f ist eine Funktion und für alle bis. auf endlich viele h H gilt f(h) = 0

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1 14 KAPITEL 2. RINGE Für n = 12 schreiben wir k anstelle [k] 12 der Übersichtlichkeit halber: Polynomringe Es gibt mehrere Zugänge zu Polynomringen. Man kann einen Zugang über universelle Eigenschaften wählen, man kann zuerst Halbgruppenringe einführen, oder man kann eine explizite Konstruktion vorstellen. Wir wollen hier den Zugang über Halbgruppenringe wählen. Sei dazu R ein Ring und H eine Halbgruppe; eine Halbgruppe ist eine Menge mit einer assoziativen Verknüpfung, die nicht unbedingt ein neutrales Element besitzt und somit auch nicht inverse Elemente besitzen muss. Betrachte die Menge R (H := { f : H R Mit der komponentenweisen Addition } f ist eine Funktion und für alle bis. auf endlich viele h H gilt f(h = 0 f +g : H R, h f(h+g(h für f,g R (H bildet diese eine abelsche Gruppe. Um eine einfachere Notation zu wählen, gehen wir wie folgt vor: wir schreiben ein Element f : H R aus R (H als h H f(hh, wobei wir Terme mit f(h = 0 auch weglassen. Mit dieser Notation lassen sich die Elemente von R (H als formale Summen von Elementen in H mit Koeffizienten in R auffassen. Beispiel Angenommen, R = Z und H = {,,, }. Die Verknüpfung auf H spielt noch keine Rolle, deswegen lassen wir sie hier weg. Da R eine Eins hat, ist 1 = ein Element von Z (H. Ebenso gilt,, Z (H. Damit ist etwa Z (H. Weiterhin gilt ( (5 2 + = (1+5 +(10 2 +( 3+0 +(0+1 =

2 2.3. POLYNOMRINGE 15 Wir wollen nun auf R (H eine Multiplikation definieren, die (R (H,+, zu einem Ring macht. Wir schreiben H multiplikativ, d.h. die Verknüpfung auf H sei. Hat R eine Eins, so ist mit 1 R h jedes Element aus h H als Element von R (H auffassbar. Die Multiplikation soll nun so definiert sein, dass für h,h H die Produkte hh (als Produkt in H sowie hh (als Produkt in R (H übereinstimmen. Genauer gesagt, wollen wir, dass für r,r R und h,h H gilt (rh (r h = (rr (hh, wobei rr die Multiplikation in R und hh die Multiplikation in H sein soll. Insbesondere kommutieren also die Elemente von H mit denen von R, selbst falls weder R noch H kommutativ sind. Nehmen wir an, wir haben eine solche Multiplikation und setzen sie auf alle Elemente von R (H fort, so dass das Distributivgesetz gilt. Sind f = h H f(hh und g = h H g(hh, so kann man den Ausdruck ( ( f g = f(h 1 h 1 g(h 2 h 2 h 1 H h 2 H damit ganz naiv ausmultiplizieren: wir erhalten dann f g = h 1 H h 2 Hf(h 1 g(h 2 (h 1 h 2 = h H h 1,h 2 H h 1 h 2 =h f(h 1 g(h 2 h. Wir gehen nun wie folgt vor. Wir definieren die Multiplikation auf R (H im Wesentlichen über diese Formel und zeigen, dass diese Multiplikation wohldefiniert ist und die abelsche Gruppe (R (H,+ zu einem Ring macht. Zu f,g wie gerade definieren wir α : H R durch α : h h 1,h 2 H h 1 h 2 =h f(h 1 g(h 2. Da es nur endlich viele Paare (h 1,h 2 H H gibt mit f(h 1 0 und g(h 2 0, ist die Summe wohldefiniert alle bis auf endlich viele Summanden sind gleich 0 R. Ist weiterhin A := {h 1 H f(h 1 0} und B := {h 2 H g(h 2 0}, so liegt die Menge {h H α(h 0} im Bild von A B H, (h 1,h 2 h 1 h 2 und ist somit ebenfalls endlich. Folglich ist α R (H, und damit können wir definieren f g := α = ( f(h 1 g(h 2 h. h H h 1,h 2 H h 1 h 2 =h Satz Der Ring (R (H,+, ist ein Ring mit Nullelement h H 0h. Hat R eine Eins und H ein neutrales Element h 0, so hat R (H eine Eins, und zwar 1 R h 0.

