Numerik partieller Differentialgleichungen

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1 Sriptum zur Vorlesung Numeri partieller Differentialgleicungen Wintersemester 26/7 Martin Burger Institut für Numerisce und Angewandte Matemati ttp:// 1

2 Inaltsverzeicnis 1 Einleitung Beispiele der Numeri partieller Differentialgleicungen Elliptisce Probleme: Poisson Gleicung Parabolisce Probleme: Die Wärmeleitungsgleicung Hyperbolisce Probleme: Die Transportgleicung Finite Differenzen Differenzen-Scema Konsistenz, Stabilität und Konvergenz Approximation elliptiscer Gleicungen zweiter Ordnung Finite Differenzen Scema Maximumprinzipien und Monotonie M-Matrizen und disrete Monotonie Feleranalyse Finite Elemente Scwace Formulierung elliptiscer Randwertprobleme Sobolev-Räume Scwace Lösungen Variationsprinzip Galerin-Approximation Finite Elemente Assemblierung von Matrizen und Vetoren Felerabscätzungen Eigenwerte und Kondition von K Zeitdisretisierung Parabolisce Probleme Scwace Formulierung Maximumprinzip Ortsdisretisierung Zeitdisretisierungen: Explizit, Implizit und Merscritt Konsistenz Stabilität Hyperbolisce Probleme

3 Kapitel 1 Einleitung Partielle Differentialgleicungen (partial differential equations - PDEs) geören zu den am äufigsten auftretenden matematiscen Modellen realer Prozesse. Versciedenste Prozesse wie Wärmeleitung, Ausbreitung von Wasser- oder Scallwellen, Strömungen, Dynami von biologiscen Populationen werden eute mit PDEs modelliert, und immer neue Anwendung wie die Preisbestimmung von Finanzproduten oder Glättung von Bildern und Computergrapien ommen dazu. In den wenigsten Fällen ist die analytisce Lösung dieser Gleicungen möglic, und eine numerisce Lösung wird nötig. Dazu ersetzt man die Gleicungen durc Gleicungssysteme in R n (Disretisierung), mit möglicst grossem n um die (unendlicdimensionale) Differentialgleicungen sinnvoll approximieren önnen. Nac der Disretisierung verbleibt noc die Aufgabe, das endlicdimensionale Problem numerisc zu lösen, was meist eine weitere Herausforderung wegen der Grösse der Gleicungssysteme darstellt. In dieser Vorlesung werden wir uns sowol mit versciedenen Disretisierungsverfaren als auc mit der effizienten Lösung der disretisierten Probleme befassen. Wie auc bei der Teorie der partiellen Differentialgleicungen ist meist eine Untersceidung nac Typ notwendig, da sic die untersciedlicen Eigenscaften elliptiscer, paraboliscer, und yperboliscer Gleicungen auc in der Numeri niedersclagen. Im folgenden werden wir für drei einface Beispiele die Grundprobleme darstellen. 1.1 Beispiele der Numeri partieller Differentialgleicungen Elliptisce Probleme: Poisson Gleicung Wir beginnen mit der einfacsten Form einer elliptiscen Differentialgleicung, nämlic einem Randwertproblem für die eindimensionale Poisson-Gleicung. 2 u (x) = f(x), x (, 1), u() =, u(1) =. (1.1) x2 Streng genommen ist (1.1) nict einmal eine partielle, sondern nur eine gewönlice Differentialgleicung, aber dennoc (oder gerade deswegen) ist dieses Problem gut geeignet um die Grundzüge der Numeri elliptiscer Randwertprobleme darzustellen. Der erste Scritt in den meisten Disretisierungsverfaren (und wir werden ier nur solce beandeln) ist die Auswal eines geeigneten Gitters auf dem gegebenen Gebiet, d.. auf dem Intervall (, 1) im Fall von (1.1). Die einfacste Wal ist ein reguläres Gitter mit den Punten 3

4 x j = j/(n + 1), j =,..., n + 1. Als Gitterfeineit bezeicnen wir den maximalen Abstand zwiscen benacbarten Punten, d.. = 1 n+1. Die erste Disretisierungsart, die wir disutieren werden, sind finite Differenzen, d.., wir versucen u durc eine Funtion u zu approximieren, die wir in den Gitterpunten berecnen, d., wir sucen einen Vetor (u j ) j=,...,n+1 wobei u j = u (x j ). Wir seen sofort, dass wir durc die Randbedingungen zwei Werte sofort berecnen önnen, nämlic u = u () = und u n+1 = u (1) =. Also eliminieren wir diese zwei Unbeannten und sucen nur nac dem Vetor U = (u j ) j=1,...,n. Um nun die Werte von u j an den inneren Gitterpunten zu berecnen, onstruieren wir finite Differenzen mittels Taylorentwiclung. Für eine glatte Funtion ϕ gilt ja (beacte = x j+1 x j = x j x j 1 ) ϕ(x j+1 ) = ϕ(x j ) + ϕ (x j ) ϕ (x j ) ϕ (x j ) 3 + O( 4 ) ϕ(x j 1 ) = ϕ(x j ) ϕ (x j ) ϕ (x j ) ϕ (x j ) 3 + O( 4 ). Addieren wir diese Gleicungen und dividieren durc 2, so eralten wir die Formel ϕ (x j ) = 1 2 (ϕ(x j+1) 2ϕ(x j ) + ϕ(x j 1 )) + O( 2 ). Daraus eralten wir den lassiscen Differenzenquotienten zur Approximation der zweiten Ableitung, d.., 2 u x 2 (x j) 1 2 (u j+1 2u j + u j 1) und wir ersetzen (1.1) durc die disretisierte Version 1 2 (u j+1 2u j + u j 1) = f(x j ) := f j, j = 1,..., n. (1.2) Mit der Matrix K R n n K = (1.3) und dem Vetor F = (f(x j )) j=1,...,n önnen wir (1.2) in der Form K U = F. (1.4) screiben. Wir seen sofort, dass n gross und damit lein sein muss, damit die obige Taylorentwiclung und Approximation sinnvoll ist. Damit eralten wir ein grosses lineares Gleicungssystem. Wir beobacten die folgenden Eigenscaften der Systemmatrix K : 4

