Mündliche Abiturprüfung in Mathematik

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1 Mündliche Abiturprüfung in Mathematik Materialien vom Landesbildungsserver: 1 Tagungsbericht Zweiundzwanzig Kolleginnen und Kollegen aus ganz Baden-Württemberg trafen sich an der Staatlichen Akademie für Lehrerfortbildung in Calw zu einer Tagung mit dem Thema "Vorbereitung und Durchführung der neuen Form der mündlichen Abiturprüfung im Fach Mathematik". Unter der fachkundigen Leitung von Frau StD'in Buck (Bildungszentrum Nord Gymnasium, Reutlingen) und Herrn Prof. Dürr (Staatl.Seminar für Schulpädagogik (Gym), Tübingen) beschäftigten sich die Teilnehmerinnen und Teilnehmer mit der veränderten Konzeption zur mündlichen Abiturprüfung, die ab dem Abitur 2004 für Gymnasien in Baden-Württemberg verpflichtend ist. Ziel der Tagung Die Tagung diente der Reflexion der eigenen Arbeit in bezug auf die mündliche Abiturprüfung. Alle auf der Tagung vorgetragenen und hier wiedergegebenen Ideen und Beispiele sollen vor allem eine breite fachliche Diskussion anregen. Es ist nicht daran gedacht, an dieser Stelle einheitliche Musterlösungen zu liefern. Vielmehr sollten alle Fachkolleginnen und Fachkollegen die bewusst in den Erlass eingearbeiteten Freiräume nutzen. Erlass Der Erlass sieht für die Fächer der schriftlichen Abiturprüfung (also insbesondere Mathematik) eine zweigeteilte mündliche Prüfung vor: An einen etwa zehnminütigen Kurzvortrag des Prüflings schließt sich ein Prüfungsgespräch an. Es handelt sich somit nicht um die Form der vorbereiteten Präsentation mit Prüfungsgespräch! Vielmehr orientiert sich der Erlass an der bereits bisher praktizierten Art der mündlichen Abiturprüfung in Mathematik. Allerdings werden offene Fragestellungen und selbständiges Vortragen erwartet. Seite 1

2 Ziele In der mündlichen Prüfung soll der Prüfling nicht nur den Nachweis des fachlichen Wissens erbringen; vielmehr wird auch die Fähigkeit erwartet, diese Fachwissen angemessen darzustellen. Neben die fachliche Leistung treten somit weitere Ziele (zum Beispiel Transferfähigkeit, Kommunikationsfähigkeit, Methodenkompetenz). Prüfungsstruktur Die Prüfung wird in Form einer Einzelprüfung (Dauer ca. 20 Minuten) bei einer Vorbereitungszeit von ebenfalls 20 Minuten durchgeführt. Während der Vorbereitungszeit bearbeitet der Prüfling eine thematisch in sich geschlossene Aufgabe. Die Prüfung selbst beginnt mit der Präsentation der Lösung zu der gestellten Aufgabe in einem selbständigen ca. 10-minütigen Schülervortrag. Der zweite Teil von etwa gleicher Dauer sollte mit unmittelbaren Rückfragen zu der präsentierten Lösung beginnen. Weitere Fragen dienen der Erweiterung des Umfelds der Prüfungsaufgabe und vor allem der Prüfung weiterer Lehrplaninhalte. In diesem Teil wird Wert gelegt auf den Nachweis der Breite (weniger der Tiefe) des Gelernten. An ein Abfragen nicht zusammenhängender Inhalte ist nicht gedacht. Die Präsentation der während der Vorbereitungszeit erarbeiteten Lösung kann medienunterstützt sein. Vorbereitung Präsentation der vorbereiteten Lösung Rückfragen zur präsentierten Lösung Prüfungsgespräch über weitere mathematische Inhalte 20 Minuten ca. 10 Minuten ca. 10 Minuten Inhalte Inhaltlich kann sich die Prüfung auf alle Lehrplanthemen einschließlich Wahlthemen bzw. Module erstrecken. Es soll sich jedoch nicht um eine Wiederholung der schriftlichen Prüfung handeln, vielmehr soll diese inhaltlich und methodisch ergänzt werden. Beurteilung Gemäß den oben formulierten Zielen wird sowohl die fachliche als auch die überfachliche Kompetenz (also Inhalt und Präsentation) bewertet. Tagungsprogramm Analyse herkömmlicher Aufgaben Vorstellung und Erarbeitung veränderter Prüfungsaufgaben Vorbereitung der Schülerinnen und Schüler auf die mündliche Prüfung Mündliche Prüfungen aus Schülersicht Erarbeitung von Beobachtungs- und Beurteilungskriterien Beurteilungsfehler Beurteilung einer konkreten Prüfung (Videoaufzeichnung) Seite 2

