2.6 Asymptotische Approximation: Min Binpacking

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1 2.6 Asymptotische Approximation: Min Binpacking In diesem Abschnitt geht es die Erscheinung, dass manche Optimierungsprobleme Approximationsalgorithmen haben, die nur für Inputs x mit groÿem Wert m (x) gute Approximationen an das Optimum liefern. Wir erinnern uns an das Beispiel des Binpackingproblems: Packe n Gegenstände mit Volumina a 1,..., a n in möglichst wenige Behälter (Bins) der Kapazität b. Formal: I = {(a 1,..., a n, b) n 1, a 1,..., a n, b N} { Sol(x) = ρ K n: ρ: {1,..., n} {1,..., K},, für alle l K gilt: wenn x = (a 1,..., a n, b) m(x, ρ) = K, wenn x = (a 1,..., a n, b) und ρ: {1,..., n} {1,..., K} goal = min 1 i n ρ(i)=l } a i b Wir erinnern uns auch, dass die Güte der möglichen polynomiellen Approximationsalgorithmen für dieses Problem nach unten beschränkt ist: Behauptung Wenn P NP, dann besitzt Min Binpacking keinen polynomiellen Approximationsalgorithmus mit Güte r < 2. Beweis. Indirekt. Wir nehmen an, es gäbe einen r-approximationsalgorithmus A für Min Binpacking mit r < 2, mit polynomieller Laufzeit. Wir folgern P = NP, indem wir einen Polynomialzeitalgorithmus B für das NP-vollständige Entscheidungsproblem PARTITION beschreiben. B arbeitet folgendermaÿen: Input: x = (a 1,..., a n ) Methode: 1 Berechne S := 1 i n a i ; 2 ρ := A(2a 1,..., 2a n, S); if m(x, ρ) = 2 then return I = {i: ρ(i) = 1} else return geht nicht. Algorithmus B benötigt oenbar, wie A, polynomielle Zeit. Wenn (a 1,..., a n ) dann passen die Objekte 2a 1,..., 2a n in 2 Behälter der Gröÿe jeweils S. Da A ein r-approximationsalgorithmus ist, gilt m(x, ρ) r m (x) < 2 m (x) =, also m(x, ρ) = 2, das heiÿt, dass ρ zwei Behälter benutzt, die beide mit Objekten des Volumens S gefüllt sind. Daher gibt B eine korrekte Auswahl I aus. Wenn (a 1,..., a n ) / PARTITION, dann passen die Objekte nicht in 2 Behälter der Gröÿe S, also gilt m(x, ρ), und B gibt die Antwort geht nicht aus. 1

2 Damit ist B tatsächlich ein Polynomialzeitalgorithmus für PARTITION, und wir erhalten P = NP im Widerspruch zur Voraussetzung. Der Beweis, den wir gerade gesehen haben, nutzt aus, dass das Partitionsproblem zum Binpackingproblem mit 2 oder Bins verwandt ist. Wenn die Anzahl der Behälter wächst, kann man bessere Approximationen erzielen. Wir betrachten einen solchen Algorithmus für das Binpackingproblem: First-Fit Decreasing, oder FFD. Algorithmus (FFD) Input: x = (a 1,..., a n, b) Methode: 1 Sortiere die Objekte, und benenne um, so dass a 1 a n ; 2 if a 1 > b then return geht nicht; for i := 1 to n do 4 füge a i in das Fach mit dem kleinsten Index ein, in dem noch Platz ist: { ρ(i) := min 5 return (ρ(1),..., ρ(n)). l 1 a i + j<i ρ(j)=l } a j b ; Es gilt folgendes: Theorem 2.6. Für alle Inputs x für Min Binpacking gilt: m(x, FFD(x)) 11 9 m (x) + 4. Das bedeutet, dass für Inputs x mit genügend groÿer optimaler Bin-Anzahl m (x) die Approximationsgüte viel besser ist als 2. Allgemeiner denieren wir: Denition Es sei P = (I, Sol, m, goal) ein NPO-Problem, und A ein Algorithmus für P. Die asymptotische Approximationsgüte von A bzgl. P ist deniert als R A = lim N sup{r A(x) x I, m (x) N}. Die zentrale Eigenschaft dieser Zahl (wenn sie existiert) ist Folgendes: Wenn r > R A beliebig ist, dann gibt es ein N = N r N, so dass A für alle Inputs x mit optimalen Kosten m (x) N eine Lösung mit Güte R A (x) r liefert. Wenn andererseits r < R A ist, dann gibt es Inputs x mit beliebig groÿem m (x), derart dass die Güte R A (x) gröÿer als r ist. Wir interessieren uns natürlich besonders für Polynomialzeitalgorithmen, die eine kleine asymptotische Approximationsgüte bieten. Satz 2.6. liefert sofort, dass FFD für MIN BINPA- CKING asymptotische Approximationsgüte 11 9 hat. 2

