Prüfung aus Statistik 1 für SoziologInnen

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Greta Reuter
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1 Prüfung aus Statistik 1 für SoziologInnen 1) Wissenstest (maximal 20 Punkte) Prüfungsdauer: 120 Minuten netto Kreuzen ( ) Sie die jeweils richtige Antwort an. Jede richtige Antwort gibt 2 Punkte. Pro falsche Antwort werden 2 Punkte abgezogen, wobei ein etwaiger negativer Gesamtwert für den Wissenstest auf Null gesetzt wird. Es ist auch zulässig, Fragen nicht zu beantworten. ja nein (1) Wenn es bei einer empirischen Erhebung eines Merkmals ungültige bzw. fehlende Werte gibt, so sind die Häufigkeiten der Merkmalsausprägungen bezogen auf die gültigen Antworten immer größer als die Häufigkeiten bezogen auf alle Befragten. (2) Ein Vorteil bei der Nutzung von Sekundärstatistiken ist, dass sie spezifisch für das konkrete Forschungsvorhaben maßgeschneidert erhoben wurden. (3) Die Multiplikation aller Merkmalswerte um einen Faktor 2 führt zur Vervierfachung der Varianz. (4) Für mit der Z-Transformation standardisierte Merkmale gilt, dass sie zwischen -1 und +1 liegen. (5) Bei einer unimodalen linksschiefen Verteilung ist das arithmetische Mittel immer kleiner als der Median. (6) Ein -gestutzter Mittelwert ( -trimmed-mean) reagiert mit wachsendem immer sensibler auf einzelne Extremwerte. (7) Wenn der lineare Korrelationskoeffizient gleich null ist, so sind die beiden Merkmale unabhängig. (8) Aus den Axiomen von Kolmogoroff folgt: Bei Unabhängigkeit zweier Ereignisse A und B gilt: PA ( B) PA ( ) PB ( ) (9) Das Prinzip der Flächentreue bedingt beim Histogramm, dass die Höhe der Histogramm-Balken der Häufigkeitsdichte entsprechen. (10) Eine gute Möglichkeit zur Visualisierung der Verteilung intervallskalierter Merkmale sind Kreisdiagramme. Prüfung - Statistik 1 für SoziologInnen 1 von 9

2 2) Im Zuge einer Erhebung zur Nutzung von bargeldlosen Zahlungsmitteln wurden Haushalte in einer Stadt nach der Anzahl der verfügbaren Kreditkarten befragt. Anzahl der verfügbaren Kreditkarten Relative Häufigkeit 10% 50% 30% 10% Sie wählen aus der obigen Population rein zufällig einen Haushalt aus. Wir bezeichnen mit X die Zufallsvariable Anzahl der in einem zufällig ausgewählten Haushalt verfügbaren Kreditkarten. a) Berechne Erwartungswert und Varianz für die diskrete Zufallsvariable X (6 Punkte) Anzahl Kreditkarten Relative Häufigkeit E(X) E(X²) 0 10% 0,00 0, % 0,50 0, % 0,60 1, % 0,30 0,90 100% 1,40 2,60 E(X) = 1,40 V(X) = 0,64 Prüfung - Statistik 1 für SoziologInnen 2 von 9

3 3) In einer Studie über das Suchtgiftverhalten wurden 100 Personen befragt: Regelmäßiger Raucher Regelmäßiger Alkoholkonsum JA NEIN JA NEIN a) Bestimme den Assoziations-Koeffizienten nach Yule. (4 Punkte) b) Bestimme Cramer s V. (4 Punkte) a) cpr= 6 Yule= 0, b) ,3333 5, ,3333 5, Chi² 16,6667 V 0,4082 Prüfung - Statistik 1 für SoziologInnen 3 von 9

4 4) Ein medizinischer Test zeigt das Vorliegen einer Erkrankung bei einer Testperson mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,90 an. Bei gesunden Testpersonen zeigt der Test mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,85 korrekterweise die Nichterkrankung an. Angenommen 5% einer Population sind tatsächlich erkrankt. a) Wie groß ist der Gesamtanteil der Personen, für die der Test eine Krankheit anzeigt? (3 Punkte) b) Bestimme die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass eine Person, bei der der Test eine Krankheit anzeigt, auch tatsächlich krank ist. (4 Punkte) 90% Test positiv bei Krankheit 85% Test negativ bei Nicht Erkrankung 5% Erkrankt Krank Gesund Test positiv Test negativ a) 18,75% b) 24,00% =450/1.875 Prüfung - Statistik 1 für SoziologInnen 4 von 9

