Stochastische Prozesse und Zeitreihenmodelle

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1 Kapitel 12 Stochastische Prozesse und reihenmodelle [ Stochastische Prozesse und reihenmodelle ] Einleitung:.com-Blase an der NASDAQ Department of Statistics and Mathematics WU Wien c 2008 Statistik 12 Stochastische Prozesse und reihenmodelle 0 / 78.com-Blase an der Modellierung und Prognose von Aktienrenditen NASDAQ Department of Statistics and Mathematics WU Wien c 2008 Statistik 12 Stochastische Prozesse und reihenmodelle 1 / 78 Daten An der New Yorker Börse NASDAQ (National Association of Securities Dealers Automated Quotation System) sind die Hälfte der US-amerikanischen Aktiengesellschaften gelistet, u.a.: Adobe Systems, Amazon.com, Apple, Cisco, Dell, ebay, Google, Intel, Microsoft, Sun Microsystems, Yahoo!. Sie profitierte in der zweiten Hälfte der 90er Jahre besonders vom Boom der sogenannten.com-blase, deren Platzen im März 2000 zu einem 75%-igen Wertverlust der zuletzt gekauften Aktien führte. Hier untersuchen wir die wöchentliche reihe des Index ( ). Frage: Wie kann man die Renditen des NASDAQ-Index bis Anfang 1998 (vor dem Platzen der.com-blase) modellieren? Wie können damit zukünftige Renditen bsw. Kurse prognostiziert werden? Quelle: Yahoo! Finance, (Instrument ^NDX). Department of Statistics and Mathematics WU Wien c 2008 Statistik 12 Stochastische Prozesse und reihenmodelle 2 / 78 Department of Statistics and Mathematics WU Wien c 2008 Statistik 12 Stochastische Prozesse und reihenmodelle 3 / 78

2 Daten: Preise Daten: Log-Preise NASDAQ log(nasdaq) Department of Statistics and Mathematics WU Wien c 2008 Statistik 12 Stochastische Prozesse und reihenmodelle 4 / 78 Daten: Renditen Department of Statistics and Mathematics WU Wien c 2008 Statistik 12 Stochastische Prozesse und reihenmodelle 5 / 78 Daten: Gesamtzeitraum NASDAQ log(nasdaq) Department of Statistics and Mathematics WU Wien c 2008 Statistik 12 Stochastische Prozesse und reihenmodelle 6 / 78 Department of Statistics and Mathematics WU Wien c 2008 Statistik 12 Stochastische Prozesse und reihenmodelle 7 / 78

3 Daten: Modellierungs- und Prognosezeitraum Standard & Poor s 500 Index NASDAQ Weiterer Datensatz: Der Standard & Poor s 500 (kurz: S&P 500) ist ein Index der 500 größten Aktiengesellschaften, die an den beiden New Yorker Börsen NYSE (New York Stock Exchange) und NASDAQ gehandelt werden log(nasdaq) Über den gewählten raum 1950(1) bis 1993(9) zeigt die S&P 500 Reihe ein exponentielles Wachstum. Dieses basiert wie die Entwicklung eines Guthabens eines Sparbuches auf dem Zinseszinseffekt. Mittels Logarithmus transformiert man das multiplikative Bildungsgesetz in ein additives. Der transformierte Pfad wird dadurch ungefähr linear. Department of Statistics and Mathematics WU Wien c 2008 Statistik 12 Stochastische Prozesse und reihenmodelle 8 / 78 S&P 500 Index Department of Statistics and Mathematics WU Wien c 2008 Statistik 12 Stochastische Prozesse und reihenmodelle 9 / 78 S&P log(s&p 500) [ Stochastische Prozesse und reihenmodelle ] Preise und Renditen S&P 500 Renditen Department of Statistics and Mathematics WU Wien c 2008 Statistik 12 Stochastische Prozesse und reihenmodelle 10 / 78 Department of Statistics and Mathematics WU Wien c 2008 Statistik 12 Stochastische Prozesse und reihenmodelle 11 / 78

