genau dann Hamiltonsch, wenn G ein Hamiltonscher Graph ist. Man kann sich bei der Suche nach Hamilton-Graphen also auf schlichte Graphen beschränken.

21 . Grundbegriffe, Eulersche und Hamiltonsche Graphen 9 (6) Sind G und G zwei Graphen mit gleicher Eckenmenge, ist die Kantenmenge von G Teilmenge der Kantenmenge von G und ist G ein Hamiltonscher Graph, dann auch G. Man kann für jeden Graph einfach feststellen, ob er Eulersch ist, indem man den Grad jeder Ecke bestimmt. Bisher ist noch keine so einfache notwendige und hinreichende Bedingung dafür gefunden worden, dass ein Graph Hamiltonsch ist. Man kann aber zumindest für jede Eckenzahl Beispiele von Hamiltonschen Graphen angeben: Beispiele.5.3 () Ist G ein Kreis mit p Ecken, d.h. zusammenhängend mit p Kanten, dann ist G Hamiltonsch. ver- (2) Der vollständige Graph K p mit p Ecken ist Hamiltonsch. Er enthält genau (p )! 2 schiedene Hamilton-Kreise. Definition.5.4 Ein schlichter Graph G heißt maximal nicht-hamiltonsch, wenn er nicht Hamiltonsch ist, aber das Hinzufügen einer beliebigen Kante zwischen zwei in G nicht direkt verbundenen Ecken einen Hamiltonschen Graphen erzeugt. Bemerkung.5.5 Zu jedem nicht-hamiltonschen Graphen gibt es einen Ober-Graphen mit derselben Eckenmenge, der maximal nicht-hamiltonsch ist. Satz.5.6 (Dirac) Sei G ein schlichter Graph mit p 3 Ecken und der Grad jeder Ecke ist mindestens p, dann ist G Hamiltonsch. 2 Bemerkung.5.7 Der Satz von Dirac verlangt die Beziehung zwischen minimalem Eckengrad δ(g) und Eckenzahl des Graphen. Verlangt man nur, dass δ(g) groß genug ist, dann gilt die Aussage im allgemeinen nicht mehr, denn zu jedem k IN gibt es einen nicht-hamiltonschen Graphen G mit δ(g) = k. Aus dem Beweis zu dem vorigen Satz ergibt sich Satz.5.8 Sei G ein schlichter Graph mit p 3 Ecken und e und e 2 seien zwei nicht benachbarte Ecken von G mit grade +grade 2 p. Weiter sei G der Graph, der aus G durch Hinzufügen der Kante e e 2 entsteht. Dann ist G genau dann Hamiltonsch, wenn G Hamiltonsch ist. Damit liegt folgende Konstruktion nahe: Wir gehen von einem schlichten Graphen G 0 mit p 3 Ecken aus. Gibt es zwei in G 0 nicht benachbarte Ecken a und b mit grada +gradb p, dann verbindet man die beiden Ecken und erhält einen Graphen G. Gibt es zwei in G nicht benachbarte Ecken a 2 und b 2, für die in G die Ungleichung grada 2 + gradb 2 p gilt, dann verbindet man wieder diese beiden Ecken und erhält einen Graphen G 2.

22 . Grundbegriffe, Eulersche und Hamiltonsche Graphen 20 Die Konstruktion endet nach endlich vielen Schritten mit einem Graphen G n, nämlich spätestens mit dem vollständigen Graphen K p. G n nennen wir Hülle von G 0 und bezeichnen ihn mit c(g 0 ). Beispiele.5.9 () In folgendem Beispiel ergibt sich als Hülle der vollständige Graph: b 6 b 5 b 6 b 5 b 6 b 5 b 6 b 5 b b 4 b b 4 b b 4 b b 4 b 2 b 3 b 6 b 5 b 2 b 3 b 6 b 5 b 2 b 3 b 6 b 5 b 2 b 3 b 6 b 5 b b 4 b b 4 b b 4 b b 4 b 2 b 3 b 2 b 3 (2) Für folgenden Graph G gilt c(g) = G. b 2 b 3 b 2 b 3 b 7 b 6 b b 2 b 3 b 5 b 4 Man kann i.a. in einem Graphen verschiedene Paare von Ecken auswählen, deren Gradsumme nicht kleiner als p ist, d.h. man erhält i.a. aus einem Graphen G durch die vorige Konstruktion verschiedene aufsteigende Folgen von Graphen. Man kann aber zeigen, dass diese Folgen alle mit demselben Graphen enden, d.h. die Hülle von G ist durch G eindeutig bestimmt. Satz.5.0 Sei G ein schlichter Graph mit p 3 Ecken. (a) Die Hülle c(g) ist durch G eindeutig bestimmt. (b) G ist genau dann Hamiltonsch, wenn seine Hülle Hamiltonsch ist. Ist speziell c(g) der entsprechende vollständige Graph, dann ist G Hamiltonsch. Für bipartite Graphen gilt Satz.5. Sei G = K p,p 2,...,p r ein vollständiger r-partiter Graph mit p 3 Ecken und es gelte r p p 2... p r. Dann gilt: G ist genau dann Hamiltonsch, wenn p i p r. i=