5 Die Matrix K ist dünnbesetzt, d.. nur ein leiner Teil der Einträge ist von Null verscieden. Wie wir seen werden, ist diese Eigenscaft ein Zufall, sondern tritt bei allen Verfaren die wir ennen lernen auf. Der Grund dafür ist die Loalität der Differentialoperatoren, es ist intuitiv einleuctend dass Funtionswerte in weiter entfernten Gitterpunten für den Wert der Ableitung unbedeutend sind (und dies fürt dann zu den Nulleinträgen in der Systemmatrix). Die Matrix K ist symmetrisc. Dies ist ein Resultat der Symmetrie des Differentialoperators (siee unten). Die Matrix K ist positiv definit (siee unten). Dies ist ebenfalls ein Zufall, sondern ein Resultat der Elliptizität der Gleicung. Die Matrix K ist monoton (siee Kapitel 2), d.. aus F folgt U = K 1 F. Dies ist eine Konsequenz aus dem Maximumprinzip (Monotonie) für elliptisce Differentialgleicungen und wird in diesem Fall durc die Disretisierung eralten (was nict für jede Disretisierung der Fall ist). Wir seen also, dass das Gleicungssystem (1.4) viel Strutur aufweist, die wir auc bei der numeriscen Lösung verwenden önnen. Die Dünnbesetzteit ann z.b. speicertecnisc ausgenutzt werden, man muss nur die Indizes und Werte der Nictnullelemente speicern. Wir werden später seen, dass auc andere struturelle Eigenscaften für die effiziente Lösung von (1.4) wictig sind. Wärend die Lösung von (1.4) ein Problem der numeriscen linearen Algebra ist, verbleiben noc die lassiscen Probleme der numeriscen Analysis: Existenz und Eindeutigeit: Existiert die disrete Lösung u (bzw. U ) und ist sie eindeutig? Stabilität: Bleibt die Lösung u für bescränt (in einem noc zu lärenden Sinn)? Konsistenz: Ergibt sic ein leines Residuum, wenn man die Lösung u der Differentialgleicung in das disretisierte Problem einsetzt, bzw. onvergiert dieses Residuum gegen Null für? Konvergenz: Konvergiert für u gegen die ontinuierlice Lösung u (in einem noc zu lärenden Sinn)? Felerabscätzung: Können wir die Feler u u sinnvoll abscätzen als Funtion von (in einer passenden Norm)? All diese Probleme werden wir im Laufe dieser Vorlesung beandeln. Für unser spezielles Beispiel ergibt sic natürlic Existenz und Eindeutigeit sofort aus der positiven Definiteit der Systemmatrix. Weiter seen wir aus dem obigen Argument für den Differenzenquotienten (angewandt auf ϕ = u) sofort die Konsistenz, falls u glatt genug ist. Dies ist im eindimensionalen Fall sofort durc die Eigenscaften von f nacprüfbar: f C impliziert u C +2. Im merdimensionalen stect inter solcen Aussagen allerdings die omplizierte Regularitätsteorie für Lösungen partieller Differentialgleicungen. 5

6 Als alternative Metode zur Disretisierung betracten wir finite Elemente (FE). Die Grundidee einer FE Metode ist die Berecnung einer Näerungslösung als Linearombination gegebener Basisfuntionen n u (x) = u j φ j (x) j=1 wobei die Funtionen φ j einen loalen Träger aben. Die Basisfuntionen werden ebenfalls mit einem Gitter assoziert und erfüllen üblicerweise die Bedingung φ j (x ) = δ j mit dem Kronecer-Symbol δ j, das durc δ jj = 1 und δ j = für j definiert ist. Man siet leict, dass unter dieser Bedingung die Werte u j tatsäclic die Funtionswerte an den Gitterpunten sind, d.. u (x j ) = u j. Um die Werte u j durc diretes Einsetzen von u in die Differentialgleicung zu bestimmen, bräucte man ser glatte Funtionen φ j und ätte ein ser sclect onditioniertes Gleicungssystem zu lösen. Desalb get man zur scwacen Formulierung der Differentialgleicung über, die man durc Multipliation mit einer Testfuntion, Integration und anscliessender partieller Integraton erält. Im Fall von (1.1) ist die scwace Formulierung gegeben durc die Variationsgleicung 1 u x (x) ϕ (x) dx = x 1 f(x)ϕ(x) (1.5) für alle inreicend glatten Testfuntionen ϕ. Zur Disretisierung verwendet man nun einen Ansatz für u wie oben und wält die Basisfuntionen ϕ j als natürlice Testfuntionen. Damit erält man die disrete Variationsgleicung 1 u x (x) ϕ (x) dx = x 1 f(x)ϕ (x) dx, = 1,..., n. (1.6) Durc Einsetzen der Linearombination für u j eralten wir j 1 ϕ j x (x) ϕ x (x) dxu j = 1 f(x)ϕ (x) dx, = 1,..., n. Definieren wir wieder eine Systemmatrix K und einen Vetor F, in diesem Fall ( ) 1 ϕ ( 1 ) j K = x (x) ϕ (x) dx, F = f(x)ϕ j (x) dx, x j=1,...,n j,=1,...,n dann lässt sic das disrete Problem wieder in der Form (1.4) screiben. Wir seen wieder, dass die Matrix K dünnbesetzt sein wird, denn für grosse Werte von j werden sic die Träger von ϕ j und ϕ nict überscneiden und damit gilt entweder ϕ j x (x) = oder ϕ x (x) =. Dies wird noc deutlicer für die lassisce Wal stücweise linearer Ansatzfuntionen x x j 1 φ falls x [x j 1, x j ] x j (x) = j+1 x falls x [x j, x j+1 ] (1.7) falls x x j > 6

7 Diese Ansatzfuntionen sind nict C 1, wie wir aber noc seen werden genügt es die Ableitungen stücweise in den Teilintervallen zu definieren. Wir eralten dann φ j x (x) = 1 falls x [x j 1, x j ] 1 falls x [x j, x j+1 ] falls x x j > Man berecnet leict die Systemmatrix (Übung) als K = (1.8) d.. K aus (1.3) und (1.8) untersceiden sic nur um einen Fator. Diese untersciedlice Salierung ist eine Konsequenz der Integration, die bei der Definition der scwacen bzw. FE Lösung verwendet wurde. Der Unterscied zur Disretisierung mit finiten Differenzen wird deutlicer an der recten Seite, die dort aus Puntauswertungen bestand, im Fall der FE Disretisierung aber aus loalen (gewicteten) Mittelwerten. Dadurc ann die FE Metode auc leict für unstetige (oder sogar distributionelle) recte Seiten angewandt werden. Die Eigenscaften der Systemmatrizen resultierend aus finiten Differenzen bzw. finiten Elementen sind ser änlic, mance Eigenscaften sind aber im FE Fall viel leicter naczuprüfen. So siet man sofort (auc one Berecnung) die Symmetrie von K, da ja (K ) j = 1 ϕ j x (x) ϕ x (x) dx = 1 ϕ x (x) ϕ j x (x) dx = (K ) j gilt. Weiter siet man sofort die positive Definiteit, da für einen Vetor V R n \ {} gilt V (K V ) = = = n 1 ϕ j v j v x (x) ϕ (x) dx x n ϕ n j v j x (x) ϕ v x (x) dx j,=1 1 1 j=1 n ϕ j v j x (x) j=1 2 j=1 dx >. Auc die Stabilität der finiten Elemente Disretisierung ist leict nacprüfbar. Man be- 7

