Induktive Statistik. Formelsammlung. Prof. Dr. W. Assenmacher. Stichprobenraum: Ω = {ω 1, ω 2,...,ω m }
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- Laura Schreiber
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1 Prof. Dr. W. Assemacher Statistik ud Ökoometrie Uiversität Duisburg-Esse Campus Esse Iduktive Statistik Formelsammlug Stichproberaum: Ω = {ω 1, ω,...,ω m } Vollstädiges System vo Ereigisse {A 1,..., A }: A j : Ereigis eies Zufallsvorgags, j = 1,.... (1 Ω = A 1 A... A = A j ( A i A j = für i j, (3 A j für j = 1,..., Ω: sicheres Ereigis, : umögliches Ereigis. σ Algebra A: (1 Ω A ( A j A für alle A j A (3 A A Ā A, Ā : zu A komplemetäres Ereigis Messraum: (Ω, A Kolmogoroff Axiome: (1 P(A 0 für alle A A ( P(Ω = 1 (3 P(A 1 A... = P(A 1 + P(A + für alle A i, A j A mit A i A j = ud i j. P : Wahrscheilichkeit(smaß Wahrscheilichkeitsraum: (Ω, A, P Wahrscheilichkeitssätze 1. P(A + P(Ā = 1. P( = 0 3. A B P(A < P(B
2 4. Additiossätze für paarweise icht disjukte Ereigisse a Ereigisse A ud B: P(A B = P(A + P(B P(A B b 3 Ereigisse A, B, C: P(A B C = P(A + P(B + P(C P(A B P(A C P(B C + P(A B C 5. Additiossätze für edliche ud abzählbar uedliche, paarweise disjukte Ereigisse: P(A 1 A... A... = P(A 1 + P(A + + P(A + 6. Multiplikatiossatz für zwei Ereigisse A ud B: P(A B = P(A BP(B = P(B AP(A P(A B bzw. P(B A: bedigte Wahrscheilichkeit. Sid A ud B stochastisch uabhägig: P(A B = P(A, da gilt P(A B = P(AP(B 7. Satz der totale Wahrscheilichkeit A j, B A, j = 1,..., ; {A j } : vollstädiges System vo Ereigisse P(B = P(B A 1 P(A 1 + P(B A P(A + + P(B A P(A = 8. Bayes sches Theorem P(A i B = P(B A ip(a i, für P(B > 0 ud i = 1,...,. P(B A j P(A j P(B A j P(A j
3 3 Flussdiagramm zu Kombiatorik N Elemete Kriterie A, B, C, D... A, B, B, C, D, D, D... Elemete gleich oder verschiede aus N N N Auswahl oder icht A, B = B, A A, B B, A A, B B, A A, B B, A Reihefolge wesetlich oder icht A, A A, A A, A A, A A, A A, A {z } {z } {z } mit oder ohe Wiederholug Kombiatioe Variatioe Permutatioe! N! N + 1 N! (N! N N! N! Q i! i Diskrete Verteilug: Wahrscheilichkeitsfuktio f(x: P(X = x i = p i, für i = 1,,... f(x = 0, sost Verteilugsfuktio: P(X x = x i xf(x i Stetige Verteilug: Dichtefuktio: f(x = df(x dx Verteilugsfuktio: x IR x P(X x = f(udu bzw. x a f(udu für a < x
4 4 Bestimmte Parameter eier Verteilug 1. Erwartugswert E(X = µ a diskreter Fall: E(X = µ = x i f(x i i=1 b stetiger Fall: E(X = µ = xf(xdx. Variaz var(x = σ : var(x = E{[X E(X] } = E(X [E(X] Lieartrasformatio Y = a + bx E(Y = a + be(x var(y = b var(x Additiossätze für Variaze X 1,..., X : Zufallsvariable, Y := λ j X j, a abhägige Zufallsvariable: var(y = = λ j var(x j + [λ 1 λ cov(x 1, X + λ 1 λ 3 cov(x 1, X λ 1 λ cov(x 1, X ] λ j var(x j + i=1,j i λ i λ j cov(x i X j b uabhägige Zufallsvariable var(y = Tschebyscheff sche Ugleichug Spezielle diskrete Verteiluge λ j var(x j, da cov(x i, X j = 0 für i j. P( X µ > kσ 1 k, k > 1 P( X µ kσ > 1 1 k, k > 1 1. Zweipuktverteilug f(x = p 1, x = x 1 p = 1 p 1, x = x 0, sost 0, x < x 1 p 1, x 1 x < x 1, x x E(X = p 1 x 1 + p x var(x = p 1 (1 p 1 (x 1 x Spezialfall: x 1 = 1, x = 0 (Beroulli Verteilug E(X = p 1 var(x = p 1 (1 p 1 = p 1 p.