23 . Grundbegriffe, Eulersche und Hamiltonsche Graphen 2 Es sei nun G ein beliebiger nicht vollständiger schlichter Graph mit p Ecken. Fügt man schrittweise eine Kante zwischen zwei noch nicht direkt verbundenen Ecken dazu, dann erhält man nach endlich vielen Schritten den zugehörigen vollständigen und damit Hamiltonschen Graphen K p. Sind nun G 0 := G, G,..., G n = K p die entsprechenden Graphen und war der Ausgangsgraph nicht Hamiltonsch, dann gibt es ein n 0 IN mit n 0 n, so dass G n0 Hamiltonsch ist, aber G n0 nicht. Damit kommt man zu folgender Beispiel.5.2 Ein Handlungsreisender (Traveling Salesman) hat ein Gebiet mit vielen verschiedenen Städten zu betreuen, von denen bestimmte Paare durch Straßen verbunden sind. Er muss jede Stadt besuchen. Kann er nun eine Rundreise finden, so dass er jede Stadt genau einmal besucht und zusätzlich die Gesamtlänge der zurückgelegten Strecke minimal ist? Das Traveling Salesman Problem hat viele Anwendungen: Routenplanungen für Verkehrsunternehmen, Müllabfuhr, Sozialdienste, Warenverteilung, Einsatz von Maschinen, die mehrere Verarbeitungsvorgänge durchführen können, zwischen denen jeweils Leerzeit entsteht usw. Gesucht ist immer ein Hamiltonscher Kreis in einem bewerteten (gewichteten) Graphen mit minimaler Länge. Bei Graphen mit wenigen Ecken lässt sich natürlich die Lösung durch Betrachtung aller möglichen Kombinationen finden, aber die Eckenzahl vieler Anwendungen überfordert sehr schnell jeden Computer. Grundsätzlich gibt es zwei Probleme: () Es ist oft schon schwierig zu bestimmen, ob der vorliegende Graph Hamiltonsch ist, da einfache Charakterisierungen wie bei Eulerschen Graphen fehlen. (2) Es gibt (derzeit?) keinen allgemeinen einfachen oder gut funktionierenden Algorithmus zu Ermittlung eines optimalen Kreises. Man misst den Rechenaufwand eines entsprechenden Algorithmus (Komplexität) in Relation zu der Eckenzahl. Es ist nicht bekannt, ob es einen Algorithmus gibt, bei dem der Rechenzeitaufwand eine polynomiale Funktion der Eckenzahl ist, oder ob es nur Algorithmen gibt, deren Rechenzeit exponentiell mit der Eckenzahl wächst. Gewisse Lösungen erhält man mit Heuristiken, das sind Verfahren, die versuchen, mit Hilfe von Faustregeln und intelligentem Raten Lösungen von Optimierungsproblemen zu finden, aber nicht garantieren, eine optimale Lösung zu finden. Ein Beispiel ist die Nächster-Nachbar-Heuristik:

24 . Grundbegriffe, Eulersche und Hamiltonsche Graphen 22 Nächster-Nachbar-Algorithmus Sei G ein einfacher ungerichteter vollständiger und kantengewichteter Graph mit p 2 Ecken. [ ] Wähle eine beliebige Ecke e des Graphen aus. Setze i :=. [2 ] Setze e := e i. [3 ] Wähle unter allen Kanten eu mit einer noch nicht ausgewählten Ecke u {e,...,e i } eine kürzeste aus. [4 ] Für i < p setze i := i+ und e i := u. Gehe zu [2]. [5 ] Verbinde e p und e. Beispiel und Bemerkung.5.3 Der Nächste-Nachbar-Algorithmus findet zwar einen Hamilton- Kreis in einem entsprechenden Graph. Wie das folgende Beispiel zeigt, kann der Wert dieser Lösung aber beliebig weit von dem Wert des gesuchten minimalen Hamilton-Kreis abweichen c > 4 Beginnt man mit der linken unteren Ecke (als e ), dann erhält man einen Hamilton-Kreis der Länge. Beginnt man aber mit der linken oberen Ecke, dann ergibt sich ein Hamilton-Kreis der Länge 6+c oder 7+c.