4 Aktienkurs und Rendite Wir bezeichnen einen beobachteten Aktienkurs mit P t und den logarithmierten mit p t = log(p t ). Aus der Mathematik Vorlesung ist bekannt, dass die Rendite (in stetiger ), r t, aus dem Logarithmus des Quotienten berechnet wird, r t = log(p t /P t 1 ). Damit ist r t die Differenz der logarithmierten Kurse aufeinander folgender punkte: r t = log(p t ) log(p t 1 ) = p t p t 1 Umgekehrt ergibt sich für den aktuellen logarithmierten Kurs p t = p t 1 + r t. Der aktuelle logarithmierte Kurs ist der logarithmierte Kurs der Vorperiode plus der aktuellen Rendite. Das Modell für den Kurs P t selbst ist P t = P t 1 exp(r t ). Hypothese effizienter Märkte Die Hypothese effizienter Märkte besagt, dass Finanzmärkte informationseffizient sind. Marktpreise von Aktien enthalten bereits die gesamte verfügbare Information über zukünftige Gewinnaussichten. Formal bedeutet das: "Die beste Prognose für den morgigen Aktienkurs ist der heutige Kurs plus einer durchschnittlichen Rendite." Damit ist die 1-Schritt Prognose, ˆp t+1, gleich dem zuletzt beobachteten Wert plus einer Konstanten, der durchschnittlichen Rendite β 0 : ˆp t+1 = p t + β 0. Die Renditen sind nicht prognostizierbar. Department of Statistics and Mathematics WU Wien c 2008 Statistik 12 Stochastische Prozesse und reihenmodelle 12 / 78 Hypothese effizienter Märkte Department of Statistics and Mathematics WU Wien c 2008 Statistik 12 Stochastische Prozesse und reihenmodelle 13 / 78 Renditen des S&P 500, Monatsdaten Renditen r t sind nicht prognostizierbar, wenn die Vergangenheit der Reihe r t 1, r t 2,..., r 1, (oder weitere Erklärungsvariablen, die wir aber hier nicht weiter diskutieren) nicht zur Verbesserung der Prognose verwendet werden können. Das einzig sinnvolle Regressionsmodell für die Renditen lautet dann: r t = β 0 + ɛ t. Anmerkung: Dieses Modell ist bereits aus früheren Kapiteln bekannt. β 0 wird als die durchschnittliche Rendite geschätzt (Kapitel 4) bzw. völlig äquivalent als Konstante in einem Regressionsmodell r t 1 (Kapitel 10). S&P 500 Renditen Department of Statistics and Mathematics WU Wien c 2008 Statistik 12 Stochastische Prozesse und reihenmodelle 14 / 78 Department of Statistics and Mathematics WU Wien c 2008 Statistik 12 Stochastische Prozesse und reihenmodelle 15 / 78

5 Renditen des S&P 500 Beispiel: T -Test Zusammen mit der Renditenreihe haben wir ein 95% Intervall um das Mittel eingezeichnet. Die Renditenreihe verläuft in etwa horizontal. Das Mittel ist leicht positiv, umgeben von einer großen Streuung. Die reihe hat die Länge n = 524, das Mittel r = und die Standardabweichung s r,n 1 = Wir können testen, ob die erwartete Rendite von 0 abweicht (Kapitel 4): H 0 : µ r = 0, H A : µ r 0. T = r 0 s 2r,n 1 /n = = > /524 Die Nullhypothese wird klar zugunsten von µ r > 0 verworfen. Gegeben sind die Werte eines Aktienindex, P t, für die Periode bis , tägliche Schlusskurse. Daraus ergibt sich für die Renditenreihe das Mittel r = , die Standardabweichung s r,n 1 = und die Länge n = 77. Prüfen Sie die Hypothese, dass die erwarteten Renditen gleich 0 sind. Für die Teststatistik ergibt sich T = r 0 s 2n 1 /n = /77 = Die durchschnittliche Monatsrendite für die Periode 1950(1) bis 1993(9) beträgt (0.628%). Das ergibt eine durchschnittliche Jahresrendite von 7.54% (= ). Department of Statistics and Mathematics WU Wien c 2008 Statistik 12 Stochastische Prozesse und reihenmodelle 16 / 78 Beispiel: T -Test Department of Statistics and Mathematics WU Wien c 2008 Statistik 12 Stochastische Prozesse und reihenmodelle 17 / 78 Beispiel: T -Test Gegeben sind die Werte eines Aktienindex, P t, für die Periode bis , tägliche Schlusskurse. Daraus ergibt sich für die Renditenreihe das Mittel r = , die Standardabweichung s r,n 1 = und die Länge n = 77. Prüfen Sie die Hypothese, dass die erwarteten Renditen gleich 0 sind. Für die Teststatistik ergibt sich T = r 0 s 2n 1 /n = /77 = Welche der Aussagen sind richtig? (Signifikanzniveau 5%) (a) Eine geschätzte Renditengleichung der Form r t = β 0 + ɛ t würde eine signifikante Konstante liefern. falsch (b) Der Absolutbetrag der Teststatistik ist größer als falsch (c) Der Test weist nach, dass die erwarteten Renditen ungleich 0 sind. falsch (d) Die Teststatistik ist größer als richtig (e) Die Nullhypothese wird beibehalten. richtig Department of Statistics and Mathematics WU Wien c 2008 Statistik 12 Stochastische Prozesse und reihenmodelle 18 / 78 Department of Statistics and Mathematics WU Wien c 2008 Statistik 12 Stochastische Prozesse und reihenmodelle 19 / 78