5 5. Gleichverteilug 1 f(x = m, x = x i, i = 1,...,m 0, sost 3. Biomialverteilug B(,p: f(x = E(X = 1 m E(X = p m i=1 x i var(x = 1 m 0, x < x 1 i m, x i x < x i+1, i = 1,...,m 1 1, x x m m x i µ i=1 ( x p x (1 p x, x = 0, 1,,...,, [x] k=0 0, sost 0, x < 0 ( p k (1 p k k 1, x > var(x = p(1 p = pq. Rekursiosformel: f(x + 1 = x x + 1, 0 x, k = 0, 1,...[x] p 1 p f(x Relativierte Biomialverteilug : E( 1 X = p var(1 p (1 p X = = p q. 4. Laplace Verteilug: p = (1 p = 0.5 ( ( 1, x {0, 1,,..., } f(x = x 0, sost ( 1 0, x < 0 (, 0 x <, k = 0, 1,..., [x] k [x] k=0 1, x 5. Geometrische Verteilug G(p p (1 p x, x = 0, 1,,... f(x = 0 sost 0, x < 0 1 q [x]+1, x 0 1, x = E(X = 1 p p = q p, var(x = 1 p p = q p.
6 6 6. Negative Biomialverteilug (Pascal Verteilug NB(r,p ( x + r 1 p r q x, x = 0, 1,,... f(x = r 1 0, sost E(X = [x] k=0 r(1 p p 7. Poisso Verteilug PV(λ f(x = 0, x < 0 ( k + r 1 p r q k, 0 x, k = 0, 1,...,[x]. r 1 = rq p var(x = r(1 p p Rekursiosformel: f(x + 1 = q x + r x + 1 f(x λ λx e x!, x = 0, 1,... 0, sost 0, x < 0 = rq p [x] λ λ e k k!, x 0, k = 0, 1,...[x]. k=0 E(X = λ var(x = λ λ = p Rekursiosformel: f(x + 1 = λ x + 1 f(x Liegt ei Poissoprozess vor, ist λ vom Itervall t abhägig. λ( t 8. Hypergeometrische Verteilug H(N,M, ( M ( N M x x ( f(x = N, max{0, + M N} x mi{, M} 0, sost [x] k=a 0, x < max{0, + M N} = a ( M ( N M k k ( N, a x mi{, M}, k = a,...,[x] 1, x > mi{, M} E(X = p var(x = p (1 p N N 1 Relativierte hypergeometrische Verteilug: E( 1 X = p var(1 p (1 p N X = N 1
7 7 Spezielle stetige Verteiluge 1. Rechteckverteilug f(x = 1, a x b b a 0, sost 0, x < a x a, a x b b a 1, x > b E(X = 1 1 (a + b var(x = 1 (b a. Normalverteilug N(µ, σ Reproduktivität: [ f(x = 1 σ π exp 1 1 σ π x ( ] x µ, < x < σ [ exp 1 ( ] u µ du, < x < σ E(X = µ var(x = σ X j, j = 1,...,: stochastisch uabhägige Zufallsvariable mit N(µ j, σj Y = λ j X j, λ j R, midestes ei λ j 0 Y : N( λ j µ j, λ j σ j Lieartrasformatio: Y = a + bx a, b 0, X : N(µ, σ Y : N(a + bµ, b σ Stadardisierug: Z = a + bx; a = µ σ, b = 1 σ 3. Stadardormalverteilug X : N(µ, σ, Z : N(0, 1 Z = X µ σ f(z = 1 π e 1 z, < z < F(z = 1 π z e 1 u du, < z <