8 acte, dass 1 ( ) u 2 dx = x 1 n j=1 u ϕ j j x (x) 2 dx = U (K U ) = U F n 1 = u j ϕ j (x)f(x) dx = j=1 1 u (x)f(x) dx 1 1 u (x) 2 dx f(x) 2 dx, wobei wir die Caucy-Scwarz Ungleicung in L 2 ([, 1]) für die letzte Zeile verwendet aben. Die Poincare-Ungleicung 1 ϕ(x) 2 dx 1 1 ( ) ϕ 2 4 x (x) dx für Funtionen mit Randwerten ϕ() = ϕ(1) = liefert dann die Stabilitätsabscätzung 1 u (x) 2 dx 1 1 ( ) u 2 4 x (x) dx 1 1 f(x) 2 dx. 16 Also eralten wir eine von unabängige Scrane an die L 2 -Norm sowol von u als auc von u x Parabolisce Probleme: Die Wärmeleitungsgleicung Als Beispiel für ein parabolisces Problem betracten wir die eindimensionale Wärmeleitungsgleicung u t (x, t) 2 u x 2 (x, t) = f(x, t), u(x, ) = u (x), u(, t) = u(1, t) =, x (, 1), t (, T ). (1.9) Nun aben wir ein Anfangs-Randwertproblem im Raum-Zeit Zylinder zu lösen und benötigen neben der Orts- auc noc eine Zeitdisretisierung. Dabei stellt sic sofort die Frage nac der Reienfolge der Disretisierung: Soll zuerst im Ort und dann in der Zeit disretisiert werden oder umgeert (man nennt diese beiden Zugänge orizontale bzw. vertiale Linienmetode). Man önnte auc diret in der Raum-Zeit disretisieren, z.b. durc geeignete merdimensionale finite Elemente. In den meisten Fällen füren alle Zugänge aber auf änlice Disretisierungen, so dass wir uns ier auf die vertiale Linienmetode bescränen, d.. wir disretisieren zuerst im Ort. Bei einer finiten Differenzen Disretisierung im Ort sucen wir nun die Werte u j (t) an den Gitterpunten x j für jeden Zeitpunt. Da wir den selben Differentialoperator disretisieren, eralten wir sofort (mit der obigen Notation) das semi-disrete Problem du dt (t) + K U (t) = F (t), U () = (u (x j )) j=1,...n (1.1) 8

9 d.. ein Anfangswertproblem für ein System gewönlicer Differentialgleicungen. Bei einer finiten Elemente Disretisierung starten wir von der scwacen Form der Wärmeleitung 1 u u 1 (x, t)ϕ(x) + t x (x) ϕ (x) dx = f(x, t)ϕ(x) dx x und macen für u wieder einen Ansatz als Linearombination (mit zeitabängigen Koeffizienten) der ϕ j, die wir auc als Testfuntionen benützen. Damit eralten wir ein disretes System der Form ( du 1 ) M dt (t) + K U (t) = F (t), U () = u (x)ϕ j (x) (1.11) j=1,...n wobei wir nun zusätzlic eine Massenmatrix M eralten, definiert durc M = Man überprüft wieder leict, dass M symmetrisc und positiv definit ist. Zumindest für teoretisce Zwece önnen wir desalb M 1 anwenden und eralten mit ˆK = M 1 K sowie ˆF = M 1 F wieder ein analoges System von gewönlicen Differentialgleicungen wie in (1.1) (durc Anwendung von M 1/2 von lins und rects ann auc die Symmetrie eralten werden). Desalb bescränen wir uns im folgenden auf die Zeitdisretisierung von (1.1). Zur Zeitdisretisierung füren wir ein Gitter auf dem Intervall (, T ) ein, zur Vereinfacung wieder ein reguläres Gitter mit Punten t = τ, =,..., m, und Zeitscrittweite τ = T m. Nun approximieren wir U wieder durc Werte an den disreten Zeitpunten, d.. wir sucen U,τ (t ). Die Zeitableitung önnen wir wieder mit einem Differenzenquotienten berecnen. Dafür aben wir nun merere Mögliceiten, wobei die einfacste ein Vorwärtsdifferenzenquotient ist, d.. du dt (t ) 1 τ (U,τ (t +1 ) U,τ (t )). (1.12) Durc Einsetzen eralten wir das Vorwärts-Euler Verfaren, eine explizite Zeitdisretisierung der Form U,τ (t +1 ) = U,τ (t ) τ (K U,τ (t ) F (t )), U,τ () = U (). (1.13) Bei der expliziten Disretisierung ist eine Lösung eines Gleicungssystems nötig, in jedem Scritt önnen wir die disrete Lösung diret durc Anwenden der Matrix K aus dem vorerigen Zeitscritt bestimmen. Dadurc ist in diesem Fall die Existenz und Eindeutigeit der disreten Lösung lar. Nict lar ist jedoc die Stabilität der disreten Lösung. Zur 9

10 Vereinfacung untersucen wir dabei den Fall F =. Seien λ j, j = 1,..., n die Eigenwerte von K und sei Σ eine Ortogonalmatrix besteend aus Eigenvetoren, sodass Σ T K Σ = diag (λ j ). Definieren wir nun V = Σ T U,τ (t ), dann eralten wir die Differenzengleicung oder omponentenweise Daraus önnen wir die Lösung als V +1 = V τ diag (λ j )V, V +1 j = (1 τλ j )V j. V j = (1 τλ j) Vj berecnen. Stabilität eralten wir nur für 1 τλ j 1, da sonst V j geometrisc anwäcst. Da K positiv definit ist, sind alle λ j positiv und damit 1 τλ j < 1. Weiter muss aber gelten 1 τλ j 1, oder als Scrane für die Zeitscrittweite τ 2 λ j (für alle j). Aus der Salierung in (1.3) erwarten wir, dass der grösste Eigenwert von K von der Ordnung 2 ist (dies lässt sic auc beweisen). Also eralten wir eine Scrane der Form τ = O( 2 ), d.. die Zeitscrittweite muss ser lein im Vergleic zur örtlicen Gittergrösse sein. Eine Alternative zur expliziten Zeitdisretisierung ist die Wal eines Rücwärts-Differenzenquotienten du dt (t ) 1 τ (U,τ (t ) U,τ (t 1 )). (1.14) Mit dieser Wal eralten wir das Rücwärts-Euler Verfaren, eine implizite Zeitdisretisierung der Form U,τ (t ) + τk U,τ (t ) = U,τ (t 1 )τf (t ), U,τ () = U (). (1.15) Im Gegensatz zu expliziten Verfaren erfordert die implizite Disretisierung die Lösung eines linearen Gleicungssystems in jedem Zeitscritt. Die Systemmatrix I+τK at analoge Eigenscaften wie im elliptiscen Fall. Würde man die obige Disretisierung aus einer orizontalen Linienmetode erleiten, so siet man, dass in jedem Zeitscritt eine Ortsdisretisierung der elliptiscen Gleicung u τ (x, t ) τ 2 u τ x 2 (x, t ) = u τ (x, t 1 ) + τf(x, t ) gelöst wird. Damit ist natürlic der numerisce Aufwand in jedem Scritt eines impliziten Verfarens ungleic öer als in einem Scritt eines expliziten Verfarens. Dies ann allerdings in den meisten Fällen durc eine grössere Zeitscrittweite ompensiert werden. Füren wir für F = eine analoge Diagonalisierung wie im expliziten Fall durc, so eralten wir die Reursion mit der Lösung (1 + τλ j )V +1 j V j = = V j 1 (1 + τλ j ) V j. Da nun 1+τλ j > 1 gilt, eralten wir sogar geometriscen Abfall der Vj (was die Wärmeleitung one Quelle natürlic besser approximiert) und damit insbesondere Stabilität unabängig von der Zeitscrittweite. 1

