Panorama der Mathematik und Informatik

Transkript

1 Panorama der Mathematik und Informatik : Hilberts Probleme Dirk Frettlöh Technische Fakultät 8/60 : Hilberts Probleme Panorama der Mathematik und Informatik

2 Eine sehr kurze Geschichte der Mathematik (aus: Panorama der Mathematik, A Loos und GM Ziegler) Bis 00 vchr: Wissenschaft von den Zahlen, dominiert von praktischer Anwendung vchr: Griechische Mathematik nimmt Zahlen als (Längen-)Maße wahr Die Griechen finden einen geometrischen Blick auf die Dinge Anwendungen sind nicht mehr der einzige Grund, um Mathematik zu studieren: Sie wird zu einer intellektuellen Beschäftigung, die religiöse und ästhetische Elemente in sich vereint 7 Jahrhundert: Die Entwicklung der Differential- und Integralrechnung führte zu einem neuen, gewaltigen Schub in den Anwendungen, denn nun können erstmals nicht-statische Probleme angepackt werden Nach Newton und Leibniz wurde Mathematik zu einem Studium von Zahlen, Formen, Bewegung, Änderung und Raum : Hilberts Probleme Panorama der Mathematik und Informatik

3 Eine sehr kurze Geschichte der Mathematik 8/9 Jahrhundert: Die Mathematik beginnt sich in der Folge von der Physik abzulösen und zu einer eigenständigen Wissenschaft zu entwickeln, die die mathematischen Werkzeuge untersucht, die in der Zeit zuvor entwickelt wurden 0 Jahrhundert: Es findet eine Wissenexplosion statt : Hilberts Probleme Panorama der Mathematik und Informatik

4 Eine extrem kurze Geschichte der Mathematik : Hilberts Probleme Panorama der Mathematik und Informatik

5 Hilbertsche Probleme Im Jahr 900 formulierte David Hilbert eine Liste von ungelösten Problemen in der Mathematik Die liefert einen Einblick in den Stand um 900 Auf dem Internationalen Mathematikerkongress 900 in Paris stellt Hilbert die Liste vor Die vollständige Liste wird in verschiedenen Sprachen veröffentlicht (900 französisch, 90 deutsch, 90 englisch) Diese Überzeugung von der Löslichkeit eines jeden mathematischen Problems ist uns ein kräftiger Ansporn während der Arbeit; wir hören in uns den steten Zuruf: Da ist das Problem, suche die Lösung Du kannst sie durch reines Denken finden; denn in der Mathematik gibt es kein Ignorabimus! (D Hilbert) Ein Irrtum! Siehe unten : Hilberts Probleme Panorama der Mathematik und Informatik

6 Problem : Kontinuumshypothese Es war bereits bekannt (Cantor): N R (wobei A die Mächtigkeit (oder Kardinalität) von A ist; Anzahl der Elemente ) {,,, } = N : unendlich R : unendlich Aber mehr als N : Hilberts Probleme Panorama der Mathematik und Informatik

7 Lustiger Beweis: Cantors zweites Diagonalargument Benutze: Haben zwei Mengen die gleiche Mächtigkeit, dann gibt s eine Eins-zu-Eins Abbildung (Bijektionen) zwischen ihnen Bsp: N = Q (Cantors erstes Diagonalargument) : Hilberts Probleme Panorama der Mathematik und Informatik

8 () () () () (6) ( ) (7) () (9) (0) (8) ( ) ( ) ( ) () (Bruch kürzbar: überspringen) liefert : Hilberts Probleme Panorama der Mathematik und Informatik

9 Das zeigt bereits N = Q + Vor die Eins fügt man eine Null ein und hinter jeder Zahl deren Negatives: das liefert N = Q (Bis hier am 8) : Hilberts Probleme Panorama der Mathematik und Informatik

10 Cantors zweites Diagonalargument Jetzt zu N R Zeige: Es gibt keine Bijektion Noch nicht mal zwischen N und [0; [ Widerspruchsbeweis: Angenommen es gibt eine Bijektion zwischen N und [0; [ Dann kann ich die Elemente aus [0; [ in eine Liste schreiben (Bei zwei Darstellungen wie in 0, 000 = 0, 0999 nimm die endliche): s = 0, s = 0, s = 0, s = 0, s = 0, 0 0 s 6 = 0, s 7 = 0, : Hilberts Probleme Panorama der Mathematik und Informatik

11 s = 0, s = 0, s = 0, s = 0, s = 0, 0 0 s 6 = 0, s 7 = 0, Wähle s so, dass die i-te Stelle von s nicht mit s i übereinstimmt Hier: s = 0, 00 Also kann s nicht in der Liste vorkommen! Also war die Annahme, es gibt eine Bijektion zwischen N und [0; [, falsch : Hilberts Probleme Panorama der Mathematik und Informatik

12 Kontinuumshypothese Also ist R > N Frage: Gibt s was dazwischen? Gibt es eine Menge M mit N < M < R? Antwort: Ein Beweis ist unmöglich Eine Widerlegung auch* (Ignorabimus!) *: Im Rahmen der Zermelo-Frenkel-Axiome (heute der Standard der axiomatischen Mengentheorie) ZFA wurden erfunden, um Russells Paradox zu umgehen: naive Mengendefinition beschreibt eine Menge einfach als eine Zusammenfassung von Dingen Sei dann M die Menge aller Mengen, die sich nicht selbst enthalten Ist M M? : Hilberts Probleme Panorama der Mathematik und Informatik

13 Problem : Widerspruchsfreiheit der Arithmetik Sind die Axiome der Arithmetik widerspruchsfrei? Arithmetik: Rechnen mit Zahlen Axiome sollen Antworten liefern auf grundlegende Fragen wie Was ist eine Zahl? Was heißt gleich? Welche Axiome liefern nur N, bzw nur R? Peano-Axiome liefern N, und (mit Dedekind-Schnitten) R : Hilberts Probleme Panorama der Mathematik und Informatik

14 Widerspruchsfreiheit der Arithmetik Sind die Axiome der Arithmetik widerspruchsfrei? Antwort: Schwer zu sagen Kurt Gödel: Es kann innerhalb dieser Axiome keinen Beweis der Widerspruchsfreiheit geben Dazu später mehr : Hilberts Probleme Panorama der Mathematik und Informatik

15 Problem : Zerlegungsgleichheit von Tetraedern Gegeben zwei Tetraeder T und T mit gleicher Grundfläche und gleicher Höhe (also auch gleichem Volumen) Kann T mit endlich vielen (geraden) Schnitten so zerlegt werden, dass die Teile zu T zusammengesetzt werden können? Antwort: Nein (Max Dehn Über den Rauminhalt, Mathematische Annalen (90) 6-78) : Hilberts Probleme Panorama der Mathematik und Informatik

16 Schöner tricksiger Beweis, siehe Martin Aigner, Günter MZiegler: Das BUCH der Beweise, Springer 00 Die beiden Tetraeder rechts und links sind nicht zerlegungsgleich Dies war das erste von Hilberts Problemen, das gelöst wurde : Hilberts Probleme Panorama der Mathematik und Informatik

17 Zu David Hilbert (86-9) Einer der letzten, der auf vielen verschiedenen Gebieten der Mathematik fundamentale Beiträge leistete: Analysis, Geometrie, Logik, algebraische Zahlentheorie Physik: Allgemeine Relativitätstheorie Einstein 9: Die Feldgleichungen der Gravitation Hilbert 9: Die Grundlagen der Physik (Erste Mitteilung) Die Physik ist für die Physiker eigentlich viel zu schwer : Hilberts Probleme Panorama der Mathematik und Informatik