Fluidmechanik II. Fluidmechanik II, N. A. Adams

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1 Fluidmechanik II Wintersemester 2013/2014 Vorlesung: Zeit: Montag17:00-18:30 Ort: MW 0001 Übung (ab ) Zeit: Montag18:35-19:20 Ort: MW 0001 Gruppenübung siehe Web Manuskript und Übungsunterlagen: Lehre Fluidmechanik II

2 Gliederung: Was sind Wirbel? Wie kann man Wirbelströmungen beschreiben? Welche Phänomene lassen sich durch Wirbelströmungen modellieren? Kann man Strömungen einfacher beschreiben als mit den vollen Erhaltungsgleichungen? Kann man komplexe Strömungen durch Überlagerung von einfachen Elementarströmungen modellieren? Wirbelströmungen Potentialströmungen Grenzschichtströmungen Wie läßt sich der Effekt von Reibung in technischen Strömungen charakterisieren? Lassen sich vereinfachte Beschreibungen herleiten? Welche neuen Phänomene treten auf? 2

3 Was ist ein Wirbel? 3

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5 Was ist ein Wirbel? 5

6 Was ist ein Wirbel? Intuitiver Begriff Mathematisch nicht präzise formulierbar Charakteristische Eigenschaft: Drehende Bewegung von Fluidelementen um ein gemeinsames Zentrum. Zwei Mögliche Fälle: 1. Fluidelement rotiert 2. Fluidelement rotiert nicht 6

7 In einer Grenzschicht rotiert zwar das FE, von einer Wirbelströmung würde man aber nicht sprechen. Daher sollte man zwischen einer rotationsbehafteten und einer rotationsfreien Strömung unterscheiden können. 7

8 Die Helmholtz-Zerlegung besagt, daß man grundsätzliche jedes Vektorfeld in einen rotationsfreien und einen divergenzfreien Anteil zerlegen kann. Angewendet auf ein Geschwindigkeitsfeld erhält man also: ( ) ( ) u u u (1.1) ( ) wobei für den divergenzfreien Anteil gilt u 0 ( ) und für den rotationsfreien Anteil u 0 Als Wirbelstärke bezeichnet man die Rotation des Geschwindigkeitsfeldes ( ) u u rotu (1.2) Box 1: Sarrus Regel 8

9 Box 2: Starrkörper & Potentialwirbel 9

10 Folgerungen: 1. Wirbel haben in der Regel ein rotationsbehaftetes Geschwindigkeitsfeld (zumindest in der Nähe des Wirbelkerns). Ein Sonderfall ist der Potentialwirbel, der nur auf seiner Achse rotationsbehaftet ist. 2. Nicht alle rotationsbehafteten Strömungen stellen Wirbel dar. Insbesondere sind Poiseuille-, Couette- und Grenzschichtströmungen keine Wirbelströmungen. 10

11 Wie sieht ein realer Wirbel aus? Ein gutes, einfaches Modell für einen realen Wirbel mit (näherungsweise) gerade Wirbelachse ist der Rankine-Wirbel. Der Rankine-Wirbel hat einen Starrkörper-Kern, der ab in einen Potentialwirbel übergeht. In der Realität ist dieser Übergang allerdings nicht sprunghaft, sondern glatt. r 0 11

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13 Zur Beschreibung von Wirbelströmungen verwendet man anstelle der Wirbelstärke oft ein integrales Maß, für das eine Erhaltungseigenschaft nachgewiesen werden kann, die Zirkulation. u ds nda (1.3), (1.4),(1.5) S A 13

14 Box 3: Stokesscher Integralsatz 14

15 Ähnliche wie für das Geschwindigkeitsfeld kann man auch für das Wirbelstärkefeld Integralkurven und flächen definieren. Eine Wirbellinie ist gegeben durch dx ds x s,t (1.6a) x s 0 x0 dx dx dx (1.6c) (1.6b) Eine Wirbelfläche ist eine von Wirbellinien aufgespannte Fläche. Eine Wirbelröhre ist eine Röhre, deren Mantel aus Wirbellinien besteht. Ein Wirbelfaden ist eine Wirbelröhre mit infinitesimal kleinem Querschnitt, sodaß Geschwindigkeit und Wirbelstärke über den Querschnitt als konstant betrachtet werden können. 15

16 Gegenüberstellung: Wirbelstärke Wirbellinien sind Integralkurven von 3. Wirbelröhre hat einen Mantel aus Wirbellinien. 4. Zirkulation: 5. Galilei-invariant Geschwindigkeit 0 u 0 nda A 1. nur für inkompressible Strömung 2. Stromlinienlinien sind Integralkurven von 3. Stromröhre hat einen Mantel aus Stromlinien. 4. Volumenstrom: u u u V 5. nicht Galilei-invariant A u nda 16

17 1. Wirbelströmungen Selbstkontrolle: 1. Wie kann man einen Wirbel definieren? 2. Was versteht man unter einer rotationsbehafteten und einer rotationsfreien Strömung? 3. Ist eine Starrkörperrotation rotationsfrei oder rotationsbehaftet? 4. Ist ein Potentialwirbel rotationsfrei oder rotationsbehaftet? 5. Was ist die Zirkulation eines Geschwindigkeitsfeldes? 6. Was versteht man unter einer Wirbellinie? 17