6. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen

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Jutta Lenz
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1 6. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen Exercise 6: Find a matrix A R that describes the following linear transformation: a reflection with respect to the subspace E = {x R : x x + x = } followed by a rotation by π/ around the x -axis. Find the image of the vector x = (,, ) under this transformation and verify that the norm of x and the norm of its image are the same. Lösung 6: Für die Spiegelung müssen wir zuerst den Normalenvektor n := (,, ) von E normieren: a := n/ n = n/. Die Spiegelung am Unterraum E = {x R : x x + x = } = { x R : x a = } ist dann durch die Matrix S = I aa = I ( ) = I 8 8 = gegeben. Die Drehung wird durch D = beschrieben. Ihre Form erklärt sich unmittelbar, wenn man sich vor Augen führt, dass die Spalten der Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung aus den Bildern der Standardbasisvektoren bestehen. Als Abbildungsmatrix A der vorgegebenen Verkettung der beiden linearen Abbildungen ergibt sich also A = DS = 8. 8 Somit folgt Ax = 8 8 = und Ax = = x. Exercise : Consider the following two matrices S = and R = where S represents a reflection and R a rotation. a) Show that S and R are orthogonal matrices. b) Determine the plane of reflection associated with S. c) Determine the axis of rotation and the angle of rotation associated with R., Lösung : a) Es ist RR = R R = = I.

2 b) Um die Spiegelebene E von S zu ermitteln, verwenden wir die Relation S n = n, womit n = (x, y, z) Normalenvektor zu E ist. Also lösen wir die Gleichung (S + I ) n = oder äquivalent (S + I ) n =, d.h. das lineare Gleichungssystem 5x y +z =, x +y +z =, x +y +5z =. Mit dem Gauß-Algorithmus folgt: Die ersten zwei Gleichungen sind äquivalent und ergeben y = z. Daraus folgt x = ( z) 5z = z bei frei wählbarem z R. Wir können also z.b. den Normalenvektor n = (,, ) nehmen. Die Spiegelebene ist dann durch x y + z = gegeben. c) Für die Drehachse a der Drehung R muss gelten Ra = a, da die Drehachse unter der Drehung fest bleibt. Entweder man sieht direkt, dass R die x -Achse invariant lässt, also R(,, ) = (,, ). Dann weiß man schon, dass die Drehachse der zweite Koordinatenvektor ist: a = (,, ). Oder man rechnet die Drehachse aus: Aus Ra = a folgt (R I )a = bzw. (R I)a =, also a =. Sei a := (a, a, a ). Da diese Matrix schon recht viele Nulleinträge enthält, ist es unnötig den Gauß- Algorithmus anzuwenden. Hier sieht man sofort, dass man a frei wählen kann, zum Beispiel gleich Eins. Man erhält außerdem die Gleichungen a = a und a = a = a = a = a = a =. Wieder erhalten wir a = (,, ). Die Drehebene ist dann gegeben durch die Gleichung x =, d.h. sie wird aufgespannt von den Vektoren (,, ) und (,, ). (Man kann hier natürlich auch zwei andere linear unabhängige Vektoren der Drehebene auswählen; zwei linear unabhängige Vektoren also, die orthogonal zu (,, ) sind.) Um den Drehwinkel zu bestimmen, berechnen wir zunächst das Bild des Vektors e = (,, ) unter R: R e = (,, ). Für den Winkel α zwischen (,, ) und (,, ) gilt dann cos α = (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) =. Also ist der Drehwinkel unter der Drehung R entweder durch α = arccos ( ) = π oder durch α = π gegeben. (Beachte: Die Kosinusfunktion ist auf ( π, π] nicht eindeutig umkehrbar. Da jedoch die dritte Komponente von R e negativ ist, kann man α unter Beachtung der positiven Orientierung der Vektoren e, e, e eindeutig zu π bestimmen. (Für diese Rechnung könnten wir auch jeden anderen Vektor in der Ebene verwenden und den Winkel zwischen ihm und seinem Bild unter der Rotation R berechnen.) Exercise 8: Consider the matrices For each of the following matrices A, B and C, decide whether it is regular (or singular) and find (where possible) the inverse. A =, B =, C =. 6