11 1.1.3 Hyperbolisce Probleme: Die Transportgleicung Als einfaces Beispiel für yperbolisce Probleme (wie alle Differentialgleicungen erster Ordnung) betracten wir die lineare eindimensionale Transportgleicung u u (x, t) + t x (x, t) =, u(x, ) = u (x), u(, t) =, x (, 1), t (, T ). (1.16) Wegen der einfaceren Darstellung bescränen wir uns auf finite Differenzenverfaren zur Ortsdisretisierung, diese sind auc die äufigst verwendeten für yperbolisce Probleme. Wie scon zuvor bei der Zeitdisretisierung aben wir versciedene Mögliceiten bei der Wal der Differenzenquotienten für den Operator erster Ordnung u x (x, t). Bei der Wal eines Vorwärtsdifferenzenquotienten eralten wir das semidisrete Verfaren bei einem Rücwärtsquotienten du j dt (t) = 1 (u j+1 u j (t)) (1.17) du j dt (t) = 1 (u j u j 1(t)) (1.18) und bei einem zentralen Differenzenquotienten du j dt (t) = 1 2 (u j+1 u j 1(t)). (1.19) In Matrixform eralten wir in jedem Fall mit den Matrizen und D + = 1. D = 1 D c = 1 2 du dt (t) = D U (t) , ,

12 Man siet sofort, dass beim Vorwärts- und beim zentralen Differenzenquotienten Probleme mit den Randbedingungen auftreten, da der Wert von u n+1, d.. von u (1) benötigt würde. Beim Rücwärtsdifferenzenquotienten ingegen genügt es den Wert von u = u () = einzusetzen, was der gegebenen Randbedingung entsprict. Im Fall des Rücwärtsdifferenzenquotienten önnen wir das semidisrete Problem explizit lösen. Wegen u = eralten wir für u1 die Differentialgleicung du 1 dt (t) = 1 u 1, u 1() = u (x 1 ) mit der Lösung u 1 (t) = e t u (x 1 ). Die weiteren Gleicungen önnen wir ebenfalls explizit lösen und eralten indutiv u j (t) = e t j 1 u (x i ) (j i)! i=1 ( ) t j i. Man siet sofort die Stabilität des Verfarens in der Supremum-Norm, es gilt u j (t) e t j 1 u (x i ) (j i)! i=1 ( ) t j i j 1 max u (x i ) e t 1 i i! i= ( ) t i max u (x i ) u. i Bei einem Vorwärtsdifferenzenquotienten eralten wir ingegen u j (t) = 1 e t n u (x i ) 1 i! i=j ( t ) i j t (s t) n j e t s u n+1 (s) ds und seen sofort dass wir durc den Fator e t einen in der Zeit wacsenden Anteil eralten, der für Instabilität des Verfarens sorgt. Beim zentralen Differenzenquotienten erält man in änlicer Weise Instabilität. Der Grund für die Stabilität des Vorwärtsdifferenzenquotienten liegt in der Ausbreitung der Carateristien der yperboliscen Gleicung (1.16). Die carateristiscen Gleicungen sind gegeben durc dt dτ = 1, dx dτ = 1, und somit erält man Carateristien als Geraden der Form x = t + c. Entlang der Carateristien gilt in diesem Fall sogar d dτ u(x(τ), t(τ)) =, d.. die Lösung ist onstant. Geen wir vorwärts in der Zeit, dann wird die Information entlang der Carateristien also von lins nac rects ausgebreitet. Dieser Sictweise entsprict der Rücwärtsdifferenzenquotient, da er zur Berecnung des Wertes am Gitterpunt x j nur Werte lins dieses Gitterpunts verwendet. Der Vorwärts- und zentrale Differenzenquotient verletzen ingegen die Kausalität, da sie zur Berecnung des Wertes in x j auc auf den recten Gitterpunt x j+1 zugreifen. Man siet in diesem Beispiel, dass die Carateristien bei yperboliscen Problemen von grosser Bedeutung für die Konstrution stabiler Verfaren sind. Wollen wir die Analysis also auf eine allgemeinere Gleicung, etwa u (x, t) + v(x, t) u t x (x, t) =, u(x, ) = u (x), (1.2) 12

13 verallgemeinern, so berecnen wir zuerst die Carateristien dt dτ = 1, dx dτ = v(x, t). Hier önnen wir wieder t = τ setzen und eralten also dx dt = v(x, t). Für die Ausbreitungsrictung der Carateristien ist dann nur das Vorzeicen von v entsceidend. Ist v positiv verwenden wir wie oben den Rücwärtsdifferenzenquotienten, andernfalls den Vorwärtsquotienten. In Kurzform eralten wir so das Upwind-Verfaren du j dt + max{v(x j, t), } u j u j 1 + min{v(x j, t), } u j+1 u j Im allgemeinen ist es nict möglic, die semidisreten Probleme wie oben zu lösen, wesalb auc eine Zeitdisretisierung notwendig ist. Hierzu wälen wir wieder Gitterpunte t = τ auf der Zeitsala, mit leinem Zeitscritt τ. Wir bezeicnen die Werte der disreten Lösung am Ort x j und zum Zeitpunt t mit u j,. Nun aben wir wieder merere Mögliceiten für die Wal des Differenzenquotienten in der Zeit. Der Einfaceit alber wälen wir den Vorwärtsdifferenzenquotienten und eralten wir das Vorwärts-Euler Verfaren u j,+1 u j, τ + u j, u j 1, =, das die explizite Berecnung der Werte im näcsten Zeitscritt als =. u j,+1 = (1 τ )u j, + τ u j 1, erlaubt. Aus dieser Formel seen wir auc die Stabilität des Verfarens abängig von λ = τ. Für λ 1 ist die Lösung im näcsten Zeitscritt Konvexombination von Werten im letzten Zeitscritt und Maximum und Minimum önnen desalb im Verlauf der Zeit nict grösser werden. Durc Rüceinsetzen der Zeitscritte eralten wir u j, = i= ( n i ) (1 λ) i λ i u (x j i ) mit u (x l ) = für l <. Um die Stabilität abzuscätzen verwenden wir für λ 1 u j, i= ( n i ) (1 λ) i λ i max u (x j i ) = u. j Für λ > 1 önnen ingegen Instabilitäten auftreten, da man ein geometrisces Wacstum mit Fator > 1 eralten ann. Sei z.b. der Anfangswert so, dass u (x ) = 1 und u (x j ) = für j > gilt. Dann ist u = λ, dieser Wert wäcst also in der Zeit star an und das Verfaren ist desalb instabil. Man nennt die Bescränung λ 1 die CFL (Courant-Friedrics-Levy) Bedingung. Für die allgemeinere Gleicung (1.2) wird Stabilität analog durc die CFL- Bedingung λ v erreict. Die CFL-Bedingung ann auc bezüglic der Carateristien interpretiert werden, da ja auc das disrete Verfaren eine analoge Eigenscaft at. Im disreten Fall wird ja die Information entlang der Geraden mit Steigung λ fortgepflanzt, im stetigen Fall entlang der 13

