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1 Fachhochschule Bochum Fachhochschule Münster Fachhochschule Südwestfalen Verbundstudiengang Technische Betriebswirtschaft Prof. Dr. rer. nat. habil. J. Resch Teilprüfung: Mathematik 2 (Modul) Termin: Sommer 2006 Bearbeitungszeit: 90 Minuten Name, Vorname Matrikelnummer Aufgabe Note a b a b a b c a b Soll Ist Hinweise: Lesen Sie zunächst alle Aufgaben durch. Vergewissern Sie sich, dass die Aufgabenstellung vollständig ist, Sie umfasst das Deckblatt und 4 Aufgabenblätter. Versehen Sie das Deckblatt mit Ihrem Namen und der Matrikelnummer. Für die Lösung ist auf den Aufgabenblättern Platz vorgesehen, die Rückseiten können dafür ebenfalls verwendet werden. Sollte der Platz dann immer noch nicht ausreichen, verweisen Sie am Seitenende auf eine konkretes (Seitennummer) der von der Prüfungsaufsicht zur Verfügung gestellten Zusatzblätter, die Sie bitte nummerieren und ebenfalls mit Ihrem Namen kennzeichnen. Eigenes Papier darf für die Lösungen nicht verwendet werden. Kennzeichnen Sie insbesondere auf Zusatzblättern bitte immer eindeutig, zu welcher Aufgabe/Teilaufgabe eine Lösung gehört. Aus Ihren Lösungen müssen die Lösungswege erkennbar sein. Falls Sie den Taschenrechner für komplexere Lösungsschritte verwenden, sollten Sie dies vermerken, z.b. Nullstelle / Gleichung... mit dem Taschenrechner bestimmt / gelöst ; 1

2 1. Nachdem ein Schankwirt für die Fußball-WM eine große Videoprojektionswand aufgestellt hatte, erhoffte er sich in seinem Biergarten große Umsätze, die teilweise auch eintraten. Da die Abendspiele immer erst Uhr begannen, hatte er am frühen Abend anfangs nur einen sehr geringen Umsatz. Dem konnte er entgegenwirken, indem er den Bierpreis bis Uhr drastisch reduzierte. Er beobachtet dabei in Abhängigkeit seiner Preise (p 1 vor, p 2 nach Uhr, beide in e/maß) die Absatzmengen in diesen Zeiten, die durch die folgenden beiden Preis-Absatz-Funktionen (in l) beschrieben werden. x 1 (p 1, p 2 ) = p 1 x 2 (p 1, p 2 ) = p p 2 Wegen der begrenzten Lagermöglichkeiten im gekühlten Keller konnte der Wirt nur Maß (l) an einem Abend verkaufen. (a) Welche Preise musste er verlangen, um unter dieser Bedingung einen maximalen Umsatz zu erzielen und wie groß war dieser? (Begründen Sie, dass es sich um ein Maximum handelt!) (b) Um wie viel hätte der maximale Umsatz (aus Aufgabe a) näherungsweise gesteigert werden können, wenn die Lagerkapazität um 100 l größer gesesen wäre? Hinweis: Endergebnisse sinnvoll runden, Zwischenergebnisse müssen nicht gerundet werden. 2

3 2. Ein Fanartikelshop hatte vor der WM einen großen Posten Trikots der deutschen Nationalmannschaft eingekauft. Nach Beginn der WM wurde festgestellt, dass die Nachfrage schon leicht nachlässt. Bei einer ersten Bestandsaufnahme 30 Tage vor dem Ende der WM waren noch Trikots am Lager, und der Lagerbestand x entwickelt sich nach der Funktion x(t) = e 0.1t, wobei t die Zeit (in Tagen) angibt, die seit dieser ersten Bestandsaufnahme vergangen war. 20 Tage nach der ersten Bestandsaufnahme (t = 20), also 10 Tage vor Ende der WM, machte er eine zweite Bestandsaufnahme, die die oben angegebene Funktion bestätigte. Der immer noch erhebliche Restbestand machte ihm Sorgen, und er begann der nachlassenden Nachfrage durch Preisnachlässe entgegenzuwirken, so dass er jeden Tag ein Zehntel des Restbestandes (von der zweiten Bestandsaufnahme) verkaufte, so dass am Ende der WM das Lager leer war. (a) Beschreiben Sie den Lagerbestand für die gesamten 30 Tage als Funktion der Zeit. Ist diese Funktion stetig und differenzierbar? (Ganzzahligkeit ist nicht zu beachten) (b) Bestimmen Sie den durchschnittlichen Lagerbestand über den gesamten Zeitraum dieser 30 Tage als Integralmittelwert. Hinweis: Der Integralmittelwert y einer Funktion y = f(x), x [a, b], ist die durchschnittliche Höhe der Fläche zwischen der x Achse und der Kurve y = f(x) in einem Intervall [a, b], d.h. y = 1 b f(x) dx. b a a 3