8 8 4. Logarithmische Normalverteilug LN(µ L, σ L X : stetig, mit 0 < x < ; E(X = µ, var(x = σ Y = lx, < y < : N(µ L, σ L. f(x = [ 1 exp 1 xσ L π ( ] lx µl, 0 < x < σ L 1 σ L π x 0 [ 1 u exp 1 ( ] lu µl du, σ L 0 < x < E(X = e (µl+ 1 σ L var(x = e µl+σ L (e σ L 1 5. χ ( Verteilug Z j : j = 1,..., : uabhägige, idetisch ormalverteilte Zufallsvariable N(0, 1 X = Zj, 0 x < : χ ( verteilt, : Freiheitsgrade E(X = var(x = 6. t Verteilug 7. F Verteilug Z : N(0, 1, Y : χ (, Z, Y : stochastisch uabhägig X = Z : t verteilt Y Für 3 : E(X = 0 var(x = X 1 : χ (m, X : χ (; X 1, X : stochastisch uabhägig ; m, : Freiheitsgrade X = 1 X X 1 m X : F(m, verteilt : F(, m verteilt E(X = Zweidimesioale Verteiluge: X,Y: diskrete bzw. stetige Zufallsvariable für > var(x = (m + m( für > 4. ( 4 f(x, y : gemeisame Wahrscheilichkeits bzw. Dichtefuktio vo X ud Y mit: f(x, y = 1 (diskret, y x f(x, ydxdy = 1 (stetig
9 9 Verteilugsfuktio: F(x, y = f(u, v (diskret, F(x, y = v y u x Radwahrscheilichkeits bzw. Raddichtefuktio für X: f X (x = y y x f(x, y, f X (x = f(x, ydy f Y (y : aalog zu f X (x Bedigte Wahrscheilichkeits bzw. Dichtefuktio f(x y f(u, vdudv (stetig f(x y = f(x, y f Y (y bzw. f(y x = f(x, y f X (x Stochastische Üabhägigkeit: f(x, y = f X (xf Y (y Kovariaz: cov(x, Y = E(XY E(X E(Y mit E(Y X = y xyf(x, y (diskret, x xyf(x, ydxdy (stetig Korrelatioskoeffiziet: r XY = cov(x, Y var(xvar(y Zweidimesioale Stadardormalverteilug Gesetze der große Zahl X, Y : N(0, 1 ud stochastisch uabhägig f(x, y = 1 [ π exp 1 ] (x + y F(x, y = 1 y x [ exp 1 ] π (u + v dudv X i, i = 1,..., : uabhägige, idetisch verteilte Zufallsvariable. 1. Schwaches Gesetz der große Zahl a Homograder Fall (ach Beroulli b Heterograder Fall (ach Tschebyscheff lim P( h (A p < ε = 1 plimh (A = p. Starkes Gesetz der große Zahl lim P( X( µ < ε = 1 plim X( = µ P( lim h (A = p = 1 bzw. P( lim X( = µ = 1
10 10 Grezwertsätze 1. Moivre Laplace X: Azahl der Erfolge bei uabhägige Beroulli Experimete X i : uabhägig ud idetisch Beroulli verteilt 9 Für (Faustregel > erhält ma als Grezverteilug: p (1 p. Lideberg Lévy S( = X j N(p, p (1 p (biomialverteilt X( = 1 Xj ( p (1 p N p, (relativiert biomialverteilt X i : uabhägige, idetisch verteilte Zufallsvariable mit µ ud σ Für (Faustregel > 30 erhält ma als Grezverteilug: S( = X j N(µ, σ X( = 1 3. Zetraler Grezwertsatz vo Ljapuoff Xj N(µ, σ X j : uabhägige ud icht idetisch verteilte Zufallsvariable mit µ j ud σ j Für (Faustregel > 30 erhält ma als Grezverteilug: S( = X j N ( µ j, σj Eiige Stichprobefuktioe ud ihre Verteiluge X( = 1 Xj N ( 1 µj, 1 σ j X i, i = 1,...: uabhägige Stichprobevariable aus eifacher Zufallsstichprobe; Fall A: X ist i der Grudgesamtheit ormalverteilt Fall B: X ist icht ormalverteilt, aber Merkmalssumme S( = X i i=1 A S( : N(µ, σ B S( N(µ, σ (wege Grezwertsätze. Stichprobemittelwert X = 1 A X : N(µ, σ X i i=1 B X N(µ, σ (wege Grezwertsätze