6 Beispiel: T -Test Welche der Aussagen sind richtig? (Signifikanzniveau 5%) (a) Eine geschätzte Renditengleichung der Form r t = β 0 + ɛ t würde eine signifikante Konstante liefern. falsch (b) Der Absolutbetrag der Teststatistik ist größer als falsch (c) Der Test weist nach, dass die erwarteten Renditen ungleich 0 sind. falsch (d) Die Teststatistik ist größer als richtig (e) Die Nullhypothese wird beibehalten. richtig Department of Statistics and Mathematics WU Wien c 2008 Statistik 12 Stochastische Prozesse und reihenmodelle 20 / 78 Prognostizierbarkeit Renditen sind r t prognostizierbar, wenn die Vergangenheit der Reihe zur Verbesserung der Prognose verwendet werden kann, d.h. wenn man das Mittel von r t aus verzögerten Werten (lags) r t 1, r t 2,... vorhersagen kann. Im einfachsten Fall verwendet man zur Vorhersage des Werts zum punkt t den vorigen Wert der Reihe (also punkt t 1): r t = β 0 + β 1 r t 1 + ɛ t. Dieses Modell nennt man autoregressives Modell erster Ordnung, kurz AR(1). Anmerkung: Abhängigkeiten können auch komplexer sein, bspw. verzögerte Werte, die weiter in der Vergangeheit liegen (autoregressive Modelle höherer Ordnung) oder andere Variablen führen zu einer verbesserten Prognose. Department of Statistics and Mathematics WU Wien c 2008 Statistik 12 Stochastische Prozesse und reihenmodelle 21 / 78 S&P 500: r t vs. r t r t 1 r t Die Korrelation zwischen r t und r t 1 beträgt Department of Statistics and Mathematics WU Wien c 2008 Statistik 12 Stochastische Prozesse und reihenmodelle 22 / 78 Autokorrelationskoeffizient, Korrelogramm Die Korrelationskoeffizienten ρ k = Cor(r t, r t k ), k = 0, 1, 2,... heißen Autokorrelationskoeffizienten k-ter Ordnung. Der erste Wert des Korrelogramms ρ 0 ist immer 1, da Cor(r t, r t ) = 1 ist (siehe Kapitel 9). Alle empirischen Autokorrelationskoeffizienten ˆρ k zusammen nennt man Korrelogramm: ˆρ 0, ˆρ 1, ˆρ 2,.... Department of Statistics and Mathematics WU Wien c 2008 Statistik 12 Stochastische Prozesse und reihenmodelle 23 / 78

7 S&P-500-Renditen: Korrelogramm S&P-500-Renditen: Korrelogramm Das Korrelogramm zeigt hier die empirischen Autokorrelationskoeffizienten ˆρ 0, ˆρ 1,..., ˆρ 27. Parallel zur x-achse befinden sich außerdem die beiden Grenzen der punktweisen 95%-Intervalle für die Nullhypothesen ρ k = 0. Auch wenn alle Nullhypothesen zutreffen, liegen im Durchschnitt 5% der empirischen Autokorrelationen ˆρ k außerhalb der Intervalle. D.h. wenn alle ˆρ k innerhalb der Intervalle liegen, sind alle Autokorrelationen nahe bei 0. Wenn einige wenige die Grenzen etwas überschreiten, spricht das noch nicht unbedingt dagegen, dass die Autokorrelationen 0 sind. Das Korrelogramm der S&P-500-Renditen zeigt nur geringfügige Abweichungen von ρ k = 0 für k = 1, 2,..., 27. (Bei k = 0 ist der Wert per Definition eins.) Department of Statistics and Mathematics WU Wien c 2008 Statistik 12 Stochastische Prozesse und reihenmodelle 24 / 78 S&P-500-Renditen: Regression Zur Modellprüfung mit Hilfe von statistischen Tests verwenden wir die Modellselektionsmethoden aus Kapitel 10: Will man überprüfen, ob man zur Erklärung der Renditen des S&P 500 verzögerte (lagged) Renditen der Ordnung eins verwenden soll, kann man die T -Größe verwenden. Wir schätzen das autoregressive Modell erster Ordnung r t r t 1 : r t = β 0 + β 1 r t 1 + ɛ t Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) lag(rsp500, -1) Für den Test H 0 : β 1 = 0, H A : β 1 0 erhalten wir einen p-wert von 0.533, so dass wir die Nullhypothese beibehalten. Department of Statistics and Mathematics WU Wien c 2008 Statistik 12 Stochastische Prozesse und reihenmodelle 25 / 78 S&P-500-Renditen: Regression Damit vereinfachen wir das Modell zu r t 1: r t = β 0 + ɛ t. Dies Modell ist mit der Hypothese effizienter Märkte verträglich. Schätzung des Mittelwerts ergibt (wie bereits gezeigt): r t = ɛ t, Die Regressionszusammenfassung ist: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) Department of Statistics and Mathematics WU Wien c 2008 Statistik 12 Stochastische Prozesse und reihenmodelle 26 / 78 Department of Statistics and Mathematics WU Wien c 2008 Statistik 12 Stochastische Prozesse und reihenmodelle 27 / 78

