Passiver Bandpass (RLC-Schaltung). Berechnung der komplexen Übertragungsfunktion mit zwei Methoden: mit komplexer Rechnung und mit FFT

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1 R. Kessler, C:\ro\Si5\Andy\komptep\Bandpass_FFT_2.doc, S. 1/1 Passiver Bandpass (RLC-Schaltung). Berechnung der komplexen Übertragungsfunktion mit zwei Methoden: mit komplexer Rechnung und mit FFT Bandpass aus 1 T-Glied: Z1= R1+ L1+RL1+ C1, Y1= Ck parallel (Lk+RLk) Z2= L2+RL2+ C2m, Y2= RA Vgl Schaltung Nr 3.17 auf Homepage: Der vorliegende Text berechnet die komplexe Übertragungsfunktion Ausgang zu Eingang nach zwei verschiedenen Methoden: Zunächst mit der direkten Methode der komplexen Wechselstrom-Rechnung. Dann mit Hilfe von der numerischen Fourier-Transformation (FFT): Auf den Eingang wird eine kurzer Impuls gegeben (in Form einer Glockenkurve). Sowohl von der zeitlichen Ausgangsfunktion (Impulsantwort) als auch von der zeitlichen Eingangsfunktion wird die FFT berechnet. Der komplexe Quotient FFT des Ausgangs dividiert durch die FFT des Eingangs wird als gepunktete Kurven gemeinsam aufgetragen mit den Kurven der komplexen Rechnung (durchgezogene Kurven). Dabei Auftragung Betrag und Phase als Funktion der Frequenz und auch als komplexe Ortskurve (Imaginärteil als Funktion des Realteils mit Frequenz als Parameter). Vergleicht man die durchgezogenen Kurven (also die exakte Berechnung mittels komplexer Rechnung) mit den gepunkteten Rechenwerten (FFT-Methode), so erkennt man weitgehende Übereinstimmung beider Berechnungs-Methoden, falls gewisse Voraussetzungen eingehalten werden: Die Zeitdauer tmax muss hinreicheichend lang sein, so dass die Impulsantwort weitgehend auf Null abgeklungen ist. Weiterhin muss der Eingangsimpuls hinreichend kurz sein. (Diese Bedingung wird allerdings im vorliegende Text noch nicht untersucht).

2 R. Kessler, C:\ro\Si5\Andy\komptep\Bandpass_FFT_2.doc, S. 2/2 Zunächst tmax hinreichend groß: Es ergeben sich nur wenig Unterschiede der durchgezogenen Kurven (komplexe Methode) verglichen mit den gepunkteten Kurven (FFT-Methode) bild=1,r1=.15,l1=1,rl1=,c1=1,lk=.2,rlk=,ck=5,l2=1,rl2=,c2=1,fak=1.1 u/1.8 uap sec bild=1,r1=.15,l1=1,rl1=,c1=1,lk=.2,rlk=,ck=5,l2=1,rl2=,c2=1,fak=1.6 abs(u2).5 Winkel(u2) omega, FFT-Methode gepunktet komplexe Ortskurve, FFT-Methode gepunktet

3 R. Kessler, C:\ro\Si5\Andy\komptep\Bandpass_FFT_2.doc, S. 3/3 Anschließend tmax kleiner : Die Amplituden-Kurven (schwarz) sind noch ziemlich gleich, aber in den Phasenkurven (rot) deutliche Fehler sichtbar. In der Ortskurve sind allerdings noch keine Unterschiede erkennbar, erst beim Zoomen der Ortskurve in der Nähe des Nullpunktes sieht man die Unterschiede. bild=5,r1=.15,l1=1,rl1=,c1=1,lk=.2,rlk=,ck=5,l2=1,rl2=,c2=1,fak=1.1 u/1 uap BaPa1T14(.15,1, 1,,.2,, 5, 1, 1,, 1,.1, 3,.1,15,1, 5 ); sec 1 15 bild=5,r1=.15,l1=1,rl1=,c1=1,lk=.2,rlk=,ck=5,l2=1,rl2=,c2=1,fak=1.6 abs(u2) Winkel(u2).4 BaPa1T14(.15,1, 1,,.2,, 5, 1, 1,, 1,.1, 3,.1,15,1, 5 );.2 Da tmax(=15) zu klein, starker Phasenfehler, allerdings in einem Bereich, wo die Amplitude schon sehr klein ist omega, FFT-Methode gepunktet.4.2 Hier ist der Physenfehler nicht sichtbar, denn er ist nur bei sehr kleinen Amplituden vorhanden BaPa1T14(.15,1, 1,,.2,, 5, 1, 1,, 1,.1, 3,.1,15,1, 5 ); komplexe -.4 Ortskurve, -.2 FFT-Methode.2.4 gepunktet.6

