Algorithmen und Datenstrukturen 2. Dynamische Datenstrukturen

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1 Algorithmen und Datenstrukturen 2 Dynamische Datenstrukturen

2 Algorithmen für dynamische Datenstrukturen Zugriff auf Variable und Felder durch einen Ausdruck: Namen durch feste Adressen referenziert Anzahl der Datensätze nicht festgelegt variabel halten beliebig viele neue Datensätze hinzufügen können vorhandene entfernen können besondere Organisation der Daten Listen, Bäumen, andere Datenstrukturen

3 Zugriff von statischer Datenstruktur des Programms auf dynamische Struktur Basisalgorithmen auf verketteten Datensätzen Liste ist Verkettung von Datensätzen Zugriff auf bestimmten Datensatz i.allg. nur über Verweise möglich Verweise in anderen Datensätzen Mindestens einer dieser Datensätze über statische Variable erreichbar Anker

4 Basisalgorithmen auf linearen Listen Einfügen von Element vorn in Liste ListRecord EinfuegenVorn( ListRecord Liste, ListRecord Element) { Element.next = Liste; Liste = Element; return Liste; }

5 Einfügen von Element hinten in Liste ListRecord EinfuegenHinten( ListRecord Liste,ListRecord Element) { Element.next = null; if(liste==null) Liste = Element; else { ListRecord Lauf; for(lauf = Liste;Lauf.next!=null; Lauf = Lauf.next); Lauf.next = Element; } return Liste; }

6 Einfügen von Element hinten in Liste

7 Element in Liste sortiert einfügen ListRecord GeordnetEinfuegen(ListRecord Liste, ListRecord Element) { Element.next = null; if(liste==null) Liste = Element;// leere Liste else if(liste.datum>element.datum) {//kleineres Element.next = Liste; //..Datum vorne einfügen Liste = Element; } else { ListRecord Lauf; for(lauf=liste;lauf.next!=null;lauf=lauf.next){ if(lauf.next.datum>element.datum) {

8 Einfügen von Element in Liste sortiert einfügen

9 Baum (tree) komplexere Datenstruktur als lineare Liste jedes Listenelement zwei oder mehr Nachfolger Binärer Baum (binary tree) jedes Listenelement höchstens zwei Nachfolger Wurzel (root) Ein ausgezeichnetes Element kein Vorgänger alle anderen Elemente des Baums erreichbar

10 Gerichteter Graph verkettete Menge von Knoten (stark) zusammenhängend (connect bzw. strongly connected) jeder Knoten von jedem anderen aus erreichbar schwach zusammenhängend (weakly connected) ausgezeichnetes Element, von dem aus jedes Element erreichbar ist Wurzel beim Baum

11 Definition eines Baums

12 alle Blätter gleiche Tiefe T, K = # Koten K = 2 T 1 Tiefe (depth) eines Knotens Anzahl der Knoten von Wurzel zu Knoten an Wurzel hat Tiefe 1 Tiefe eines Baums Tiefe des Blatts mit größter Tiefe statt Tiefe bedeutungsgleich auch Höhe Bäume meist mit Wurzel oben dargestellt ausgeglichen (balanced)

13 ähnliche Operationen wie bei linearen Listen Einfügen an bestimmter Stelle Entfernen eines inneren Knotens Entfernen eines Blatts Entfernen der Wurzel charakteristische Eigenschaften des Baums erhalten Suchbaum Knoten am linken Ast nur kleinere oder gleiche Werte am rechten nur größere Werte Kleinstes Element steht ganz links

14 Balancierte Binärbäume vorteilhafte Eigenschaft N = 2T -1 Logarithmisches Verhältnis N Daten Baum vollständig ausgeglichen d.h. alle Blätter die gleiche Tiefe Baum nahezu vollständig ausgeglichen Suchzeit log 2 N eine Million Daten Nicht mehr als 20 Operationen auf Knoten des Baums

