Grundlagen: Folgen u. endliche Reihen Zinsrechnung Renten-/Investitionsrechnung Tilgungsrechnung Abschreibungen. Finanzmathematik. Fakultät Grundlagen

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1 Finanzmathematik Fakultät Grundlagen September 2011 Fakultät Grundlagen Finanzmathematik

2 Grundlagen: Folgen und endliche Reihen Rentenrechnung Fakultät Grundlagen Finanzmathematik Folie: 2

3 Folgen Reihen Übersicht Grundlagen: Folgen und endliche Reihen Folgen Reihen Artithmetische Folgen Geometrische Folgen Artithmetische Reihen Geometrische Reihen Summenformeln für Reihen Fakultät Grundlagen Finanzmathematik Folie: 3

4 Folgen Reihen Folgen Grundlage vieler Zins-, Renten- und Investitionsrechnungen sind Folgen und Reihen. Zahlenfolge: Folge von Zahlen mit mathematischer Gesetzmäÿigkeit, genauer: Eine Funktion, durch die den natürlichen Zahlen eine reelle Zahl zugeordnet wird, heiÿt Zahlenfolge oder kurz Folge. Man schreibt {a 1, a 2, a 3, a 4,... }. Die a n heiÿen Glieder der Folge. Aufgabe: Schreiben Sie jeweils die ersten 4 Glieder der Folge: 1. a n = 2n a n = 4 3. a n = n 2 4. a n = 20/n Fakultät Grundlagen Finanzmathematik Folie: 4

5 Folgen Reihen Arithmetische Folgen Eine Folge, bei der die Dierenz aufeinanderfolgender Glieder konstant ist a n+1 a n = d (d = const.) nennt man arithmetische Folge (rekursive Darstellung). Dies ist äquivalent zu: a n+1 = a n + d bzw. a n = a 1 + (n 1)d (explizite Darstellung). Aufgabe: Schreiben Sie jeweils die ersten 3 Glieder sowie das 10. und das 100. Glied der arithmetischen Folge: 1. a 1 = 2; d = 2 2. a 1 = 0; d = a 1 = 13; d = 0 4. a 5 = 7, a 7 = 3 a 1 =?; d =? Fakultät Grundlagen Finanzmathematik Folie: 5

6 Folgen Reihen Arithmetische Folgen Aufgabe: Bei einer Abwärtsauktion wird ein Anfangspreis von 100 e alle 7 Sekunden um 80 Cent verringert. Nach welcher Zeit ist die Auktion wieder für Sie interessant, wenn Sie höchstens 60 e ausgeben möchten? Preis nach n Zeitschritten: 100 n 0, 8 Wann ist 100 n 0, 8 < 60? Auösen nach n: n > (100 60)/0, 8 = 40/0, 8 = 50 Nach 50 Zeitschritten bzw. nach 50 mal 7 Sekunden = 350 Sek. = 5 Minuten und 50 Sek. sollten Sie wieder zur Auktion zurückkehren. Bemerkung: Die Auktion dauert 100/0,8 = 125 Zeitschritte, also = 875 Sek. bzw. 14 Min. und 35 Sek. Fakultät Grundlagen Finanzmathematik Folie: 6

7 Folgen Reihen Geometrische Folgen Eine Folge, bei der der Quotient aufeinanderfolgender Glieder konstant ist: a n+1 /a n = q (q = const) bzw. a n+1 = a n q nennt man geometrische Folge (rekursive Darstellung). Somit {a n } = {a 1, a 1 q, a 1 q 2, a 1 q 3,... } bzw. a n = a 1 q n 1 (explizite Darstellung). In dieser Formel stehen vier Gröÿen: a 1, a n, q, n 1. Aufgabe: Schreiben Sie jeweils die ersten 3 Glieder sowie das 8. und das 15. Glied der geometrischen Folge: 1. a 1 = 1; q = 2 2. a 1 = 32; q = 0, 5 3. a 1 = 0, 7; q = 1 4. a 3 = 9, a 5 = 81 a 1 =?; q =? Fakultät Grundlagen Finanzmathematik Folie: 7

8 Folgen Reihen Geometrische Folgen Aufgabe: Bei einer Lebensversicherung mit Dynamisierung steigen Beiträge und Leistung jährlich um 5%. Zu Beginn ist ein Monatsbeitrag von 50 e zu zahlen. Wie hoch ist der Beitrag (ohne evtl. Steueränderungen) nach 20 Jahren? Lösung: a 1 = 50 e q = 1, 05 a 20 = 50 1, = 50 2, 537 = 126, 35 e Fakultät Grundlagen Finanzmathematik Folie: 8

9 Folgen Reihen Reihen Eine Reihe entsteht aus einer Folge durch die Summierung der Glieder. Man unterscheidet endliche und unendliche Reihen. endliche Reihe: Summe von endlich vielen Gliedern einer Zahlenfolge. a 1 + a 2 + a 3 + a a n = n a k = s n k=1 Fakultät Grundlagen Finanzmathematik Folie: 9

10 Folgen Reihen Summer aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen Wie viele Begegnungen gibt es in der Bundesliga (18 Mannschaften) in der Hinrunde der Spielzeit? = 17 k=1 k = 153 Fakultät Grundlagen Finanzmathematik Folie: 10

11 Folgen Reihen Arithmetische Reihe Eine Reihe, die aus Gliedern einer arithmetischen Folge gebildet wird, heiÿt arithmetische Reihe. Wie groÿ ist der Wert einer unendlichen arithmetischen Reihe? Wie lautet die Summe der ersten 50 natürlichen Zahlen? Tipp: Folge in umgekehrter Reihenfolge drunter schreiben... Herleitung der Summe über die ersten n natürlichen Zahlen: c = n + c = n + n c = n n n + 1 = n(n + 1) n(n + 1) 2 = c = Merke: n = n k=1 k = n(n+1) 2 Fakultät Grundlagen Finanzmathematik Folie: 11

12 Folgen Reihen Arithmetische Reihe: Summenformel Allgemein gilt für eine arithmetische Reihe: n a k = a a n k=1 = a 1 + (a 1 + d) + (a 1 + 2d) + + (a 1 + (n 1)d) = na 1 + d ( n 1) } {{ } =:c mit c = (n 1)n 2. Also: n k=1 a k = na 1 + d (n 1)n 2 = n 2 [a 1 + a n ] Fakultät Grundlagen Finanzmathematik Folie: 12

