Übungsklausur zur Vorlesung Wahrscheinlichkeit und Regression Lösungen. Übungsklausur Wahrscheinlichkeit und Regression Die Lösungen

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1 Übungsklausur Wahrschenlchket und Regresson De Lösungen. Welche der folgenden Aussagen treffen auf en Zufallsexperment zu? a) En Zufallsexperment st en emprsches Phänomen, das n stochastschen Modellen beschreben werden soll. b) En Zufallsexperment st charaktersert durch de Menge der möglchen Ergebnsse, de Menge der möglchen Eregnsse und das Wahrschenlchketsmaß. 2. En Wahrschenlchketsmaß P ordnet b) den möglchen Eregnssen enes Zufallsexpermentes Wahrschenlchketen zu. c) den Elementareregnssen enes Zufallsexpermentes Wahrschenlchketen zu. 3. Be dem Zufallsexperment Zwemalges Würfeln mt enem (faren) Würfel st c) de Anzahl der Elemente der Menge der möglchen Ergebnsse klener als de Anzahl der Elemente der Menge der möglchen Eregnsse. 4. Be dem Zufallsexperment Dremalges Werfen ener (faren) Münze beträgt de Anzahl der Elemente der Menge der möglchen Ergebnsse: c) 8 5. Be dem Zufallsexperment Dremalges Werfen ener (faren) Münze beträgt de Anzahl der Elemente der Menge der möglchen Eregnsse: f) Welche der folgenden Aussagen wrd als das Kolmogoroff sche Axom der Normerung bezechnet? c) P( Ω ) = 7. Wetere Kolmogoroff sche Axome heßen: a) Addtvtät c) Nchtnegatvtät 8. De Komponenten enes Wahrschenlchketsraums enes Zufallsexpermentes snd: a) De Menge der möglchen Ergebnsse c) De Menge der möglchen Eregnsse d) Das Wahrschenlchketsmaß 9. Für en Eregns A enes Zufallsexpermentes glt mmer: a) Es st ene Telmenge der Menge der möglchen Ergebnsse. b) Es st ene Telmenge der Menge der möglchen Eregnsse. c) Dem Eregns A kann ene Wahrschenlchket zugeordnet werden. 0. Für jedes Zufallsexperment st de klenstmöglche Sgma-Algebra: b) A 2 ={ Ω, }. En W-Raum a) beschrebt en Zufallsexperment. b) st de formal-sprachlc he Repräsentaton des n enem stochastschen Modell betrachteten emprschen Phänomens. c) benhaltet alle Aussagen, de man mt dem betrachteten Zufallsexperment formuleren kann. - -

2 2. In enem psychologschen Zufallsexperment wrd aus der Menge der Personen Anton, Bert und Conn ene Person zufällg gezogen und bearbetet dre Aufgaben. Es gbt nur de Möglchketen de Aufgaben entweder zu lösen (+) oder ncht zu lösen ( ). We lässt sch de Ergebnsmenge deses Zufallsexpermentes formal repräsenteren? a) Ω=Ω Ω b) { Anton,Bert,Conn } {, } {, } {, } 3. Für das Zufallsexperment aus Aufg. 2 bedeutet das Eregns { } { } { } { } d) Anton wrd gezogen und löst de zwete Aufgabe. A : = Anton + + +,, : 4. Für das Zufallsexperment aus Aufg. 2 bedeutet das Eregns A : = { Anton,Bert } 2 { } { +, } { } : d) Anton oder Bert wrd gezogen und löst de erste und de drtte Aufgabe ncht. 5. Für das Zufallsexperment aus Aufg. 2 bedeutet das Eregns A : 3 = { Anton,Conn } Ω : d) Anton oder Conn wrd gezogen. 6. Se Ω, A, P en Wahrschenlchketsraum und A en Eregns A A. Für das Eregns A und sen Komplement A glt: a) Se snd dsjunkt. 7. Für das Eregns A und das Eregns Ω glt: b) Se snd stochastsch unabhängg. 8. Für das Eregns A und de Leere Menge glt: a) Se snd dsjunkt. b) Se snd stochastsch unabhängg. 9. Für das Eregns A, sen Komplement A, das Eregns Ω und de Leere Menge glt: c) De Menge {,, AA, } Ω st ene s-algebra. 20. Se Ω, A, P en Wahrschenlchketsraum und A und B zwe Eregnsse A, B A. Dann entsprcht de bedngte Wahrschenlchket PAB ( ) n enem Venn-Dagramm a) dem Antel der Gesamtfläche von A an der Gesamtfläche Ω, vorausgesetzt de Eregnsse A und B snd stochastsch unabhängg. b) dem Antel der Schnttmenge A Ban der Gesamtfläche von B. 2. Der Ausdruck PAB ( ) st zu lesen als b) De B-bedngte Wahrschenlchket des Eregnsses A. c) De Wahrschenlchket des Eregnsses A gegeben das Eregns B. 22. Se Ω, A, P en Wahrschenlchketsraum und A und B zwe Eregnsse A, B A, de sowohl dsjunkt als auch stochastsch unabhängg snd. Es se PA= ( ) 0,3. We groß st PB ( )? a) Se Ω, A, P en Wahrschenlchketsraum und A und B zwe Eregnsse A, B A, de sowohl dsjunkt als auch stochastsch unabhängg snd. Es se PA= ( ) 0. Welche(n) Wert(e) kann PB ( ) annehmen? a) 0 b) 0,3 c) 0,7 d) - 2 -