14 Carateristien mit Steigung 1. Die CFL-Bedingung impliziert also, dass die disreten Carateristien nict steiler sind als die ontinuierlicen, d.. die Information wird im numeriscen Verfaren nict scneller fortgepflanzt als in der Differentialgleicung. Bezüglic des zentralen Differenzenquotienten ann das Upwind-Verfaren auc als Verfaren mit ünstlicer Diffusion dargestellt werden u j,+1 u j, τ + u j+1, u j 1, 2 = 2 u j+1, 2u j, + u j 1, 2. Der Differenzenquotient auf der recten Seite ist eine Disretisierung der zweiten Ableitung und damit approximieren wir die Differentialgleicung u t + u x = 2 u 2 x 2, d.. wir eralten ünstlice Diffusion mit Koeffizienten 2. Da der Diffusionsoeffizient von abängt, sollte dieser zusätzlice Effet mit leiner werdender Gittergrösse verscwinden. Abscliessend önnen wir noc den Feler bei der numeriscen Approximation untersucen und nemen dazu an, dass die Lösung der Transportgleicung u C 2 erfüllt. Definieren wir den puntweisen Feler als e j, = u j, u(x j, t ), so gilt e j,+1 = (1 λ)e j, + λe j 1, + (1 λ)(u(x j, t ) u(x j, t +1 )) + λ(u(x j 1, t ) u(x j, t +1 )). Nun eralten wir durc Taylor-Entwiclung und damit u(x j, t ) u(x j, t +1 ) = u t (x j, t )τ + O(τ 2 ) u(x j 1, t ) u(x j, t +1 ) = u x (x j, t ) u t (x j, t )τ + O(τ ) (1 λ)(u(x j, t ) u(x j, t +1 )) + λ(u(x j 1, t ) u(x j, t +1 )) = (1 λ)τ u t (x j, t ) λτ u t (x j, t ) λ u x (x j, t ) + O(τ 2 + λ 2 ) = τ u t (x j, t ) + u x (x j, t ) +O(τ 2 + λ 2 ). }{{} = Für den maximalen Feler in jedem Zeitscritt e = max j e j, eralten wir dann die Abscätzung und nac Rüceinsetzen e +1 e + C(λ2 + τ 2 ) e e + Cτ( + τ). Da in jedem Fall = O(τ 1 ) gilt, folgt eine Felerabscätzung erster Ordnung e e + C( + τ). 14

15 Kapitel 2 Finite Differenzen Im folgenden werden wir uns mit der Disretisierung von Differentialoperatoren durc finite Differenzen (FD) bescäftigen. Um die Analysis einfac zu alten, werden wir die meisten Argumente nur im linearen Fall durcfüren, d.., der Differentialoperator at die Form Lu = α a α (x) α u x α x (2.1) wobei α = (α 1,..., α d ) N d ein Multiindex ist, und wir die üblicen Screibweisen α = d i=1 α i, x α = x α 1 1 xα xα d d benutzen. ann ier sowol ein Ortsgebiet bei stationären oder ein Orts-Zeitgebiet bei instationären Problemen bezeicnen. Zur Erweiterung auf nictlineare Probleme - falls möglic - werden wir an einigen Stellen urz die wesentlicen Ideen erläutern. Wir werden im Rest der Vorlesung immer annemen, dass R d ein Gebiet mit stücweise C 1 -Rand ist. 2.1 Differenzen-Scema Die Grundidee eines finiten Differenzen-Scemas ist die Approximation der Ableitung durc Differenzenbildung auf einem Gitter. Im Falle einer eindimensionalen Funtion ann man die erste Ableitung etwa durc u x u(x + ) u(x) D+ u(x) = u x u(x) u(x ) D u(x) = u x u(x + ) u(x ) Dc u(x) =, 2 für leines >, approximieren. Man nennt D + Vorwärts-, D Rücwärts- und D c zentralen Differenzenquotienten. Da alle drei Quotienten im Grenzwert gegen die Ableitung onvergieren, sollte man für inreicend lein eine gute Approximation eralten. 15

16 Im Falle einer glatten Funtion u erält man eine quantitative Aussage durc Betractung des Restglieds bei der Taylor-Entwiclung. Es gilt nac dem Mittelwertsatz für ein ξ (x, x+ ) u(x + ) u(x) = u x (x) u 2 x 2 (ξ +) 2 und damit D + u(x) u x (x) = 2 2 u x 2 (ξ +) 2 sup ξ 2 u x 2 (ξ) = 2 2 u x 2. Da wir dieses Argument für beliebiges x anwenden önnen, gilt auc D + u(x) u x (x) 2 2 u x 2. Also macen wir bei der Approximation der ersten Ableitung mit einem Vorwärts-Differenzenquotienten einen Feler erster Ordnung in, man sprict desalb von einer Konsistenzordnung eins (siee Definition 2.2 unten). Für den Rücwärtsdifferenzenquotienten eralten wir durc völlig analoge Argumente ebenfalls Ordnung eins, für den zentralen Differenzenquotienten ingegen verwenden wir und und eralten u(x + ) u(x) = u x (x) u 2 x 2 (x) u 6 x 3 (ξ +) 3 u(x ) u(x) = u x (x) u 2 x 2 (x)2 1 3 u 6 x 3 (ξ ) 3 D c u(x) u x = 1 ( 3 ) u 12 x 3 (ξ +) + 3 u x 3 (ξ ) 2. D.., der zentrale Differenzenquotient erreict Konsistenzordnung zwei. Die natürlice Approximation für die zweite Ableitung mit Werten an drei Gitterpunten ist D 2 u(x + ) 2u(x) + u(x ) u(x) = 2. In diesem Fall verwenden wir den Mittelwertsatz in der Form und eralten u(x ± ) u(x) = ± u x (x) u 2 x 2 (x)2 ± 1 3 u 6 x 3 (x) u 24 x 4 (ξ ±) 3 D 2 u(x) 2 u x 2 = 1 ( 4 ) u 24 x 4 (ξ +) 4 u x 4 (ξ ) 2, also wiederum Konsistenzordnung zwei. Um allgemeine Differentialoperatoren durc finite Differenzen zu approximieren verwendet man im allgemeinen die Differenzenquotienten für erste, zweite, oder öere Ableitungen als Grundzutaten. Dies passiert auf einem Gitter G = { x x = (x 1 j 1, x 2 j 2,..., x d j d ), 1 j i N i }, (2.2) im einfacsten Fall auf einem regulären Gitter x i j i = x i 1 + (j i 1). 16

17 2.2 Konsistenz, Stabilität und Konvergenz Im Allgemeinen approximieren wir einen Differentialoperator L durc einen disreten (finite Differenzen) Operator L. Ein Differentialoperator der Ordnung ist dann eine Abbildung L : C () C (), wärend die disrete Approximation nur auf einem Gitter G definiert ist. d.. L : G R N mit N = N 1 N 2... N d. Auf dem Gitter definieren wir eine Norm., die optimalerweise die gewünscte ontinuierlice Norm approximiert für. Durc Interpolation erält man aus den Werten am Gitter auc eine Funtion ũ C () bzw. einen erweiterten disreten Operator L : C () C (), sodass ( L ũ) G = L (u G ) gilt. Zur Definition von Konsistenz önnen wir nun entweder L oder L verwenden. Im ersten Fall fürt dies auf disrete Konsistenz: Definition 2.1 (Disrete Konsistenz). Sei L : C () C () ein Differentialoperator der Ordnung und L eine disrete Approximation auf einem Gitter G. Die Approximation eisst disret onsistent, falls gilt. Die Konsistenzordnung der Approximation ist m, falls für alle u C +m () gilt. L (u G ) (Lu) G (2.3) L (u G ) (Lu) G C m (2.4) Definition 2.2 (Konsistenz). Sei L : C () C () ein Differentialoperator der Ordnung und L : C () C () eine disrete Approximation. Die Approximation eisst onsistent in der Norm., falls L u Lu (2.5) gilt. Die Konsistenzordnung der Approximation ist m, falls für alle u C +m () gilt. L u Lu C m (2.6) Oben aben wir geseen, dass Vorwärts- und Rücwärtsdifferenzenquotienten Konsistenzordnung eins, und der zentrale Differenzenquotient Konsistenzordnung zwei at. Andererseits aben wir im Fall der Transportgleicung (1.16) geseen, dass der zentrale Differenzenquotient ein stabiles Verfaren liefert und es günstiger sein ann, ein Verfaren niedrigerer Ordnung zu wälen. Neben der Konsistenz benötigen wir also noc ein Stabilitätsonzept um die Güte einer numeriscen Approximation zu bewerten. Definition 2.3 (Disrete Stabilität). Sei L : G R N die disrete Approximation eines Differentialoperators. Dann eisst L disret stabil, wenn L 1 existiert, für > inreicend lein und L 1 gleicmässig in bescränt ist. Analog önnen wir ontinuierlice Stabilität definieren. Definition 2.4 (Stabilität). Sei L : C () C () die Approximation eines Differentialoperators. Dann eisst L 1 stabil, wenn L existiert für > inreicend lein und L 1 gleicmässig in bescränt ist. 17