4 R. Kessler, C:\ro\Si5\Andy\komptep\Bandpass_FFT_2.doc, S. 4/4 Anschließend tmax noch kleiner, so dass die Ausgangsfunktion noch nicht genügend abgeklungen ist. Folglich stärkerer Fehler: In der Ortskurve sind jetzt Unterschiede auch ohne Zoomen sichtbar. bild=1,r1=.15,l1=1,rl1=,c1=1,lk=.2,rlk=,ck=5,l2=1,rl2=,c2=1,fak=1.1 u/1 uap tmax nur 1, das ist zu kurz, denn die Schwingung ist noch nicht genügend abgeklungen BaPa1T14(.15,1, 1,,.2,, 5, 1, 1,, 1,.1, 3,.1,11,1, 1 ); sec bild=1,r1=.15,l1=1,rl1=,c1=1,lk=.2,rlk=,ck=5,l2=1,rl2=,c2=1,fak=1.6 abs(u2) Winkel(u2) BaPa1T14(.15,1, 1,,.2,, 5, 1, 1,, 1,.1, 3,.1,11,1, 1 );.4.2 hier tmax nur 11, folglich noch stärkerer Phasenfehler, auch im Bereich, wo Amplituden noch nicht sehr klein omega, FFT-Methode gepunktet.4 BaPa1T14(.15,1, 1,,.2,, 5, 1, 1,, 1,.1, 3,.1,11,1, 1 ); hier tmax nur 11, folglich Phasenfehler und Amplitudenfehler in Ortskurve erkennbar komplexe Ortskurve, FFT-Methode gepunktet function BaPa1T14(R1, C1,L1,RL1, Lk,RLk,Ck, C2,L2,RL2,fak,dw, wmax,dt,tmax,dt,bild ); BaPa1T14(R1, C1,L1,RL1, Lk,RLk,Ck, C2,L2,RL2,fak, dw,wmax,dt,tmax,dt,bild ); BaPa1T14(.15,1, 1,,.2,, 5, 1, 1,, 1,.1, 3,.1,2,1, 1 ); BaPa1T14(1.1, 1, 1,, 1,, 1, 1, 1,, 1,.1, 5,.1,2,1, 5 ); BaPa1T14(.6, 1, 1,,.25,, 4, 1, 1,, 1,.1, 5,.1,2,1, 1 ); BaPa1T14(.35,1, 1,,.1,, 1, 1, 1,, 1,.1, 5,.1,2,1, 1 ); BaPa1T14(.25,1, 1,,.5,, 2, 1, 1,, 1,.1, 3,.1,2,1, 15 );

