Aufgaben: 1. Gib eine Gleichung der Ebene E an, die durch A in Richtung von u und v verläuft.

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1 Prmeergleichung und Koordinenform einer Ebene Prmeergleichung und Koordinenform einer Ebene Die Lge einer Ebene E im Rum is durch drei Größen eindeuig fesgeleg: X. Einen Punk A, durch den die Ebene verläuf.. Ihre Lge im Rum: Diese wird durch zwei nich prllele Richungsvekor u und v fesgeleg. E A v u x O. Prmeergleichung einer Ebene Für jeden Punk X uf der Ebene E gil dnn: AX u v mi einem geeigneen, IR Form mn ews um, so erhäl mn: x u v x u v Somi läss sich jeder Punk X uf der Ebene E beschreiben durch x u v. Die Gleichung x u v mi, IR heiß Prmeergleichung der Ebene E. Der Orsvekor zum Punk A heiß Süzvekor (oder uch Aufpunkvekor), die beiden liner unbhängigen Vekoren u und v Richungsvekoren der Ebene. Somi gil: E : x u v Bemerkung: D jeder Punk der Ebene E ls Süzpunk und jede Linerkombinion von u und v ls Richungsvekor verwende werden knn, gib es zu ein und derselben Ebene unendlich viele Prmeergleichungen. Die beiden Richungsvekoren müssen dbei liner unbhängig sein. Aufgben:. Gib eine Gleichung der Ebene E n, die durch A in Richung von u und v verläuf. 0 ) A 0, u, v b) A0 0 0, u, v W. Srk; Berufliche Oberschule Freising

2 Prmeergleichung und Koordinenform einer Ebene 0. Gegeben is die Ebene E : x 0. Berechne die Punke P i der Ebene, 0 die zu den Prmeerweren i und i gehören. ; 0; ; 4. Selle die Gleichung der Ebene E uf, die durch A geh und prllel is zur ) xx Ebene b) xx Ebene 0 c) Gerden g : x und h : x 0 d) Gerden g : x e) die Gerde g : x in der Ebene E lieg. 4. Beschreibe die besondere Lge der Ebene im Koordinensysem 5 0 ) E : x b) E : x Gegeben is die Ebene E : x Besimmen Sie vier Punke, die uf der Ebene E liegen. 5. Geben Sie zwei Punke n, die vom Aufpunkvekor den gleichen Absnd hben. P 6 0 Q 5 6 uf der Ebene 6. Überprüfen Sie, ob die Punke und 0 E : x 4 4 liegen. W. Srk; Berufliche Oberschule Freising

3 Prmeergleichung und Koordinenform einer Ebene. Drei-Punke-Gleichung einer Ebene Eine Ebene is uch durch die Angbe dreier Punke, die nich lle uf einer Gerden liegen (deren Orsvekoren liner unbhängig sind) eindeuig fesgeleg. Die Richungsvekoren u und v der Ebene lssen sich uch mi den Orsvekoren, b und c ngeben. Für die beiden Richungsvekoren gil: u AB b v AC c E C c b A c B b X x Somi folg für die Prmeergleichung der Ebene E: E : x AB AC E : x b c mi, IR O Diese Gleichung nenn mn uch Drei-Punke-Gleichung der Ebene E durch die Punke A, B und C. Aufgben: 7. Ermieln Sie eine Prmeergleichung für die Ebene durch die Punke A, B, C ) b) A0, B 0, C c) A, B, C0. Normlengleichung und Koordinengleichung einer Ebene Die Prmeergleichung einer Ebene is zwr rech nschulich, ber meisens sehr unprkisch beim Rechnen. Einfcher knn eine Ebene beschrieben werden, wenn mn sie in Koordinengleichung (Koordinenform) bring. Die Ebene wird dnn durch eine rech einfche Gleichung beschrieben, die lezendlich uch sehr ussgekräfig is. Is nun eine Ebenengleichung in Prmeerform gegeben, so fss mn jede Zeile ls eine Gleichung uf mi den Unbeknnen und. Eliminier mn diese beiden Unbeknnen, so bleib eine, die Ebene beschreibende Gleichung übrig. E : x 0 W. Srk; Berufliche Oberschule Freising

4 Prmeergleichung und Koordinenform einer Ebene x x x x x 6 x x x x x 6 Die Koordinengleichung der Ebene E h somi die Form: E : x x x 6 0 Es gib uch noch einen nderen Weg um uf diese Gleichung zu kommen. Zunächs muliplizier mn die Prmeergleichung der Ebene E beiderseis mi einem Normlenvekor n n u v, ds is ein Vekor der uf der Ebene E senkrech seh, so folg: x u v n... n x n u v n x n n u n v n x n 0 n x Diese Gleichung nenn mn die Normlengleichung (Normlenform) der Ebene E: Rechne mn weier, so erhäl mn: E : n x 0 n x c n x 0 n x n 0 n x n x c 0 n x n x n x c 0 die Koordinengleichung (Koordinenform) der Ebene E. E : n x n x n x c 0 n Den Normlenvekor erhäl mn us den beiden Richungsvekoren u und v, welche die Ebene E ufspnnen. Es gil: n u v E A x X x O W. Srk; Berufliche Oberschule Freising 4

