Stochastisches Denken. ... zum Glück gibt s Mathe! Rezepte Regeln Rechnen. Wege wählen. Begriffe bilden und begreifen. Fehler klären.

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Karl Wolf
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Regeln Rechnen Wege ählen Begriffe bilden und begreifen Fehler

1 Stochastisches Denken... um Glück gibt s Mathe! Wilfried Herget Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg Reepte Regeln Rechnen Wege ählen Begriffe bilden und begreifen Fehler klären Experimentieren Argumentieren, Kommuniieren Mathematik (hinein-)sehen Modellieren

2 Spiegel, 39/000

3 Stochastisches Denken entickeln Vor-Einstellungen der Schülerinnen und Schüler aufgreifen einfache, aber informative Experimente hin u tragfähigen und dauerhaften stochastischen Grundvorstellungen (Peter Bender)

4 Einer der großen Vorteile der Wahrscheinlichkeitsrechnung ist der, dass man lernt, dem ersten Anschein u misstrauen. Pierre-Simon de Laplace Lehrer Lämpel hat egen überraschenden Frühlingseinbruchs leider keine Zeit, die Stochastik-Klassenarbeit ausführlich u korrigieren. Lettes Jahr hat er in einer ähnlichen Notlage die Noten einfach mit einem Spielürfel ausgeürfelt aber leider gab es dabei ungefähr ein Drittel Fünfen und Sechsen und entsprechend viel Ärger mit der Klasse, den Eltern, der Schulleitung. Daher vergibt er die Noten nach einem neuen Verfahren: Für jede der 30 Arbeiten irft er 4-mal eine Müne, ählt, ie oft dabei Wappen gefallen ist, addiert dau und notiert dieses Ergebnis als Note. Wie ird die Klassenarbeit ausfallen? Wird es dieses Mal eniger Ärger geben?

5 Erartungsmuster für den Notenspiegel Anahl Wappen Note Gemeinsam erarteter Notenspiegel Proentualer Anteil Experiment Der gan persönliche Notenspiegel Wurf- Nr. Georfene Münseitenfolge Note Wurf- Nr. Georfene Münseitenfolge Note

6 Zusammentragen der Einelergebnisse Anahl Wappen Note Summe Gesamt-Notenspiegel (proentualer Anteil) Prognose für die nächste Klassenarbeit Häufigkeiten als sehr gute Informationen Ziel: Bestmögliche Prognose Wahrscheinlichkeit Reihe

7 Wahrscheinlichkeit als bestmögliche Prognose Wahrscheinlichkeit als bestmögliche Prognose Schätung Relative Häufigkeit Wahrscheinlichkeit Voraussage Entickeln von tragfähigen Grundvorstellungen, die eit über das konkrete Beispiel hinaus von prinipieller Bedeutung sind!

8 4-mal Werfen einer Müne Systematisches Aufählen aller Möglichkeiten 6 Elementar-Ereignisse: (,,,), (,,,),, (,,,) Alle diese 6 Elementar-Ereignisse sind gleich ahrscheinlich Wirklich??? Wirklich! sog. Laplace-Modell 4-mal Werfen einer Müne Baum der Elementar-Ereignisse Modell: 4 Münürfe nacheinander Jeder einelne Münurf hat Ausgänge, die gleich ahrscheinlich sind Die einelnen Münurfe sind voneinander unabhängig Wahrscheinlichkeit für jede Baumvereigung

9 /6 = P(genau 4 Wappen) 4-mal Werfen einer Müne 4/6 6/6 = P(genau 3 Wappen) = P(genau Wappen) 4/6 = P(genau Wappen) /6 = P(genau 0 Wappen) Noten Zugehörige Wahrscheinlichkeiten ,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, 0 Graphische Veranschaulichung Note Note Note 3 Note 4 Note 5

4-mal Werfen einer Müne eigenes Vermuten gemeinsames Erartungsmuster eigenes Experimentieren eigenes und gemeinsames Reflektieren gemeinsame mathematische Modellbildung Lehrer Lämpel hat egen

10 4-mal Werfen einer Müne eigenes Vermuten gemeinsames Erartungsmuster eigenes Experimentieren eigenes und gemeinsames Reflektieren gemeinsame mathematische Modellbildung Lehrer Lämpel hat egen überraschenden leider keine Zeit, die Stochastik-Klassenarbeit ausführlich u korrigieren. Diesmal ill er die Noten nach einem neuen Verfahren ermitteln: Für jede der 30 Arbeiten irft er -mal einen Würfel, addiert die Augenahlen und und??? Wie könnte er hieraus die jeeilige Note bestimmen? Entickeln Sie einen Vorschlag dafür! Und dann natürlich die Frage: Wie ird ohl die Klassenarbeit ausfallen?

