Übung 1: Thermodynamik Berechnung von Aufschmelzkurven, Adiabat und Aufschmelzpfad

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1 J K (thermische = MAGMATIMU und VULKANE ÜBUNG Übung 1: Thermodynamik Berechnung von Aufschmelzkurven, Adiabat und Aufschmelzfad U1.1 Rekaitulation der Theorie U1.1.1 Adiabtischer Gradient des festen Mantels Aus thermodynamischen tandardgleichungen kann man adiabatischen geothermischen Gradienten (= adiabatischer Geotherm) für den konvektiven Teil des oberen Erdmantels berechnen. Für ein komlett geschlossenes ystem (weder Materie- noch Wärmetransort) gilt bei konstanter Entroie (= konstantem Wärmeinhalt): (1) T T V T durch ubstitution der beiden Terme auf der rechten eite durch Relationen mit messbaren oder abschätzbaren Grössen: (2) () (4) 1 V V T mc T => T T TV mc V V T => mc T T und erhält man m T und mit erhält man alternativ V Für konkrete Zahlen erhält man also: - T = 100 C oder 157 K (Kelvin) bei 1 bar = *10 Exansion des festen Mantelmaterials) - cbb B= 10 /kg K (Wärmekaazität des festen Mantelmaterials) - kg/m (mittlere Dichte des Mantelmaterials bei P und T) Durch einsetzen erhält man 1.4 C/0.1 GPa oder 0.46 C/km T c U1.1.2 teigung der oliduskurve des Mantels (Clausius-Claeyron teigung) Aus der Definition der freien Gibb schen Energie der Bedingung, dass diese bei Gleichgewicht = 0 wird kann man ableiten, dass die teigung einer Reaktionskurve (= Mantelschmelzkurve in einem P-T Raum folgende Form annimmt: (5) T V durch ubstitution von H T etzen wir folgende Werte für die Mantelgesteine ein: erhält man (6) T H TV - T = 140 C = 1700K bei P = GPa (0 kbar) - = 100 cal/g = KJ/kg (chmelzenthalie des Mantelmaterials bei P und T) - VB B= 0 cm /kg (10% Volumenexansion bei einer Dichte von. g/cm P, d.h. V = m/ => für 1 kg = 1000/. = 00 cm /kg * 0.1 und schliesslich durch Umrechnung 1 cm 0.1 Joule/bar erhält man J/bar * kg bar/k => K/1000 bar (0.1GPa) deutlich grösser als der adiabatische Gradient 1

2 nach Wärmekaazität MAGMATIMU und VULKANE ÜBUNG U1.1. Berechnung von chmelzkurven und P-T-f Pfad beim Aufstieg Aufschmelzgrad, Temeratur über dem olidus und chmelzenthalie hängen über folgende Beziehungen zusammen: (7) T T ( f ) gibt die Temeraturdifferenz über dem olidus an, die notwendig f ist einen gewissen Aufschmelzgrad zu erreichen und (8) T H ( f ) gibt die notwendige Temeraturdifferenz (Kühlen) des Mantels c an, die notwendig ist um die chmelzwärme für einen bestimmten Aufschmelzgrad zu erreichen, wobei H (chmelzenthalie), cbb des Mantels und f der Fraktion artieller chmelze (in Gewichtseinheiten). Als weiterer Term definiert man die Variation des Aufschmelzgrades als Funktion der Druckänderung: (9) (10) f bei konstanter Entroie (isentroisch, kein Wärmeverlust) Bei einer Druckerniedrigung von B0B BfB, kann man eine thermische Balance zwischen den beiden Termen wie folgt beschreiben: (11) T (P f P 0 ) adj T sol H c f T f und unter Verwendung der Gleichung (9) erhält man T adj T sol / H c T f Werte für (T/f) werden exerimentell bestimmt, ein tyischer Wert ist etwa: T 50K f f 2

3 MAGMATIMU und VULKANE ÜBUNG Aufgabe 1a): Berechnung der chmelzkurven Vorgaben: 1. Die Potentialtemeratur des Adiabats beträgt 140 C, das heisst der Adiabat hat an der Oberfläche einen (theoretischen) Wert von 140 C 2. Die olidustemeratur des Mantels an der Oberfläche (bei 0 kbar Druck) beträgt 1100 C Werte: teigung des Adiabates: 2 C / kbar teigung des olidus: 10 C / kbar chmelzenthalie H: 180 cal/g Wärmekaazität cbpb: 0. cal/g K (T/f) 4.0 C / % = 400 C Vorgehen: 1. Berechne den olidus (f=0) mittels der Clausius-Claeyron teigung 2. Berechne mittels Glg. (7) und obigen Werten T bei P=0 (1bar) für 10, 20, 0 und 50% Aufschmelzung. Berechne mittels der Clausius-Claeyron teigung die P-T-Punkte für die verschiedenen Aufschmelzgrade 4. Trage die Resultate in das P-T Diagramm auf der letzten eite ein Aufgabe 1b): Berechnung des Adiabates und des Aufschmelzfades (P-T-f Trajektorie des Mantels bei Dekomression) Vorgehen: 1. Berechne Adiabat von 40 bis 0 kbar unter der Annahme erfekter adiabatischer Dekomression des festen Mantels bis an die Oberfläche. 2. Berechnung des Aufschmelzgrades für jedes 5 kbar Inkrement (Dekrement) vom chnittunkt des Adiabtes mit dem olidus bis 0 kbar unter Verwendung von Glg. (11); beachte, dass die Gesamtschmelzfraktion durch Integration der chmelzfraktionen der einzelnen (Druck)chritte erhalten wird.. Berechne T aus Gleichung (8) mittels chmelzenthalie (180 cal/g), Wärmekaazität (0. cal/g) und dem berechneten Aufschmelzgrad (f) 4. Berechne die aktuelle Temeratur bei jedem Druck, T = TBadiabatB - T 5. Trage die Resultate in das P-T Diagramm ein. 6. Kommentiere die Resultate: Was bedeutet die Abweichung des P-T Pfades des aufschmelzenden Mantels vom Adiabat? Aufgabe 1c). Dieselbe Berechnung wie für 1b) aber mit 100 cal/g chmelzenthalie - Was ändert sich wieso? (macht nur inn wenn ihr eine Excel-Tabelle oder MatLab zur Berechnung verwendet, sonst zu zeitaufwändig).

4 MAGMATIMU und VULKANE ÜBUNG Tabelle zur Berechnung von Hand Druck olidus f=0.10 f=0.20 f=0.0 f=0.5 Adiab. f H/c T= P-T-f (kbar) ( C) ( C) ( C) ( C) ( C) ( C) inkr. akku. ( C) H/c* ( C) f(akku)

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