3 2 Herkömmliche Aufgaben Negativ-Beispiel (Quelle aller Aufgaben: Buck/ Dürr / Tagungsteilnehmer) In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Ebene E und die Gerade g gegeben. E: x 1 + 2x 2 + 2x 3 18 = 0 Voraussetzung a) Bestimmen Sie den Abstand der Ebene vom Ursprung. b) Bestimmen Sie die Schnittpunkte der Ebene mit den Koordinatenachsen und veranschaulichen Sie die Ebene in einem Schrägbild. c) Bestimmen Sie den Schnittpunkt der Ebene mit der Geraden g. d) Bestimmen Sie den Winkel zwischen der Ebene E und der x 1 x 2 -Ebene. Berechnung nach bekannter Formel Berechnen und Visualisieren Berechnung Berechnung Weitere Kritikpunkte: Enge Fragestellung, Kein ansteigender Schwierigkeitsgrad, Keine erkennbare Vertiefungsmöglichkeiten, Eventuelle Nähe zum a)-teil der schriftlichen Prüfung, Transferteil fehlt. Seite 3

4 3 Veränderte Aufgaben (Quelle aller Aufgaben: Buck/ Dürr / Tagungsteilnehmer) Kriterien Die veränderten Aufgaben sollen dem Prüfling ermöglichen, sein fachliches und methodische Können zu zeigen. Hierzu benötigt man, neben dem traditionellen einfachen Einstieg, einen deutlich ansteigenden Schwierigkeitsgrad in den Aufgabenteilen b) bis d), eine möglichst offene Fragestellungen zumindest im letzten Teil und an geeigneten Stellen die Möglichkeit, dass die Schülerin bzw. der Schüler von sich aus auf andere mathematische Inhalte verzweigt und so ihren / seinen fachlichen Überblick nachweist. Während der Tagung zeigte sich, dass die Umformulierung herkömmlicher Aufgaben unter den genannten Gesichtspunkten leicht fällt. Beispiel Gegeben sind die Funktionen f 1, f 2, f 3 und f 4 mit f 1 (x) = e x ; f 2 (x) = e -x ; f 3 (x) = - e x ; f 4 (x) = 2 - e -x. Auf der Folie ist das Schaubild einer dieser Funktionen eingezeichnet. Voraussetzung Leichter Einstieg. Schwache Schülerinnen / Schüler können Wertetafel bzw. Schaubild auch über GTR berechnen bzw. darstellen. Starke Prüflinge argumentieren mit Abbildungen. Zeichnen Sie die Schaubilder der anderen drei Funktionen ein. Prüfen Sie rechnerisch nach, ob sich die Schaubilder von f 1 und f 4 berühren. Stellen Sie Anwendungen dar, bei denen Exponentialfunktionen eine Rolle spielen. Warum verwendet man dabei meistens die Basis e? Die Grundlage einer Präsentation über Folie ist gegeben. Die Schülerin / der Schüler wählt die Methode selbst. Der Einsatz des GTR ist möglich. Offene Fragestellung. Schnell ansteigender Schwierigkeitsgrad. Verzweigungen sind möglich, z.b. zu den Wachstumsfunktionen. Verzweigung ist möglich, z.b. zur Herleitung von e. Auch Spitzenleute sind gefordert! Seite 4

5 Weitere veränderte Aufgaben Aufgabe 2: ( Ebenen ) a. Eine Ebene hat die Parametergleichung ; mit s, t IR. Erläutern Sie die darin vorkommenden Vektoren anhand einer Skizze. b. Die untenstehende Abbildung zeigt die Skizze einer Ebene E. Geben Sie eine Parametergleichung von E an. Gibt es noch weitere Parametergleichungen von E? c. Was versteht man unter der Normalenform einer Ebenengleichung? Wie erhält man aus einer Parametergleichung einer Ebene eine Gleichung in Normalenform? Welche Vorteile hat die Normalenform? Aufgabe 3: ( Gebrochenrationale Funktionen ) Gegeben ist die Funktion f mit. a) Untersuchen Sie das Schaubild von f auf Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen und auf Asymptoten. Skizzieren Sie das Schaubild von f. b) Erläutern Sie den Begriff "waagerechte Asymptote". c) Welche anderen Arten von Asymptoten können Schaubilder von gebrochenrationalen Funktionen noch haben? Geben Sie jeweils ein Beispiel an. d) Gibt es gebrochenrationale Funktionen, deren Schaubilder keine senkrechten Asymptoten haben? Seite 5