3 Wir können Satz 2.6. im Rahmen dieser Vorlesung nicht beweisen; der Beweis besteht im wesentlichen aus einer umfangreichen Fallunterscheidung. Um aber das Prinzip solcher Beweise kennenzulernen, beweisen wir eine schwächere Aussage. Man sollte sich dabei nicht daran stören, dass diese uns nicht unter die magische 2-Grenze bringt, sondern den Beweisansatz zu verstehen versuchen, der immerhin die Approximationsgüte 2 des FIRST-FIT-Algorithmus deutlich verbessert. Behauptung Für alle Inputs x für Min Binpacking gilt: m(x, FFD(x)) < 2 m (x) + 1. (Daraus folgt: R A 2.) Beweis. Ein Input x = (a 1,..., a n, b) sei gegeben. Wir können annehmen, dass a i b für alle i gilt (sonst ist m (x) = ). Es vereinfacht die Notation, wenn wir b = 1, und a 1,..., a n Q + annehmen, indem wir alle a i und die Behältergröÿe durch b teilen. Setze S := a i. 1 i n Weil auch in der optimalen Lösung alle Objekte untergebracht werden müssen, gilt oenbar m (x) S. (2.1) Wir teilen die Objekte in 4 Klassen ein: A = {i a i > 2 }, B = {i 2 a i > 1 2 }, C = {i 1 2 a i > 1 }, D = {i 1 a i}. Es sei k = m(x, FFD(x)) die Zahl der Behälter, die in der von FFD gelieferten Lösung benutzt werden. Wenn k = 1 ist, dann ist dies optimal. Wir können also k 2 annehmen, und die von FFD gelieferte Lösung ρ FFD untersuchen. 1. Fall: Es gibt einen Behälter, der ausschlieÿlich D-Objekte enthält. Betrachte denjenigen solchen Behälter, der als letzter begonnen wurde, das ist (wegen der First-Fit-Regel, und weil die Objekte nach fallendem Volumen angeordnet sind) Behälter Nummer k. Alle vorherigen k 1 Behälter müssen mit mehr als 2 belegt sein. Also gilt: S > 2 (k 1).

4 Mit (2.1) ergibt das m (x) > 2 (k 1), oder k < 2 m (x) + 1, wie gewünscht. 2. Fall: Alle D-Objekte passen in Behälter, die schon mit Objekten aus den Klassen A, B und C begonnen wurden. Wir zeigen gleich folgendes: Lemma Wenn der Input x = (a 1,..., a n, 1) nur A-, B- und C-Objekte enthält, dann liefert FFD eine optimale Lösung. Das heiÿt, dass im 2. Fall die A-, B- und C-Objekte k Behälter belegen, und dass allein diese Objekte auch in einer optimalen Verteilung mindestens k Behälter benötigen. Wenn zusätzlich einige D-Objekte vorhanden sind, können natürlich nicht plötzlich weniger Behälter ausreichend sein. Also gilt in diesem Fall k = m (x). Beweis von Lemma 2.6.6: Jedes A-Objekt benötigt in jeder Lösung einen Behälter für sich allein (kein B- oder C- Objekt passt zusätzlich). D. h. wir müssen uns nur um B- und C-Objekte kümmern. In keinem Behälter können zwei B-Objekte zusammen sitzen. Wir nehmen an, dass a 1,..., a k B-Objekte sind und a k+1,..., a n C-Objekte. Durch Umsortieren können wir immer erreichen, dass die B-Objekte a 1,..., a k in Behältern 1,..., k sitzen, in dieser Reihenfolge. Einige C-Objekte können in Behältern landen, die ein B-Objekt enthalten (B-Behälter), die anderen werden paarweise in C-Behälter gepackt. Für die Gesamtzahl der benötigten Behälter kommt es ausschlieÿlich auf die Zahl der C-Objekte an, die in die k B-Behälter passen. Es sei ρ eine optimale Verteilung, wobei a 1,..., a k in Behältern 1,..., k sitzen, und ρ FFD die von FFD erzeugte Verteilung. Wir müssen zeigen, dass ρ FFD ebenso viele C-Objekte in B-Behälter packt wie ρ. Bemerkung: Kurioserweise kann der Ablauf des FFD-Algorithmus recht komplex sein, selbst wenn es nur um B- und C-Objekte geht. Beispiel: i a i 0,6 0,62 0,61 0,59 0,56 0,54 0,47 0,46 0,45 0,40 0,40 0,40 0,7 0,6 B-Objekte: a 1,..., a 6, C-Objekte: a 7,..., a 14. Die B-Objekte werden in die Behälter 1 bis 6 gepackt. Objekt a 7 passt nicht (wandert also in einen C-Behälter). Objekt a 8 geht in Behälter 6, Objekt a 9 passt nicht, Objekt a 10 geht in Behälter 4, a 11 in Behälter 5, Objekt a 12 passt nicht, Objekt a 1 geht in Behälter 1 und und Objekt a 14 schlieÿlich in Behälter 2. Es ist also etwas dizil zu sehen, dass FFD keine Fehler macht. Wir formulieren und beweisen eine Induktionsbehauptung. IB j : Es gibt eine optimale Lösung ρ j, die a k+1,..., a j in dieselben B-Behälter packt (bzw. nicht packt) wie ρ FFD. 4