3 16 KAPITEL 2. RINGE Definition Wir nennen R (H den Halbgruppenring (engl.: semigroup ring bzgl. der Halbgruppe H mit Koeffizientenring (engl.: coefficient ring R. Bevor wir nun den Satz beweisen, wollen wir das zentrale Beispiel anführen: der Ring der Polynome mit Koeffizienten in R. Beispiel Sei R = R und H = (N, +. Wir schreiben die Elemente aus H in der Form X i für i N; dann ist die Verknüpfung gegeben durch X i X j = X i+j. Der Halbgruppenring R (H hat die Form { n i=0 } a i X i n N, a i R, bei den Elementen handelt es sich also um Polynome mit reellen Koeffizienten in der Unbestimmten X! Man rechnet leicht nach, dass es sich hier tatsächlich um Polynome wie man sie aus der Schule kennt handelt. Beweis von Satz Dass (R (H,+ eine abelsche Gruppe bildet ist schnell zu verifizieren. Es bleibt zu zeigen, dass die Multiplikation assoziativ ist und distributiv über der Addition. Seien e,f,g R (H. Dann gilt ( (efg = e(h 1 f(h 2 h g(hh h h 1 h 2 =h h = ( e(h 1 f(h 2 g(h 3 h h h h 3 =h h 1 h 2 =h = ( e(h 1 f(h 2 g(h 3 h. h h 1 h 2 h 3 =h Analog zeigt man, dass dies gleich e(f g ist. Weiterhin gilt ( (e+fg = (e(h+f(hh g(hh = h = h h h 1 h 2 =h (e(h 1 +f(h 1 g(h 2 h h 1 h 2 =he(h 1 g(h 2 h+ h h h 1 h 2 =h f(h 1 g(h 2 h = eg +fg. Analog zeigt man e(f +g = ef +eg. Sei nun angenommen, dass R eine Eins und H das neutrale Element h 0 besitzt. Sei f R (H und g(h 0 = 1 R, g(h = 0 für h h 0 ; dann ist g = 1 R h 0. Es gilt fg = 1 g(h 2 h = h h 1 h 2 =hf(h f(h 1 1 R h = f h h 1 =h und analog gf = f. Damit ist g = 1 R h 0 eine Eins von R (H.