11 11 3. Stichprobeateilswert P = 1 für < für > 4. Stichprobevariaz Heterograder F all X i, X i der Grudgesamtheit Beroulli verteilt i=1 9 p (1 p : P : RB(, p (relativiert Biomialverteilt ( 9 p (1 p : P N p, p (1 p µ der GG bekat µ der GG ubekat ZmZ S = 1 Σ (X i µ S = 1 1 Σ (X i X ZoZ S = N 1 N 1 Σ (X i µ S = N 1 N 1 1 Σ (X i X Homograder F all ZmZ ZoZ S = 1 P (1 P S = N 1 N 1 P (1 P Mittlerer quadratischer Fehler (mea square error MSE MSE(θ = E(ˆθ θ = var(ˆθ + [E(ˆθ θ] Schwakugsitervall (GG: N(µ, σ oder > 30, σ : bekat heterograd: homograd: P(µ σ Xz 1 α X µ + σ Xz 1 α = 1 α P(p z 1 α p(1 p P p + z 1 α p (1 p = 1 α
12 1 Kofidezitervalle Kofidezitervall für µ (Heterograder Fall: σ bekat σ ubekat 1 ZmZ Fall (1 Fall ( mit σ = S = 1 j (X j X 1 ZoZ Fall (3 Fall (4 mit σ = S = N 1 N 1 j (X j X (1 P ( P (3 P (4 P ( X z1 α ( X t 1,1 α ( X z1 α ( X t 1,1 α σ µ X + z 1 α S µ X + t 1,1 α σ N N 1 µ X + z 1 α σ = 1 α S = 1 α = 1 α = 1 α σ N N 1 S N N 1 µ X + t 1,1 α S N N 1 Kofidezitervall für p (Homograder Fall: σ ubekat ZmZ Fall (1 mit σ = S = P(1 1 P N 1 ZoZ Fall ( mit σ = S = P(1 N 1 P (1 P ( P ( P z1 α ( P z1 α S p P + z 1 α S = 1 α S N N 1 p P + z 1 α S N N 1 = 1 α Kofidezitervall für σ (X I der GG (aäherd ormalverteilt, eifache Zufallsstichprobe: [ ( 1S ] P χ (1 α ; 1 ( σ 1S χ ( α ; 1 = 1 α mit S = 1 1 (X j X Notwediger Stichprobeumfag e: absoluter Fehler (:= halbe Läge eies Kofidezitervalls heterograd: ZmZ ZoZ ( zα σ e z σ N z σ + e (N 1 homograd: ZmZ z P(1 α P e + 1 ZoZ bei < 0, 05 wie bei ZmZ N Hochrechug heterograd: ŝ X = N x, homograd: ˆM = N P,
13 13 Eistichprobe Sigifikaztests für µ bzw. p: H 0 : µ = µ 0 bzw. H 0 : p = p 0 Fall A: X ist i der Grudgesamtheit ormalverteilt Fall B: X ist i der Grudgesamtheit icht ormalverteilt bzw. Verteilug vo X ubekat Voraussetzuge Prüfgröße Z Stichprobeverteilug heterograd σ bekat X µ A Z : N(0, 1 mit Zurücklege σ B Z N(0,1 für 30 σ ubekat X µ A Z : t( 1, Z N(0, 1 für 30 mit Zurücklege S B Z N(0,1 für 30 σ bekat X µ A Z N(0, 1 r ohe Zurücklege σ N B Z N(0,1 für 30 ud /N < 0, 05 N 1 σ ubekat X µ A Z : t( 1, Z N(0, 1 für 30 r ohe Zurücklege S N B Z N(0,1 für 30 ud /N < 0, 05 N 1 homograd σ bekat P p P : RB(, p relativiert biomial r mit Zurücklege p(1 p Z N(0, 1 für p(1 p > 9 σ bekat P p P : RH(N, M, relativiert hypergeometrisch r ohe Zurücklege p(1 p N Z N(0, 1 für p(1 p > 9 ud /N < 0,05 N 1 Aalog hierzu sid die Tests für adere Parameter durchzuführe!
