a g g, mit a g K b g g = g G (a g + b g )g Jede Darstellung einer Gruppe lässt sich eindeutig zu einer Darstellung der Gruppenalgebra

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1 Gruppenalgebren 1 Darstellung und Moduln 1.1 Definition: Sei G eine endliche Gruppe der Ordnung n und sei K ein Körper. Dann bezeichnet K[G] die Gruppenalgebra von G über K. Die Basis der Algebra besteht aus Elementen von G. Jedes Element f dieser Algebra kann dann eindeutig als eine endliche Linearkombination f = a g g, mit a g K geschrieben werden. Es gilt: a g g + b g g = a g + b g g und a g g b g g = h G xy = h x, y G a x b y h. Jede Darstellung einer Gruppe lässt sich eindeutig zu einer Darstellung der Gruppenalgebra fortsetzen. Eine Darstellung ρ in einem K-VR V wird durch g v = ρ g v zum K[G]-Linksmodul. Andersherum ist eder Linksmodul V über K[G] bereits ein K-Vektorraum und definiert eine Darstellung von G durch ρ g v = g v mit v V. Linear fortgesetzt definiert das fx, für f K[G] und x V. Das heißt, wir haben eine eins zu eins Korrespondenz: Darstellungen von G Linksmoduln über K[G] Fortan ist mit der Bezeichnung Modul ein K[G]-Linksmodul gemeint und gleichzeitig auch eine Darstellung von G. K[G] als K[G]-Modul entspricht gerade der regulären Darstellung. 1.2 Proposition: Falls K ein Körper der Charakteristik 0 ist, so ist die Algebra K[G] halbeinfach. Dass K[G] halbeinfach ist, ist äquivalent dazu, dass edes K[G]-Modul V halbeinfach ist. D.h. zu zeigen ist, dass edes Untermodul U von V eine direkte Summe in V als K[G]-Modul ist. Sei V ein K[G]-Modul und V V ein Untermodul. Wir zeigen, dass V ein direkter Summand von V ist. Sei ρ eine k lineare Proektion von V auf V und ρ 0 = 1 G s G sps 1. D.h. ρ 0 v = s G sps 1 v. ρ 0 ist eine K[G]-lineare Proektion von V auf V, also ist V direkter Summand zu V. 1

2 Dieser Satz sagt nichts andere aus, als die Zerlegbarkeit einer Darstellung in irreduzible Unterdarstellungen. Sei fortan K = C. 1. Korollar: M ni C mit Matrizenringen M ni C über C. Wir werden für den Beweis folgende Isomorphien zeigen: opp End 1 End i 2 M ni C M ni C opp 4 Dabei bezeichnet End op den sogenannten Gegenring. Der Gegenring entsteht durch das Vertauschen der Faktoren bei der Multiplikation. D.h. sei R ein Ring, dann wird der Gegenring R op wie folgt definiert: Die Menge von R op ist gleich der von R. Die Addition stimmt auf beiden Mengen überein. Die Multiplikation von R op wird durch die Multiplikation von R definiert: a b := b a a, b R op. Zum Verständnis eines Gegenrings zeigen wir zunächst 4: Sei A = M n. Die Identitätsabbildung ist ein Algebraisomorphismus zwischen A 1 A 2 opp A opp 1 A opp 2. Damit reicht es, Folgendes zu betrachten: Definiere eine Abbildung ϕ : A A opp durch ϕa = A T. Diese Abbildung ist eindeutig linear, biektiv und bildet die Identität auf die Identität ab. Durch ϕxy = XY T = Y T X T = ϕy ϕx = ϕx ϕy wird ϕ zum Algebraisomorphismus und somit gilt A opp A. zu 1: Definiere ϕ : opp End durch ϕa : x xa mit a, x. ϕa ist ein Links--Modulhomomorphimus. Es gilt: ϕa bx = ϕbax = xba = xba = ϕaxb = ϕa ϕb x 2