8 Beispiel: Regression Beispiel: Regression Gegeben sind die Werte für einen Aktienindex, P t, für die Periode bis , tägliche Schlusskurse. Es werden die Renditen, r t, berechnet. Wir passen an die Renditen ein AR(1) Modell an: r t = β 0 + β 1 r t 1 + ɛ t. Die Regressionszusammenfassung ist: Model: r ~ lag(r, -1) Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) lag(r, -1) Welche der Aussagen sind richtig? (Signifikanzniveau 5%) (a) Es kann nachgewiesen werden, dass β 1 ungleich 0 ist. falsch (b) Die Konstante ist nicht signifikant von 0 verschieden. richtig (c) Vergangene Renditewerte tragen nicht signifikant zur Verbesserung der Prognose von r t bei. richtig (d) Das Vorzeichen des ersten Autokorrelationskoeffizienten und das von β 1 ist immer gleich. richtig (e) Die Hypothese, dass der Prozess ein AR(0) ist, kann verworfen werden. falsch AR(0) meint r t = β 0 + ɛ t (siehe folgender Abschnitt). Beurteilen Sie das geschätzte Modell. Department of Statistics and Mathematics WU Wien c 2008 Statistik 12 Stochastische Prozesse und reihenmodelle 28 / 78 Department of Statistics and Mathematics WU Wien c 2008 Statistik 12 Stochastische Prozesse und reihenmodelle 29 / 78 Beispiel: Regression Welche der Aussagen sind richtig? (Signifikanzniveau 5%) (a) Es kann nachgewiesen werden, dass β 1 ungleich 0 ist. falsch (b) Die Konstante ist nicht signifikant von 0 verschieden. richtig (c) Vergangene Renditewerte tragen nicht signifikant zur Verbesserung der Prognose von r t bei. richtig (d) Das Vorzeichen des ersten Autokorrelationskoeffizienten und das von β 1 ist immer gleich. richtig (e) Die Hypothese, dass der Prozess ein AR(0) ist, kann verworfen werden. falsch AR(0) meint r t = β 0 + ɛ t (siehe folgender Abschnitt). [ Stochastische Prozesse und reihenmodelle ] Stochastische Prozesse Department of Statistics and Mathematics WU Wien c 2008 Statistik 12 Stochastische Prozesse und reihenmodelle 30 / 78 Department of Statistics and Mathematics WU Wien c 2008 Statistik 12 Stochastische Prozesse und reihenmodelle 31 / 78

9 Stochastische Prozesse: Autoregressive Modelle Weißes Rauschen Ein stochastischer Prozess Y t ist eine Sequenz von Zufallsvariablen und damit gleichsam das theoretische Gegenstück zu einer empirischen reihe. Somit können stochastische Prozesse als Modelle für reihen verwendet werden. Eine besonders wichtige Klasse solcher Modelle sind autoregressive Modelle. Sie erklären einen Prozess durch die eigene Vergangenheit: Y t = β 0 + β 1 Y t β p Y t p + ɛ t Die Störgröße ɛ t in diesen Modellen sollte ein stochastischer Prozess sein mit Mittel 0: E(ɛ t ) = 0, konstante Varianz: V(ɛ t ) = σ 2 ɛ, keine Autokorrelation: ρ k = 0 für k = 1, 2,.... Einen solchen Prozess nennt man weißes Rauschen (white noise). Dies ist ein autoregressives Modell der Ordnung p, kurz AR(p). Beispiele: Für Y t = r t haben wir solche Modelle bereits verwendet. AR(0): Y t = β 0 + ɛ t AR(1): AR(2): Y t = β 0 + β 1 Y t 1 + ɛ t Y t = β 0 + β 1 Y t 1 + β 2 Y t 2 + ɛ t Department of Statistics and Mathematics WU Wien c 2008 Statistik 12 Stochastische Prozesse und reihenmodelle 32 / 78 Weißes Rauschen Department of Statistics and Mathematics WU Wien c 2008 Statistik 12 Stochastische Prozesse und reihenmodelle 33 / 78 Stationäre Prozesse Y Weißes Rauschen ist ein Spezialfall eines allgemeineren Typs stochastischer Prozesse, nämlich stationärer Prozesse. Diese sind charakterisiert durch konstantes Mittel, konstante Varianz, Autokorrelationen, die über die stabil bleiben, d.h. nur von der zeitlichen Distanz k der Beobachtungen abhängen Daher sind auch AR(0) Prozesse stationär: Y t = β 0 + ɛ t, denn sie sind ein Mittelwert β 0 plus ein weißes Rauschen ɛ t. Sie haben also gleiche Varianz und gleiche Autokorrelationen wie weißes Rauschen, nur einen anderen (aber konstanten) Mittelwert. Department of Statistics and Mathematics WU Wien c 2008 Statistik 12 Stochastische Prozesse und reihenmodelle 34 / 78 Department of Statistics and Mathematics WU Wien c 2008 Statistik 12 Stochastische Prozesse und reihenmodelle 35 / 78