4 2.3. POLYNOMRINGE 17 Bemerkungen Hat H ein neutrales Element h 0, so kann der Ring R als Unterring von R (H aufgefasst werden: die Abbildung φ : R R (H, x xh 0 ist ein injektiver Ringhomomorphismus. 2. Hat R eine Eins mit 1 R 0 R, so kann die Halbgruppe H als Unterhalbgruppe der multiplikativen Halbgruppe (R (H, von R (H aufgefasst werden: die Abbildung ψ : H R (H, h 1 R h ist ein injektiver Halbgruppenhomomorphismus von H nach (R (H,. Der HalbgruppenringR (H hat eineuniverselleeigenschaft. Wir betrachten hier nur den Spezialfall, das R eine Eins hat und H eine Halbgruppe mit neutralem Element ist, und das alle beteiligten Ringe kommutativ sind. Satz Ist R ein kommutativer Ring mit Eins, H eine Halbgruppe mit neutralem Element h 0 und S ein weiterer kommutativer Ring mit Eins, und ist ϕ : R S ein Homomorphismus von Ringen mit Eins und ψ : H (S, ein Halbgruppenhomomorphismus 1 mit ψ(h 0 = 1 S, so gibt es genau einen Homomorphismus ˆϕ : R (H S von Ringen mit Eins mit ˆϕ R = ϕ und ˆϕ H = ψ. Beweis. Für f R (H definiere ( ˆϕ h H R R (H ϕ!ˆϕ H ψ S f(hh := h Hϕ(f(hψ(h. Dies ist wohldefiniert, da f(h = 0 R ist für alle bis auf endlich viele h H, und da ϕ(0 R = 0 S ist. Diese Definition erfüllt offenbar ˆϕ(h = ψ(h und ˆϕ(r = ϕ(r für alle r R und h H. Weiterhin gilt ˆϕ(1 R h 0 = ϕ(1 R ψ(h 0 = 1 S 1 S = 1 S. Seien f,g R (H. Dann gilt ˆϕ(f +g = h Hϕ(f(h+g(hψ(h = h H ϕ(f(hψ(h+ h Hϕ(g(hψ(h = ˆϕ(f+ ˆ ϕ(g 1 Dies bedeutet nur, dass ψ(h h = ψ(h ψ(h ist für h,h H.

5 18 KAPITEL 2. RINGE sowie ˆϕ(fg = h Hϕ ( h 1 h 2 =h f(h 1 g(h 2 ψ(h = ϕ(f(h 1 ψ(h 1 ϕ(f(h 2 ψ(h 2 h H h 1 h 2 =h ( ( = ϕ(f(h 1 ψ(h 1 ϕ(f(h 2 ψ(h 2 = ˆϕ(fˆϕ(g. h 1 H h 2 H Damit ist ˆϕ ein Homomorphismus von Ringen mit Eins. Wir müssen noch zeigen, dass ˆϕ eindeutig ist. Sei ˆψ ein weiterer Homomorphismus von Ringen mit Eins, der ˆψ R = ϕ und ˆψ H = ψ erfüllt. Für f R (H gilt dann ( ˆψ(f = ˆψ f(hh = h h womit ˆψ = ˆϕ ist. ˆψ(f(hˆψ(h = h ϕ(f(hψ(h = ˆϕ(f, Wir können nun Polynomringe ganz allgemein über Halbgruppenringe definieren und bekommen vom obigen Satz eine wichtige universelle Eigenschaft von Polynomringen direkt gegeben. Sei S eine Menge. Die Halbgruppe N (S sei ähnlich definiert wie der Halbgruppenring oben: als Menge ist N (S durch N (S := { f : S N } f ist eine Funktion und für alle bis auf endlich viele s S gilt f(s = 0 gegeben, und man erhält eine komponentenweise Verknüpfung auf N (S, die N (S zu einer Halbgruppe mit neutralem Element macht: für f,g N (S setzt man f +g : S N, s f(s+g(s. Definition Sei R ein kommutativer Ring mit Eins und S eine beliebige Menge, die disjunkt von R ist. Dann ist der Polynomring in den Unbestimmten S (engl.: polynomial ring in the variables S, geschrieben R[S], definiert als R[S] := R (N(S. Wir identifizieren R mit dem entsprechenden Unterring in R[S], sowie jedes s S mit 1 f s, wobei f s : S N, t { 1 falls s = t, 0 sonst ein Element von N (S ist. Wie zuvor schreiben wir R[x 1,...,x n ] anstelle R[S], falls S = {x 1,...,x n } ist. Weiterhin schreiben wir s n für s s }{{}. Schliesslich n mal ist ein Polynom (engl.: polynomial in den Unbestimmten S ein Element von R[S].