25 23 2 Bäume 2. Brücken, trennende Ecken Wir betrachten in diesem Kapitel ungerichtete Graphen. Beispiel 2.. Der folgende Graph stelle ein Netzwerk aus Telefonleitungen und -Verteiler dar. Für den Betreiber ist wichtig zu wissen, welche Leitungen oder Verteiler insofern kritisch sind, dass bei ihrem Ausfall das Netz nicht mehr funktionsfähig ist. Der zusammenhängende Graph ist dann nach Entfernen einer solchen Kante oder Ecke nicht mehr zusammenhängend. k 2 k e e 2 Definition 2..2 Sei G = (E,K) ein Graph mit Eckenmenge E und Kantenmenge K. (a) Ein Graph G = (E,K ) mit E E und K K heißt Teilgraph von G. Gilt E = E, dann heißt G spannender Teilgraph von G. (b) Ist E E, dann heißt der (bezüglich der Kantenmenge K von G) maximale Teilgraph G = (E,K ) der von E induzierte oder aufgespannte Teilgraph von G. (c) Ist k K, e E, dann bezeichne G k den maximalen Teilgraph von G, der k nicht enthält, und G e den maximalen Teilgraph von G, der e nicht enthält. Sei eine Kante k = uv K, u,v E. dann bezeichnen wir mit G+k analog den Graph mit Eckenmenge E und Kantenmenge K {k }. Beispiele 2..3 () Jeder Graph in Beispiel.5.9 () ist spannender Teilgraph des nächsten. Jeder Graph mit 5 Ecken ist nichtspannender Teilgraph des K 6. (2) Im folgenden Graph G mit den Ecken E = {e,...e 5 } und den Kanten k = e 2 e 5, k = e 3 e 5 bedeutet e e 2 e 3 k e 5 e 4 e e 2 e 3 e 5 e 4 G k e e 2 e 3 e e 2 e 3 e 4 k k e 5 e 4 G e 5 G+k

26 2. Bäume 24 Definition 2..4 Sei G ein Graph, e E, k K. (a) e heißt trennende Ecke, wenn G e mehr Komponenten hat als G. (b) k heißt Brücke, wenn G k mehr Komponenten hat als G. Der Graph aus Beispiel 2.. hat die trennenden Ecken e und e 2 und die Brücken k und k 2. Bemerkung 2..5 Eine Brücke kann keine Schlinge sein. Satz 2..6 Sei G = (E,K) ein zusammenhängender Graph und k eine Kante von G. Dann sind folgende Aussagen äquivalent: (a) k ist eine Brücke. (b) k liegt auf keinem Kreis in G. (c) Es gibt Ecken a und b von G, so dass k auf jedem a-b-weg liegt. (d) Es gibt eine Zerlegung von E in nichtleere Teilmengen E und E 2, so dass k für beliebige e E, e 2 E 2 auf jedem e -e 2 -Weg liegt. Bemerkung 2..7 Ist k eine Brücke, dann hat G k genau eine Komponente mehr als G. Satz 2..8 Sei G = (E,K) ein zusammenhängender Graph und e eine Ecke von G. Dann sind folgende Aussagen äquivalent: (a) e ist trennende Ecke. (b) Es gibt Ecken a und b von G mit a e b, so dass e auf jedem a-b-weg liegt. (c) Es gibt eine Zerlegung von E \ {e} in nichtleere Teilmengen E und E 2, so dass e für beliebige e E, e 2 E 2 auf jedem e -e 2 -Weg liegt. Satz 2..9 Sei G ein Graph mit p 2 Ecken. Dann enthält G mindestens 2 Ecken, die keine trennenden Ecken sind. Satz 2..0 Sei G = (E, K) ein zusammenhängender Graph mit mindestens 3 Ecken. Dann sind folgende Aussagen äquivalent: (a) G hat keine trennenden Ecken. (b) Je zwei Ecken liegen auf einem gemeinsamen Kreis. (c) Je eine Ecke und je eine Kante liegen auf einem gemeinsamen Kreis. (d) Je zwei Kanten liegen auf einem gemeinsamen Kreis. (e) Sind a,b zwei beliebige Ecken, k eine beliebige Kante. Dann gibt es einen a-b-weg, der k enthält. (f) Sind a,b,c drei verschiedene Ecken, dann gibt es einen a-b-weg, der c enthält. (g) Sind a,b,c drei verschiedene Ecken, dann gibt es einen a-b-weg, der c nicht enthält.

