AUSWERTUNG: SCHWINGUNGEN, RESONANZVERHALTEN 1. AUFGABE 1

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1 AUSWERTUNG: SCHWINGUNGEN, RESONANZVERHALTEN TOBIAS FREY & FREYA GNAM, GRUPPE 6, DONNERSTAG 1. AUFGABE 1 An das Winkel-Zeit-Diagramm (Abb. 1) haben wir eine einhüllende e-funktion der Form e = Ae βt angelegt. Diese Abschätzung geht von einer gedämpften harmonischen Schwingung aus, bei der nur geschwindigkeitsproportionale Reibung auftritt. Nach der fit by eye -Methode schätzen wir ab: β, 3. Diese Näherung gibt die Einhüllende für die ersten Perioden gut wider, weicht dann aber bald recht stark ab. Durch eine e-funktion der oben genannten Form lässt sich unser Messdiagramm also nicht exakt einhüllen. Es ist daher anzunehmen, dass die Abweichung dadurch verursacht wird, dass zusätzlich nicht geschwindigkeitsproportionale Reibung auftritt. Das Trägheitsmoment des Pendels schätzen wir ab zu Ω = mr 1, m kg mit m = ρ Kupfer πh(r a r i ). AUFGABE Korrigierte Dämpfungskonstanten. Mit der fit by eye Methode bestimmen wir β IB, damit ergibt sich β korr (I B ) = β ( I B ) β() TABELLE 1. korrigierte Dämpfungskonstanten I B [ma] β ( I B )[ 1] β s korr[ 1] s,3 1,31,8,51,8 4,19,167 7,4,397 1

2 Dämpfungsverhältnis. Das Dämpfungsverhältnis bestimmt sich zu k = n φ φ n : k 1 = 1 1, 56, 87 k = 7 1, 41, 71 k 4 = 3 1,, 9 k 7 = 3 1, 16, 1 = 1, 59 = 1, 14 = 1, 65 =, 53 Berechnung der Dämpfungskonstanten aus dem Dämpfungsverhältnis. Die Dämpfungskonstante berechnet sich zu β = ln k T. TABELLE. Dämpfungskonstanten I B [ma] T [s] β[ 1 ] Abweichung vom gemessenen Wert [%] s 1,9 7,49 4 4,36 1 7,46 3 Es lässt sich keine I B -Abhängigkeit von T feststellen. Diese Beobachtung ist in Übereinstimmung mit dem Zusammenhang T = π = π Ω, der zeigt dass keine Abhängigkeit von der Dämpfung auftritt. Diese wirkt sich lediglich auf die Amplitude ω D aus, nicht aber auf die Periodendauer. Die Dämpfung β ist abhängig von der Leistung der Spule P = UI = RI. Man kann also vermuten, dass β = const I B. Diese Vermutung bestätigt sich, wenn man β korr über dem Bremsstrom I B aufträgt (Abb. 9). Gütefaktor für verschiedene Bremsströme. Im Resonanzbereich gilt: Q(I B ) = ω β. TABELLE 3. Gütefaktoren I B [ma] Q 1 5,67 3,8 4 8,7 7 3,74

3 3. AUFGABE 3 Wir befestigen ein Gewicht der Masse m = 1, 6g am Drehpendel und erhalten eine Auslenkung von φ =, 44. Damit ergibt sich eine Winkelrichtgröße von D = mgra =, Nm. φ Das in Aufgabe 1 auf Ω = 1, m kg abgeschätzte Trägheitsmoment berechnen wir zu Ω = D ω = D T () 4π =, 1 3 m kg. Die Abweichung ist mit also mit 43% relativ groß. Zum einen ist die in Aufgabe 1 getroffene Abschätzung ziemlich grob, zum anderen kann auch unsere Messung verfälscht sein, da die Auslenkung eventuell durch einen halb abgelösten Tesafilm-Streifen behindert wurde (diesen haben wir bei der Durchführung der Messungen zu Aufgabe 4 bemerkt). 4. AUFGABE 4 Beim Aufnehmen der Werte für die Resonanzkurve, sind wir auf einige durch den Versuchsaufbau bedingte Schwierigkeiten gestoßen. So wurde die Messung zwischenzeitig dadurch verfälscht, dass sich ein Tesafilm-Streifen halb vom Rad gelöst hatte und die Bewegung zusätzlich abbremste. Bei der Messung mit einem Bremsstrom von I B = ma schlug das am Pendel angebrachte Gewicht auf dem Boden an, sobald wir der Resonanzfrequenz nahe kamen. Deswegen konnten wir den Wert für die Amplitude im Resonanzfall nur grob abschätzen. So erklärt sich auch die große Abweichung zum in Aufgabe berechneten Gütefaktor. Wir lesen die Resonanzbreite b im Diagramm ab und berechnen die Güte gemäß Q = ω b. Für den Bremsstrom von I B = 4mA ist die Abweichung ebenfalls recht groß, dies liegt wahrscheinlich daran, dass wir nur wenige Messungen vor allem im für den Kurvenverlauf besonders wichtigen Resonanzbereich gemacht haben. TABELLE 4. Gütefaktoren I B [ma] b Q Abweichung vom Wert aus Aufgabe [%],15, ,3 1,47 7 Der theoretische Wert für die Phasenverschiebung ψ wird beschrieben durch die Funktion ψ = arctan βω. Unsere Beobachtungen decken sich hiermit: Weit unterhalb ω der Resonanzfrequenz Ω ist kaum eine Phasenverschiebung zu erkenne, während die Phasendifferenz bei der Resonanzfrequenz etwa ψ = π beträgt und darüber bis auf ψ = π zunimmt. 3