6 Aufgabe 4: ( Lineare Gleichungssysteme ) a) Berechnen Sie die Lösung des folgenden linearen Gleichungssystems. 2x 1 -x 2 + 2x 3 = 10 x 2 + x 3 = 1 2x 2-3x 3 = -13 b) Beschreiben Sie das Gauß-Verfahren zur Bestimmung der Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystem. c) Bestimmen Sie die Lösungsmenge des folgenden linearen Gleichungssystems. x 1 + x 2 + 2x 3 = 4 3x 1 + 2x 2 + x 3 = 6 Geben Sie die Lösungsmenge auch in Vektorform an. d) Interpretieren Sie die Aufgabe c) samt Ihrer Lösung geometrisch. Aufgabe 5: ( Geraden ) a) Die Gerade g geht durch die Punkte A (2 1 0) und B (3 0 2). Prüfen Sie, ob der Punkt C (0 3-4) auf der Geraden g liegt. b) Die Gerade h ist parallel zur Geraden g und geht durch den Punkt D (0 0 4). Geben Sie eine Gleichung der Geraden h an. Erläutern Sie, wie man den Abstand der beiden Geraden g und h berechnen kann. c) Was versteht man unter "windschiefen" Geraden? Wie kann man die gegenseitige Lage zweier Geraden untersuchen? Seite 6

7 Aufgabe 6: ( Schaubilder ) Gegeben ist folgendes Schaubild einer Funktion f. a) Skizziere das Schaubild der zugehörigen Ableitungsfunktion f'. b) Was lässt sich über das Schaubild einer zu f gehörenden Stammfunktion F aussagen? (Hinweis: Denke an Hoch-, Tiefpunkte, Monotonieverhalten, Links-, Rechtskrümmung, Wendepunkte (mit kurzer Begründung!) ). Diskussion zu Aufgabe 6 Sind die Hinweise in der Klammer nötig? Vorschlag zur Formulierung: Teil 1: Überprüfe die Extrempunkte! Teil 2: Überprüfe weitere Eigenschaften! Aufgabe 7: ( Exponentialfunktion ) f(x) = (x 5) e x a) Skizzieren Sie mit Hilfe des GTR den Graphen der Funktion f! Hat das Schaubild Asymptoten? c) Wie kann man Extremstellen der Funktion rechnerisch bestimmen? c) Die Funktion f gehört zur Funktionenschar g mit g(x) = a(x - d) e x. Zusammenhang? Diskussion zu Aufgabe 7 Genügt diese Formulierung aus Teil a)? Ist präziser nach den Asymptoten zu fragen? Wie wurde es im vorhergehenden Unterricht geschult? Reicht das Stichwort "Zusammenhang" in Teil c) aus? Seite 7

8 Aufgabe 8: (Gebrochen rationale Funktionen ) a) Ordne folgende Funktionsterme den abgebildeten Schaubildern zu (mit kurzer Begründung). b) Erläutere, wie man den Extremwert von f 1 - ohne Verwendung des Schaubildes - bestimmen kann. Um welche Art des Extremums handelt es sich? Hinweis zu Aufgabe 8 Um die Aufgaben bewerten zu können, wäre ein Erwartungshorizont und weitergehende Fragestellungen für jeden Schwierigkeitsgrad sinnvoll. Seite 8

9 Aufgabe 9: (Ableitungsfunktion ) a) Erläutern Sie die geometrische Bedeutung der 1. Ableitung anhand der Funktion f mit f(x)=(x-1)², x aus IR b) Von den zwei Kurven K und C (siehe Abbildung oben) stellt eine das Schaubild einer Funktion f, die andere das Schaubild der Ableitungsfunktion f' dar. Welche Kurve ist das Schaubild von f? Begründen Sie Ihre Aussage. c) Welche Aussagen kann man mithilfe der 1. Ableitung über den Verlauf des Schaubilds einer Funktion f treffen? Seite 9