27 2. Bäume Bäume Definition 2.2. (a) Ein kreisloser Graph heißt Wald. (b) Ein zusammenhängender Wald heißt Baum. Bemerkungen () Bäume und Wälder sind schlichte Graphen. (2) Die Komponenten eines Waldes sind Bäume. Beispiel Außer dem letzten Graphen in Bemerkung.5.2 (2) war keiner der bisherigen Beispielgraphen ein Wald oder ein Baum. Der folgende Graph ist ein Wald mit 5 Komponenten, und jede Komponente ist ein Baum. Satz Sei G ein Graph. Dann sind folgende Aussagen äquivalent: (a) G ist ein Baum. (b) G hat keine Schlingen und zu je zwei beliebigen verschiedenen Ecken gibt es genau einen verbindenden Weg. (c) G ist minimal zusammenhängend, d.h. G ist zusammenhängend und jede Kante ist eine Brücke. (d) G ist maximal kreislos, d.h. G ist kreislos, aber zu je zwei nicht benachbarten Ecken a,b enthält G+ab einen Kreis. (e) G ist zusammenhängend und hat genau q = p Kanten. (f) G ist kreislos und hat genau q = p Kanten. Satz Sei G ein Baum mit p Ecken. Dann gilt: (a) Gilt p 2 und ist W ein längster Weg in G. Dann haben die beiden Endecken a und b des Weges Grad. (b) Gilt p 2, dann gibt es mindestens 2 Ecken in G mit Grad. (c) Gibt es eine Ecke vom Grad n, dann hat G mindestens n Ecken vom Grad.

28 2. Bäume 26 Bemerkungen () Ein Wald mit p Ecken und m Komponenten hat p m Kanten. (2) Ein beliebiger zusammenhängender Graph mit p Ecken hat mindestens p Kanten. Satz Ein Graph G ist zusammenhängend genau dann, wenn er einen spannenden Baum enthält. Ein Graph hat im allgemeinen mehrere nicht isomorphe spannenden Bäume. Beispiel Der folgende Graph G hat z.b. die beiden nicht isomorphen spannenden Bäume B und B 2. G B B 2 Für den vollständigen Graphen gilt Satz (Cayley) Der vollständige Graph K p enthält p p 2 unterschiedliche (möglicherweise zueinander isomorphe) spannende Bäume. Bemerkung Betrachtet man nur zueinander nichtisomorphe Bäume mit p Ecken, dann liegt ihre Zahl zwischen pp 2 p! und 4 p. Wie kann man Bäumen in gerichteten Graphen definieren? Zuerst stellt sich die Frage, ob ein gerichteter Baum stark oder schwach zusammenhängend sein soll, und weiter, ob er nur keine gerichteten einfache Kreise enthalten darf oder auch keine ungerichteten einfachen Kreise. Da jeder stark zusammenhängende Graph mit mindestens zwei Knoten nach Definition gerichtete Kreise enthält, ist die Forderung stark zusammenhängend sinnlos. Bäume in ungerichteten Graphen mit p Ecken und q Kanten sind genau die zusammenhängenden bzw. kreislosen Graphen mit q = p. Ein gerichteter, schwach zusammenhängender Graph mit p Ecken und q Kanten, der keine gerichteten einfachen Kreise enthält, hat wegen des schwachen Zusammenhangs mindestens p Kanten, q kann aber größer sein. Zum Beispiel hat der folgende gerichtete schwach zusammenhängende kreislose Graph 4 Ecken und 6 Kanten.