5 IB j wird durch Induktion über j = k, k + 1,..., n bewiesen. Für den Induktionsanfang, j = k, können wir ρ j = ρ nehmen. Nun nehmen wir als Induktionsvoraussetzung an, dass IB j 1 stimmt. ρ j 1 und FFD packen also a k+1,..., a j 1 gleich. Betrachte a j. Fall auÿen: FFD kann a j in keinen B-Behälter packen. In diesem Fall kann a j auch in ρ j 1 nicht in einem B-Behälter sitzen. Also können wir ρ j = ρ j 1 benutzen. Fall innen: FFD packt a j in den B-Behälter Nummer l, also zu a l. Wenn in ρ j 1 Behälter Nummer l gar kein C-Objekt enthält, erhalten wir ρ j aus ρ j 1, indem wir a j in den Behälter l verschieben. Wenn in ρ j 1 Behälter Nummer l das C-Objekt a j enthält, dann muss j j sein, weil in ρ j 1 die Objekte a k+1,..., a j 1 genauso wie bei FFD behandelt werden. Wenn j = j ist, setzen wir ρ j = ρ j 1. Wenn j > j ist, dann erhalten wir ρ j aus ρ j 1, indem wir a j und a j vertauschen. (Das ist möglich, weil a j + a l 1, denn FFD packt diese beiden zusammen, und a j a j, weil j > j und die Objekte fallend angeordnet sind.) Damit ist die Induktionsbehauptung bewiesen. Die Behauptung IB n besagt nun, dass die Art, wie FFD die C-Objekte verteilt, optimal ist. Damit ist Lemma (und auch Behauptung 2.6.5) bewiesen. Erreicht FFD noch bessere Approximationsgüten als 11 9? Ein Beispiel zeigt, dass es für jedes k einen Input x k = (a 1,..., a 0k, 1) gibt, der m (x) = 9k und m FFD (x) = 11k erfüllt, so dass die Approximationsgüte auch für Eingaben x mit groÿem m (x) nicht besser als 11 9 ist. Beispiel: Betrachte den Input x k = (a 1,..., a 0k ), der aus 0k Objekten besteht, in vier Gruppen A, B, C, D. Für irgendeine Zahl ε mit 0 < ε < 1 40 seien die Objektgröÿen wie folgt festgelegt: A : Für 1 i 6k : a i = ε, Weil und B : für 6k < i 12k : a i = ε, C : für 12k < i 18k : a i = ε, D : für 18k < i 0k : a i = 1 4 2ε. ( ε) + ( ε) + ( 1 4 2ε) + ( 1 4 2ε) = 1 ( ε) + ( ε) + ( 1 4 2ε) = 1, füllt eine optimale Lösung k Behälter mit je 2 B- und D-Objekten und 6k Behälter mit je einem A-Objekt, einem C-Objekt und einem D-Objekt. Alle 9k Behälter sind perfekt gefüllt, also ist m (x k ) = 9k. Der Algorithmus FFD erzeugt 6k Behälter mit je einem A- und einem B-Objekt (Füllung 4 + ε, kein weiteres Objekt passt), dann 2k Behälter mit je drei C-Objekten (Füllung 4 + ε, kein weiteres Objekt passt), und schlieÿlich k Behälter mit je vier C-Objekten (Füllung 1 1 8ε; weil 4 2ε > 8ε, passt kein weiteres D-Objekt). Das ergibt einen Verbrauch von m FFD (x k ) = 11k Behältern. Man kann fragen, was der kleinste Wert R A ist, den man mit einem Polynomialzeitalgorithmus A überhaupt erreichen kann. Hierzu deniert man: 5

6 Denition R (P) := inf{r A A ist Polynomialzeit-Algorithmus für P}. Im besten Fall ist R (P) = 1, d. h. dass für jedes r > 1 ein polynomieller Algorithmus A r existiert, der auf P asymptotische Approximationsgüte r hat. Wir werden später sehen, dass dies für Min Binpacking der Fall ist. 6