10 Aufgabe 10: (Extremwerte und Ableitungsfunktion ) a) Erläutern Sie anhand einer Skizze die Begriffe absolute und relative Extrema. b) Wie können Extremwerte ermittelt werden? c) Ermitteln Sie die Hoch- bzw. Tiefpunkte im Schaubild der Funktion f mit d) Gegeben ist das folgende Schaubild einer Funktion g. Skizzieren Sie das Schaubild der Ableitungsfunktion. Hinweis zu Aufgabe 10 Es handelt sich um die Funktion Zusätze: Wendepunkte / Begriffe: notwendig, hinreichend; Beispiele dazu; Verschiebung des Graphen um 1 nach oben, wie ändert sich Funktionsterm? Seite 10

11 Aufgabe 11: (Asymptoten ) Gebrochenrationale Funktionen / Asymptoten / Einsatz GTR a) Untersuchen Sie die Funktion f mit. Skizzieren Sie das Schaubild und erläutern Sie die wesentlichen Eigenschaften des Graphen. b) Zählen Sie die verschiedenen Arten von Asymptoten bei gebrochenrationalen Funktionen auf. Erläutern Sie jeweils anhand eines geeigneten Beispiels. c) Was versteht man unter einer stetig hebbaren Definitionslücke? Ändern Sie den Term von f aus a) so ab, dass eine Funktion g entsteht, die an der Stelle x = 5 eine hebbare Definitionslücke hat. Aufgabe 12: (Abstände ) Die Ebene E ist parallel zur x 1 -Achse und enthält die Punkte A(1I2I1,5) und B (2I4I0). a) Stelle eine Gleichung von E auf und erläutere deine Vorgehensweise. b) Wähle einen Punkt, der nicht in E liegt und bestimme seinen Abstand zu E. c) Welche Methoden zur Abstandsberechnung eines Punktes von der Ebene kennst du? Bewerte die Verfahren. Seite 11

12 Aufgabe 13: (Geraden und Ebenen ) Die Ebene E ist parallel zur x 1 -Achse und enthält die Punkte A(1I2I1,5) und B (2I4I0). a) Skizziere die Ebene im Koordinatensystem und beschreibe die Ebene in mathematisch verschiedenen Formen. b) Skizziere Ebenen in spezieller Lage und gib jeweils eine mögliche Gleichung dazu an. c) Wie lassen sich Geraden im Koordinatensystem darstellen? Berücksichtige auch spezielle Lagen. Aufgabe 14: (Spiegelpunkt ) a) Welches ist der Spiegelpunkt P' von P(1I2I3) bei Spiegelung - an der x 1 x 2 -Ebene - am Ursprung 0 - an der Ebene... b) Wie geht man vor, wenn man einen Punkt P an - einem Punkt Q - einer Geraden g - einer Ebene E spiegelt? c) Wie lässt sich eine Gerade g an einer Ebene E spiegeln? Seite 12

13 4 Prüfungstraining Grundsatz: Jede Prüfungsform muss zuvor im Unterricht eingeübt werden. Es gilt das Prinzip: "Wie gelernt, so geprüft." Die Vorbereitung schließt folgende Themen ein : Mathematischer Inhalt (alle Lehrplanthemen) Mathematische Methoden (Beweise, Berechnung, Argumentation...) Vorschriften und Verfahren (Ablauf der Prüfung, Beteiligte, Notenfindung,...) Bewertungskriterien ("Was ist wie wichtig?") Methoden der Präsentation (Vortragsgestaltung, Gliederung usw., Außenwirkung) Medienkompetenz (Auswahl, Gestaltung usw.) Nach intensiver Vorbereitung sollte die Prüfung ohne unnötigen Stress bewältigt werden. Zeitraum der Vorbereitung Die Vorbereitung beginnt spätestens in Klasse 12 (bzw. 11 in G8). Im laufenden Schuljahr sollten immer wieder (auch anspruchsvolle) Schülervorträge (z.b. in Form einer Hausaufgabenkontrolle) in den Unterricht integriert werden. Methodische Anregungen und Kritik durch Mitschülerinnen und Mitschüler helfen beim stetigen Verbessern. Der Umgang mit Medien (Tafel, Folie, Geometrieprogramm, Computeralgebrasystem, graphikfähiger Taschenrechner, usw.) ergibt sich direkt aus dem Unterricht bzw. aus den Hausaufgaben. Etwa drei Monate vor dem Abitur bietet sich die Wiederholung ausgewählter Themen durch Schülereferate an. Hierbei werden sowohl inhaltliche als auch methodische Ansprüche an den Vortragenden / die Vortragende gestellt. Rollenspiel Nach der schriftlichen Prüfung kann ein Rollenspiel (Prüfling und Prüfungskommission werden durch Schüler bzw. Schülerinnen gespielt) hilfreich sein. Hier kann man die eigene Wirkung testen. Was tut man, wenn das Thema völlig unbekannt ist? Kann ich mich mit schwammigen Formulierungen "durchmogeln"? Eine Kontrolle über Videoprotokoll wäre eine besondere Zusatzleistung. Trainingsspirale (Link) Tipps zur Prüfungsvorbereitung werden in einer Lernspirale zusammengetragen und protokolliert. Gruppenpuzzle Wer die Form des Gruppenpuzzles bevorzugt, kann hier eine Anleitung als Download nutzen Seite 13