5 Prmeergleichung und Koordinenform einer Ebene Auch die Normlengleichung einer Ebene is nich eindeuig: Jeder Punk der Ebene knn ls Süzpunk dienen. Is n ein Normlenvekor einer Ebene E, so knn uch jedes Vielfche von n ls Normlenvekor dienen. Zu ein und derselben Ebene gib es dher unendlich viele Normlengleichungen. Die Koordinengleichung is bis uf ein Vielfches llerdings eindeuig besimm. Beispiel: Besimmen Sie die Koordinengleichung der Ebene E : x 0 Mn berechne zunächs einen Normlenvekor. 4 n n 6 Für die Normlengleichung der Ebene E gil: n x 0. Somi folg: x x n x x x x 0 x x x x x x x 6 0 E : x x x 6 0 Muliplizier mn diese Gleichung mi, dnn h mn dieselbe Gleichung wie in obigem Beispiel. Es geh ber uch noch ews schneller (dbei läss mn die Normlengleichung einfch us!!) H mn den Normlenvekor n, so folg sofor für die Koordinengleichung: E : x x x c 0 mi einer noch zu besimmenden Konsnen c. Sez mn nun einen Punk der Ebene (z. B. den Süzpunk) in die Koordinengleichung ein, so erhäl mn die Unbeknne c. E : 0 c 0 c 6 Mn erhäl dnn für die Koordinengleichung: E : x x x 6 0 W. Srk; Berufliche Oberschule Freising 5

6 Prmeergleichung und Koordinenform einer Ebene Aufgben: 8. Besimmen Sie eine Gleichung der Ebene durch folgende Punke in der Prmeer-, Normlen- und Koordinenform. A B 4 C 0 0 ),, b) A6, B 0, C Gegeben is die Prmeergleichung einer Ebene. Besimmen Sie die dzugehörige Normlengleichung. 0 0 ) E : x b) E : x c) E : x d) E : x Sellen Sie eine llgemeine Normlengleichung der Ebene E uf. ) E h den Normlenvekor n und geh durch A 0 0 b) E is die xx Ebene. c) E is senkrech zur x Achse und geh durch den Punk A 4. d) E geh durch A 5 e) E is die Symmerieebene zu den Punken und seh senkrech zum Orsvekor von A.. Gegeben sind der Punk A und der Vekor A 5 und B7. 5 n 7. ) Geben Sie die Normlengleichung und die Koordinengleichung der Ebene E n, die den Punk A enhäl und n ls Normlenvekor h. Q R 5 liegen in dieser Ebene? b) Welche der Punke P 0, und c) Besimmen Sie k IR so, dss der Punk S 5 k k in der Ebene E lieg.. Sellen Sie eine llgemeine Normlengleichung für die Ebene E uf, die durch den Punk A 4 geh und ) prllel zur xx Ebene verläuf. b) senkrech zur x Achse verläuf. W. Srk; Berufliche Oberschule Freising 6

7 Prmeergleichung und Koordinenform einer Ebene 7 c) senkrech uf der Gerden g : x seh. 0 4 d) prllel zur der Ebene F: x x x 8 0 verläuf.. Wndeln Sie die Koordinengleichung in eine llgemeine Normlengleichung um. E : x x 5 0 ) b) E : x x8 0 c) E : x x x 8 0 d) F: x 4 0 Beispiel: Besimmen Sie zur Ebene E : x x x 0 eine mögliche Prmeergleichung. Dzu wähl mn sich x, x und lös obige Gleichung nch x uf. Mn erhäl: x Fss mn diese drei Gleichung vekoriell zusmmen, so erhäl mn: x x E : x 0 0 x 0 0 Aufgben: 4. Ermieln Sie ein Prmeergleichung der Ebene E. ) E : x 0 b) 4 E : 5 x E : x x x 5 0 c) d) E : 4x x 6x 6 0 e) E : xx 0 f) E : x 9 0 A 4 5 mi IR. ) Zeigen Sie, dss lle diese Punke A uf einer Gerden g liegen. Besimmen Sie eine Gleichung von g. b) Für welches IR lieg der Punk A in einer Ebene, die prllel zur 5. Gegeben is die Punkschr is und durch den Punk x x Ebene 6. Gegeben is die Ebenenschr eine Ebene der Schr gib, die senkrech uf der x P 0 0 geh. E : x x x 0 mi IR. Prüfen Sie, ob es Achse seh. W. Srk; Berufliche Oberschule Freising 7

8 Prmeergleichung und Koordinenform einer Ebene 6 7. Gegeben is die Gerdenschr h : x 8 mi IR. 7 ) Zeigen Sie, dss lle Gerden der Schr in der Ebene E liegen, die durch die Punke B 4 4 C 5 5 besimm is. A0 0 9, und b) Prüfen Sie, ob die Gerde durch die Punke A und B zur Schr h gehör. c) Welche Bedingung muss erfüll sein, dmi zwei Gerden der Schr zueinnder prllel sind? 8. Gegeben is die Gerdenschr g : x mi IR. ) Begründen Sie, dss lle Schrgerden zueinnder prllel sind. b) Prüfen Sie, ob es eine Schrgerde gib, die durch den Ursprung geh. c) Zeigen Sie, dss lle Schrgerden in einer Ebene E liegen. Geben Sie eine Gleichung dieser Ebene in Koordinenform n. 9. Gegeben sind die Gerden h : x 5 0 und g : x mi IR. ) Zeigen Sie, dss lle Gerden der Schr g in einer Ebene liegen. Geben Sie eine Normlengleichung dieser Ebene E n. b) Zeigen Sie, dss uch die Gerde h in der Ebene E lieg. c) Prüfen Sie, ob es eine Gerde der Schr g gib, die zu h prllel is. d) Prüfen Sie, ob die Gerde h zur Schr g gehör. 0. Gegeben is die Ebenenschr E : x x x 8 0 mi IR. ) Prüfen Sie, ob die Punke P 7 9 und Q 8 zu Ebenen der Schr gehören. b) Prüfen Sie, ob es Ebenen der Schr gib, die ufeinnder senkrech sehen. Welcher Zusmmenhng beseh gegebenenflls zwischen den zugehörigen Prmeerweren? E W. Srk; Berufliche Oberschule Freising 8

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