10 Stationäre Prozesse AR(1) Prozess mit β 1 = 0.8 AR(1) Prozesse sind für β 1 < 1 stationär. Y t = β 0 + β 1 Y t 1 + ɛ t Man kann zeigen, dass der Erwartungswert und die Varianz konstant sind. Die zugehörigen Korrelogramme klingen geometrisch wie β k 1 ab. Y Ist β 1 positiv, sind alle Autokorrelationskoeffizienten positiv. Ist β 1 negativ, so haben die Autokorrelationskoeffizienten alternierende Vorzeichen Department of Statistics and Mathematics WU Wien c 2008 Statistik 12 Stochastische Prozesse und reihenmodelle 36 / 78 AR(1) Prozess mit β 1 = 0.6 Department of Statistics and Mathematics WU Wien c 2008 Statistik 12 Stochastische Prozesse und reihenmodelle 37 / 78 AR(1) Prozess mit β 1 = 0.4 Y Y Department of Statistics and Mathematics WU Wien c 2008 Statistik 12 Stochastische Prozesse und reihenmodelle 38 / 78 Department of Statistics and Mathematics WU Wien c 2008 Statistik 12 Stochastische Prozesse und reihenmodelle 39 / 78

11 AR(1) Prozess mit β 1 = 0 (= AR(0)) AR(1) Prozess mit β 1 = 0.4 Y Y Department of Statistics and Mathematics WU Wien c 2008 Statistik 12 Stochastische Prozesse und reihenmodelle 40 / 78 AR(1) Prozess mit β 1 = 0.8 Department of Statistics and Mathematics WU Wien c 2008 Statistik 12 Stochastische Prozesse und reihenmodelle 41 / 78 Random Walk Y AR(1) Prozesse sind nur für β 1 < 1 stationär. Für β 1 = 1 hingegen erhält man einen nicht-stationären Prozess, eine sogenannte Zufallsbewegung oder Random Walk: Y t = β 0 + Y t 1 + ɛ t. Ist β 0 = 0 ist es ein Random Walk ohne Drift, für β 0 0 mit Drift. Dieses Modell haben wir bereits für die logarithmierten Aktienpreise Y t = p t = log(p t ) unter der Effizienzhypothese kennengelernt. Ein Random Walk ist nicht stationär, weil die Varianz mit der steigt. Das 95%-Intervall, in dem sich der Pfad bewegt, liegt ausgehend vom Startwert symmetrisch um den Drift und verbreitert sich mit t. Bei einem Random Walk mit Drift steigt zusätzlich das Mittel mit der, ist also auch nicht konstant. Das Korrelogramm eines Random Walk geht mit steigendem k nur langsam (linear) gegen 0. Department of Statistics and Mathematics WU Wien c 2008 Statistik 12 Stochastische Prozesse und reihenmodelle 42 / 78 Department of Statistics and Mathematics WU Wien c 2008 Statistik 12 Stochastische Prozesse und reihenmodelle 43 / 78