29 2. Bäume 27 Um den Zusammenhang zwischen Ecken- und Kantenzahl für gerichtete Bäume beizubehalten, definiert man: Definition 2.2. Ein gerichteter Graph T = (E, K) heißt Baum, wenn der zugeordnete ungerichtete Graph ein Baum ist. Bäume in gerichteten Graphen sind also schwach zusammenhängend und kreisfrei, d.h. sie enthalten keine ungerichteten einfachen Kreise. Allerdings ist für einen Baum T = (E, K) in einem gerichteten Graph nicht gewährleistet, dass es für zwei beliebige Ecken e, e 2 einen gerichteten Weg von e nach e 2 gibt (s. Graph G in Beispiel 2.2.2). Beispiel G G 2 In manchen Anwendungen ist dies jedoch wichtig. Daher folgende stärkere Definition (a) Sei G = (E,K) ein gerichteter Graph. Eine Ecke w E heißt Wurzel von G, wenn es für es für jede beliebige Ecke e w einen gerichteten Weg mit Anfangsecke w und Endecke e gibt. (b) Ein gerichteter Baum T = (E,K) mit Wurzel w heißt Wurzelbaum. Bemerkungen und Beispiele () Der Graph aus Beispiel.4. hat die einzige Wurzel e 6. (2) Graph G 2 aus Beispiel ist ein Wurzelbaum. (3) Ein gerichteter Graph mit Wurzel ist schwach zusammenhängend, aber wie man am Graphen G aus Beispiel erkennt, besitzt nicht jeder schwach zusammenhängende Graph eine Wurzel. (4) Ein gerichteter Graph ist stark zusammenhängend genau dann, wenn jeder Knoten eine Wurzel ist. Wurzelbäume lassen sich folgendermaßen charakterisieren: Satz Es sei T = (E,K) ein gerichteter Graph und w E. Dann sind äquivalent: (a) T ist ein Wurzelbaum mit Wurzel w. (b) T ist ein Baum und es gilt grad (w) = 0 und grad (e) = für alle Ecken e E, e w. (c) w ist eine Wurzel in T und es gilt grad (w) = 0 und grad (e) für alle Ecken e E, e w.

30 2. Bäume Minimale bzw. maximale spannende Bäume in bewerteten Graphen Eine Anzahl p Dörfer soll durch ein Rohrleitungssystem zwischen den jeweiligen Wassertürmen miteinander verbunden werden. Die Dörfer werden durch Ecken dargestellt, und Rohrleitungen, die gebaut werden können, durch Kanten. Natürlich will man möglichst wenige Rohrleitungen bauen, d.h. man sucht einen spannenden Baum mit p Kanten. Von jeder Rohrleitung sind die Baukosten bekannt. Wie würde das (oder ein) kostengünstigstes Leitungssystem aussehen? Definition 2.3. (a) Sei G = (E, K) ein Graph, w : K IR eine Funktion. Dann heißt (G, w) bewerteter Graph. (b) Für jeden Teilgraphen G = (E,K ) heißt w(g ) := k K w(k) Wert von G. (c) Ein spannender Baum B heißt minimaler spannender Baum, falls kein anderer spannender Baum B von G mit geringerem Wert existiert. Unser Rohrleitungsproblem läuft also daraus hinaus, in einem bewerteten zusammenhängenden Graphen den oder einen spannenden Baum mit minimalem Wert zu finden. Bemerkungen () Da es in jedem Graphen nur endlich viele spannende Bäume gibt, gibt es immer mindestens einen minimalen spannenden Baum. Im allgemeinen gibt es aber keine eindeutige Lösung: Haben in einem Graph alle Kanten gleichen Wert (d.h. ist die Bewertung konstant), dann ist jeder spannender Baum minimal. (2) Ein nicht zusammenhängender Graph zerfällt in endlich viele Zusammenhangskomponenten G i = (E i,k i ), i m. Ist B i = (E i,k i ) ein spannender Baum von G i, i m, dann heißt F = {B i ; i m} spannender Wald von G. Das Problem der Suche nach einem spannenden Wald für einen nichtzusammenhängenden Graphen löst man durch die Suche nach einem minimalen spannenden Baum für jede Zusammenhangskomponente. Wir werden uns zunächst auf zusammenhängende Graphen beschränken. (3) Ergänzt man einen zusammenhängenden schlichten Graph G mit p Ecken zum vollständigen GraphK p undordnet denneuenkantendenwert zu, dannist einminimaler spannender Baum von K p auch minimaler spannender Baum von G. Ist G nicht zusammenhängend, dann erhält man aus einem minimalen spannenden Baum in K p nach Weglassen der Kanten mit Wert einen minimalen spannenden Wald von G. Man kann sich also auf Betrachtung vollständiger Graphen beschränken.