3 24. Se Ω, A, P en Wahrschenlchketsraum und A, B und C dre Eregnsse A, B, C A, von denen bekannt se, dass se jewels paarwese stochastsch unabhängg snd. Für alle dre Eregnsse glt dann: b) Se können stochastsch abhängg sen. d) Se können stochastsch unabhängg sen. 25. Was st be der Bldung ener Zufallsvarable n enem Zufallsexperment zufällg? a) De Ergebnsse? Ω b) De Werte der Zufallsvarablen 26. Für en psychologsches Experment gelte Ω=Ω Ωmt Ω ={Anton, Bert} und Ω : ={+, }, wobe + bedeutet, dass de gezogene Person ene bestmmte Aufgabe löst und, dass de gezogene Person ene bestmmte Aufgabe ncht löst. Se de Projekton von Ω auf Ω und de Projekton von Ω auf Ω. ( Anton, + ) bedeutet: d) Anton wrd gezogen. 27. Für das Experment aus Aufgabe 26 bedeutet ( Bert, ) : c) De Aufgabe wrd ncht gelöst. 28. Bem enmalgen Würfeln mt enem faren Würfel lässt sch de Anzahl der Elemente der Menge der möglchen Eregnsse (, de zunächst der Potenzmenge der Menge der möglchen Ergebnsse entsprcht) durch Enführen von Zufallsvarablen reduzeren. Ene solche Zufallsvarable se ene Indkatorvarable. Damt verrngert sch de Anzahl der Elemente der Eregnsmenge f) von 64 auf De Menge aller rblder X ( A') entsprcht a) der Menge der durch X darstellbaren Eregnsse. b) der durch X erzeugten σ-algebra. 30. Welche Bezehung besteht zwschen numerschen und reellen Zufallsvarablen. b) Ene reelle Zufallsvarable st mmer auch ene numersche Zufallsvarable. X 3. De kumulatve Vertelung F (a) gbt de Wahrschenlchket an, dass de Zufallsvarable X b) enen Wert klener oder glech α annmmt. 32. Gegeben se ene Tabelle mt den relatven Häufgketen ener n ener Stchprobe beobachteten dskreten Zufallsvarable. Man kann b) de Vertelung der Zufallsvarable schätzen. d) de kumulatve Vertelung der Zufallsvarable schätzen. 33. Der Erwartungswert ener dskreten Zufallsvarable X st defnert als: a) De mt den Auftretenswahrschenlchketen P( X=x ) gewchtete Summe aller möglchen Werte der Zufallsvarable N d) Formel: x P( X = x ) = f) Der theoretsche Mttel- oder Durchschnttswert 34. Welche der folgenden Aussagen treffen zu? b) Stochastsche Zufallsvarable n können enen Erwartungswert haben. c) Kontnuerlche Zufallsvarablen können enen Erwartungswert haben. d) Reellwertge Zufallsvarablen können enen Erwartungswert haben

