Aufgabe 2 Berechne zur gegebenen Funktion die erste und zweite Ableitung. Wie groß ist die Steigung in den Punkten x = { 1,0,50}?

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Eike Böhm
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Testarbeit Mathematik Klasse Name Aufgabe Skizziere die Ableitung! Wie groß ist die Steigung ungefähr bei x =,0,,, { }? Kennzeichne lokale Minima, Maxima und den Wendepunkt.

1 Testarbeit Mathematik Klasse Name Aufgabe Skizziere die Ableitung! Wie groß ist die Steigung ungefähr bei x =,0,,, { }? Kennzeichne lokale Minima, Maxima und den Wendepunkt. Was passiert beim Wendepunkt? Welche der drei gegebenen Ableitungen gibt die obige Ableitung wieder? f (x)= x f (x)= x x f (x)= x x Aufgabe Berechne zur gegebenen Funktion die erste und zweite Ableitung. Wie groß ist die Steigung in den Punkten x = {,0,0}? f(x)= x 8 x + x 7. Lippert Sonntag, 6. Mai 00 Aufgabe Untersuche die abschnittsweise definierten Funktionen auf Stetigkeit Wie groß ist die Steigung an der»nahtstelle«? (nur gymnasiale Stufe) (x)= x x x x > x x <0 x x >0 /

2 Aufgabe (nur gymnasiale Stufe) Berechne die Steigung der Funktion mit Hilfe des Differenzialquotienten (ohne Ableitungsregeln). f(x)= x. Aufgabe Zeige, dass die Funktion mindestens eine Nullstelle besitzt. (x)= x Aufgabe 6* (zusätzliche Punkte) Gegeben ist die Funktion f : x x (x)= x 7x +00 Wie lautet die Funktionsvorschrift (lineare Funktion) für die Tangente an die Funktion im Punkt P ;f() ( )? Raum für persönliche Skizzen Lippert Sonntag, 6. Mai 00 /

3 Aufgabe f (x)= x x f ( )= f (0)= 0 f ()= f ()= 0 f ()= P Skizze ( Nullstellen, (;-), (-;),, ) P Steigungen P Min, Max, Wendepunkt P Wendep. Rechts- linkskrümmung P Parabel (Kreuz zweites Kästchen Punkte Beim Wendepunkt geht die Rechtskrümmung in eine Linkskrümmung über. Die Funktion hat im Wendepunkt maximale Steigung (Betrag) zwischen Extrempunkten. École Internationale Allemande Aufgabe -7 f (x)= x x + f (x)= x f ( )= ( ) ( )+ = + + = 6 f (0)= 0 0+ = P f (x) für jeden Summanden ein Punkt P f (x) für jeden Summanden ein Punkt P f(-), f(0), f(0) jeweils ein Punkt 0 Punkte f (0)= 0 0+ = 000,+ = 99, Lippert Mittwoch,. September 009 a) P f() von links Aufgabe P limf() von rechts x x f a ()= = P Schlussfolgerung Stetigkeit x x > limf x a (x) x0 x 0 = 8 = x> x 0 > f a () f a (x 0 ); f a (x) ist stetig in x 0 =, da Funktionswert und Grenzwert dort identisch sind. x0 x 0 > b) x x <0 P keine Stetigkeit wegen Definitionslücke x x >0 Die Funktion hat an der Stelle x = 0 eine Definitionslücke und ist daher in diesem Punkt nicht stetig. Sie kann jedoch sehr leicht stetig gemacht werden, indem man x = 0 zu einem der beiden Funktionsterme hinzunimmt. x x 0 f bneu (0)= 0 = f bneu x x >0 lim f x0 0 bneu (x 0 ) x x0 0 0 = 0 = x>0 x>0 8 Punkte /

4 x x m(x) = ( x ) = x m()= von links x x > m(x) = ( x ) = von rechts Die Steigung ist immer ein Grenzwert, bei dem man das Steigungsdreieck beliebig klein werden lässt. Bei dieser Funktion ist die Steigung an der Nahtstelle von beiden Seiten identisch.»die Funktion hat an der Nahtstelle keinen Knick«Gymnasium x x <0 m(x)= ( x (x)= ) = m(0)= P a) m(x) x x >0 m(x)= ( x ) P b) m(x) = x m(0)= 0 Punkte Die Steigungen von links und rechts sind unterschiedlich.»die Funktion hat an der Nahtstelle einen Knick«Lippert Mittwoch,. September 009 Aufgabe ( x + h) x ( x + h ) x f (x) h 0 h h 0 h h 0 Aufgabe h x + h ( ) h h 0 ( ) x ( ) ( x ) x + h h 0 x + h ( x + h ) ( x ) = ( x ) ( x ) = ( x ) ( ) ( )( x ) : h h 0 ( x + h ) x = x x x h+ ( ) h ( ( ) ) (x)= unstetig im Punkt x x 0 =. Zwischenwertsatz findet keine Anwendung, da er die Stetigkeit voraussetzt. Nur der Nenner kann sich verändern. Es gibt keinen Nenner, der einen Bruch zu Null werden lässt. Diese Funktion hat keine Nullstelle. (x)= x 7x +00 Die Funktion ist stetig. Nachweis muss nicht geführt werden, da Polynome stetig sind. a) Gymnasium 8P für jeden hier gezeigten Schritt ein Punkt. f b ( )= = <0 mindestens eine Nullestelle f b (0)= =00 >0 P unstetig kein Nullstellensatz, Bruch kann nicht Null werden, wenn Zähler 0 b) P je einen für f(x)<0 und f(x)>0 Anwendung Zwischenwert- oder Nullstellensatz /

Aufgabe 6* École Internationale Allemande - - - - 0 - - f(x)= x ; f (x)= x; m = f ()= = Steigung im Punkt x =. Geradengleichung: y = mx + c Gesucht ist nun die y-achsenverschiebung c.

5 Aufgabe 6* École Internationale Allemande f(x)= x ; f (x)= x; m = f ()= = Steigung im Punkt x =. Geradengleichung: y = mx + c Gesucht ist nun die y-achsenverschiebung c. Die Funktion muss durch den Punkt P( ;f()= = ), also durch P( ; ). Wir geben die Punktkoordinaten in die Geradengleichung: = m + c. m ist durch die Ableitung in x = bekannt, also erhalten wir die Gleichung: = + c aufgelösen nach c ergibt: 8 = = c y p = mx p + c Lippert Mittwoch,. September 009 Die Geradengleichung für die Tangente lautet also für m = und c = : g(x)= x. (siehe Zeichnung oben) P Ableitung P Steigung in : f ()=/ P Berechnung y-wert f() P Einsetzen von m, xp und yp in Geradengleichung P nach c P Darstellung der Geradengleichung 0 Punkte /

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