31 2. Bäume 29 (4) Eine leichte Abwandlung unserer Fragestellung führt zu einem völlig anderen graphentheoretischem Problem: Sucht man ein billigstes Leitungsnetz, so dass jede Ecke nach Entfernung einer Kante immer noch mit den anderen verbunden ist, dann muss der entsprechende Teilgraph Kreise enthalten, also mindestens p Kanten haben. Gesucht ist also ein minimaler Hamiltonkreis (durch alle Ecken), d.h. eine Lösung des Problems des Handlungsreisenden. Beispiel Graph mit zwei verschiedenen minimalen spannenden Bäumen: e 2 e 3 e e 2 5 e 5 4 e Wie kann man minimale spannende Bäume erkennen? EinKriterium gibt Satz Sei G = (E, K) ein ungerichteter, gewichteter und zusammenhängender Graph mit p Ecken, q Kanten und Kantengewichten w(k) für alle k K, und sei T = (E,K ) ein spannender Baum. Dann sind äquivalent: (a) T ist ein minimaler spannender Baum. (b) Für jede Kante k K \ K gilt: In dem (eindeutig bestimmten) Kreis in T + k hat k maximales Gewicht. (c) Für jede Kante k K gilt: T k zerfällt in zwei Zusammenhangskomponenten G = (E,K ) und G 2 = (E 2,K 2 ) und unter allen Kanten k K \(K K 2 ), die G und G 2 verbinden (mit je einer Endecke in jeder Komponente), hat k minimales Gewicht. Der folgende Algorithmus von Kruskal baut aus einem kantenlosen Graphen (E, ) (mit allen Ecken) den gesuchten Baum auf, indem man einfach bei jedem Schritt die günstigste geeignete Kante hinzufügt. S Sortiere die Kanten in K aufsteigend nach ihrem Wert, d.h. K = {k,k 2,...,k q } mit w(k ) w(k 2 )... w(k q ). Setze T := (E,K = ). S2 Enthält K genau p Kanten, dann ist T = (E,K ) der gesuchte maximale spannende Baum und der Algorithmus bricht ab. S3 Wähle die erste Kante k K und setze K := K \{k}. S4 Liegen die Endecken von k in verschiedenen Komponenten von T, dann setze K := K {k}. Fahre mit Schritt 2 fort.

32 2. Bäume 30 Beispiel Durchführung des Algorithmus für den Graph aus Beispiel k 0 = 7 k 3 = 2 k 9 = 6 k 2 = k 4 = 2 k 6 = 2 k = k 8 = 5 k 7 = 4 k 5 = 2 ergibt: k k k 2 k k 2 k 4 k k 2 k 4 k k 2 k 4 k 7 k 5 k 5 Satz Der Algorithmus von Kruskal findet einen minimalen spannenden Baum für einen zusammenhängenden Graphen G mit p Ecken, q Kanten und nichtnegativer Bewertung. Folgender Algorithmus ist eine Abwandlung des Algorithmus von Kruskal und beginnt ebenfalls mit dem Graph (E, ), d.h. mit p Zusammenhangskomponenten. Bei jedem Schritt wird jeder Komponente eine Kante minimaler Länge zugeordnet, die die Komponente verlässt, d.h. eine Ecke liegt in dieser Komponente, die andere nicht. Danach werden diese Kanten in den Graph eingefügt, wobei darauf geachtet werden muss, dass kein Kreis entsteht. Dadurch wird die Anzahl der Komponenten verringert (mindestens halbiert). Der Algorithmus bricht ab, wenn der entstandene Graph zusammenhängend ist. Beispiel Wir betrachten wieder den Graph aus Beispiel mit einer anderen Bewertung. e 3 k 2 = e 4 e 3 e 4 k 2 e 3 e 4 k 2 e 3 e 4 k 4 = 2 k 5 = 2 e k = e 2 k 6 = 2 e 5 k 9 = 6 k 0 = 8 k 8 = 5 k 3 = k 7 = 4 e 6 e e 2 e 5 e 6 e k e 2 e 5 k 3 e 6 e k 4 k e 2 k 7 e 5 k 3 e 6 Zuordnung im. Schritt: k e, k e 2, k 2 e 3, k 2 e 4, k 3 e 5, k 3 e 6 Zuordnung im 2. Schritt: k 4 ({e,e 2 },{k }), k 4 ({e 3,e 4 },{k 2 }), k 7 ({e 5,e 6 },{k 3 }).