5 R. Kessler, C:\ro\Si5\Andy\komptep\Bandpass_FFT_2.doc, S. 5/5 BaPa1T14(.5,1, 1,,.2,, 5, 1, 1,, 1,.1, 3,.1,2,1, 25 ); BaPa1T14(.5,1, 1,,.2,, 5, 1, 1,, 1,.1, 3,.1,2,1, 3 );tmaxzuklein BaPa1T14(.5,1, 1,,.2,, 5, 1, 1,, 1,.1, 3,.1,3,1, 35 );tmaxnochzuklein BaPa1T14(.5,1, 1,,.2,, 5, 1, 1,, 1,.1, 3,.1,4,1, 4 );jetztfastok BaPa1T14(.5,1, 1,,.2,, 5, 1, 1,, 1,.1, 3,.1,4,1, 45 ); BaPa1T14(.6, 1, 1,,.25,, 4, 1, 1,, 1,.1, 5,.1,2, 5 ); BaPa1T14(.35,1, 1,,.1,, 1, 1, 1,, 1,.1, 5,.1,2, 1 ); Datei BaPa1T1.m BaPa1T1(R1, C1,L1,RL1, Lk,RLk,Ck, C2,L2,RL2,fak, dw,wmax,bild ); BaPa1T1(.25,1, 1,,.5,, 2, 1, 1,, 1,.1, 3, 5 ); R1=.25; C1=1;L1=1;RL1=;Lk=.5;RLk=;Ck=2; C2=1;L2=1;RL2=;fak=1; dw=.1;wmax=3; bild=1; dt=.1; tmax=5; tmax=2; Auch Zeitbereich Bandpass aus 1 T-Glied: Z1= R1+ L1+RL1+ C1 Y1= Ck parallel (Lk+RLk) Z2= L2+RL2+ C2 Y2= RA format compact; w=1e-5:dw:wmax; Vektor Kreisfrequenz w s = j * w; j = Wurzel aus (-1), s= "DiffenrentialOperator" Definition der Schaltung der 2-gliedrigen Kette: Z1=R1+RL1 + s*l1 +1./(s*C1); 1. LängsImpedanz Y1= s*ck+ 1./( RLk+ s*lk ); 1. QuerLeitWert Z2= s*l2 + RL2 +1./( s*c2); 1. LängsImpedanz Y2= 1/(fak*R1); 2. QuerLeitWert Y1p = Y1+ 1./(Z2+ 1./Y2); ErsatzLeitWert parallel zu u1 u1=1./(1+ Z1.* Y1p); u1= Spannung am 1. QuerLeitWert u2=u1./(1+ Z2.* Y2); u2= Spannung am 2. QuerLeitWert S=['bild=',num2str(bild)]; S1=[',R1=',num2str(R1)];S2=[',L1=',num2str(L1)]; S3=[',RL1=',num2str(RL1)]; S4=[',C1=',num2str(C1)];S5=[',Lk=',num2str(Lk)]; S6=[',RLk=',num2str(RLk)];S7=[',Ck=',num2str(Ck)]; S8=[',L2=',num2str(L2)];S9=[',RL2=',num2str(RL2)]; S1=[',C2=',num2str(C2)];S11=[',fak=',num2str(fak)]; Ti=[S,S1,S2,S3,S4, S5,S6,S7,S8,S9,S1,S11]; figure(bild); clf reset; plot(w, abs(u2),'k', w, angle(u2)*18/pi/1,'m'); grid on; Title(Ti); xlabel('omega'); legend('abs(u2)','winkel(u2)'); Ortskurve: figure(bild+1); clf reset; plot(real(u2),imag(u2)); axis equal; grid on; xlabel('real(u2)');ylabel('imag(u2)'); disp(' BaPa1T1(R1, C1,L1,RL1, Lk,RLk,Ck, C2,L2,RL2,fak, dw, wmax, bild '); Jetzt Zeitbereich dt=.1; tmax=2; t=:dt:tmax; Zeitvektor uap=zeros(1,length(t));

6 R. Kessler, C:\ro\Si5\Andy\komptep\Bandpass_FFT_2.doc, S. 6/6 Startwerte: i1=; uc1=; ik=; uck=; i2=; uc2=; t1=5; t2=t1+dt; a=.9; ur= a*(t>t1).*(t2>t); EingangsSpannung Rechteckimpuls u= a* exp(-(t-t1).*(t-t1)/(t2-t1)^2); EingangsSpannung Glockenimpuls u=ur+ug; for k=1:length(t); Plotwerte speichern: uckp(k)=uck; uc1p(k)=uc1; uc2p(k)=uc2; uap(k)=fak*r1*i2; neue Werte berechnen: i1=i1+(u(k) -(R1+RL1)*i1-uC1-uCk)*dt/L1; uc1=uc1+i1*dt/c1; ik=ik+(uck-rl1*ik)*dt/lk; uck=uck+(i1-ik-i2)*dt/ck; i2=i2+(uck-uc2-i2*(rl2+fak*r1))*dt/l2; uc2=uc2+i2*dt/c2; end; for k=1... fftu=fft(u,length(t)); fftuap=fft(uap,length(t)); xfer=fftuap./ fftu; df=1/tmax; freq=:df: df*(length(t)-1); figure(bild+2); clf reset; plot(t,u, t, uap, t,uckp,t,uc1p, t,uc2p); grid on; xlabel('sec'); plot(t,u/1,'m', t, uap,'k'); grid on; xlabel('sec');title(ti); legend('u/1','uap') FuAp=fft(uAp,length(uAp)); Fu=fft(u,length(t)); xfer=fuap./fu; neu figure(bild); hold on; plot(2*pi*freq(1:1),abs(xfer(1:1)),'.k',... 2*pi*freq( 1:1),angle(xfer(1:1))*18/pi/1,'.m'); hold off; figure(bild+1); hold on; plot( real(xfer(1:1)), imag(xfer(1:1)),'.'); FFT-Methode gepunktet disp('bapa1t14(r1,c1,l1,rl1, Lk,RLk,Ck, C2,L2,RL2,fak, dw,wmax,dt,tmax,dt,bild )'); Ende Datei BaPa1T14.m