4 5. AUFGABE 5 Wir haben für drei unterschiedliche Widerstände Resonanzkurven I(ω) aufgenommen. Zur Bestimmung der Güte nach Q = ω = ω haben wir die Resonanzbreite abgelesen und ω bestimmt. Teilweise war das Ablesen der Resonanzbreite recht schwierig, β ω es sind sicher Ablesefehler aufgetreten. Dadurch erklären sich die Abweichungen. Zudem haben wir die Güte über die Resonanzüberhöhung an Spule und Kondensator bestimmt: Q = Umax U. TABELLE 5. Gütefaktoren beim Schwingkreis R(Ω) Q = ω ω Q = Umax U 8, 1, 14, ,9 5,7 16 1,8 3,7 9 Abweichung Das Minimum der Impedanzkurve tritt nicht bei der gleichen Frequenz wie das Maximum der Resonanzkurve. Wir nehmen an, dass der Kondensator nicht die im Aufgabenblatt angegebene Kapazität besitzt, sondern von dieser abweicht. Das wäre bei einem industriell gefertigten Kondensator durchaus möglich. Dadurch lässt sich die Verschiebung des Impedanzminimums gegenüber der Resonanzfrequenz erklären. 6. ABBILDUNGEN 4

5 Winkel über Zeit 1,5 1,5 1,5rad*e^(,3/s*t) phi [rad], 5, 1, 15,, 5, 3, 35, 4, 45, 5, 55, 6, 65, 7, 75, 8, 85, 9, 95, -,5-1 -1,5 - t [s] ABBILDUNG 1. A1: Winkel-Zeit-Diagramm mit einhüllender e-funktion Omega über der Zeit 6 4 Omega [1/s], 5, 1, 15,, 5, 3, 35, 4, 45, 5, 55, 6, 65, 7, 75, 8, 85, 9, 95, t [s] ABBILDUNG. A1: Winkelgeschwindigkeit-Zeit-Verlauf 5

6 Phasenraumdiagramm ,5-1 -,5,5 1 1, phi [rad] ABBILDUNG 3. A1: Phasenraumdiagramm Energie über der Zeit,16,14,1,1 Energie [J],8,6,4,, 5, 1, 15,, 5, 3, 35, 4, 45, 5, 55, 6, 65, 7, 75, 8, 85, 9, 95, t [s] ABBILDUNG 4. A1: Energie-Zeit-Verlauf 6

7 Ib=1 ma 1,5 1,5 1,61rad*e^(-,31/s*t) phi [rad] ,5-1 -1,5 - t [s] ABBILDUNG 5. A: Winkel-Zeit-Diagramm für I B = 1mA Ib= ma 1,5 1,5 1,55 rad*e^(-,51/s*t) phi [rad] ,5-1 -1,5 - t [s] ABBILDUNG 6. A: Winkel-Zeit-Diagramm für I B = ma 7

8 Ib=4 ma 1,5 1,5 1,35 rad*e^(-,19/s*t) phi [rad] ,5-1 -1,5 t [s] ABBILDUNG 7. A: Winkel-Zeit-Diagramm für I B = 4mA Ib=7mA 1,5 1 phi [rad],5 1,43 rad*e^(-,4/s*t), 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1, 11, 1, 13, -,5-1 t [s] ABBILDUNG 8. A: Winkel-Zeit-Diagramm für I B = 7mA 8