4 3. In einer Teilefertigung werden aus drei Rohteilen R 1, R 2 und R 3 zunächst 2 Zwischenprodukte Z 1 und Z 2 und aus diesen die beiden Produkte P 1 und P 2 gefertigt. Der spezifische Teilebedarf für die beiden Fertigungsstufen ist in den folgenden beiden Tabellen zusammengestellt. Z 1 Z 2 R R R P 1 P 2 Z Z (a) Stellen Sie Matrizengleichungen für den Bedarf an Zwischenprodukten und Rohteilen für einen vorgegebenen Produktionsvektor p auf und vereinfachen Sie diese so weit wie möglich! Verwenden Sie dabei Vektoren r R 3 und z, p R 2 für die Produktionsbzw. Bedarfsmengen an Rohteilen R i, Zwischenprodukten Z j und Produkten P k. (b) Wie viele der Rohteile R 1, R 2 und R 3 müssen für die Produktion bereitgestellt werden, wenn Teile P 1 und Teile P 2 gefertigt werden sollen, wenn dafür ein vorhandener Lagerbestand von Zwischenprodukten Z 2 genutzt werden kann? (c) Wie hoch sind die Materialkosten für die Endprodukte [in e /Stück], wenn die Rohteile zu Preisen von 3 e (R 1 ), 7 e (R 2 ) und 5 e (R 3 ) eingekauft werden? 4

5 4. Eine Firma verkauft drei Produkte P1, P2, P3, die aus den Materialien M1, M2 und M3 hergestellt werden. Der Verkauf der Produkte P1, P2 bzw. P3 bringt einen Erlös von 50 e, 60 e bzw. 50 e je ME. Der Materialbedarf bei der Produktion, die zur Verfügung stehenden Materialmengen (jeweils in kg) und die Materialpreise sind der folgenden Tabelle zu entnehmen. Material M1 M2 M3 Materialbedarf für P1 (je ME) Materialbedarf für P2 (je ME) Materialbedarf für P3 (je ME) Zur Verfügung stehende Mengen Materialpreise (in e je kg) (a) Stellen Sie ein mathematisches Modell zur Bestimmung eines Produktionsplan auf, der einen maximalen Deckungsbeitrag (Differenz aus dem Erlös und den Materialkosten) realisiert! Dabei ist zu beachten, dass von den Produkten P2 und P3 insgesamt mindestens 24 ME produziert werden sollen. (b) Stellen Sie ein Anfangstableau zur Bestimmung eines optimalen Produktionsplanes nach der 2-Phasen-Methode auf und führen Sie einen Iterationsschritt (einen Basis-Austausch-Schritt) aus. Was können Sie aufgrund des sich ergebenden Tableaus zur Lösung aussagen? 5

6 Lösungen 1. (a) p 1 = 1.67 e p 2 = 6.67 e x 1 = [l] x 2 = [l] E max = e (b) λ = = E max e bei 100 zusätzlich verkauften Litern. 2. (a) x(t) = 3. (a) { e 0.1t, 0 t (t 20), 20 < t 30 (b) x = Stück r = (b) r (0) = z, z = ( ) p, r = (c) Materialkosten m = (184, 148) [e/stück] 4. (a) z = 20x x x 3 max x 1 + 2x 2 + 2x x 1 + 2x 2 + 2x x 1 + x 2 + 3x 3 68 x 2 + x 3 24 (b) LOP nicht lösbar (inkonsistent). x 1, x 2, x p 6

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