12 Random Walk ohne Drift β 0 = 0 Random Walk ohne Drift β 0 = 0 Y Y Department of Statistics and Mathematics WU Wien c 2008 Statistik 12 Stochastische Prozesse und reihenmodelle 44 / 78 Random Walk mit Drift β 0 = 0.2 Department of Statistics and Mathematics WU Wien c 2008 Statistik 12 Stochastische Prozesse und reihenmodelle 45 / 78 Beispiel: Stochastische Prozesse Y Y Y Y Series coredata(series[[i]]) Series coredata(series[[i]]) Series coredata(series[[i]]) Y Y Y Department of Statistics and Mathematics WU Wien c 2008 Statistik 12 Stochastische Prozesse und reihenmodelle 46 / 78 Department of Statistics and Mathematics WU Wien c 2008 Statistik 12 Stochastische Prozesse und reihenmodelle 47 / 78

13 Beispiel: Stochastische Prozesse Beispiel: Stochastische Prozesse Es wurden je ein Pfad eines weißen Rauschens, eines AR(1) und eines Random Walks generiert. Ordnen Sie jedem Graphen das richtige Modell zu. Welche der folgenden Aussagen sind richtig? (a) Y1 ist weißes Rauschen. falsch (b) Y2 gehorcht einem AR(1). falsch (c) Y3 zeigt das Verhalten eines Random Walks. falsch (d) Y1 ist weißes Rauschen, weil die meisten Autokorrelationskoeffizienten nahe bei 0 liegen. falsch (e) Der Koeffizient β 1 des AR(1) Prozess ist positiv. richtig Es wurden je ein Pfad eines weißen Rauschens, eines AR(1) und eines Random Walks generiert. Ordnen Sie jedem Graphen das richtige Modell zu. Welche der folgenden Aussagen sind richtig? (a) Y1 ist weißes Rauschen. falsch (b) Y2 gehorcht einem AR(1). falsch (c) Y3 zeigt das Verhalten eines Random Walks. falsch (d) Y1 ist weißes Rauschen, weil die meisten Autokorrelationskoeffizienten nahe bei 0 liegen. falsch (e) Der Koeffizient β 1 des AR(1) Prozess ist positiv. richtig Department of Statistics and Mathematics WU Wien c 2008 Statistik 12 Stochastische Prozesse und reihenmodelle 48 / 78 Prognose eines AR(1) Gegeben sind Y 1, Y 2,..., Y n 1, Y n. Gesucht sind die 1-Schritt Prognose: Ŷ n+1 Y n+1 = β 0 + β 1 Y n + ɛ n+1 Ersetzt man den unbekannten Fehler ɛ n+1 durch seinen Erwartungswert E(ɛ n+1 ) = 0, erhält man 2-Schritt Prognose: Ŷ n+2 Ŷ n+1 = β 0 + β 1 Y n Department of Statistics and Mathematics WU Wien c 2008 Statistik 12 Stochastische Prozesse und reihenmodelle 49 / 78 Prognose eines AR(1) k-schritt Progose: Ŷ n+k Analog erhalten wir durch wiederholtes Einsetzen von Ŷ n+j, j = 1,..., k 1, Ŷ n+k = β 0 (1 + β β k 1 1 ) + β k 1 Y n Da hier 1 < β 1 < 1 gilt, (der Fall β 1 = 1 wird gesondert behandelt), verschwindet der Einfluss der letzten Beobachtung Y n mit steigendem k. Y n+2 = β 0 + β 1 Y n+1 + ɛ n+2 Die unbekannten Werte werden wieder durch Erwartungen ersetzt: Ŷ n+2 = β 0 + β 1 Ŷ n = β 0 + β 1 (β 0 + β 1 Y n ) = β 0 (1 + β 1 ) + β1 2 Y n Department of Statistics and Mathematics WU Wien c 2008 Statistik 12 Stochastische Prozesse und reihenmodelle 50 / 78 Department of Statistics and Mathematics WU Wien c 2008 Statistik 12 Stochastische Prozesse und reihenmodelle 51 / 78