6 2.3. POLYNOMRINGE 19 Ist S = {X}, so kann man R[X] = R[S] schreiben als { n i=0 } a i X i n N, a i R. Dieser Ring verhält sich genauso, wie man es von ihm beim Stichwort Polynomring erwartet. Weiterhin haben wir hiermit auch Polynomringe in mehreren Unbestimmten: R[X,Y] = R[{X,Y}] kann man auch schreiben als { n i=0 m j=0 } a ij X i Y j n,m N, a ij R. Wir haben ebenso den Fall mit unendlich vielen Unbestimmten. In diesem Fall ist es wichtig, dass wir N (S wie oben definiert haben: hätten wir die Voraussetzung, dass alle bis auf endlich viele Funktionswerte 0 sind weggelassen, würde der Polynomring das unendliche Produkt von allen Unbestimmten enthalten. Wir wollen nun die universelle Eigenschaft des Polynomringes erklären: Korollar Sei R ein kommutativer Ring mit Eins und S eine Menge, die disjunkt zu R ist. Dann hat der Polynomring R[S] die folgende universelle Eigenschaft (engl.: universal property: Zu jedem kommutativen Ring mit Eins T, jedem Homomorphismus ϕ : R T von Ringen mit Eins und jeder beliebigen Abbildung ψ : S T gibt es genau einen Homomorphismus ˆϕ : R[S] T von Ringen mit Eins mit ˆϕ R = ϕ und ˆϕ S = ψ. s S R R[S] ϕ T S!ˆϕ ψ Beweis. Mit Hilfe des Satzes von oben reicht es aus zu zeigen: es gibt genau einen Halbgruppenhomomorphismus α : N (S (T, mit α S = ψ und α(0 = 1 T. Sei f N (S ; definiere α(f = s S ψ(sf(s. Da fast alle f(s = 0 sind, ist ψ(s f(s = 1 S für fast alle s S, womit das Produkt nur endlich viele Faktoren 1 S hat. Damit ist α wohldefiniert. Man rechnet schnell nach, dass α ein Halbgruppenhomomorphismus ist, und dass α(0 = 1 S ist folgt sofort aus der Definition. Ist β : (N (S,+ (T, ein weiterer Halbgruppenhomomorphismus mit β S = ψ und β(0 = 1 S, so gilt für f N (S ( β(f = β f(ss = β(s f(s = s S s Sψ(s f(s = α(f, womit α = β ist.

7 20 KAPITEL 2. RINGE Objekte, die eine universelle Eigenschaft erfüllen, sind meist in einem gewissen Sinne eindeutig: Bemerkung Ist R irgendein kommutativer Ring mit Eins mit Unterring R und mit einer Abbildung i : S R, so dass es zu jedem kommutativen Ring T mit Eins, jedem Homomorphismus ϕ : R T von Ringen mit Eins und jeder Abbildung ψ : S T genau einen Homomorphismus ˆϕ : R T von Ringen mit Eins mit ˆϕ R = ϕ und ˆϕ i = ψ gibt, dann gibt es genau einen Isomorphismus Φ : R[S] R mit Φ R = id R und Φ S = i. Die Abbildung i ist insbesondere injektiv, falls 1 R 0 R ist. Beweis. Wegen der universellen Eigenschaft von R[S] (Korollar 2.3.8, angewandt auf id R : R R und i : S R, gibt es genau einen Homomorphismus Φ : R[S] R von Ringen mit Eins, der Φ S = i und Φ R = id R erfüllt. Weiterhin gibt es wegen der universellen Eigenschaft von R genau einen Homomorphismus Φ : R R[S] von Ringen mit Eins, der Φ R = id R und Φ i = id S erfüllt.!φ R[S]!Φ id R id S R S id R Wirwollennunzeigen,dassΦ Φ = id R undφ Φ = id R ist:darausfolgt,dass Φ ein Isomorphismus (mit Umkehrabbildung Φ ist, woraus die Behauptung folgt. Betrachten wir Φ Φ : R[S] R R[S]. Dieser Ringhomomorphismus erfüllt (Φ Φ R = id R und (Φ Φ S = id S, genauso wie der Ringhomomorphismus id R[S] : R[S] R[S]. Nach der universellen Eigenschaft von R[S] gibt es jedoch genau einen solchen Ringhomomorphismus, womit Φ Φ = id R[S] sein muss. Φ R[S] R Φ R[S] id R[S] R i Analog zeigt man mit der universellen Eigenschaft von R, dass Φ Φ = id R gilt. Eine interessante Anwendung von Korollar ist die Aussage, dass jeder kommutative Ring mit Eins der Quotient eines Polynomringes über Z ist. Formaler ausgedrückt: Korollar Ist S ein beliebiger kommutativer Ring mit 1, so gibt es eine Menge M von Unbestimmten, ein Ideal I Z[M] sowie einen Isomorphismus Z[M]/I S. Beweis. Es reicht, M sowie einen surjektiven Homomorphismus ϕ : Z[M] S von Ringen mit Eins anzugeben. Setzt man I := kerϕ, so folgt mit dem Homomorphiesatz die Behauptung.