13 Folgen Reihen Geometrische Reihe Eine Reihe, die aus Gliedern einer geometrischen Folge gebildet wird, heiÿt geometrische Reihe. Gesucht: Summenformel der geometrischen Reihe s n = n k=1 a k = a 1 + a 1 q + a 1 q a 1 q n 1 Trick: s n = a 1 + a 1 q + + a 1 q n 1 qs n = a 1 q + + a 1 q n 1 + a 1 q n s n (1 q) = a 1 a 1 q n = a 1 (1 q n ) 1 q s n = a n = 1 1 q a q n 1 1 q 1 Merke: 1 + q + q q n 1 = 1 qn 1 q = qn 1 q 1 Fakultät Grundlagen Finanzmathematik Folie: 13

14 Folgen Reihen Geometrische Reihe; Beispiel Aufgabe: Es sollen Einheiten eines Produktes hergestellt werden. Die Kapazität beträgt zu Beginn 50 Einheiten pro Tag (5 Tage/Woche). Im Laufe der Produktion kann die Kapazität pro Woche um etwa 10% erhöht werden. Nach wie vielen Wochen ist der Auftrag erfüllt? Geometrische Reihe a 1 = 250 q = 1, 1 Summe = Gesucht: n Hinweis: ln(q n ) = n ln q Ergebnis: 23 Wochen Fakultät Grundlagen Finanzmathematik Folie: 14

15 Folgen Reihen Zusammenfassung Folge: Funktion, die nur für natürliche Zahlen deniert ist Reihe: Summe von Folgengliedern s n = a 1 + a a n arithmetische geometrische Folge a n = a n 1 + d a n = a n 1 q a n = a 1 + (n 1)d a n = a 1 q n 1 Reihe s n = a 1 + (a 1 + d) s n = a 1 + a 1 q + a 1 q (a 1 + (n 1)d) + + a 1 q n 1 (n 1)n = a n 1 1 = na 1 + d 2 1 q 1 q q 1 q 1 = n(a a n ) Spezial- s n = n s n = 1 + q + q q n 1 fall = n(n+1) = 1 qn = qn q q 1 Fakultät Grundlagen Finanzmathematik Folie: 15

16 Folgen Reihen Übungen 1. Berechne die Summe aller dreistelligen natürlichen Zahlen, die durch 13 teilbar sind. 2. In einem Kino hat die erste Sitzreihe 10 Plätze, die zweite 12, die dritte 14 usw., d. h. jede nachfolgende Reihe hat zwei Plätze mehr als die vorangegangene. 2.1 Wie viele Sitzplätze hat das Kino, falls 15 Sitzreihen aufgebaut sind? 2.2 Wie viele Reihen muss das Kino haben, wenn mindestens 250 Besucher Platz nden sollen? 3. Ination: Wie lange dauert es, bis sich der Preis für eine Ware bei einer angenommenen Inationsrate von 2% p.a. verdoppelt hat? Wie lange bei 1% bzw. 3%? 4. Preissteigerung: ein Liter Benzin kostet heute 1,30 e, vor 20 Jahren kostete er 50 Pfennig (umgerechnet 0, 5/1, = 26 Cent). Wie hoch war die jährliche Preissteigerung beim Benzin in diesem Zeitraum? Fakultät Grundlagen Finanzmathematik Folie: 16

17 Jährliche Verzinsung Bewertung von Zahlungsströmen Unterjährige Verzinsung/Eektiver Jahreszins Stetige Verzinsung Monatliche Abrechnung Überblick: Einperiodige Verzinsung (jährliche Verzinsung) Unterjährige Verzinsung Stetige Verzinsung Monatliche Einzahlungen Fakultät Grundlagen Finanzmathematik Folie: 17

18 Jährliche Verzinsung Bewertung von Zahlungsströmen Unterjährige Verzinsung/Eektiver Jahreszins Stetige Verzinsung Monatliche Abrechnung Zinsen sind das Entgelt für leihweise überlassenes Kapital. Vorschüssige Zinsen sind Zinsen, die zu Beginn, nachschüssige Zinsen sind Zinsen, die am Ende einer Periode fällig werden. Bezeichnungen: p: Zinssatz (z. B. p=0,04 oder p=4%) q: Zinsfaktor (q = 1 + p) K 0 : Kapital zu Beginn der Laufzeit K n : Kapital am Ende der n-ten Periode Fakultät Grundlagen Finanzmathematik Folie: 18

19 Jährliche Verzinsung Bewertung von Zahlungsströmen Unterjährige Verzinsung/Eektiver Jahreszins Stetige Verzinsung Monatliche Abrechnung Jährliche Verzinsung Statt zunächst Zinsen zu berechnen und diese dann dem Kapital zuzuschlagen, lässt sich mit Hilfe des Zinsfaktors q das Endkapital in einem Rechenschritt aus dem Anfangskapital und dem Zinssatz berechnen. Beispiel (einperiodig): K 0 = 4.300, p = 10%; q =?; K 1 =? Nachschüssige Verzinsung eines Kapitals K mit Zinseszins: Zu Beginn: K 0 Nach 1 Jahr: K 0 + K 0 p = K 0 (1 + p) = K 0 q = K 1 Nach 2 Jahren: K 0 q + K 0 qp = K 0 q(1 + p) = K 0 q 2 = K 2. nach n Jahren: K n = K 0 q n Fakultät Grundlagen Finanzmathematik Folie: 19

20 Jährliche Verzinsung Bewertung von Zahlungsströmen Unterjährige Verzinsung/Eektiver Jahreszins Stetige Verzinsung Monatliche Abrechnung Jährliche Verzinsung: Barwert In diesem Zusammenhang treten weitere Fragen auf: Barwert (Jetztwert) einer künftigen Zahlung z. B. abgezinste Rentenpapiere, Zero-Bonds Beispiel Sparkassenbrief: Laufzeit: 5 Jahre Zinssatz: 7% Nach 5 Jahren werden e zurückgezahlt. Was kostet der Sparkassenbrief heute? Wert in 5 Jahren: = K 0 (1, 07) 5 = K 0 = (1,07) 5 = 7.129, 86 e Allgemein: K 0 = K n ( 1q ) n = Kn v n mit 1 q = v Fakultät Grundlagen Finanzmathematik Folie: 20