5 5) Für eine bestimmte Bevölkerungsgruppe sind folgende Daten zur Einkommensverteilung bekannt. Einkommen in (a) Zeichnen Sie ein korrektes Histogramm, um die Verteilung der Einkommen zu charakterisieren und beantworten Sie folgende Frage: Um welchen multiplikativen Faktor ist die Höhe des Histogramm-Balken der Klasse größer als jene der Klasse ? (insgesamt 5 Punkte) Faktor = 10 relative Häufigkeit , , , , ,10 1,00 Klasse Breite Rel. Häufigkeitkum. Rel. Häufigk. Dichte Mitte ,2000 0,2000 0, ,4000 0,6000 0, ,2000 0,8000 0, ,1000 0,9000 0, ,1000 1,0000 0, ,0000 Prüfung - Statistik 1 für SoziologInnen 5 von 9

6 (b) Berechnen Sie das arithmetische Mittel der Einkommen! (3 Punkte) (c) Berechnen Sie den Median der Einkommen. (3 Punkte) (d) Geben Sie eine begründete Schätzung für den Anteil der Personen an, deren Einkommen weniger als 950,- beträgt. (2 Punkte) Arithmetisches Mittel: Median: = *(0,5 0,2)/(0,6 0,2) Anteil < 950: 0,15 Faktor: 10 =3/4*0,0625 Prüfung - Statistik 1 für SoziologInnen 6 von 9

6) Für ein Land, das aus 2 Regionen besteht, sind folgende Daten zur Einkommenssituation bekannt. Anzahl der Durchschnittseinkommen Region Beschäftigten in Varianz A 1.000 1.

7 6) Für ein Land, das aus 2 Regionen besteht, sind folgende Daten zur Einkommenssituation bekannt. Anzahl der Durchschnittseinkommen Region Beschäftigten in Varianz A Variationskoeffizient B Gesamt a) Vervollständigen Sie die Tabelle in den 4 gelben Feldern (8 Punkte) Prüfung - Statistik 1 für SoziologInnen 7 von 9

8 7) Ein Gremium von 20 Personen setzt sich wie folgt zusammen: 12 Mitglieder sind Männer und 8 Mitglieder sind Frauen. Es wird mittels zufälligem Losentscheid eine Subkommission von 5 Personen gebildet. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Subkommission zumindest 1 Frau enthält? (4 Punkte) b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Frauen in der Subkommission die Mehrheit bilden? (4 Punkte) 20 Personen 12 Männer 8Frauen a) Mögliche Fälle 20 über Zumindest 1 Frau ==> 1 Keine Frau Keine Frau: 792 0,9489 = 1 792/ b) Lösung: Prob(3,4,5 Frauen) Frauen Männer Günstige Fälle 0,2962 = 4.592/ Prüfung - Statistik 1 für SoziologInnen 8 von 9

9 8) Die Einkommensverteilung in einem Land wird wie folgt beschrieben: Die 10% Bestverdienenden beziehen insgesamt 30% des Gesamteinkommens des Landes. Das ist genau so viel, wie die 50% am wenigsten verdienenden Einkommensbezieher in Summe verdienen. a) Zeichnen Sie die Lorenzkurve für die Einkommenskonzentration in diesem Land (5 Punkte) b) Berechnen Sie den Lorenz-Münzner Koeffizienten zur Messung der relativen Konzentration (5 Punkte) 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 ki li k i 1 +k i Merkmalssumme Anteil an 0 0 0,00 0,00 0,1 0,1 0,50 0,30 0,50 0,3000 0,1500 0,2 0,2 0,90 0,70 1,40 0,4000 0,5600 0,3 0,3 1,00 1,00 1,90 0,3000 0,5700 0,4 0,4 1,0000 1,2800 0,5 0,5 0,6 0,6 G = 0,2800 0,7 0,7 0,8 0,8 0,9 0, , ,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 Prüfung - Statistik 1 für SoziologInnen 9 von 9

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