14 14 Verteilugsfuktio der Stadardormalverteilug Beispiel zur Beutzug der Tabelle: P(Z, 36 = 0, Ma liest diese Wert im Schittpukt der Zeile.3 mit der Spalte 0,06. z 0,00 0,01 0,0 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,510 0,5160 0,5199 0,539 0,579 0,5319 0,5359 0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753 0, 0,5793 0,583 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,606 0,6064 0,6103 0,6141 0,3 0,6179 0,617 0,655 0,693 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517 0,4 0,6554 0,6591 0,668 0,6664 0,6700 0,6736 0,677 0,6808 0,6844 0,6879 0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,713 0,7157 0,7190 0,74 0,6 0,757 0,791 0,734 0,7357 0,7389 0,74 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549 0,7 0,7580 0,7611 0,764 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,783 0,785 0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,803 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133 0,9 0,8159 0,8186 0,81 0,838 0,864 0,889 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389 1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,861 1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,879 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830 1, 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,895 0,8944 0,896 0,8980 0,8997 0,9015 1,3 0,903 0,9049 0,9066 0,908 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,916 0,9177 1,4 0,919 0,907 0,9 0,936 0,951 0,965 0,979 0,99 0,9306 0,9319 1,5 0,933 0,9345 0,9357 0,9370 0,938 0,9394 0,9406 0,9418 0,949 0,9441 1,6 0,945 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,955 0,9535 0,9545 1,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,958 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,965 0,9633 1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706 1,9 0,9713 0,9719 0,976 0,973 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767,0 0,977 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,981 0,9817,1 0,981 0,986 0,9830 0,9834 0,9838 0,984 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857, 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,9890,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,9916,4 0,9918 0,990 0,99 0,995 0,997 0,999 0,9931 0,993 0,9934 0,9936,5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,995,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,996 0,9963 0,9964,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,9971 0,997 0,9973 0,9974,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,9981,9 0,9981 0,998 0,998 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986 3,0 0,9987 0,9987 0,9987 0,9988 0,9988 0,9989 0,9989 0,9989 0,9990 0,9990 3,1 0,9990 0,9991 0,9991 0,9991 0,999 0,999 0,999 0,999 0,9993 0,9993 3, 0,9993 0,9993 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9995 0,9995 0,9995 3,3 0,9995 0,9995 0,9995 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9997 3,4 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9998 3,5 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998