21 Jährliche Verzinsung Bewertung von Zahlungsströmen Unterjährige Verzinsung/Eektiver Jahreszins Stetige Verzinsung Monatliche Abrechnung Jährliche Verzinsung Aufgabe: Sie möchten für eine Weltreise Geld aus einem Lottogewinn zurücklegen. Die Reise soll erst in fünf Jahren angetreten werden und wird etwa e kosten. Wie viel Geld müssen Sie in einen Sparbrief, der mit 4% p. a. verzinst wird, heute einzahlen, um in 5 Jahren genug Geld für die Reise übrig zu haben? Wert in 5 Jahren: K 0 (1, 04) 5 = Barwert: K 0 = = 4.931, 56 e. (1,04) 5 Fakultät Grundlagen Finanzmathematik Folie: 21

22 Jährliche Verzinsung Bewertung von Zahlungsströmen Unterjährige Verzinsung/Eektiver Jahreszins Stetige Verzinsung Monatliche Abrechnung Jährliche Verzinsung: Zinssatz Berechnung des Zinssatzes aus Laufzeit, Anfangs- und Endkapital K n = K 0 q n q n = Kn K 0 q = (1 + p) = n K n K 0 = p = n K n K 0 1 Beispiel: n = 6, K 0 = e, K 6 = e q = 6 1, 5 = 1, 0699 = p = 0, , 99%. Fakultät Grundlagen Finanzmathematik Folie: 22

23 Jährliche Verzinsung Bewertung von Zahlungsströmen Unterjährige Verzinsung/Eektiver Jahreszins Stetige Verzinsung Monatliche Abrechnung Jährliche Verzinsung: Zinssatz Aufgabe: Bei einem Zinssatz von 16% kauft ein Spekulant Wertpapiere mit zehnjähriger Laufzeit zum abgezinsten Kurs. Nach 3 Jahren ist der Zinssatz auf 12% gefallen. Welche Jahresverzinsung seines eingesetzten Kapitals erzielt er beim Verkauf seiner Wertpapiere nach 3 Jahren zum Marktwert? Fakultät Grundlagen Finanzmathematik Folie: 23

24 Jährliche Verzinsung Bewertung von Zahlungsströmen Unterjährige Verzinsung/Eektiver Jahreszins Stetige Verzinsung Monatliche Abrechnung Jährliche Verzinsung: Zinssatz Kaufpreis bzw. Marktwert sind Barwerte der Zahlung K, die am Ende der Laufzeit fällig wird bezogen auf den entsprechenden Zeitpunkt und abgezinst mit dem dann gültigen Zins. Kaufpreis: K P = K 1,16 10 (Wert zum Zeitpunkt t = 0) Verkaufspreis: K V = K 1,12 7 (Wert zum Zeitpunkt t = 3) Rendite in diesen drei Jahren: (Vergleiche K P und K V ) K P q 3 = K V bzw. K q 1, = K q = 3 1,16 10 = 1, 2590 oder 25,9% 1,12 7 1,12 7 Fakultät Grundlagen Finanzmathematik Folie: 24

25 Jährliche Verzinsung Bewertung von Zahlungsströmen Unterjährige Verzinsung/Eektiver Jahreszins Stetige Verzinsung Monatliche Abrechnung Jährliche Verzinsung: Laufzeit Berechnung der Laufzeit K n = K 0 q n q n = Kn K 0 n ln q = ln Kn K 0 = ln K n log K 0 = n = ln K n ln K 0 ln q Beispiel: Wann tritt bei einem Zinssatz von 7% eine Verdopplung des Kapitals ein? 2 = n n = ln 2 = d. h. im 11. Jahr ln 1.07 Fakultät Grundlagen Finanzmathematik Folie: 25

26 Jährliche Verzinsung Bewertung von Zahlungsströmen Unterjährige Verzinsung/Eektiver Jahreszins Stetige Verzinsung Monatliche Abrechnung Mehrere Zahlungen Welchen Wert haben mehrere Zahlungen, die zu verschiedenen Zeitpunkten fällig werden (Zahlungsstrom)? Jede Zahlung kann für sich betrachtet und bewertet werden Die Ergebnisse werden addiert Ein-/Auszahlungen werden mit unterschiedlichen Vorzeichen belegt (kommt auf den Betrachter an) Wichtig: alle Zahlungen auf den gleichen Zeitpunkt beziehen (Barwert/Endwert/etc.) Fakultät Grundlagen Finanzmathematik Folie: 26

27 Jährliche Verzinsung Bewertung von Zahlungsströmen Unterjährige Verzinsung/Eektiver Jahreszins Stetige Verzinsung Monatliche Abrechnung Mehrere Zahlungen: Aufgabe (I) Ein Freund möchten mit Ihnen tauschen. Sie geben ihm heute Geld und bekommen in einem Jahr e und in zwei Jahren e. 1. Wie viel sind diese Zahlungen heute Wert (wie viel würden Sie Ihrem Freund heute dafür geben)? 2. Sie bekommen die Zahlungen (in einem Jahr e, in zwei Jahren e), müssen Ihrem Freund jedoch die Gegenleistung erst in drei Jahren bezahlen. Wie viel sind diese Zahlungen in drei Jahren Wert? Der Zinssatz sei 10%. Fakultät Grundlagen Finanzmathematik Folie: 27

28 Jährliche Verzinsung Bewertung von Zahlungsströmen Unterjährige Verzinsung/Eektiver Jahreszins Stetige Verzinsung Monatliche Abrechnung Mehrere Zahlungen: Aufgabe (II) Wert von e zu t = 1 und e zu t = 2 zum Zeitpunkt t = 0 (heute) und zu t = 3? 1. Barwert der Zahlungen: B = , , 1 2 = 909, , 89 = 2.561, Endwert der Zahlungen zum Zeitpunkt t = 3: E = , , 1 = = Wir sagen, die Zahlungen B heute, E in drei Jahren und der Zahlungsstrom e in einem Jahr und e in zwei Jahren sind äquivalent (gleichwertig). Fakultät Grundlagen Finanzmathematik Folie: 28