Einstiegssituationen Mehrfacher Münurf Würfel-Summen Entscheidend dabei ist, ie diese Beispiele im Unterricht behandelt erden: Entscheidend dabei ist, ie diese Beispiele im Unterricht behandelt

12 Einstiegssituationen Mehrfacher Münurf Würfel-Summen Entscheidend dabei ist, ie diese Beispiele im Unterricht behandelt erden: Entscheidend dabei ist, ie diese Beispiele im Unterricht behandelt erden: die ausführliche Auseinandersetung mit den Vor-Einstellungen der Schülerinnen und Schüler die ausführliche Auseinandersetung mit den Ergebnissen der selbst gestalteten, beusst beobachteten und sorgfältig ausgeerteten Experimente der Wechsel ischen Einelarbeit, Gruppenarbeit und Klassengespräch das erlebte Spannungsfeld ischen eigenen Experimenten, eigener und gemeinsamer Reflexion und gemeinsamer mathematisch-abstrahierender Modellbildung.

13 Stochastisches Denken entickeln Der Unterricht lebt von ausgeählten Experimenten, die echte Fragen beantorten. Vor Durchführung der Experimente erden die Erartungen der Lernenden festgehalten. Grundvoraussetungen erden formuliert und präisiert. Darauf aufbauend erden (mit Hilfe der Wahrscheinlichkeitsrechnung) Prognosen für Versuchsausgänge begründet. Schließlich erden diese Prognosen mit den Versuchsergebnissen und den ursprünglichen Erartungen verglichen. Brückenschläge intuitive Vorstellungen aufgrund von Erfahrungen beusste Beobachtung formal-mathematische Beschreibung modellbildende Reflexion Umgangssprache Fachsprache verständiges Erschließen kompetentes Anenden mathematischer Begriffe und Verfahren (Günter Schmidt)

und König. Man ieht nacheinander ei Karten. Stimmen sie überein, dann hat man geonnen.

14 Spielen ist Experimentieren mit dem Zufall. Novalis (77 80) Zillinge iehen Auf dem Tisch liegen verdeckt 6 Karten, und ar 3 Damen, Buben und König. Man ieht nacheinander ei Karten. Stimmen sie überein, dann hat man geonnen. Wird man in diesem Spiel ohl oft geinnen? Probiert es u eit aus und überlegt. Herget/Jahnke/Kroll: Produktive Aufgaben für den Mathematikunterricht in der Sek I

15 Eine Würfelentscheidung Daniela und ihr jüngerer Bruder Jörg streiten sich häufig darum, er von ihnen den Müll runtertragen muss. Deshalb schlägt Daniela Jörg vor, einen Würfel entscheiden u lassen: Du darfst dreimal ürfeln. Ist eine Sechs dabei, trage ich den Müll runter, sonst machst du das. Jörg erscheint die Sache fair. Probiert es u eit aus und überlegt, as ihr von Danielas Vorschlag haltet. Herget/Jahnke/Kroll: Produktive Aufgaben für den Mathematikunterricht in der Sek I Staunen ist, ie ir seit Aristoteles issen, nicht das Ende, sondern der Anfang vieler tieferreichender Bemühungen. Hans Schupp Hans Schupp: Allgemeinbildender Stochastikunterricht. In: Stochastik in der Schule 4 (004) 3, 4 3

17 Landeshaushalt Rheinland-Pfal

18 ADAC motorelt 8/006 Werner Blum, 005

19 Unscher irst du sehen, dass dieser Zeig der Mathematik nicht eniger verickt als ergötlich ist! Daniel Bernoulli mathematik lehren, Heft 85 (997) Friedrich Verlag, PF , 3097 Seele Büchter, A.; Henn, H.-W.: Elementare Stochastik Eine Einführung in die Mathematik der Daten und des Zufalls Springer, Berlin 005 Herget, W.; Jahnke, T.; Kroll, W.: Produktive Aufgaben für den MU in der Sek I Cornelsen, Berlin 00

I: Aufgabenbeispiele, Unterrichtsanregungen, Fortbildungsideen Cornelsen Scriptor, Berlin ilfried.herget @ mathematik.uni-halle.

20 Büchter, A.; Herget, W.; Leuders, T.; Müller, J.: Die Fermi-Box Kallmeyer, Seele (Anfang 007) Blum, W.; Drüke-Noe, C.; Hartung, R.; Köller, O.: Bildungsstandards Mathematik: konkret. Sek. I: Aufgabenbeispiele, Unterrichtsanregungen, Fortbildungsideen Cornelsen Scriptor, Berlin mathematik.uni-halle.de Herget/Lehmann (Hg.): Neue Materialien für den Mathematikunterricht in der Sekundarstufe mit dem TI-83/-89/-9. Schroedel, Hannover 00 Lineare Funktionen Quadratische Funktionen Exponential- und Winkelfunktionen Stochastik Gleichungen

Klaus von Kliting Nobelpreis Physik 985 Je mehr man altert, desto mehr übereugt man sich davon, daß

21 Das Schlimmste aber ist, dass viele kein Fingerspitengefühl für Wahrscheinlichkeitsrechnung haben. Das sollte man als erstes jedem Kind beibringen. Klaus von Kliting Nobelpreis Physik 985 Je mehr man altert, desto mehr übereugt man sich davon, daß seine heilige Majestät, der Zufall, gut drei Viertel der Geschäfte dieses miserablen Universums besorgt. Preußens König Friedrich II (an Voltaire)

22 Sofern eine Begebenheit nicht unter einer besonderen Regel ihrer Ursache geschieht, so ist s Zufall. Immanuel Kant Zufall ist das, von dem auch das Gegenteil möglich ist. Immanuel Kant

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