15 15 Quatile der t Verteilug Beispiel zur Beutzug der Tabelle: t(0, 95; 4 =, ,6 0,7 0,8 0,9 0,95 0,975 0,99 0, ,349 0,765 1,3764 3,0777 6,3137 1,706 31,810 63,6559 0,887 0,617 1,0607 1,8856,900 4,307 6,9645 9, ,767 0,5844 0,9785 1,6377,3534 3,184 4,5407 5, ,707 0,5686 0,9410 1,533,1318,7765 3,7469 4, ,67 0,5594 0,9195 1,4759,0150,5706 3,3649 4, ,648 0,5534 0,9057 1,4398 1,943,4469 3,147 3, ,63 0,5491 0,8960 1,4149 1,8946,3646,9979 3, ,619 0,5459 0,8889 1,3968 1,8595,3060,8965 3, ,610 0,5435 0,8834 1,3830 1,8331,6,814 3, ,60 0,5415 0,8791 1,37 1,815,81,7638 3, ,596 0,5399 0,8755 1,3634 1,7959,010,7181 3, ,590 0,5386 0,876 1,356 1,783,1788,6810 3, ,586 0,5375 0,870 1,350 1,7709,1604,6503 3, ,58 0,5366 0,8681 1,3450 1,7613,1448,645, ,579 0,5357 0,866 1,3406 1,7531,1315,605, ,576 0,5350 0,8647 1,3368 1,7459,1199,5835, ,573 0,5344 0,8633 1,3334 1,7396,1098,5669, ,571 0,5338 0,860 1,3304 1,7341,1009,554, ,569 0,5333 0,8610 1,377 1,791,0930,5395, ,567 0,539 0,8600 1,353 1,747,0860,580, ,566 0,535 0,8591 1,33 1,707,0796,5176,8314 0,564 0,531 0,8583 1,31 1,7171,0739,5083, ,563 0,5317 0,8575 1,3195 1,7139,0687,4999, ,56 0,5314 0,8569 1,3178 1,7109,0639,49, ,561 0,531 0,856 1,3163 1,7081,0595,4851, ,560 0,5309 0,8557 1,3150 1,7056,0555,4786, ,559 0,5306 0,8551 1,3137 1,7033,0518,477, ,558 0,5304 0,8546 1,315 1,7011,0484,4671, ,557 0,530 0,854 1,3114 1,6991,045,460, ,556 0,5300 0,8538 1,3104 1,6973,043,4573, ,555 0,598 0,8534 1,3095 1,6955,0395,458, ,555 0,597 0,8530 1,3086 1,6939,0369,4487, ,554 0,595 0,856 1,3077 1,694,0345,4448, ,553 0,594 0,853 1,3070 1,6909,03,4411, ,553 0,59 0,850 1,306 1,6896,0301,4377, ,55 0,591 0,8517 1,3055 1,6883,081,4345, ,55 0,589 0,8514 1,3049 1,6871,06,4314, ,551 0,588 0,851 1,304 1,6860,044,486, ,551 0,587 0,8509 1,3036 1,6849,07,458, ,550 0,586 0,8507 1,3031 1,6839,011,433, ,549 0,581 0,8497 1,3007 1,6794,0141,411, ,547 0,578 0,8489 1,987 1,6759,0086,4033,6778