18 Eine der groben Faustregeln in der numeriscen Approximation ist, dass Konsistenz und Stabilität zusammen Konvergenz implizieren. Dies ist auc mit unserer Definition von Konsistenz und Stabilität der Fall. Satz 2.5. Sei L : C () C () eine stabile und onsistente Approximation eines Differentialoperators L : C () C (). Sei u die Lösung der Differentialgleicung Lu = f und ũ die Lösung von L ũ = f, sodass f f für. Dann ist die Approximation onvergent, d.. ũ u für. Proof. Durc Subtration der Gleicungen eralten wir L (u ũ ) = ( L L)u + (f f ) und wegen der Stabilität folgt ) u ũ = L 1 (( L L)u + f f ) L 1 ( ( L L)u + f f, mit L 1 gleicmässig bescränt. Wegen der Konsistenz folgt ( L L)u und da f f folgt die Konvergenz u ũ. Eine änlice Aussage gilt auc bezüglic der Konsistenzordnung, die sic bei einer stabilen Approximation diret in die Konvergenzordnung übersetzen lässt: Korollar 2.6. Sei L : C () C () eine stabile und onsistente Approximation eines Differentialoperators L : C () C () mit Konsistenzordnung m. Sei u die Lösung der Differentialgleicung Lu = f und ũ die Lösung von L ũ = f, sodass f f = O( m ) für. Dann gilt eine Felerabscätzung der Form für eine Konstante C >. u ũ C m Proof. Aus der obigen Abscätzung ) u ũ L 1 ( ( L L)u + f f eralten wir diret die Felerabscätzung aus der Stabilität und Konsistenzordnung. Man siet aus der Definition der Konsistenz sofort, dass eine direte Übertragung auf nictlineare Gleicungen möglic ist. Die Stabilität ingegen ändert sic star, da wir eine lineare Operatornorm der Inversen mer definieren önnen. Man ersetzt desalb das obige Stabilitätsonzept meist durc a-priori Abscätzungen für die disreten Lösungen. Bei der Anwendung dieser Konvergenzaussagen auf spezifisce Gleicungen ist vor allem die Wal der rictigen Normen entsceidend. Bei finiten Differenzen wält man meist die Supremumsnorm, da diese auc der puntweisen Approximation der Ableitungen entsprict. Im näcsten Kapitel werden wir dies im Fall elliptiscer Differentialgleicungen zweiter Ordnung durcfüren. 18

19 2.3 Approximation elliptiscer Gleicungen zweiter Ordnung Im folgenden disutieren wir die Analysis von finite Differenzen Scemata für elliptisce Differentialgleicungen zweiter Ordnung. Der Prototyp einer solcen Gleicung at die Form Lu = d 2 u a ij (x) + x i x j i,j=1 d i=1 b i (x) u x i + c(x)u = f(x), x. (2.7) Die Gleicung ist elliptisc, wenn für alle x gilt: c(x) und A(x) = (a ij (x)) ist eine symmetrisce positiv definite Matrix ist. Wir werden uns auf uniform elliptisce Gleicungen bescränen, d.. es gibt ein a R +, sodass gilt: A(x) a I ist positiv definit für alle x. In solcen Fällen ist der leinste Eigenwert von A(x) durc a nac unten bescränt. Zusätzlic zur Gleicung benötigen wir noc Randbedingungen. Auf disjunten Teilen des Randes von gelten entweder Diriclet-Randbedingungen u = g D, Neumann-Randbedingungen u n = g N oder Robin-Randbedingungen u n + αu = g R Finite Differenzen Scema Zur Konstrution eines finite Differenzen Scemas starten wir wieder mit einem Gitter, der Einfaceit alber nemen wir an, dass = (, 1) d gilt und das Gitter regulär ist, d.. G = { (i 1, i 2,..., i d ) i j (,..., n + 1) } mit n + 1 = 1. Jedem Gitterpunt ordnen wir einen eindeutigen Multiindex (i 1, i 2,..., i d ) zu. Die einfacste Approximation zweiter Ableitungen eralten wir wie oben mit einem (2d + 1)- Punte Stern, d.. zur Approximation der zweiten Ableitung im Punt (i 1, i 2,..., i d ) verwenden wir den Punt selbst, sowie alle Punte der Form (i 1,..., i j ± 1,..., i d ), d.. alle Multiindizes in denen genau ein Index um den Wert eins geändert wurde. Die zweite Ableitung bezüglic der j-ten Variable önnen wir dann durc 2 u x 2 (i 1, i 2,..., i d ) 1 j 2 (u i 1,...,i j +1,...,i d 2u i 1,...,i j,...,i d + u i 1,...,i j 1,...,i d ) approximieren. Analog önnen wir erste Ableitungen auf dem (2d + 1) Punte Stern approximieren mit den drei Differenzenquotienten, die wir oben bescrieben aben. Wegen der öeren Konsistenzordnung ist die bevorzugte Wal im allgemeinen der zentrale Differenzenquotient u (b ) j (i 1, i 2,..., i d ) 1 ( ) x j 2 Bj i 1,...,i d u i 1,...,i j +1,...,i d u i 1,...,i j 1,...,i d Hier ist B j i 1,...,i d eine geeignete Approximation von b j (i 1, i 2,..., i d ). Falls b j eine glatte Funtion ist, ann die rictige Wal von B j i 1,...,i d ein nicttriviales Problem sein, das wir allerdings ier nict im Detail disutieren wollen. Bei onvetionsdominanten Problemen (d.. relativ grossen Werten von b j ) ist aber wie bei der Transportgleicung auf die Stabilität 19