9 Dämpfungskonstante in Abhängigkeit von Ib,7,6,5 beta^(1/) [s^(1/)],4,3,, Ib [ma] ABBILDUNG 9. A: Dämpfungs-Bremsstrom-Diagramm 9

10 Resonanzkurve bei Ib=mA 1,8 1,6 1,4 1, phi [rad] 1,8,6,4,,,4,6,8 1 1, 1,4 1,6 1,8,,4,6,8 3 3, 3,4 3,6 3,8 4 4, 4,4 4,6 4,8 5 5, ABBILDUNG 1. A4: Resonanzkurve für I B = ma Resonanzkurve bei Ib=4mA,6,5,4 phi [rad],3,,1,5 1 1,5,5 3 3,5 4 4,5 ABBILDUNG 11. A4: Resonanzkurve für I B = 4mA 1

11 !"#$%&'(&')*+,-%.(/13415!"#$%&%'()*+",-".,!/1,$ A 898? 898> ;,7<: 898= 898< 898; 898: =9A 78?<<9: 77;?:9> 7:8889A 7:>:A9: 5*"6)"%',789#: 6*'17 ABBILDUNG 1. A5: Resonanzkurve für R = 8, Ω Impedanz bei R=8, ohm Z [ohm] ,3 788,5 76,7 7916,8 831, 8545,1 8859,3 9173,5 9487,6 981,8 1115,9 143,1 1744, 1158,4 1137, ,7 1,9 1315, 169, ABBILDUNG 13. A: Impedanz für R = 8, Ω 11

12 Spannungsverlauf bei R=8, ohm U [V] 15 Uc Ul Ug ,3 76,7 831, 8859,3 9487,6 1115,9 1744, 1137,6 1,9 169, ABBILDUNG 14. A5: Spannungsverlauf für R = 8, Ω Phasenverschiebung bei R=8, ohm 1 Phasenverschiebung in f [Hz] ABBILDUNG 15. A: Phasenverschiebung für R = 8, Ω 1

13 Resonanzkurve bei R=47 ohm,4,35,3,5 I [A],,15,1,5 6974,3 71, 75,7 7351,3 7477, 76,7 778,3 7854, 7979,6 815,3 831, 8356,6 848,3 868, 8733,6 8859,3 8985, 911,6 936,3 9361,9 9487,6 9613,3 9738,9 9864,6 999,3 1115,9 141,6 1367,3 149,9 1618,6 1744, 1869,9 1995,6 1111, 1146,9 1137, , 1163,9 ABBILDUNG 16. A5: Resonanzkurve für R = 47Ω Impedanz bei R=47 ohm 3 5 Z [ohm] ,3 7477, 7979,6 848,3 8985, 9487,6 999,3 149,9 1995, , ABBILDUNG 17. A: Impedanz für R = 47Ω 13

14 Spannungsverlauf bei R=47 ohm U [V] 8 6 Uc Ul Ug ,3 788,5 76,7 7916,8 831, 8545,1 8859,3 9173,5 9487,6 981,8 1115,9 143,1 1744, 1158,4 1137, ,7 w [1/s] ABBILDUNG 18. A5: Spannungsverlauf für R = 47Ω Phasenverschiebung bei R=47 ohm Phasenverschiebung in f [Hz] ABBILDUNG 19. A: Phasenverschiebung für R = 47Ω 14

15 Resonanzkurve bei R=1 ohm,,18,16,14,1 I [A],1,8,6,4, 71, 7476, ,98 83,97 867, , , , ,93 149,9 1869, ,9 1163,89 ABBILDUNG. A5: Resonanzkurve für R = 1Ω Impedanz bei R=1 ohm 3 5 Z [ohm] , ,33 778,3 815,31 848,3 8859,9 936,8 9613,7 999,6 1367,6 1744,5 1111, ,3 ABBILDUNG 1. A: Impedanz für R = 1Ω 15

16 Spannungsverlauf bei R= 1 ohm U [V] 4 3 Uc Ul Ug , ,33 778,3 815,31 848,3 8859,9 936,8 9613,7 999,6 1367,6 1744,5 1111, ,3 ABBILDUNG. A5: Spannungsverlauf für R = 1Ω Phasenverschiebung bei R=1 ohm Phasenverschiebung in f [Hz] ABBILDUNG 3. A: Phasenverschiebung für R = 1Ω 16

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