16 16 Quatile der χ Verteilug Beispiel zur Beutzug der Tabelle: χ (0, 95; 5 = 11, 07. F(x 0,005 0,01 0,05 0,05 0,1 0,9 0,95 0,975 0,99 0, ,000 0,000 0,001 0,004 0,016,706 3,841 5,04 6,635 7,879 0,010 0,00 0,051 0,103 0,11 4,605 5,991 7,378 9,10 10, ,07 0,115 0,16 0,35 0,584 6,51 7,815 9,348 11,345 1, ,07 0,97 0,484 0,711 1,064 7,779 9,488 11,143 13,77 14, ,41 0,554 0,831 1,145 1,610 9,36 11,070 1,83 15,086 16, ,676 0,87 1,37 1,635,04 10,645 1,59 14,449 16,81 18, ,989 1,39 1,690,167,833 1,017 14,067 16,013 18,475 0,78 8 1,344 1,647,180,733 3,490 13,36 15,507 17,535 0,090 1, ,735,088,700 3,35 4,168 14,684 16,919 19,03 1,666 3,589 10,156,558 3,47 3,940 4,865 15,987 18,307 0,483 3,09 5,188 11,603 3,053 3,816 4,575 5,578 17,75 19,675 1,90 4,75 6, ,074 3,571 4,404 5,6 6,304 18,549 1,06 3,337 6,17 8, ,565 4,107 5,009 5,89 7,041 19,81,36 4,736 7,688 9, ,075 4,660 5,69 6,571 7,790 1,064 3,685 6,119 9,141 31, ,601 5,9 6,6 7,61 8,547,307 4,996 7,488 30,578 3, ,14 5,81 6,908 7,96 9,31 3,54 6,96 8,845 3,000 34, ,697 6,408 7,564 8,67 10,085 4,769 7,587 30,191 33,409 35, ,65 7,015 8,31 9,390 10,865 5,989 8,869 31,56 34,805 37, ,844 7,633 8,907 10,117 11,651 7,04 30,144 3,85 36,191 38,58 0 7,434 8,60 9,591 10,851 1,443 8,41 31,410 34,170 37,566 39, ,034 8,897 10,83 11,591 13,40 9,615 3,671 35,479 38,93 41,401 8,643 9,54 10,98 1,338 14,041 30,813 33,94 36,781 40,89 4, ,60 10,196 11,689 13,091 14,848 3,007 35,17 38,076 41,638 44, ,886 10,856 1,401 13,848 15,659 33,196 36,415 39,364 4,980 45, ,50 11,54 13,10 14,611 16,473 34,38 37,65 40,646 44,314 46, ,160 1,198 13,844 15,379 17,9 35,563 38,885 41,93 45,64 48, ,808 1,878 14,573 16,151 18,114 36,741 40,113 43,195 46,963 49, ,461 13,565 15,308 16,98 18,939 37,916 41,337 44,461 48,78 50, ,11 14,56 16,047 17,708 19,768 39,087 4,557 45,7 49,588 5, ,787 14,953 16,791 18,493 0,599 40,56 43,773 46,979 50,89 53, ,707,164 4,433 6,509 9,051 51,805 55,758 59,34 63,691 66, ,991 9,707 3,357 34,764 37,689 63,167 67,505 71,40 76,154 79,490
17 17 0,95 Quatile der F-Verteilug Beispiel zur Beutzug der Tabelle: F6 7 (0, 95 = 4, 1. Freiheitsgrade Neer Freiheitsgrade Zähler m ,4 199,5 15,7 4,6 30, 34,0 36,8 38,9 41,9 43,9 45,9 48,0 49,1 50,1 18,51 19,00 19,16 19,5 19,30 19,33 19,35 19,37 19,40 19,41 19,43 19,45 19,45 19, ,13 9,55 9,8 9,1 9,01 8,94 8,89 8,85 8,79 8,74 8,70 8,66 8,64 8,6 4 7,71 6,94 6,59 6,39 6,6 6,16 6,09 6,04 5,96 5,91 5,86 5,80 5,77 5,75 5 6,61 5,79 5,41 5,19 5,05 4,95 4,88 4,8 4,74 4,68 4,6 4,56 4,53 4,50 6 5,99 5,14 4,76 4,53 4,39 4,8 4,1 4,15 4,06 4,00 3,94 3,87 3,84 3,81 7 5,59 4,74 4,35 4,1 3,97 3,87 3,79 3,73 3,64 3,57 3,51 3,44 3,41 3,38 8 5,3 4,46 4,07 3,84 3,69 3,58 3,50 3,44 3,35 3,8 3, 3,15 3,1 3,08 9 5,1 4,6 3,86 3,63 3,48 3,37 3,9 3,3 3,14 3,07 3,01,94,90, ,96 4,10 3,71 3,48 3,33 3, 3,14 3,07,98,91,85,77,74, ,84 3,98 3,59 3,36 3,0 3,09 3,01,95,85,79,7,65,61,57 1 4,75 3,89 3,49 3,6 3,11 3,00,91,85,75,69,6,54,51, ,67 3,81 3,41 3,18 3,03,9,83,77,67,60,53,46,4, ,60 3,74 3,34 3,11,96,85,76,70,60,53,46,39,35, ,54 3,68 3,9 