3 Inektivität: Es sei ϕa = 0 für ein a. Dann gilt insbesondere: 0 = ϕa1 = 1a = a. Surektivität: Für edes f End, sei f1 = a, für edes a gilt dann fa = fa1 = xf1 = xa = ϕax. Damit ist f = ϕ f1. ϕ ist somit ein Algebrenisomorphismus. zu 2: Aus der Proposition wissen wir, dass sich in irreduzible Unterdarstellungen zerlegen lässt, d.h. Dann ist = End = End Schur s Lemma i i. Hom i, i, Hom V n i i End i =1, V n V n zu : Betrachten wir nun eine Komponente End V n. Das ist isomorph zu n Hom =1 V, n V i und sei Hom n =1 V, n V i Für ein Element ϕ V i V Hom CG V, V i gilt: ϕ V i V = λ i id V V i M n C ϕ λ i i. Hom CG V, V i ist nach Schur s Lemma isomorph zu C. Und anders herum λi id V V i λ i Es ist leicht nachzuweisen, dass dies einen Algebrenisomorphisus definiert. Damit n ist Hom =1 V, n V i isomorph zu M n C.

4 2 Zerlegung der Algebra Sei fortan K = C. Aus dem Korollar folgt, dass eine direkte Summe der Matrixalgebren M ni C ist. Seien ρ i : G GLW i, 1 i h die bis auf Isomorphie eindeutigen irreduziblen Darstellung von G mit n i = dimw i. so dass der Ring EndW i von Endomorphismen von W i isomorph zu M ni C ist. Die Abbildung ρ i : G GLW i werden linear zu einem Algebra-Homomorphismus ρ i : EndW i fortgesetzt. Die ρ i definieren einen Homomorphismus 2.1 Proposition: i=k ρ : EndW i Der Homomorphismus ρ ist ein Isomorphismus. i=l i=k M ni C. Sei ρ ker ρ. Dann hebt ρ alle irreduziblen Darstellungen von G auf, also auch die reguläre Darstellung. Die reguläre Darstellung ist der - Modul, also gilt ρ x = 0 x. Das heißt, ρ = 0. Also ist ker ρ = 0 und somit ρ inektiv. und M ni C haben beide die Dimension g = n 2 i. Damit ist ρ ein Isomorphismus. 2.2 Proposition: Sei u i 1 i h ein Element von k EndW i und sei u = s G uss ein Element von, so dass ρ i u = u i für alle i. Der s-te Koeffizient us von u ist gegeben durch us = 1 g h n i Tr Wi ρi s 1 u i, mit ni = dimw i, G = g. Es genügt, die Formel auf den Fall zu überprüfen, dass u gleich einem Element t G ist. Dann i=l us = δ st und Tr i ρi s 1 u i = χi s 1 t, dabei ist χ i der irreduzible Charakter von G zu W i. Daher bleibt zu zeigen, dass δ st = 1 h n i χ i s 1 t. g Das folgt aus dem Vortrag über die Zerlegung der regulären Darstellung. 2. Beispiel: Sei G = Z /Z = { 0, 1, 2}, W = spanλ mit {0, 1, 2}, d.h. ein Element u aus W ist dann eben ein Vielfaches von λ. und sei ρ kx = e k2πi n x. Dann gilt für die Koeffizienten uk = 1 n n 1 e k2πi n x. i=0 4

5 Genauer mit ω := e 2iπ : Damit ist u: u 0 = = 2 u 1 = 1 ω 2 ω 2 ω + ω = 1 + u 2 = 1 ω 2ω 2ω + ω = 1 + u = ω 2 ω ω 2ω 2. Dann gilt beispielsweise für u x 1 : 2 u x 1 = ω 2 ω ω 2ω ω ω 2 + ω 2 = + ω + ω + x 1 2 = 1 5 x 1 = 2x Übungsaufgabe: ω x 1 Sei u = uss und v = vss zwei Elemente von. Setze u, v = g s G us 1 vs. Zeige u, v = h n i Tr Wi ρi uv. Tipp: Betrachte den Fall, dass u und v zu G gehören. 5