14 Beispiel: Prognose eines AR(1) Gegeben sei ein AR(1): Y t = Y t 1 + ɛ t Der Wert des letzten Beobachtungszeitpunkts beträgt Y n = Berechnen Sie die 2-Schritt Prognose. Die 1-Schritt Prognose: Ŷ n+1 = = Die 2-Schritt Prognose: Ŷ n+2 = Ŷ n+1 = Beispiel: Prognose eines AR(1) Gegeben sei ein AR(1): Y t = Y t 1 + ɛ t Der Wert des letzten Beobachtungszeitpunkts beträgt Y n = Berechnen Sie die 2-Schritt Prognose. Die 1-Schritt Prognose: Ŷ n+1 = = Die 2-Schritt Prognose: Ŷ n+2 = Ŷ n+1 = Department of Statistics and Mathematics WU Wien c 2008 Statistik 12 Stochastische Prozesse und reihenmodelle 52 / 78 Prognose der Preise Das Bildungsgesetz für die logarithmierte Reihe der Preise p t = log(p t ) lautet p t = p t 1 + r t, t = 1,..., n Die 1-Schritt Prognose ausgehend vom punkt n ist daher ˆp n+1 = p n + ˆr n+1 ˆr n+1 ist die 1-Schritt Prognose für die Renditen r n+1, bspw. aus einem AR(1). Für die Prognose von p n+2 = p n+1 + r n+2 ersetzen wir alle Variablen durch ihre Prognosen. ˆp n+2 = ˆp n+1 + ˆr n+2 Die Prognose ˆp n+1 ist bereits bekannt. Eingesetzt ergibt das ˆp n+2 = (p n + ˆr n+1 ) + ˆr n+2 = p n + (ˆr n+1 + ˆr n+2 ) Department of Statistics and Mathematics WU Wien c 2008 Statistik 12 Stochastische Prozesse und reihenmodelle 53 / 78 Prognose der Preise Die k-schritt Prognose ausgehend von n ergibt sich daher als ˆp n+k = p n + (ˆr n+1 + ˆr n ˆr n+k ) Die Prognose für p n+k ist der letzte Wert p n plus der Summe aller prognostizierten Renditen, ˆr n+1,...,ˆr n+k. Die Prognose für P n+k, dem Niveau der Reihe in (n + k), ergibt sich einfach durch exp(ˆp n+k ). ˆP n+k = exp(ˆp n+k ) In prognostizierten Renditen ausgedrückt: ˆP n+k = exp(p n ) exp(ˆr n+1 )... exp(ˆr n+k ) = k P n exp(ˆr n+j ). j=1 Department of Statistics and Mathematics WU Wien c 2008 Statistik 12 Stochastische Prozesse und reihenmodelle 54 / 78 Department of Statistics and Mathematics WU Wien c 2008 Statistik 12 Stochastische Prozesse und reihenmodelle 55 / 78

15 Beispiel: Preisprognose Beispiel: Preisprognose Gegeben sind wöchentliche Daten der Reihe des Dow-Jones-Industrial Index, P t, und dessen Renditen, r t, für die Periode 11 Jan 1999 bis 28 Jun Es wurden bereits die 1-, 2- und 3-Schritt Prognosen der Renditen berechnet. Beobachtungsperiode Datum Jun 28 Jun Preise Renditen Prognoseperiode. 06 Jul 12 Jul 19 Jul Berechnen Sie die Prognose des Dow-Jones-Industrial Index für 19 Jul, ˆP n+3. Die Summe der Prognosen der Renditen ist Damit ist 3 ˆr n+j = ˆr n+1 + ˆr n+2 + ˆr n+3 = j=1 = = ˆP n+3 = P n exp ˆr n+j j=1 = exp(0.010) = Department of Statistics and Mathematics WU Wien c 2008 Statistik 12 Stochastische Prozesse und reihenmodelle 56 / 78 Department of Statistics and Mathematics WU Wien c 2008 Statistik 12 Stochastische Prozesse und reihenmodelle 57 / 78 Angenommen wir befinden uns im Januar 1998 und fragen uns, welche Entwicklung des in den nächsten Monaten zu erwarten ist. Wir verwenden dafür die beobachtete reihe (Januar 1995 bis Januar 1998) und gehen folgendermaßen vor: Visualisierung der reihe (Preise, und zugehörige log-preise und Renditen), Berechnung und Visualisierung des Korrelogramms (der Renditen), Schätzung und Vergleich eines AR(1)- und AR(0)-Modells (für die Renditen), Prognose mit Hilfe des gewählten Modells für Februar 1998 bis Dezember NASDAQ log(nasdaq) Department of Statistics and Mathematics WU Wien c 2008 Statistik 12 Stochastische Prozesse und reihenmodelle 58 / 78 Department of Statistics and Mathematics WU Wien c 2008 Statistik 12 Stochastische Prozesse und reihenmodelle 59 / 78