3,06,90,79,71,64,54,48,40,33,9,5 16 4,49 3,63 3,4 3,01,85,74,66,59,49,4,35,8,4, ,45 3,59 3,0,96,81,70,61,55,45,38,31,3,19, ,41 3,55 3,16,93,77,66,58,51,41,34,7,19,15, ,38 3,5 3,13,90,74,63,54,48,38,31,3,16,11,07 0 4,35 3,49 3,10,87,71,60,51,45,35,8,0,1,08,04 1 4,3 3,47 3,07,84,68,57,49,4,3,5,18,10,05,01 4,30 3,44 3,05,8,66,55,46,40,30,3,15,07,03 1,98 3 4,8 3,4 3,03,80,64,53,44,37,7,0,13,05,01 1,96 4 4,6 3,40 3,01,78,6,51,4,36,5,18,11,03 1,98 1,94 5 4,4 3,39,99,76,60,49,40,34,4,16,09,01 1,96 1,9 30 4,17 3,3,9,69,53,4,33,7,16,09,01 1,93 1,89 1, ,08 3,3,84,61,45,34,5,18,08,00 1,9 1,84 1,79 1, ,00 3,15,76,53,37,5,17,10 1,99 1,9 1,84 1,75 1,70 1,65
18 18 0,99 Quatile der F Verteilug Beispiel zur Beutzug der Tabelle: F 7 6 (0, 99 = 8, 6. Freiheitsgrade Neer Freiheitsgrade Zähler m , 4999,3 5403,5 564,3 5764,0 5859,0 598,3 5981,0 6055,9 6106,7 6157,0 608,7 634,3 660,4 98,50 99,00 99,16 99,5 99,30 99,33 99,36 99,38 99,40 99,4 99,43 99,45 99,46 99, ,1 30,8 9,46 8,71 8,4 7,91 7,67 7,49 7,3 7,05 6,87 6,69 6,60 6,50 4 1,0 18,00 16,69 15,98 15,5 15,1 14,98 14,80 14,55 14,37 14,0 14,0 13,93 13, ,6 13,7 1,06 11,39 10,97 10,67 10,46 10,9 10,05 9,89 9,7 9,55 9,47 9, ,75 10,9 9,78 9,15 8,75 8,47 8,6 8,10 7,87 7,7 7,56 7,40 7,31 7,3 7 1,5 9,55 8,45 7,85 7,46 7,19 6,99 6,84 6,6 6,47 6,31 6,16 6,07 5, ,6 8,65 7,59 7,01 6,63 6,37 6,18 6,03 5,81 5,67 5,5 5,36 5,8 5,0 9 10,56 8,0 6,99 6,4 6,06 5,80 5,61 5,47 5,6 5,11 4,96 4,81 4,73 4, ,04 7,56 6,55 5,99 5,64 5,39 5,0 5,06 4,85 4,71 4,56 4,41 4,33 4,5 11 9,65 7,1 6, 5,67 5,3 5,07 4,89 4,74 4,54 4,40 4,5 4,10 4,0 3,94 1 9,33 6,93 5,95 5,41 5,06 4,8 4,64 4,50 4,30 4,16 4,01 3,86 3,78 3, ,07 6,70 5,74 5,1 4,86 4,6 4,44 4,30 4,10 3,96 3,8 3,66 3,59 3, ,86 6,51 5,56 5,04 4,69 4,46 4,8 4,14 3,94 3,80 3,66 3,51 3,43 3, ,68 6,36 5,4 4,89 4,56 4,3 4,14 4,00 3,80 3,67 3,5 3,37 3,9 3,1 16 8,53 6,3 5,9 4,77 4,44 4,0 4,03 3,89 3,69 3,55 3,41 3,6 3,18 3, ,40 6,11 5,19 4,67 4,34 4,10 3,93 3,79 3,59 3,46 3,31 3,16 3,08 3, ,9 6,01 5,09 4,58 4,5 4,01 3,84 3,71 3,51 3,37 3,3 3,08 3,00,9 19 8,18 5,93 5,01 4,50 4,17 3,94 3,77 3,63 3,43 3,30 3,15 3,00,9,84 0 8,10 5,85 4,94 4,43 4,10 3,87 3,70 3,56 3,37 3,3 3,09,94,86,78 1 8,0 5,78 4,87 4,37 4,04 3,81 3,64 3,51 3,31 3,17 3,03,88,80,7 7,95 5,7 4,8 4,31 3,99 3,76 3,59 3,45 3,6 3,1,98,83,75,67 3 7,88 5,66 4,76 4,6 3,94 3,71 3,54 3,41 3,1 3,07,93,78,70,6 4 7,8 5,61 4,7 4, 3,90 3,67 3,50 3,36 3,17 3,03,89,74,66,58 5 7,77 5,57 4,68 4,18 3,85 3,63 3,46 3,3 3,13,99,85,70,6, ,56 5,39 4,51 4,0 3,70 3,47 3,30 3,17,98,84,70,55,47, ,31 5,18 4,31 3,83 3,51 3,9 3,1,99,80,66,5,37,9,0 60 7,08 4,98 4,13 3,65 3,34 3,1,95,8,63,50,35,0,1,03
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