Geometrisches Mittel und durchschnittliche Wachstumsraten

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1 Dpl.-Kaufm. Wolfgag Schmtt Aus meer Skrpterehe: " Kee Agst vor... " Ausgewählte Theme der deskrptve Statstk Geometrsches Mttel ud durchschttlche Wachstumsrate Modellaufgabe Übuge Lösuge

2 Geometrsches Mttel 1 Uter dem geometrsche Mttel versteht ma de -te Wurzel aus dem Produkt aller Rehewerte. M = x x x... x = g 1 2 x 1 Hadelt es sch um ee Häufgketsvertelug, so lautet de Formel: f M = x x x... x = x g f1 f2 f f De wchtgste Awedug des geometrsche Mttels sd durchschttlche Wachstumsfaktore. Ncht zu verwechsel mt durchschttlche Wachstumsrate (sehe 2. Tel) Bespel 1: Aktekurse ud jährlche Redte (ohe Zse ud Dvdede) Jahr Aktekurs Redte ,0 % ,0 % , % Wachstumsfaktore: 1200 : 1000 = 1,20; 1500 : 1200 = 1,25; 1000 : 1500 = 0,667. M = 1, 2 1, 25 0, 667 = 1 g Der mttlere Wachstumsfaktor st 1 Bespel 2: Ee Bakterekultur wachse bespelswese am erste Tag um das Füffache, am zwete um das Verfache, da zwemal um das Drefache ud de letzte dre Tage verdoppelt se sch täglch. Der Bestad ach dem sebte Tag errechet sch also durch Afagsbestad * 5 * 4 * * * 2 * 2 *2 = Edbestad. Mt dem geometrsche Mttel wrd der Edbestad so ermttelt: M g = ,8 Also: Edbestad = Afagsbestad 2,8

3 Durchschttlche Wachstumsrate 2 Modellaufgabe: E Kaptal vo 1000,00 st Akte agelegt. Im erste Jahr vermehrt sch das Kaptal überhaupt cht, m zwete Jahr erhöht es sch durch Kursstegeruge um 10% ud m drtte Jahr um 20%. Der Wert der Akte etwckelt sch da we folgt: Wert am Ede des 1. Jahres: 1.000,00 Wert am Ede des 2. Jahres: 1.000, % = 100,00, also 1.100,00 Wert am Ede des. Jahres: 1.100, % = 220,00, also 1.20,00 Nach Jahres st das Kaptal auf 1.20,00 agewachse. We ma jetzt ach der durchschttlche Wachstumsrate des Kaptals fragt, met ma de alles Jahre gleche Stegerugsrate, de de Wert der Akte ach Jahre ebefalls auf 1.20,00 hätte awachse lasse. Wr sd also versucht, das arthmetsche Mttel der Stegerugsrate zu bereche: Das wäre 0% 10% 20% x 10%. We de Stegerugsrate für jedes Jahr 10% beträgt, ergbt sch als Wert am Ede des 1. Jahres: 1.000, % = 100,00, also 1.100,00 Wert am Ede des 2. Jahres: 1.100, % = 110,00, also 1.210,00 Wert am Ede des. Jahres: 1.210, % = 121,00, also 1.1,00 We jeder lecht ud schell sehe ka, lefert das arthmetsche Mttel vo 10% cht de Edbetrag vo 1.20,00. Der Durchschttswert x st falsch. Merke: Immer da, we es um de Ermttlug durchschttlcher Wachstumsrate (auch egatver) geht, versagt das arthmetsche Mttel x. Bespele für durchschttlche Wachstumsrate: Prese, Sozalprodukt, Ivesttoe, Exporte, Importe, Eergeverbrauch usw.

4 Berechug durchschttlcher Wachstumsrate (geometrsches Mttel) Elemetare Ketsse m Prozetreche wäre jetzt agebracht. Klee Wederholug (Klasse 5): E Produkt kostet ohe MWSt vo 19% z. B. 125,99. Was kostet das Produkt mt MWSt, ohe de MWSt Betrag auszureche? Das st doch efach: ,99 (125,99 ) 125,99 (10,19) 125,99 1,19 149,9 100 Zurück zum Bespel: Das Kaptal vo 1.000,00 wächst Jahre auf 1.20,00 Also: 1.20,00 = 1.000,00 ( 1 + 0%) (1 + 10%) (1+20%) We wr de durchschttlche Wachstumsrate mt w bezeche, muss doch folgedes gelte: 1.20,00 = 1.000,00 ( 1 + w) (1 + w) (1+w) Jetzt glt es, de Glechug ach w aufzulöse: 120 (1 w) We zehe de. Wurzel: (1 w) 1000 ud erhalte: w 1000 ud damt w ud wr sehe: 120 1, 2 ( 1 0, 2) 1000 ud: 1,2 (10,00) (1 0,10) (1 0,20) ud: 1,2 1,00 1,10 1,20 De Wert 1,2 et ma Wachstumsfaktor, de we ma h mt dem Afagsbetrag multplzert, erhält ma de Wert des Edkaptals ach Jahre. Damt köe wr w ausreche: w = w 1,2 1 = 0,097. Lösug: Der durchschttlche Prozetsatz beträgt also 9,7% (ud cht 10%).

