[ M ] = 1 Nm Kraft und Drehmoment

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1 Stae Köpe - 4 HBB mü 4.2. Kaft und Dehmoment Käfte auf stae Köpe weden duch Kaftvektoen dagestellt. Wie in de Punktmechanik besitzen diese Kaftvektoen einen Betag und eine Richtung. Zusätzlich wid abe auch die Angabe des Angiffspunkts benötigt. Das wid im folgenden Bild plausibel; de Köpe links und de Köpe echts weden vom gleichen Kaftvekto auf unteschiedliche At beeinflusst: Alledings daf eine Kaft, die an einem staen Köpe angeift, entlang ihe Wikungslinie veschoben weden (linienflüchtige Vekto): Wikungslinie Wenn gleichzeitig mehee Käfte auf einen Massenpunkt wiken, dann wissen wi aus dem Kapitel Dynamik, dass die Vektosumme emittelt weden kann, die dann die Wikung alle Käfte zusammenfasst. Beim staen Köpe ist dies etwas schwieige, da sich die Angiffspunkte nomaleweise nicht decken. Beim abgebildeten Hamme stammen zum Beispiel A und B von de Hand, C von de Schwekaft und D vom Nagel. In de olge wid sich de Köpe vielleicht nicht nu vowäts bewegen, sonden sich auch dehen. Wie soll man hie die esultieende Kaftwikung emitteln? A B C D Nun, das weden wi in einigen Momenten lenen. Abe zuest muss in diesem Zusammenhang das Dehmoment eine angeifenden Kaft eingefüht weden. Das Dehmoment bescheibt die Deh-Kaftwikung in Bezug auf einen gewählten Dehpunkt (zum Beispiel ein Punkt auf eine Dehachse). Es soll also eine Kaft an einem t angeifen, de duch den Vekto gekennzeichnet ist. De Vekto zeigt von aus zum Angiffspunkt de Kaft. Unte dem Dehmoment M (Momentum) de Kaft bezüglich des Punktes vesteht man die Gösse M = (Dehmoment). Die Einheit des Dehmoments ist Newton mal Mete: [ M ] = 1 Nm.

2 mü HBB Stae Köpe - 5 Manchmal sagt man statt Dehmoment auch nu Moment de Kaft. Vemeiden Sie die Einheit Joule fü das Dehmoment! M De Dehmomentvekto steht senkecht auf de Ebene, die von und aufgespannt wid. ü den Betag M = M des Dehmomentes gilt: M = sinα. De Abstand zwischen de Kaftwikungslinie und dem Bezugspunkt nennt man auch "Hebelam", abgeküzt l. M = α l Aus de igu sieht man, dass l = sinα, somit können wi scheiben: M = sinα = l: M = l "Dehmoment ist gleich Kaft mal Hebelam". Das Dehmoment ist also eine seitlich wikende "Rotationskaft". alls mehee Käfte an unteschiedlichen ten angeifen, bildet man die Vektosumme de einzelnen Dehmomente bezüglich des tes. Kontollfagen (Richtig ode alsch?): Die Gösse eines Dehmomentes hängt ab von... A: de Richtung de angeifenden Kaft B: dem Betag de angeifenden Kaft C: dem Abstand des Dehpunktes vom Angiffspunkt de Kaft D: de Daue de Kafteinwikung

3 Stae Köpe - 6 HBB mü Übung: Beechnen Sie das Dehmoment fü folgendes Beispiel: Position von : (2.0m, 1.0m, 0.0m) Angiffspunkt de Kaft: (4.0m, -1.0m, 0.0m) Kaft = 1.0 N 3.0N 0.0N 4.3. Ebene Kaftsysteme Wi beschänken uns im folgenden zunächst auf ebene Käftesysteme, das heisst wi vezichten (falls vohanden) auf die z-komponente de Käfte und betachten nu ihe Pojektion in die xy-ebene. Das Dehmoment zeigt somit imme in z-richtung und man kann die Regel M = l ohne Einschänkung benutzen. ü deatige Käftesysteme weden wi zunächst einige gaphische Regeln anwenden, um das Käftesystem zu eduzieen. Danach weden wi auch die echneische Lösung kennenlenen, die zu denselben Resultaten füht Gaphische Reduktion von Käftesystemen A) Kaftvektoen, die am selben Punkt angeifen, düfen wie in de Massenpunktmechanik vektoiell addiet weden. Übung: Die im Punkte Α angehängte Last betägt =120 N, de Winkel α ist 48.0 o. Die von den beiden gewichtslosen Stäben auf den Punkt A ausgeübten Käfte sind zu konstuieen und zu beechnen. B α A C