29 Jährliche Verzinsung Bewertung von Zahlungsströmen Unterjährige Verzinsung/Eektiver Jahreszins Stetige Verzinsung Monatliche Abrechnung Unterjährige Verzinsung Hierbei werden die Zinsen nicht jährlich berechnet, sondern in vorher festgelegten Zeitabständen (z. B. Quartale, Monate). Die (nominellen) jährlichen Zinsen werden auf die einzelnen Zinsperioden aufgeteilt. nominell p% Zins, m Zinsperioden pro Jahr Verzinsung p/m% pro Periode Bsp.: p = 12%, mtl. Verzinsung m = 12; Zins: 1%/Monat. Nominalzins ist der für einen Kredit oder ein Guthaben vereinbarte oder bezahlte Zinssatz. Fakultät Grundlagen Finanzmathematik Folie: 29

30 Jährliche Verzinsung Bewertung von Zahlungsströmen Unterjährige Verzinsung/Eektiver Jahreszins Stetige Verzinsung Monatliche Abrechnung Unterjährige Verzinsung Rechnen mit unterjähriger Verzinsung: ( ) 1 Jahr Laufzeit: K 1 = K p m ( m n Jahre Laufzeit: K n = K p mn m), wobei p = Zinssatz im kurzen Intervall, m mn = Anzahl kurze Intervalle (Verzinsungsperioden) Beispiel: Was sind 100 e nach einem, zwei bzw. drei Jahren bei mtl. Verzinsung und einem nominellen Zinssatz von 6% wert? Was bei jährlicher Verzinsung? Monatlicher Zins: 0,5% = 0,005 Nach einem Jahr: 100(1 + 0, 005) 12 = 100 1, = 106,17 e (gegenüber 106,00 e bei jährlicher Verzinsung). Nach zwei Jahren: 100 1, = 112,72 e (112,36 e) Nach drei Jahren: 100 1, = 119,67 e (119,10 e) Fakultät Grundlagen Finanzmathematik Folie: 30

31 Jährliche Verzinsung Bewertung von Zahlungsströmen Unterjährige Verzinsung/Eektiver Jahreszins Stetige Verzinsung Monatliche Abrechnung Eektiver Jahreszins Um unterjährige Verzinsungen sinnvoll vergleichen zu können, rechnet man aus, wie hoch der Zinssatz bei jährlicher Verzinsung sein müsste, um zum gleichen Endkapital zu führen. Dieser Zinssatz p ist der eektive Jahreszins. Wie hoch müsste der Jahreszins p sein, damit dasselbe Endkapital erreicht wird, wie bei unterjähriger Verzinsung? ( K p ) mn = K0 (1 + p ) n ( m 1 + p ) m = 1 + p ( m p = 1 + p ) m 1 m Fakultät Grundlagen Finanzmathematik Folie: 31

32 Jährliche Verzinsung Bewertung von Zahlungsströmen Unterjährige Verzinsung/Eektiver Jahreszins Stetige Verzinsung Monatliche Abrechnung Eektiver Jahreszins Eektivzins p = ( 1 + p m) m 1 (p: nomineller Zinssatz) Beispiele: p = 9% monatlich m = 12; p/m = 0, 75% pro Monat, p = 1, = 1, , 38% Eektivzins p = 12% quartalsweise m = 4; p/m = 3% pro Quartal, p = 1, = 1, , 55% Eektivzins p = 12% monatlich m = 12; p/m = 1% pro Monat, p = 1, = 1, , 68% Eektivzins Fakultät Grundlagen Finanzmathematik Folie: 32

33 Jährliche Verzinsung Bewertung von Zahlungsströmen Unterjährige Verzinsung/Eektiver Jahreszins Stetige Verzinsung Monatliche Abrechnung Stetige Verzinsung Unterjährige Verzinsung ist günstiger der unterm Jahr gezahlte Zins bringt wieder Zinsen (Zinseszinseekt). Frage: wächst durch weitere Unterteilung der Verzinsungsräume der Gesamtzins unbeschränkt oder strebt er einem Grenzwert zu? Die Zinsintervalle werden dabei unendlich klein. ( K0 ( 1 + p m K 1 = lim m Für n Jahre erhält man: K n = lim m ) m ) = K0 e p (K 0 ( 1 + p m ) nm ) = K 0 e p n Fakultät Grundlagen Finanzmathematik Folie: 33

34 Jährliche Verzinsung Bewertung von Zahlungsströmen Unterjährige Verzinsung/Eektiver Jahreszins Stetige Verzinsung Monatliche Abrechnung Monatliche Abrechnung bei jährlicher Zinsgutschrift Zurück zu jährlicher Verzinsung: Kapital K wird nach einem Jahr zu K(1 + p) mit Zinssatz p. Was ist, wenn das Kapital kein ganzes Jahr angelegt wird, sondern vorher abgehoben wird? Der Zins wird nur zu einem Bruchteil gutgeschrieben. Anlage von K für: Zins: 1 ganzes Jahr Kp 1 1/2 Jahr = 6 Monate Monat Monate 12 m m Monate 12 Kp Fakultät Grundlagen Finanzmathematik Folie: 34

35 Jährliche Verzinsung Bewertung von Zahlungsströmen Unterjährige Verzinsung/Eektiver Jahreszins Stetige Verzinsung Monatliche Abrechnung Monatliche Einzahlung mit jährlicher Zinsgutschrift Es werden n Jahre lang monatliche Zahlungen der Höhe M geleistet. Welchen Wert hat dieses Sparbuch am Ende, wenn der Zins jährlich gutgeschrieben wird? Zinsen im 1. Jahr: 1. Zahlung 12 wird Monate verzinst, 2. Zahlung 11 Monate,..., letzte Zahlung 1 Monat Z = Mp Mp + Mp Mp 1 12 = M p ( ) (arithmetische Reihe) 12 = M p = M 6, 5p 12 2 Fakultät Grundlagen Finanzmathematik Folie: 35

36 Jährliche Verzinsung Bewertung von Zahlungsströmen Unterjährige Verzinsung/Eektiver Jahreszins Stetige Verzinsung Monatliche Abrechnung Monatliche Einzahlung mit jährlicher Zinsgutschrift Mit q = 1 + p gilt dann für das Kapital am Ende des n-ten Jahres: 1. Jahr: K 1 = Einzahlung + Zinsen = 12M + 6, 5Mp = M(12 + 6, 5p) 2. Jahr: K 2 = K }{{} 1 + K 1 q = K }{{} 1 (1 + q) ( ) ( ) 3. Jahr: K 3 = K 1 + K 2 q = K 1 (1 + q + q 2 ). n. Jahr: K n = K 1 (1 + q + + q n 1 ) = K 1 q n 1 q 1 (*) Einzahlungen und Zinsen im 2. Jahr (genauso wie im 1. J.) (**) Verzinsung des Kapitals aus dem 1. Jahr = K n = M(12 + 6, 5p) qn 1 q 1 (K 1 ersetzt durch M(12 + 6, 5p)) Fakultät Grundlagen Finanzmathematik Folie: 36