5 Formel: 4 Wr bezeche de ezele Wachstumsrate mt w. We wr aus obge Berechuge erkee, glt für w : w (1w 1)(1w 2)(1w ) 1 Ud allgeme, we jeder jetzt wrklch schell ud lecht seht: w (1 w 1)(1 w 2)...(1 w ) 1 w (1w ) 1 1 Ud her de Probe zu userer Aktestuato: Wert am Ede des 1. Jahres: 1.000,00 + 9,7% = 97,00, also 1.097,00 Wert am Ede des 2. Jahres: 1.097,00 + 9,7% = 106,41, also 1.20,41 Wert am Ede des. Jahres: 1.20,41 + 9,7% = 116,7, also 1.20,14 Ja, ja, ch höre scho Meckere, das sd ja 14 Cet zu vel! Klar doch, wel: 1, 2 1, ud cht 1,097. Zufrede?

6 Übuge 5 1. Grudstückpres HH-Elbchaussee: / ar. 1999: Bldzetug: Fabrk HH- Elbchaussee geplat: Pres fällt um 5 % / ar 2000: Seat: Geplate Stadtautobah durch de Elbchaussee wrd abgesagt: Pres stegt um 20 % 2002: Ope-Ar-Dsco HH- Elbchaussee geplat: Pres fällt um 5 % 200: Geplate Fabrk war ee Zetugsete: Pres stegt um 28% Um wevel hat sch der Pres m Durchschtt verädert? 2. E Betreb hat eem Jahr x um 20% weger vestert, als m Jahr x-1. Im Jahr x+1 wrd ochmal um 0% weger als m Jahr x vestert. Im Jahr x+2 wrd cht vestert. Im Jahr x+ mmt de Ivestto weder um 10% zu. We groß st de durchschttlche Ivesttosrate?. Im Betreb XYZ kostet e Produkt 120. Der Pres wrd m Ju um 5 gesekt. Deshalb stegt der Umsatz um 15%. Im Jul wrd der Pres ereut um 2 gesekt. Der Umsatz stegt jetzt um 10%. Im August wrd der Pres weder um 7 erhöht ud prompt geht der Umsatz um 25% zurück.. Der Juorchef met, daß der Pres cht geädert hätte werde müsse, de durchschttlch sd de Moate ja Produktpres ud Umsatz glech geblebe. De Juorchef met: "Ha, Du hast cht aufgepaßt m Kurs 'Deskrptve Statstk', stmmt ja alles gar cht, was Du da vo Dr gbst! " Wer hat recht? (Bereche de Durchschttspres ud de durchschttlche Umsatzäderug)

7 4. De Stzvertelug der Partee m Budestag stellt sch de Jahre modellhaft so dar: 6 Parte CDU/CSU SPD FDP Grüe PDS a) Um wevel % habe sch m Durchschtt de Stmmatele je Parte m Budestag verädert? b) Um wevel % habe sch de Stmmatele aller Partee m Budestag sgesamt verädert?

8 Lösuge: zu 1: 7 1. Grudstückspres w1 = 0, w2 = 1, w = 0, w4 = 1,28 Produkt: 0, Wurzel = 0, = -0, Rückgag um 1,14 % zu 2: 2. Ivesttoe x 0,8 x+1 0,7 x+2 1 x+ 1,1 Produkt: 0, Wurzel: 0, = -0, Rückgag um 11,409 % zu :. Pres D.-Pres: Ju 115 x 116 Jul 11 August 120 Äderug: 1+w1 1+w2 1+w Wurzel - 1 1,15 1,1 0,75-0,0178 Umsatz st um 1,78% gefalle

9 zu 4: w1 1+w2 Wurzel - 1 % CDU ,976 0,840-0, ,427 SPD ,004 1,184 0, ,055 FDP ,78 0,96-0, ,65 Grüe ,567 0,957 0, ,474 PDS ,071 1,200 0,189 1,89 Ø = 4,225 %

10 Formelblatt Statstk 9 Mttelwerte Streuug Schefe Σxf 2 2 x = Σf s = Σ(x - x) f Σf s V 100 x sk = ( x - Z) s M = x x x... x = g 1 2 x 1 f M = x x x... x = x g f1 f2 f f w (1 1 w ) -1 Zetrehe Regresso Korrelato y* = m1 x + c1 x* = m2 x + c2 y m1x c1 x m2y c2 xy mx c x xy my c y c 1 = y - m1x c = x - m y Σxy - yσx Σxy - xσy m = m = Σx - xσx Σy - yσy Σ(x - x)(y - y) r = = m m 2 2 Σ(x - x) Σ(y - y) BP 1 2 * 2 2 Σ(y - y ) Σ(x - x ) k = k = Σ(y - y) Σ(x - x) 2 2 * Progose V = V + α (T - V ) V = α (1 - α) T =1-1 =1 α (1 - α) 1 Idces P L 1 1 pm 1 p m P P 1 1 pm 1 p m M L 1 1 pm 0 p m M P 1 1 pm 1 pm 1 1 0

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