20 zu acten, und aus analogen Gründen sollten dann eine zentralen Differenzenquotienten verwendet werden, sondern eine Approximation der Form u (b ) j (i 1, i 2,..., i d ) max{b j i x 1,...,i d, } 1 ) (u i j 1,...,ij,...,id u i 1,...,ij 1,...,id + min{b j i 1,...,i d, } 1 ) (u i 1,...,ij +1,...,id u i 1,...,ij,...,id. Den Term nullter Ordnung ann man einfac durc c i1,...,i d u i 1,...,i d approximieren. Durc dieses Vorgeen erält man an allen inneren Gitterpunten eine Differenzengleicung an Stelle der ursprünglicen Differentialgleicung. Es verbleiben noc die Randpunte, d.. i j = oder i j = n + 1. Hier benötigt man eine geeignete Approximation der Randbedingung. Der einfacste Fall ist dabei die Diriclet-Randbedingung, die wir exat mit der Formel u i 1,...,i j,...,i d = g D (i 1, i 2,..., i d ) in den Randgitterpunten (d.. für zumindest ein j gilt i j = 1 oder i j = d) auswerten. Im Fall einer Neumann oder Robin Randbedingung muss zusätzlic die Normalableitung approximiert werden, und zwar durc einen geeigneten einseitigen Differenzenquotienten. Für i j = wälen wir dazu einen negativen Vorwärtsdifferenzenquotienten, d.. u n (i 1, i 2,...,,..., i d ) = u (i 1, i 2,...,,..., i d ) 1 ) (u i x j 1,...,,...,id u i 1,...,1,...,id. Diese Wal ist natürlic, da wir für einen Rücwärts- oder zentralen Differenzenquotienten ja einen Wert bei x j = benötigen würden, der nict zur Verfügung stet. Analog verwenden wir für i j = n + 1 einen Rücwärtsdifferenzenquotienten u n (i 1, i 2,..., 1,..., i d ) = u (i 1, i 2,..., 1,..., i d ) 1 ) (u i x j 1,...,n+1,...,id u i 1,...,n,...,id. Abscliessend bemeren wir, dass Verallgemeinerungen der Differenzenverfaren auf allgemeinere Gebiete und Gitter möglic sind, allerdings mit ereblicen Kompliationen verbunden sind. So muss z.b. der Rand im Fall eines allgemeinen Gebiets entsprecend approximiert werden, was meist durc Wal zusätzlicer Gitterpunte passiert Maximumprinzipien und Monotonie Elliptisce und parabolisce Differentialgleicungen zweiter Ordnung erfüllen sogenannte Maximumprinzipien, die implizieren, dass die Maxima bzw. Minima von Lösungen am Rand angenommen werden. Man untersceidet zwiscen scwacen (Maxima / Minima werden sicer am Rand angenommen) und staren (Maxima / Minima werden nur am Rand und nict im Inneren angenommen). Satz 2.7 (Stares Maximumprinzip). Sei Lu < (> ) mit L wie in (2.7). Dann gilt u ( ) oder u at ein loales Maximum (Minimum) im Inneren von. Proof. Wir nemen an es existiert ein Maximum von u, dass in einem Punt x im Inneren von angenommen wird, mit u(x) >. Dann gilt wegen der notwendigen Bedingungen für 2

21 loale Maxima, dass u(x) = gilt und die Hessematrix ( 2 u x i x j ) negativ semidefinit ist. Also folgt d 2 u Lu(x) a ij (x). x i x j i,j=1 Da die negative Hessematrix von u in x und auc A(x) positiv semidefinit sind, folgt mit dem unten steenden Lemma 2.8 die Ungleicung Lu(x) und somit ein Widerspruc zu Lu <. Im Fall Lu > eralten wir die entsprecende Aussage über Minima durc Anwendung des ersten Teils auf u. Es bleibt noc das Lemma über positiv definite Matrizen zu beweisen: Lemma 2.8. Seien A, B R d d symmetrisc und positiv semidefinit. Dann gilt A : B := d A ij B ij i,j=1 Proof. Für symmetrisce Matrizen existiert eine Spetralzerlegung in der Form B = d λ v v T, =1 mit den Eigenvetoren v j R d und den Eigenwerten λ j R. Weiter gilt wegen der positiven Semidefiniteit λ j. Benutzen wir die Notation v j = (v j ) =1,...,d, dann ist und d A ij B ij = i,j=1 B ij = d i,j,=1 d λ v i v j =1 λ A ij v i v j = d λ v T Av. Da A positiv semidefinit ist, folgt v T Av für alle, und mit λ folgt die Aussage. Im Weiteren wollen wir Maximumprinzipien eer für den Fall Lu oder Lu = anwenden, als für den Fall striter Positivität. Desalb beweisen wir eine scwäcere Version der obigen Aussage: Satz 2.9 (Scwaces Maximumprinzip). Sei Lu ( ) mit L wie in (2.7). Dann gilt u ( ) oder u nimmt sein globales Maximum (Minimum) am Rand von an. Proof. Wir nemen an, u nimmt sein globales Maximum in einem inneren Punt x an und u(x) >. Da A positiv semidefinit ist, gilt entweder A oder es existiert ein Index j, sodass A jj (x) = e T j A(x)e j > (da ja sonst v T A(x)v für alle v R d gilt). Dann betracten wir die Funtionen u ɛ (x) = u(x) + ɛ exp(λ(x j x j )). Dann gilt (Lu ɛ )(x) = (Lu)(x) ɛ(λ 2 a jj (x) λb j (x) c(x)) exp(λ(x j x j )) =1 ɛ(λ 2 a jj (x) λb j (x) c(x)) exp(λ(x j x j )) 21

22 und bei geeigneter Wal von λ (inreicend gross) önnen wir erreicen, dass (Lu ɛ )(x) in einer Umgebung von x (unabängig von ɛ) negativ ist. Man siet sofort, dass u ɛ gleicmässig gegen u onvergiert. Da bei gleicmässiger Konvergenz globale Maxima gegen globale Maxima onvergieren, gibt es x ɛ x, sodass u ɛ in x ɛ ein Maximum annimmt und dort positiv ist. Dies ist aber ein Widerspruc zu Satz 2.7, da Lu ɛ < in einer Umgebung von x ɛ gilt. Aus dem Maximumprinzip folgt sofort die Eindeutigeit der Lösung des Diriclet-Problems, da ja für zwei Lösungen u 1 und u 2 die Differenz u = u 1 u 2 die Gleicung Lu = erfüllt sowie u = am Rand. Damit folgt u in, d.. u. Das stare oder scwace Maximumprinzip ann in einigen Varianten bewiesen werden. Unter anderem seen wir aus dem Beweis von Satz (2.7), dass im Fall c die Lösung u ein Maximum bzw. Minimum im Inneren annemen ann. Eine Variante existiert auc im Fall c < (in dem sic die Gleicung eer yperbolisc als elliptisc verält). Dort gilt dann die Aussage, dass u an einem Maximum (Minimum) im Inneren nict negativ (positiv) sein ann. Abscliessend önnen wir noc die ursprünglice Anname der striten Elliptizität fallen lassen, wie wir sofort seen genügt die positive Semidefiniteit von A. Damit önnen wir die Maximumprinzipien auc auf parabolisce Gleicungen wie die Wärmeleitungsgleicung (eine Zeile und Spalte von A identisc null) oder Gleicungen erster Ordnung wie die Transportgleicung (A ) anwenden. Eine weitere interessante Folgerung aus dem Maximumprinzip ist Stabilität in der Supremum- Norm, die wir im folgenden Satz formulieren Satz 2.1. Sei L ein elliptiscer Differentialoperator wie in (2.7). Dann existiert eine Konstante C >, sodass für Lösungen u von Lu = f in, u = g auf die Stabilitätsabscätzung gilt. u C max { f, g } (2.8) Proof. Der Beweis benutzt wieder das Maximumprinzip. Sei v eine Funtion, sodass Lv 1 in und v 1 auf. Dann gelten für die Ungleicungen u ± = ± max { f, g } v, L(u u + ), L(u u). Da sowol u u + als auc u u am Rand nictpositiv sind, gilt nac dem Maximumprinzip u u u + in. Also folgern wir wobei C = sup x v(x). sup u(x) C max { f, g }, x 22