37 Jährliche Verzinsung Bewertung von Zahlungsströmen Unterjährige Verzinsung/Eektiver Jahreszins Stetige Verzinsung Monatliche Abrechnung Zusammenfassung Jährliche Verzinsung: K n = K 0 q n = K 0 (1 + p) n Zinsatz: p = n K n K 0 1 Laufzeit: n = ln K n ln K 0 ln q Barwert: K 0 = K n 1 q n = K n v n = K n 1 (1 + p) n Unterjährige Verzinsung: K n = K 0 ( ) 1 + p nm m eektiver Jahreszins: ( 1 + p m) m = (1 + p ) Monatliche Einzahlungen der Höhe M bei jährlicher Verzinsung: K n = M(12 + 6, 5p) qn 1 q 1 Fakultät Grundlagen Finanzmathematik Folie: 37

38 Regelmäÿige Zahlungen Rentenrechnung Investitionsrechnung Konstante Einzahlungen: Sparbuch n Einzahlungen in gleicher Höhe E0 E1 E2 3 n E 1 n Einzahlung am Jahresbeginn (JB) 0 E E E E Einzahlung am Jahresende (JE) Jahr Einzahlung Anzahl Jahre, Wert der Rate JB JE mit Verzinsung nach n Jahren 1 E E n n 1 Eq n Eq n 1 2 E E n 1 n 2 Eq n 1 Eq n 2 3 E E n 2 n 3 Eq n 2 Eq n n E E 1 0 Eq E Fakultät Grundlagen Finanzmathematik Folie: 38

39 Regelmäÿige Zahlungen Rentenrechnung Investitionsrechnung Konstante Einzahlungen: Sparbuch (Forts.) Kontostand nach n Jahren: (geometrische Reihen) vorschüssige Zahlungen: K n = Eq + Eq Eq n = E q (1 + q + + q n 1 ) = K n = E q qn 1 q 1 nachschüssige Zahlungen: ˆK n = E + Eq + Eq Eq n 1 = E (1 + q + + q n 1 ) = ˆKn = E qn 1 q 1 Fakultät Grundlagen Finanzmathematik Folie: 39

40 Regelmäÿige Zahlungen Rentenrechnung Investitionsrechnung Konstante Einzahlungen: Sparbuch (Forts.) Sie möchten für eine Anschaung von K n e regelmäÿig E e jährlich zurücklegen. Wie lange müssen Sie sparen? (Frage nach der Laufzeit n) Es gilt: K n = E q qn 1 q 1 (vorschüssige Einzahlungen) K n Eq (q 1) = (qn 1) q n = 1 + (q 1) K n Eq ( ( ) n log q = log 1 + (q 1) K n Eq log = n = 1 + (q 1) Kn Eq log q ) Fakultät Grundlagen Finanzmathematik Folie: 40

41 Regelmäÿige Zahlungen Rentenrechnung Investitionsrechnung Konstante Einzahlungen: Sparbuch (Forts.) Sie möchten für eine Anschaung von K n e n Jahre sparen. Für Ihre Spareinlage erhalten Sie einen konstanten Zins von p%. Wie viel müssen Sie jedes Jahr zurücklegen, wenn Sie regelmäÿig sparen? (Frage nach der Einzahlung E) Es gilt: K n = E q qn 1 q 1 (vorschüssige Einzahlungen) mit q = 1 + p. = E = K n(q 1) q(q n 1) Fakultät Grundlagen Finanzmathematik Folie: 41

42 Regelmäÿige Zahlungen Rentenrechnung Investitionsrechnung Aufgabe Aufgabe: Wie viel Euro muss man 30 Jahre lang jeweils am Jahresanfang einzahlen, damit bei einem Zinssatz von 6% am Ende des 30. Jahres e als Gesamtbetrag zur Verfügung stehen? = R q qn 1 q 1 1 R = , 06 1, = 1.193, 29 1, 06 1 Fakultät Grundlagen Finanzmathematik Folie: 42

43 Regelmäÿige Zahlungen Rentenrechnung Investitionsrechnung Rentenrechnung Unter einer Rente versteht man in der Finanzmathematik gleich bleibende Zahlungen, die regelmäÿig geleistet werden. Man unterscheidet vorschüssige und nachschüssige Renten. Eine Rente kann als Sparvertrag mit vertauschten Rollen interpretiert werden. Wie viel eine Rente wert ist, ermittelt man mit Hilfe des Rentenendwertes (auf das Ende aufgezinster rechnerischer Wert der Zahlungen) oder des Rentenbarwertes (auf den Beginn abgezinster rechnerischer Wert der Zahlungen). Fakultät Grundlagen Finanzmathematik Folie: 43

44 Regelmäÿige Zahlungen Rentenrechnung Investitionsrechnung Rentenendwert/Rentenbarwert Rentenendwert einer Rente der Höhe E, die n Jahre gezahlt wird: vorschüssig K n = Eq n + Eq n Eq 2 + Eq = E q 1 1 qn q nachschüssig Kn = Eq n 1 + Eq n Eq + E = E 1 1 qn q Der Rentenbarwert errechnet sich aus dem Rentenendwert durch Division mit dem Abzinsungsfaktor q n. vorschüssig K 0 = 1 q n E q 1 1 qn q = E 1 q n q n 1 (1 q) nachschüssig K0 = 1 q n E 1 1 qn q = E 1 q n q n (1 q) Die Umstellungen obiger Formeln nach n, E, etc. gelten analog! Fakultät Grundlagen Finanzmathematik Folie: 44