8 2.4. TEILBARKEITSLEHRE 21 Nimmt man an, dass S Z = ist, so kann man M := S setzen und ϕ : Z[M] S definieren durch ϕ(z = z 1 S für z Z und ϕ(s = s für s S; die Existenz folgt aus obigen Korollar, und ϕ ist per Konstruktion surjektiv. Dieses Ergebnis ist scheint relativ nutzlos, eine ähnliche Technik kann jedoch benutzt werden, um relativ einfach interessante und allgemeine Ergebnisse zu bekommen. Beispielsweise kann man den Satz von Cayley-Hamilton für Matrizen über beliebigen kommutativen Ringen mit Eins zeigen, indem man ihn erst für Matrizen über C zeigt, ihn dann mit einem Argument über transzendente Zahlen für allgemeine Matrizen über Z folgert dies ist eine Matrix über Z[S] mit S = {x ij 1 i,j n}, die Einträge der Matrix sind also Unbestimmte, und daraus die Gültigkeit des Satzes über beliebigen kommutativen Ringen mit Eins folgert, indem man die allgemeine Matrix über Z auf eine beliebige, aber fest gewählte Matrix über einem solchen Ring abbildet. Wenn man so vorgeht, kann man einfachere Vorgehensweisen benützen, umdieeigentlicheaussage dersatzvoncayley-hamilton überczuzeigen. So kann man mit einfacherer linearer Algebra Trigonalisierung von Matrizen über C sowie einem topologischen Argument schnell die Aussage des Satzes über C zeigen, und dann mit diesem algebraischen Argument den Satz über jedem kommutativen Ring mit Eins folgern. Bevor wir nun mit der Teilbarkeitslehre beginnen, wollen wir noch einen kuriosen Unterring des Polynomrings in einer Unbestimmten vorstellen. Beispiel Der Unterring R[X 2,X 3 ] von R[X] ist der Ring der Polynome n f = a i X i mit a i R, i=0 i 1 die keinen linearen Term haben. Dies folgt daraus, dass sich jede natürliche Zahl m 2 schreiben lässt als 2 k +3 l mit k,l N. Dieses Beispiel zeigt auch beide bisherigen Schreibweisen auf: R[X 2,X 3 ] für einen Unterring, und R[X] für einen Polynomring. In den meisten Fällen sollte eindeutig sein, was gemeint ist. 2.4 Teilbarkeitslehre Neben dem Lösen von polynomiellen Gleichungen ist die Teilbarkeitslehre einer der historischen Ausgangspunkte der Algebra. Wir wollen die Teilbarkeitslehre sehr abstrakt angehen, zuerst in beliebigen Integritätsbereichen, später dann in Ringen mit spezielleren Eigenschaften. Wir wollen zuerst einige Begriffe formulieren, unter anderem den Begriff des Integritätsbereiches. Definition Sei R ein Ring.