15 Balancierte Binärbäume Knoten besitzen Ordnung "Schlüssel" z.b. ganze Zahl Für jeden Knoten gilt Knoten mit kleinerem (oder gleichen) Schlüsseln links, Knoten mit größerem Schlüsseln rechts Suchen: je nach Schlüsselwert links oder rechts Struktur des Baums hängt ab Von Schlüsselwerten von Reihenfolge in der Daten in Baum gehängt

16 Daten in Knoten oder Blättern speichern

17 Daten nur in inneren Knoten speichern

18 Daten nur in Blättern speichern

19 Einfügen eines Knotens DatenSatz einfuegen(datensatz wurzel, DatenSatz element) { if(wurzel==null) return element;//element Wurzel if(element.wert<=wurzel.wert) { // links einfüg. if(wurzel.links==null) wurzel.links = element; else einfuegen(wurzel.links, element); } else { // rechts einfügen if(wurzel.rechts==null) wurzel.rechts = element; } else einfuegen(wurzel.rechts, element);

20 Einfügen eines Knotens (iterativ) DatenSatz IterativesEinfuegen( DatenSatz wurzel, DatenSatz element) { if(wurzel==null) return element; //element Wurzel for(datensatz knoten = wurzel;;){//steige hinab if(element.key <= knoten.key) // links einfügen if(knoten.links == null) // elem. anhängen { knoten.links = element; break;} // fertig! else knoten = knoten.links; // weiter links else if(knoten.rechts == null) // elem. anhängen

21 Baum durchlaufen Tiefensuche (depth search) void Durchsuche(DatenSatz knoten) { if(knoten == null) return; // Preorder : Tue vor dem weiteren Abstieg Durchsuche(knoten.links); // Inorder: Tue etwas zwischen linkem und // rechten Abstieg Durchsuche(knoten.rechts); // Postorder: Tue etwas nach dem Abstieg

22 Breitensuche

23 Bäume Werte schnell wieder finden unbekannte Anzahl von Daten speichern Nachteile relativ großer Adress-Overhead große Anzahl von Zeigern je Knoten können zu (fast) linearer Liste entarten kein Vorteil mehr bei Zugriffszeit relativ komplexe Datenstruktur nicht o.w. auf großen Datenträgern auslagerbar Zeigerwerte sind Maschinenadressen gelten nach Auslagerung der Daten nicht mehr

24 Splay Bäume binärer Suchbaum zuletzt eingefügter oder gefundener Knoten neue Wurzel Umkettungsoperationen zwischen Knoten Rotationen Links-Rotation Rechts-Rotation Suchbaum-Eigenschaft bleibt erhalten

25 Splay Baum Knoten 51 Knoten 83 Linksrotation Knoten 69 Links-Rechtsrotation Knoten 28 Rechtsrotation Knoten 68 Rechts-Linksrotation

26 Splay Baum Linksrotation (2,4) Rechtsrotation (4,2)

27 Splay Baum: Zig-Zag-Rotation (6,2,4) Linksrotation (4,2) Rechtsrotation (6,4)

28 Splay Baum: Zig-Zig-Rotation (6,2,4) Rechtsrotation (4,2) Rechtsrotation (4,2)

29 Splay Baum Eigenschaften Zufällige Verteilung der Daten Tiefe etwa doppelt so groß wie bei AVL Eigenschaften vergleichbar mit Suchbaum Analyse nach M. A. Weiss Amortisierte Zeit bei Wurzel T und Knoten X 3 (R(T)-R(X))+1 = O(Log N) R(i) = log S(i)

30 Definition der AVL-Bäume Ausgeglichener Binärbaum alle Blätter gleiche Tiefe Anzahl der Knoten K und der Tiefe T des Baums T K = 2T 1 Minimale (mittlere maximale) Suchzeit

31 Definition der AVL-Bäume angenähert ausgeglichene Bäume AVL-Bäumen Unterschied der Teilbaumtiefe beschränkt Gewichtsbalancierte Bäume Verhältnis der Teilbaumtiefe beschränkt Höhenbalancierte Bäume Nur Blätter mit gleicher Höhe Bruderbäume B-Bäume