45 Regelmäÿige Zahlungen Rentenrechnung Investitionsrechnung Zusammenfassung: Rentenrechnung Jede Folge von Zahlungen, die regelmäÿig und in konstanter Höhe gezahlt werden, heiÿt in der Finanzmathematik Rente. Dies können sowohl Einzahlungen (Sparen) als auch Auszahlungen sein (z. B. Zinsen eines Rentenpapiers). Den Wert einer Rente berechnet man, indem man die Zahlungen auf einen Zeitpunkt aufzinst (Endwert) oder abzinst (Barwert) je nachdem, zu welchem Zeitpunkt man den Wert bestimmen möchte. Dabei wird jede Zahlung einzeln betrachtet und über die Endbzw. Barwerte der einzelnen Zahlungen summiert (ergibt geometrische Reihe). Fakultät Grundlagen Finanzmathematik Folie: 45

46 Regelmäÿige Zahlungen Rentenrechnung Investitionsrechnung Investitionsrechnung (Die Investitionsrechnung ist ein Spezialfall der Rentenrechnung) Investitionen sind dadurch gekennzeichnet, dass zu Beginn ein Betrag investiert wird, der in der Folge zu Gewinnen (oder Verlusten) führt. J : vorhandene Summe zum Investieren R k : Rückuss (Gewinn) durch die Investition im k-ten Jahr Für J gibt es zwei Möglichkeiten: lege J für n Jahre (auf einem Sparbuch) an oder investiere J in das Projekt. Der Wert des Projekts ist die Summe der Rücküsse R i, einschlieÿlich Verzinsung (nicht benötigtes Geld wird auf einem Sparbuch angelegt). Investitionsentscheidung: Was ist günstiger? Fakultät Grundlagen Finanzmathematik Folie: 46

47 Regelmäÿige Zahlungen Rentenrechnung Investitionsrechnung Investitionsrechnung II Annahme: konstanter Zinssatz. Dann gilt für die beiden Alternativen bezogen auf das Ende des Zeitraums: K = Jq n ˆR = R1 q n 1 + R 2 q n R n 1 q + R n Fazit: Die Investition ist lohnend, falls die Anlage auf einem Sparbuch weniger bringt als die Investition in das Projekt, also K < ˆR Falls die Rücküsse konstant sind, kann man diese wie eine Rente behandeln und ˆR berechnen. ˆR = Rq n 1 + Rq n Rq + R = R(1 + q + q q n 1 ) = R qn 1 q 1 Fakultät Grundlagen Finanzmathematik Folie: 47

48 Regelmäÿige Zahlungen Rentenrechnung Investitionsrechnung Investitionsrechnung: Aufgabe Eine Investition J in Höhe von 1 Mio. e erbringe in den ersten 5 Jahren nach der Investition einen Überschuss von jährlich e jeweils zum Jahresende. Wie hoch muss in den nächsten 5 Jahren der konstante jährliche Überschuss E mindestens sein, damit die Investition bei einem Zinssatz von 8% lohnend ist? Vergleiche die Endwerte: Endwert bei einer Anlage des Geldes auf einem Sparkonto: , = e Fakultät Grundlagen Finanzmathematik Folie: 48

49 Regelmäÿige Zahlungen Rentenrechnung Investitionsrechnung Investitionsrechnung: Lösung Beitrag der ersten fünf Jahre bezogen auf das Ende des Investitionszeitraums (nach 10 Jahren): R 1 = , , , 085 = , 23 e. Für die zweite Hälfte muss jährlich R erwirtschaftet werden. Endwert der Zahlungen der Jahre 6 bis 10 der Höhe R: R 2 = R Vergleich der Endwerte: , = R 1 + R R 1 = R = R = , 49 e. Fakultät Grundlagen Finanzmathematik Folie: 49

50 Ratentilgung Annuitätentilgung Die ist ein Sonderfall der Rentenrechnung, bei der ein Kredit aufgenommen und dieser später in einem oder (meistens) mehreren Teilbeträgen zurückgezahlt wird, wobei zusätzlich Zinszahlungen zu leisten sind. Man unterscheidet Ratentilgung und Annuitätentilgung. Fakultät Grundlagen Finanzmathematik Folie: 50

51 Ratentilgung Annuitätentilgung Ratentilgung Bei der Ratentilgung wird die Kreditsumme in gleichen Raten (konstante Tilgung) getilgt; die Zinskosten fallen zusätzlich an. Beispiel: Ein Kredit über 400 T e wird innerhalb von 8 Jahren zurückgezahlt. Am Ende jedes Jahres sind 10% Zinsen fällig. Stellen Sie den Tilgungsplan auf. Jahr Tilgung Zins Gesamtzahlung Restschuld 1... Fakultät Grundlagen Finanzmathematik Folie: 51

52 Ratentilgung Annuitätentilgung Ratentilgung Tilgung: konstant 400 T e/8 Jahre = 50 T e pro Jahr. Jahr Tilgung Zins Gesamtzahlung Restschuld T e 1 50 T e 40 T e 90 T e 350 T e 2 50 T e 35 T e 85 T e 300 T e 3 50 T e 30 T e 80 T e 250 T e 4 50 T e 25 T e 75 T e 200 T e 5 50 T e 20 T e 70 T e 150 T e 6 50 T e 15 T e 65 T e 100 T e 7 50 T e 10 T e 60 T e 50 T e 8 50 T e 5 T e 55 T e 0 e Fakultät Grundlagen Finanzmathematik Folie: 52

53 Ratentilgung Annuitätentilgung Ratentilgung (allgemein) Allgemein gilt mit Darlehenshöhe: S e; Zinssatz: p; Laufzeit: N Jahre = feste Tilgungsrate: S e N Tilgungsplan: Jahr Tilgung Zins Restschuld 0 S S 1 Sp S S N N S 2 (S S N N )p S 2 S N.... S N N (S (N 1) S N )p S N S = 0 N Fakultät Grundlagen Finanzmathematik Folie: 53

54 Ratentilgung Annuitätentilgung Ratentilgung (allgemein) Berechnung der insgesamt gezahlten Zinsen: Zinsfolge: a 1 = Sp ; d = S p (arithm. Folge) N ( Z = Sp + S S ) ( p + + S (N 1) S ) p N N } {{ } = N Sp S N N Summanden p (N 1)N 2 = Sp 2N 2 N 2 + N 2N = Sp = Sp N ( N (N 2 N 2N Erinnerung: Arithmetische Reihe S n = n a 1 + d (n 1)n 2 ) Fakultät Grundlagen Finanzmathematik Folie: 54