3 (a) For each of the matrices, decide whether it is regular (or singular) and find (where possible) the inverse. (b) Solve the linear system Cx = b where b = (5,,, ). Lösung 8: a) I=I-/III II=II+/III Also ist A regulär und II=II-/I III=III-/I 5 A = 5 I=/I, II=/II III=/5III I=I-/II III=III-/II. 6 Also ist B singulär. I=I-III, II=II-III IV=IV-III III=III+IV III=III+II I=I+II IV=IV+II 5 6 II=II+I IV=IV+I II=II-I III=III-I Also ist C regulär und b) x = C b = C = = 6. Exercise : Consider the linear transformation Φ : R R with x Φ(x) := Ax which satisfies ( ) A = ( ), A = 5. (a) Calculate the images of the basis vectors (, ) and (, ) and find the transformation matrix A. (b) Determine the kernel of Φ, defined as Kern(Φ) = {x R : Φ(x) = }, and a representation of the range of Φ, defined as R(Φ) = {Φ(x) : x R }, in parametric form.

4 Lösung : a) Um die Darstellungsmatrix A R zu bestimmen, setzen wir an: A = a a a a. Lesen wir die a a beiden gegebenen Gleichungen zeilenweise, erhalten wir für die beiden unbekannten Komponenten jeder Zeile der gesuchten Matrix A ein lineares Gleichungssystem, deren rechte Seite durch die entsprechenden Komponenten der beiden Vektoren auf der rechten Seite gegeben ist. Für die dritte Zeile ergibt sich zum Beispiel a + a = a + a =, und entsprechende lineare Gleichungssysteme ergeben sich für die erste und zweite Zeile. Die linken Seiten dieser Gleichungssysteme stimmen bis auf die Benennung der Unbekannten überein. Wir können also alle drei auf einmal lösen, indem wir alle drei rechten Seiten in einem gemeinsamen Tableau mitführen: 5 Aus der Stufenform lesen wir ab: a = und a =, a = und a =, a = und a =. Also hat die Darstellungsmatrix von Φ die Form A =. Ihre Spalten sind gerade die Bilder der Standardbasisvektoren. Es gilt also ( ( Φ( ) = und Φ( ) =. ) ) b) Für x R gilt laut Definition x Kern(Φ) genau dann, wenn Ax =. Um den Kern von Φ zu bestimmen, lösen wir also letzteres lineares Gleichungssystem:. Damit steht fest, dass seine Lösungsmenge nur aus der besteht; Kern(Φ) = {}. Ferner ist Bild(Φ) = {Ax : x R } = {x + x : x, x R}. Exercise : Let α, β R and consider the system of linear equations Ax = b given by α A =, b = β (a) Determine the Kernel and the Rank of A, depending on the parameter α. (b) How does the number of solutions of the system Ax = b depend on the parameters α and β? Lösung : a) Mit dem Gauß-Algorithmus berechnen wir α α α +

5 Wir unterscheiden zwei Fälle:. Fall: α = In diesem Fall ist der Kern L von A -dimensional: Denn wählen wir z.b. x = s, (s R), so erhalten wir x = s, x = s und somit Nach der Dimensionsformel gilt L = s / / : s R. Rang(A) = dim(r ) dim(l ) = =.. Fall: α In diesem Fall das lineare Gleichungssystem ist eindeutig lösbar, also ist der Kern L von A -dimensional: L =. Hier liefert die Dimensionsformel b) Mit dem Gauß-Algorithmus berechnen wir α β Rang(A) = dim(r ) dim(l ) = =. α β α + β β β Also ist das lineare Gleichungssystem für α und beliebige β R eindeutig lösbar: β α+ β β α+ β β α+ L = Im Fall α = gibt es, wenn β ist, keine Lösung. Wenn α = und β = gilt, gibt es unendlich viele Lösungen: x x = x +x = { ( β α +, β + + β α +, β β ) } α + L = { ( (x, + x, ) x R : x R}.

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