32 Definition der AVL-Bäume Adelson-Velskij, Landis 1962 Binärbäume mit einer minimalen Anzahl von Knoten F k = # Knoten in Teilbäumen unterscheiden sich höchstens um 1 Fibonacci-Baum ist AVL-Baum mit möglichst k wenig Knoten B k Mindestiefe Maximale Tiefe k

33 Definition der AVL-Bäume Binärbäume mit einer minimalen Anzahl von Knoten # Knoten in Teilbäumen unterscheiden sich höchstens um 1 B k =B k 1 B k 2 1 B k =F k 1 F 1=F 1 F Fibonacci-Baum ist AVL-Baum mit möglichst wenig Knoten F k = k B k Mindestiefe Maximale Tiefe k

34 Einfügen von Knoten in AVL-Bäume Einfügen eines Knotens an einen Teilbaum Balance-Faktor: Tiefe rechts Tiefe links

35 Einfügen von Knoten in AVL-Bäume Einfügen eines Knotens an einen Teilbaum Wurzel ausgeglichen, links wird größer:

36 Einfügen von Knoten in AVL-Bäume Einfügen eines Knotens an einen Teilbaum Wurzel ausgeglichen, rechts wird größer:

37 Einfügen von Knoten in AVL-Bäume Einfügen eines Knotens an einen Teilbaum Wurzel +1, links wird größer:

38 Einfügen von Knoten in AVL-Bäume Einfügen eines Knotens an einen Teilbaum Wurzel -1, rechts wird größer:

39 Einfügen von Knoten in AVL-Bäume Einfügen eines Knotens an einen Teilbaum Wurzel +1, rechts wird größer, 1. Fall

40 Einfügen von Knoten in AVL-Bäume Einfügen eines Knotens an einen Teilbaum Wurzel +1, rechts wird größer, 2. Fall: Wurzel +1, links wird größer 'analog'.

41 Löschen von Knoten in AVL-Bäume Löschen eines Knotens in einen Teilbaum Entfernen eines Blatts

42 Löschen von Knoten in AVL-Bäume Löschen eines Knotens in einen Teilbaum Entfernen eines Blatts Entfernen eines Halbblatts Innerer Knoten mit genau einem Nachfolger (Blatt)

43 Löschen von Knoten in AVL-Bäume Löschen eines Knotens in einen Teilbaum Wurzel ausgeglichen, links wird kleiner

44 Löschen von Knoten in AVL-Bäume Löschen eines Knotens in einen Teilbaum Wurzel ausgeglichen, rechts wird kleiner

45 Löschen von Knoten in AVL-Bäume Löschen eines Knotens in einen Teilbaum Wurzel -1, links wird kleiner

46 Löschen von Knoten in AVL-Bäume Löschen eines Knotens in einen Teilbaum Wurzel +1, rechts wird kleiner

47 Löschen von Knoten in AVL-Bäume Löschen eines Knotens in einen Teilbaum Wurzel +1, links wird kleiner, 1. Fall

48 Löschen von Knoten in AVL-Bäume Löschen eines Knotens in einen Teilbaum Wurzel +1, links wird kleiner, 2. Fall

49 Löschen von Knoten in AVL-Bäume Löschen eines Knotens in einen Teilbaum Wurzel +1, links wird kleiner, 3. Fall

50 Suchen in AVL-Bäumen AVL-Bäume können die Suchbaumeigenschaft nicht vollständig erhalten: Beispiel: einfügen von drei gleichen Schlüsseln Weiteres Einfügen führt zu: Daher sind nicht alle gleichen Knoten links von einem Wurzelknoten zu finden

51 Suchen in AVL-Bäumen AVLDaten suchealle(int key) { if(key == this.key) { // Schlüssel gefunden if(links!=null) links.suchealle(key); // weiter links if(rechts!=null) rechts.suchealle(key);// weiter rechts return this; // alles durchsucht } if(key < this.key) // nicht gefunden,weiter links if(links!= null) return links.suchealle(key); else return null; if(rechts!= null) // und weiter rechts return rechts.suchealle(key); return null;} } // Ende:: AVLDaten suchealle()

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