55 Ratentilgung Annuitätentilgung Annuitätentilgung Bei der Annuitätentilgung sind die (Gesamt-)Zahlungen pro Periode (Annuitäten) gleich. Dabei ändert sich der Tilgungsbetrag; zu Beginn ist er (oft wesentlich) niedriger als gegen Ende. Annuität = Tilgung + Zins Die Annuitäten lassen sich als eine Rente auassen, deren Wert dem Kreditbetrag entspricht. Fakultät Grundlagen Finanzmathematik Folie: 55

56 Ratentilgung Annuitätentilgung Berechnung der Annuitäten Bezeichnungen: Kreditbetrag/Schuld: S Zinsfaktor: q (= 1 + p) Zahlungsperioden: N (Kreditdauer) Annuität: A Endwerte: Sq N = Aq N 1 + Aq N A Formel nach A auösen (geometrische Reihe!): Sq N = A( q N 1 ) = A 1 qn 1 q A = Sq N 1 q 1 q N Fakultät Grundlagen Finanzmathematik Folie: 56

57 Ratentilgung Annuitätentilgung Berechnung der Restschuld Nach n Jahren ist die Schuld S angewachsen auf Sq n. Nach n Jahren sind die Annuitätszahlungen angewachsen auf A + Aq + + Aq n 1 = A qn 1 q 1 = Restschuld = aufgelaufene Schuld abzüglich Wert der Annuitäten: R n = Sq n A qn 1 q 1 Fakultät Grundlagen Finanzmathematik Folie: 57

58 Ratentilgung Annuitätentilgung Annuitätenkredit (Beispiel) Ein Kredit über 400 T e wird innerhalb von 8 Jahren zurückgezahlt. Am Ende jedes Jahres sind 10% Zinsen fällig. Die Annuitäten sollen gleich sein! Stellen Sie einen Tilgungsplan auf. Jahr Zins Annuität Tilgung Restschuld 1... Fakultät Grundlagen Finanzmathematik Folie: 58

59 Ratentilgung Annuitätentilgung Annuitätenkredit (Beispiel) Kreditsumme K = 400 Te. Zins: 10% q = 1, 1 Annuität: A = K q N q 1 = 400 1, 1,1 1 q N 1 18 Jahr Zins Annuität Tilgung Restschuld T e 1 40,0 T e 75 T e 35,0 T e 365 T e 2 36,5 T e 75 T e 38,5 T e 326 T e 3 32,6 T e 75 T e 42,4 T e 284 T e 4 28,4 T e 75 T e 46,6 T e 238 T e 5 23,8 T e 75 T e 51,2 T e 186 T e 6 18,6 T e 75 T e 56,4 T e 130 T e 7 13,0 T e 75 T e 62,0 T e 68 T e 8 6,8 T e 75 T e 68,2 T e 0 e 1,1 8 1 = e. Fakultät Grundlagen Finanzmathematik Folie: 59

60 Ratentilgung Annuitätentilgung Annuitätenkredit (allgemein) Tilgungsplan mit Darlehenshöhe S, Jahresrate A, Restschuld R n : Jahr Zins Annuität Tilgung Restschuld (konst.) (=AZins) (=Restschuld Vorjahr Tilgung) 0 S 1 Sp A A Sp R 1 = S A + Sp = Sq A 2 R 1p A A R 1p R 2 = R 1 (A R 1p) = R 1q A = Sq 2 A(1 + q) 3 R 2p A A R 2p R 3 = R 2 A + R 2p = R 2q A = Sq 3 A(1 + q + q 2 ).. n R n 1p A A R n 1p R n = Sq n A(1 + q + + q n 1 ) Fakultät Grundlagen Finanzmathematik Folie: 60

61 Ratentilgung Annuitätentilgung Annuitätenkredit (allgemein) Damit gilt: Restschuld nach n Jahren: R n = Sq n A 1 qn 1 q ( ) Zins im n-ten Jahr: Z n = R n 1 p = Sq n 1 A 1 qn 1 p 1 q Fakultät Grundlagen Finanzmathematik Folie: 61

62 Ratentilgung Annuitätentilgung Annuitätenkredit (allgemein) Berechnung der Gesamtzinsen nach n Jahren: Z = n Z k = Sp + R 1p + + R n 1p k=1 = p ( S + Sq A q 1 q 1 + Sq2 A q2 1 q Sqn 1 A qn 1 1 ) q 1 = p(s + Sq + + Sq n 1 ) 1 p q 1 A(q + q2 + + q n ) } {{ } n 1 Summanden = ps qn 1 q 1 p 1 q 1 A ( 1 + q + q q n 1 1 (n 1) ) ( ) = S(q n qn 1 1) A q 1 n (da q 1 = p) Fakultät Grundlagen Finanzmathematik Folie: 62

63 Ratentilgung Annuitätentilgung Annuitätenkredit (allgemein) Berechnung der Tilgungsdauer N: Löse die Gleichung Sq N = A qn 1 (Vergleich der Endwerte) nach N auf. q 1 Sq N = A qn 1 q 1 S(q 1) A 1 S(q 1) = 1 N q A N log q = log = qn 1 q N = 1 1 q N ( 1 A S(q 1) log A N = log q ) S(q 1) A S(q 1) = log A A Fakultät Grundlagen Finanzmathematik Folie: 63

64 Ratentilgung Annuitätentilgung Zusammenfassung: Tilgungsarten Für das n-te Jahr gilt bei einem anfänglichen Kreditbetrag K: (N: Kreditdauer, p: Zinssatz, q = 1 + p) Ratentilgung Annuitätentilgung Zins 3. Z n = R n 1 p 2. Z n = R n 1 p Tilgung 1. T = K/N (konst.) 3. T n = A Z n Gesamtzahlung 4. Z n + T 1. A = K q N 1 q (konst.) 1 q N Restschuld 2. R n = K nt 4. R n = R n 1 T n Die Nummern geben die Reihenfolge der Berechnung an. Wiederhole bis zum Ende der Laufzeit. Fakultät Grundlagen Finanzmathematik Folie: 64

65 Lineare Abschreibung arithm.-degr. Abschreibung geom.-degr. Abschreibung Zusammenfassung Die Abschreibung ist eine Methode, die Wertminderung langlebiger Güter des Anlagevermögens in der Bilanz zu berücksichtigen. betrachtete Abschreibungsarten: linear arithmetisch-degressiv geometrisch-degressiv Bezeichnungen: K: Anschaungswert/Kaufpreis N: Nutzungsdauer in Jahren R: Restwert am Ende der Nutzungsdauer (häug: R = 0) Fakultät Grundlagen Finanzmathematik Folie: 65