16 AR(1)-Modell: r t r t 1 Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) lag(rndx, -1) Der Autokorrelationskoeffizient (der Ordnung 1) beträgt und ist nicht signifikant von 0 verschieden. Die verzögerten Beobachtungen r t 1 tragen also nicht signifikant zur Verbesserung der Prognose bei. Wir passen daher das einfachere AR(0)-Modell an. Department of Statistics and Mathematics WU Wien c 2008 Statistik 12 Stochastische Prozesse und reihenmodelle 60 / 78 Department of Statistics and Mathematics WU Wien c 2008 Statistik 12 Stochastische Prozesse und reihenmodelle 61 / 78 AR(0)-Modell: r t 1 Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) Die mittlere Wochenrendite ist also = 0.6% und signifikant größer als 0. Die zugehörige mittlere Jahresrendite ist entsprechend = 31.4%. Erinnerung: Da sich die beiden Modelle nur in einem Koeffizienten (nämlich der Autokorrelation der Ordnung 1) unterscheiden, genügte hier der T -Test dieses Koeffizienten zum Vergleich der beiden Modelle. Völlig äquivalent hätte man den Modellvergleich auch über die zugehörige ANOVA durchführen können. Analysis of Variance Table Model 1: rndx ~ 1 Model 2: rndx ~ lag(rndx, -1) Res.Df RSS Df Sum of Sq F Pr(>F) Department of Statistics and Mathematics WU Wien c 2008 Statistik 12 Stochastische Prozesse und reihenmodelle 62 / 78 Department of Statistics and Mathematics WU Wien c 2008 Statistik 12 Stochastische Prozesse und reihenmodelle 63 / 78

17 Index Index Department of Statistics and Mathematics WU Wien c 2008 Statistik 12 Stochastische Prozesse und reihenmodelle 64 / 78 Department of Statistics and Mathematics WU Wien c 2008 Statistik 12 Stochastische Prozesse und reihenmodelle 65 / Index Index Department of Statistics and Mathematics WU Wien c 2008 Statistik 12 Stochastische Prozesse und reihenmodelle 66 / 78 Department of Statistics and Mathematics WU Wien c 2008 Statistik 12 Stochastische Prozesse und reihenmodelle 67 / 78

18 log(nasdaq) Index Index Department of Statistics and Mathematics WU Wien c 2008 Statistik 12 Stochastische Prozesse und reihenmodelle 68 / 78 Department of Statistics and Mathematics WU Wien c 2008 Statistik 12 Stochastische Prozesse und reihenmodelle 69 / 78 NASDAQ Die Prognose der mittleren Rendite aus dem AR(0)-Modell bildet die Entwicklung der Rendite im Jahr 1998 zunächst noch gut ab. Ab Ende 1999 wird die Rendite dann systematisch unterschätzt und ab März 2000 systematisch überschätzt. Dies ist noch deutlicher auf der Skala der Preise bzw. log-preise zu sehen. Der offensichtliche Grund ist, dass die Entwicklung des nicht durch ein stabiles Modell erklärt werden kann. Sowohl die Boom-Phase der.com-blase als auch ihr Zerplatzen konnte nicht aus den vergangenen Renditen erwartet werden Index Department of Statistics and Mathematics WU Wien c 2008 Statistik 12 Stochastische Prozesse und reihenmodelle 70 / 78 Department of Statistics and Mathematics WU Wien c 2008 Statistik 12 Stochastische Prozesse und reihenmodelle 71 / 78

19 Rückblickend, d.h. hier unter Verwendung der Daten bis Ende 2006, können solche Strukturveränderungen modelliert werden, indem man unterschiedliche AR(0)-Modelle für unterschiedliche perioden anpasst. Die Bruchpunkte können mit Hilfe von KQ-Verfahren (die weit über den Inhalt der LV hinausgehen würden) datengetrieben bestimmt werden. log(nasdaq) Department of Statistics and Mathematics WU Wien c 2008 Statistik 12 Stochastische Prozesse und reihenmodelle 72 / 78 Department of Statistics and Mathematics WU Wien c 2008 Statistik 12 Stochastische Prozesse und reihenmodelle 73 / 78 log(nasdaq) Department of Statistics and Mathematics WU Wien c 2008 Statistik 12 Stochastische Prozesse und reihenmodelle 74 / 78 Department of Statistics and Mathematics WU Wien c 2008 Statistik 12 Stochastische Prozesse und reihenmodelle 75 / 78

20 Die mittlere Jahresrendite und ihre zugehörgige Standardabweichung sind (in Prozent): Anfang Ende r s r,n Department of Statistics and Mathematics WU Wien c 2008 Statistik 12 Stochastische Prozesse und reihenmodelle 76 / 78 Department of Statistics and Mathematics WU Wien c 2008 Statistik 12 Stochastische Prozesse und reihenmodelle 77 / 78 Inhalt Notation Zusammenhang zwischen Aktienkursen und Renditen Effiziente Markthypothese Autoregressive Modelle der Ordnung p, AR(p) Autokorrelationskoeffizient, Korrelogramm Stationäre Prozesse, white noise, AR(p) Nicht-stationäre Prozesse, random walk Modellierung und Prognose nicht-stationärer Prozesse Department of Statistics and Mathematics WU Wien c 2008 Statistik 12 Stochastische Prozesse und reihenmodelle 78 / 78