14 5 Beurteilung mündlicher Prüfungen Die folgenden Ausführungen sind das Ergebnis einer ausgedehnten Diskussion unter Fachkolleginnen und Fachkollegen während der Akademietagung. Sie können einen Orientierungsrahmen für die Prüfungskommissionen darstellen. Begründete Abweichungen sind jedoch jederzeit möglich. Die Diskussion zeigte zusätzlich, dass eine weitere Reglementierung bzw. Vereinheitlichung nicht sinnvoll ist, weil die Prüfungssituationen so vielfältig und vielschichtig sind. Weiterführende Diskussion Der Landesbildungsserver Baden-Württemberg bietet allen interessierten Personen ein Online-Forum zur Diskussion an. Bitte diskutieren Sie mit! Allgemeine Grundsätze Prüfung "pro Schüler" (kein Kreuzverhör; keine reine Prüfung auf Defizite). Die Prüfung muss ein Endergebnis von fünfzehn Notenpunkten ermöglichen. Alternativ: Niveau der Fragen muss so gesteigert werden, dass ein Endergebnis von 15 Notenpunkten möglich ist. Die Aufgabe muss einen zehnminütigen Vortrag ermöglichen. Die Aufgabe sollte in der vorgegebenen Zeit vollständig bearbeitet werden können. Der Wechsel des Prüfungsgebiets nach ca. zwölf Minuten ist wünschenswert. Die Präsentation (einschließlich der Nachfragen zur Präsentation) muss das Potenzial für fünfzehn Notenpunkte haben. Beurteilungskriterien für die gesamte Prüfung Fachliche Richtigkeit Kommunikationsfähigkeit Seite 14

15 Vollständigkeit / Schwerpunktsetzung Logischer Aufbau Erweiterungsmöglichkeiten erkennen Darstellung / Veranschaulichung Sprache (nicht nur Fachsprache) Zusätzliche Beurteilungskriterien für den Schülervortrag Logischer Aufbau Erweiterungsmöglichkeiten erkennen Medieneinsatz Visualisierung Zusätzliches Beurteilungskriterium für das Prüfungsgespräch Flexibilität Gewichtung Vortrag mit Nachfragen einerseits und Prüfungsgespräch andererseits gehen etwa zu gleichen Teilen in die Endnote ein. Die fachliche Note bildet die Grundlage der Endnote. Leistungen in Präsentation und Kommunikation können zu Abweichungen von bis zu zwei Notenpunkten nach oben oder unten führen. Die Endnote liegt jedoch zwischen 00 und 15 Notenpunkten (einschließlich). Tipps Es ist unabdingbar, dass alle Prüflinge über die veränderte Form der Prüfung und die gewählten Kriterien rechtzeitig informiert werden. Die Prüflinge müssen rechtzeitig auf die veränderte Prüfung vorbereitet werden ("Wie gelernt, so geprüft"). Die Prüfungskommission muss sich vor der Prüfung über die Kriterien und deren Gewichtung einigen. Die Diskussion darf nicht in der Prüfung und nicht zu Lasten der Prüflinge stattfinden. Möglicherweise kann man sich bereits bei der Vorlage der Prüfungsaufgaben einigen. Die Prüfungsaufgaben sollen dem Prüfungsvorsitzenden / der Prüfungsvorsitzenden (und möglichst auch dem Protokollanten / der Protokollantin) rechtzeitig zugehen, so dass eventuelle Missverständnisse vor der Prüfung geklärt werden können. Seite 15