66 Lineare Abschreibung arithm.-degr. Abschreibung geom.-degr. Abschreibung Zusammenfassung Lineare Abschreibung Die jährlichen Abschreibungsbeträge sind konstant. Aufgabe: Eine Maschine (K = 200 Te) soll über 6 Jahre linear abgeschrieben werden (R = 20 Te). Stellen Sie den Abschreibungsplan auf! Jahr Abschreibung Restbuchwert 1... Fakultät Grundlagen Finanzmathematik Folie: 66

67 Lineare Abschreibung arithm.-degr. Abschreibung geom.-degr. Abschreibung Zusammenfassung Lineare Abschreibung K = 200 Te; R = 20 Te; N = 6 Jahre konstante Abschreibungsrate: (K R)/N = 180/6 = 30 Te Bilanzwert B k nach k Jahren: B k = K k K N Jahr Abschreibung Restbuchwert Te 1 30 Te 170 Te 2 30 Te 140 Te 3 30 Te 110 Te 4 30 Te 80 Te 5 30 Te 50 Te 6 30 Te 20 Te Die Buchwerte bilden eine arithmetische Folge (a 1 = K, d = (K R)/N) Fakultät Grundlagen Finanzmathematik Folie: 67

68 Lineare Abschreibung arithm.-degr. Abschreibung geom.-degr. Abschreibung Zusammenfassung Arithmetisch-degressive Abschreibung Bei der arithmetisch-degressiven Abschreibung nehmen die jährlichen Abschreibungsbeträge von Jahr zu Jahr um denselben Betrag ab (arithmetische Folge). Sonderfall: Digitale Abschreibung der letzte Abschreibungsbetrag stimmt mit der Dierenz der jährlichen Abschreibungsbeträge überein (bzw. die Abschreibungsbeträge sind Vielfache der letzten Abschreibung) Schreiben Sie eine Maschine (K = 100 e) über einen Zeitraum von 10 Jahren vollständig (R = 1 e) digital ab! Hinweis: Summieren Sie die 10 Abschreibungsbeträge formal auf und beginnen Sie dabei mit dem letzten Betrag! Fakultät Grundlagen Finanzmathematik Folie: 68

69 Lineare Abschreibung arithm.-degr. Abschreibung geom.-degr. Abschreibung Zusammenfassung Arithmetisch-degressive Abschreibung Abschreibungsbeträge a k bilden arithmetische Folge. a 10 = d, a 9 = 2d, a 8 = 3d,..., a 1 = 10d Es muss gelten: Summe der Abschreibungsbeträge gleich (Anschaungswert Restwert): d(1 } {{ + 10 } ) = 99 d = (K R)/ N j = 99/55 = 1, 8 j=1 Abschreibungsplan (mit a 1 = Nd): =55 Jahr Abschr. Restbuchwert Jahr Abschr. Restbuchwert 0 0 e 100 e 6 9,0 e 19 e 1 18 e 82 e 7 7,2 e 11,8 e 2 16,2 e 65,8 e 8 5,4 e 6,4 e 3 14,4 e 51,4 e 9 3,6 e 2,8 e 4 12,6 e 38,8 e 10 1,8 e 1 e 5 10,8 e 28 e 99 e Fakultät Grundlagen Finanzmathematik Folie: 69

70 Lineare Abschreibung arithm.-degr. Abschreibung geom.-degr. Abschreibung Zusammenfassung Geometrisch-degressive Abschreibung Die einzelnen Abschreibungsbeträge ergeben sich bei der geometrisch-degressiven Abschreibung aus einem konstanten Prozentsatz des Restbuchwertes. Aufgabe: Schreiben Sie eine Maschine mit K = 8 T e auf 5 Jahre mit p = 20% ab. Wie groÿ ist der Restwert R? Wie lange dauert es, bis die Maschine vollständig abgeschrieben ist? Fakultät Grundlagen Finanzmathematik Folie: 70

71 Lineare Abschreibung arithm.-degr. Abschreibung geom.-degr. Abschreibung Zusammenfassung Geometrisch-degressive Abschreibung Sowohl die Abschreibungsbeträge als auch die Restbuchwerte bilden eine geometrische Folge. Restwerte: Restwert nach einem Jahr: R 1 = K Kp = K (1 p) = Kq Restwert nach k Jahren: R k = R k 1 R k 1 p = R k 1 (1 p) = K(1 p) } {{ } k = Kq k =q Abschreibungsbeträge: Abschreibungsbetrag im 1. Jahr: Kp Abschreibungsbetrag im k. Jahr: R k 1 p = Kq k 1 p = K p q k 1 Achtung: Hier gilt q = 1 p Fakultät Grundlagen Finanzmathematik Folie: 71

72 Lineare Abschreibung arithm.-degr. Abschreibung geom.-degr. Abschreibung Zusammenfassung Geometrisch-degressive Abschreibung Abschreibungsplan: Jahr Abschreibung Restbuchwert e e e e e e e e e e e Fakultät Grundlagen Finanzmathematik Folie: 72

73 Lineare Abschreibung arithm.-degr. Abschreibung geom.-degr. Abschreibung Zusammenfassung Geometrisch-degressive Abschreibung Beispiel: Wie hoch ist der Abschreibungsprozentsatz, wenn K = e und R 3 = e? Aus der Formel für den Restwert im 3. Jahr ergibt sich: R 3 = Kq 3 = K(1 p) 3 R 3 K = (1 p)3 3 R3 K = 1 p p = 1 3 = 18, 904% Fakultät Grundlagen Finanzmathematik Folie: 73

74 Lineare Abschreibung arithm.-degr. Abschreibung geom.-degr. Abschreibung Zusammenfassung Zusammenfassung: Abschreibung Abschreibungs- Restbetrag buchwert linear konstant arithm. Folge (K R)/N K n (K R)/N arithm.-degr. arithm. Folge a n = N d (n 1)d mit R n = R n 1 a n d = (K R)/ N k=1 geom.-degr. geom. Folge geom. Folge K p q n 1 K q n K: Anschaungskosten N: Abschreibungsdauer/Nutzungsdauer p: Abschreibungs-Prozentsatz, q = 1 p R: Restwert nach N Jahren Fakultät Grundlagen Finanzmathematik Folie: 74