4 35. Was bezechnet das Symbol E( X=x )? d) Deses Symbol st ncht defnert und hat kenerle Bedeutung. 36. Der Erwartungswert ener Zufallsvarable X kann mt Hlfe ener Stchprobe des mfangs N: b) Durch de Formel N N X geschätzt werden = 37. Es wrd das Werfen ener faren Münze betrachtet. De Zufallsvarable Y soll den Wert ens erhalten, wenn der Wurf Kopf ergbt, ansonsten Null. Der Erwartungswert von Y st dann: d) 0,5 38. Es wrd das zwemalge, unabhängge Werfen enes faren Würfels betrachtet. De Zufallsvarable Z se de Summe der gewürfelten Augen beder Würfel. Der Erwartungswert von Z st dann d) Der Erwartungswert ener Indkatorvarablen I (mt den möglchen werten =0 und =) st glech: a) Der mt den Wahrschenlchketen P( I= ) gewchteten Summe aller möglchen Werte von I b) Der Wahrschenlchket P( I= ), dass I den Wert ens annmmt 40. Welche der folgenden Aussagen snd wahr unter der Voraussetzung, dass alle Erwartungswerte exsteren und alle erwähnten Zufallsvarablen auf dem glechen Wahrschenlchketsraum defnert seen? a) Der Erwartungswert ener Konstanten st glech der Konstanten selbst. b) Der Erwartungswert ener Summe zweer Zufallsvarablen st glech der Summe der Erwartungswerte beder Varablen. c) Der Erwartungswert ener Summe ener Zufallsvarable und ener Konstante st glech der Summe der Konstanten und des Erwartungswertes der Zufallsvarable. d) Der Erwartungswert des Produkts ener Konstanten mt ener Zufallsvarable st glech dem Produkt der Konstanten mt dem Erwartungswert der Zufallsvarable. 4. Welche der folgenden Glechungen snd wahr, wenn A und B Zufallsvarablen snd (Konstanten sollen her als Zufallsvarablen nterpretert werden, welche nur enen Wert annehmen können; alle Erwartungswerte sollen exsteren und alle erwähnten Zufallsvarablen seen auf dem glechen Wahrschenlchketsraum defnert)? a) E( 5 ) = 5 d) E( +B ) = +P( B= ), wenn B nur de Werte 0 und annehmen kann 42. Gegeben se der Erwartungswert ener Zufallsvarable, welche gemessene Längen n cm angbt. We ändert sch der Erwartungswert der Varablen, wenn statt n cm alle Längen n mm angegeben werden? d) Der Erwartungswert wrd um den Faktor 0 größer. 43. Der Erwartungswert ener Zufallsvarablen st en Maß für: a) De Lokalsaton der Varablen 44. Der Erwartungswert E X E( X ) st a) de mttlere Abwechung aller Werte von X von deren Mttelwert. b) mmer glech De Varanz ener Zufallsvarablen X st defnert als: c) E ( X E( X) ) 2 e) ( ( ))( ( )) E X E X X E X - 4 -

5 46. De Varanz ener Zufallsvarable X st defnert als: b) De mttlere quadrerte Abwechung aller Werte von X von deren Mttelwert 47. Welche Bezehung besteht zwschen der Kovaranz und Varanz? c) De Varanz ener Zufallsvarable st glech der Kovaranz deser Varablen mt sch selbst. 48. Es wrd das Werfen ener faren Münze betrachtet. De Zufallsvarable Y soll den Wert ens erhalten, wenn der Wurf Kopf ergbt, ansonsten Null. De Varanz von Y st dann: d) 0, Welche der folgenden Aussagen snd wahr? d) De Varanz der Summe zweer Zufallsvarablen st glech der Summe der Varanzen beder Zufallsvarablen, wenn bede Varablen stochastsch unabhängg snd. 50. Gegeben se de Varanz ener Zufallsvarable, welche gemessene Längen n cm angbt. We ändert sch de Varanz der Varablen, wenn statt n cm alle Längen n mm angegeben werden? e) De Varanz wrd um den Faktor 00 größer. 5. Welche der folgenden Glechungen snd wahr, wenn A und B Zufallsvarablen snd (Konstanten sollen her als Zufallsvarablen nterpretert werden, welche nur enen Wert annehmen können; alle Erwartungswerte sollen exsteren und alle erwähnten Zufallsvarablen seen auf dem glechen Wahrschenlchketsraum defnert): c) Var( 5 B ) = 25 Var(B) 52. Welche der folgenden Aussagen über Korrelatonen st wahr? a) Ene Korrelaton st ene standardserte Kovaranz. b) Ist de Kovaranz negatv, st auch de Korrelaton negatv. 53. nter welcher der folgenden Bedngungen st de Kovaranz zweer Varablen X und Y postv und hoch/groß? b) Wenn en Wert von X weter vom Mttelwert von X abwecht, dann wecht der entsprechende Wert von Y n de gleche Rchtung auch weter vom Mttelwert von Y ab. 54. Zwe Zufallsvarablen X und Y snd regressv unabhängg. Welche der folgenden Aussagen treffen dann zu? b) X und Y snd korrelatv unabhängg