4 mü HBB Stae Köpe - 7 B) Kaftvektoen beim staen Köpe düfen entlang ihe Wikungslinien beliebig veschoben weden. Ebene Käfte können duch diesen Tick solange in ihe Wikungslinie veschoben weden, bis sie denselben Angiffspunkt haben, man bildet dann von diesem Angiffspunkt aus die esultieende Kaft und veschiebt sie notfalls solange in ihe Wikungslinie weite, bis sie wiede am Köpe angeift. Übung: Benutzen Sie dieses Vefahen fü das abgebildete Beispiel. C. ü zwei paallele Käfte kann ein Hilfskaftvekto eingefüht weden, de in seine Wikungslinie geade einen gleich gossen, entgegengesetzten Kaftvekto enthält. Daduch ist seine Wikung Null, e elaubt es abe, die Wikungslinien de beiden uspünglich paallelen Käfte zum Schnitt zu bingen, und daduch nach Regel A weitezufahen.

5 Stae Köpe - 8 HBB mü Übung: Konstuieen Sie die esultieende Summenkaft de beiden paallelen Käfte. D. ü zwei antipaallele, gleichgosse Käfte, die einen seitlichen Abstand zueinande haben, funktioniet diese Tick nicht. Es gibt keine Möglichkeit, sie zu eduzieen. Man nennt diese Situation ein "Käftepaa". Ein Käftepaa übt ein eines Dehmoment auf den Köpe aus und bewikt, falls keine andeen Käfte vohanden sind, eine Dehbeschleunigung um den Schwepunkt des Köpes. (vgl. Simulationen) l M Wenn man einen beliebigen Uspungsot wählt und das Dehmoment M wie bei de Punktmechanik gemäss : M = beechnet, sieht man, dass das Dehmoment unabhängig vom gewählten Uspungsot ist: bei einem Käftepaa ist das Dehmoment um jeden Punkt dasselbe. Sein Betag ist gleich dem Betag eines Kaftvektos mal dem Abstand l de beiden Wikungslinien. M = l (Dehmoment eines Käftepaas). Übung: Veifizieen Sie, dass das Käftepaa gaphisch nicht veeinfacht weden kann, und dass M bei einem Käftepaa unabhängig vom Koodinatenuspung ist.

6 mü HBB Stae Köpe - 9 E) Man kann eine einzelne Kaft paallel aus ihe Wikungslinie heaus veschieben, wenn man diese Veschiebung mit einem Käftepaa kompensiet (vgl. igu). Dies veändet die Käftesituation am Köpe nicht. Daduch ist es zum Beispiel möglich, eine Kaft am Schwepunkt angeifen zu lassen, man muss dazu nu das Käftepaa, das eine Dehung um den Schwepunkt einleiten möchte, aufbauen. M Übung: Konstuieen Sie das Käftepaa, das die Situation a) in die Situation b) übefühen lässt: S a) b) S Rechneische Reduktion von Käftesystemen Man kann zeigen, dass man bei ebenen Käftesystemen alle an einem staen Köpe angeifenden Käfte mittels de obigen Techniken A - E auf eine esultieende Kaft es und ein esultieendes Dehmoment M es zuückfühen kann. Als Bezugspunkt nimmt man sinnvolleweise den Schwepunkt S, sodass es auf S die zu ewatende Tanslationsbeschleunigung bescheibt und M es die Rotationsbeschleunigung des Köpe um S. Die Beechnung von es und M es ist seh einfach: Geifen Käfte i an den ten i eines staen Köpes an, so können sie imme esetzt weden duch eine im Schwepunkt angeifende Kaft es = i, und ein Käftepaa, dessen Dehmoment M es = ( i i ) ist. Mit diesem Satz kann also es auf S und M es bezüglich S ohne Zeichnung diekt emittelt weden!

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