23 Um den Beweis abzuscliessen, müssen wir noc eine passende Funtion v finden. Sei für ein ˆx. Dann gilt v(x) = α β exp(λ (x j ˆx j )), Lv = β j (a jj λ 2 + b j λ) exp(λ (x j ˆx j )) + cv. Durc passende Wal von α, β und λ (inreicend gross) önnen wir erreicen, dass v 1 und Lv 1 gilt (wegen a jj = e T j Ae j λ min (A) a > ) M-Matrizen und disrete Monotonie Im folgenden betracten wir die finite Differenzen Disretisierung und ire Analyse etwas genauer im vereinfacten Fall A(x) = a(x)i mit einer salaren Funtion a. Zur einfaceren Notation scränen wir uns auc auf den Fall d = 2 ein, alle Argumente sind aber nict dimensionsabängig und für beliebiges d analog (mit grösserer Screibarbeit). Wir nemen an, dass = (, 1) 2 gilt und verwenden ein reguläres Gitter G = { (i, j) i, j =, 1,..., n + 1, = 1 n + 1 }. Die Gesamtanzal der Gitterpunte ist dann (n + 1) 2, bzw. der inneren Gitterpunte ist N = n 2. Die äusseren Gitterpunte i, j {, n + 1} önnen wir aus der Diriclet-Randbedingung sofort eliminieren. Entsprecend der obigen Disussion von Differenzen-Scema analysieren wir eine Disretisierung auf einem Fünf-Punte Stern der Form oder nac Umordnung ( 4 a ) ij 2 + c ij u ij a ij 2 (4u ij u ij+1 u i+1j u ij 1 u i 1j ) + b 1,ij 2 (u i+1j u i 1j ) + b 2,ij 2 (u ij+1 u ij 1 ) + c ij u ij = f ij (2.9) ( aij 2 b 1,ij 2 ) ( aij (u i+1j + u ij+1 ) 2 + b ) 1,ij (u i 1j u ij 1 ) = f ij. (2.1) 2 Sammeln wir die Werte u ij und f ij wieder in einem Vetor U bzw. F, z.b. in der Form (U ) i+(j 1)n = u ij, (F ) i+(j 1)n = f ij und definieren eine geeignete Matrix K, so önnen wir das System wieder in der Standardform K U = F (2.11) screiben. Für = i + (j 1)n eralten wir die Diagonalelemente (K ) = 4 a ij 2 + c ij 23

24 und die Nebendiagonalelemente (K ) +1 = a ij 2 + b 1,ij 2, (K ) +n = a ij 2 + b 2,ij 2, (K ) 1 = a ij 2 b 1,ij 2, (K ) n = a ij 2 b 2,ij 2. Wir seen sofort, dass das Hauptdiagonalelement positiv ist, und für inreicend lein sind die Nebendiagonalelemente negativ. Weiter ist die Matrix (scwac) diagonaldominant, d.. es gilt (K ) ii (K ) ij. j i Mit dieser Eigenscaft önnen wir ein disretes Maximumprinzip erleiten: Proposition Sei A R N N so, dass A ij für i j und A ii j i A ij gilt, und sei x R N die Lösung von Ax = b mit b <. Dann gilt x. Proof. Wir nemen an x j >. ist das Maximum von x. Dann gilt A jj x j = b j A j x < A j x j A jj x j, j j und diese Ungleicungsette liefert einen direten Widerspruc, da A jj ist. Wir önnen wiederum die Aussage auf den Fall b j = erweitern: Satz Sei A R N N so, dass A ij für i j und A ii A ij j i gilt, A 1 existiert, und sei x R N die Lösung von Ax = b mit b. Dann gilt x. Proof. Wir wenden Proposition 2.11 auf x ɛ = A 1 b ɛ an, mit b ɛ j = b j ɛ <. Dann gilt x ɛ oder x ɛ nimmt sein Maximum am Rand an. Da x ɛ für ɛ gegen x onvergiert, und die Eigenscaft sic im Grenzwert nict verändert, folgt die Aussage. Das Maximumprinzip at eine interessante Eigenscaft der inversen Matrix G = K 1 zur Folge, diese at nämlic nur nictnegative Einträge. Um dies zu seen, verwenden wir nictnegative Randwerte für die disrete Lösung. Damit gilt für U = K 1 F automatisc U falls F. Wenden wir das Maximumprinzip speziell für die recte Seite F = (f j ) = ( δ j ) an, dann folgt (U ) i = (G ) ij (F ) j = (G ) i. 24

25 Da wir i und beliebig wälen önnen, folgt die Nictnegativität von G. Eine Matrix mit nictpositiven Nebendiagonalelementen und einer nictnegativen Inverse nennt man auc M- Matrix (siee [3]). Das M stet dabei für die Monotonie, denn eine M-Matrix A at die Eigenscaft, dass aus f g auc M 1 f M 1 g folgt (wie wir durc Anwendung von M 1 auf g f sofort seen). D.. die Ordnung der Vetoren bleibt unter Anwendung von M 1 eralten. Wir seen aus der Definition von K, dass die Nebendiagonalelemente nur unter der Bedingung 2a ij max{ b 1,ij, b 2,ij }, i, j. (2.12) nictpositiv sind. Dies ann im onvetionsdominanten Fall ein Problem sein, d.. falls a ij relativ lein ist im Vergleic zu b, weil man dann ser feine Gitter verwenden müsste. Wie scon erwänt ist es dann günstiger einen einseitigen Differenzenquotienten analog zu verwenden, um Stabilität zu erreicen (um den Preis einer niedrigeren Konsistenzordnung). Analog zum ontinuierlicen Fall (desalb dieses Mal one Beweis) eralten wir aus der M-Matrix Eigenscaft eine disrete Stabilität: Korollar Sei K die Systemmatrix der Differenzendisretisierung, F die recte Seite, und U die Lösung von K U = F. Weiters sei (2.12) erfüllt. Dann existiert eine Konstante C unabängig von, sodass die Abscätzung gilt. max j (U ) j C max (F ) j C ( f + g ) (2.13) j Feleranalyse Mit den Resultaten der vorangegangenen Kapitel 1 ist es nun relativ einfac eine Feleranalyse bzw. Felerabscätzungen erzuleiten. Wie scon oben allgemein disutiert sind die wictigsten Zutaten dabei die Konsistenz und Stabilität, wobei wir in diesem Fall nur die disreten Varianten verwenden müssen. Wir beginnen mit der Konsistenz für die Approximation des Differentialoperators (Lu)(x) = a(x) u(x) + durc den Differenzenoperator d i=1 b i (x) u x i + c(x)u, x. (2.14) (L u) ij = a ij 2 (4u ij u ij+1 u i+1j u ij 1 u i 1j ) + b 1,ij 2 (u i+1j u i 1j ) + b 2,ij 2 (u ij+1 u ij 1 ) + c ij u ij (2.15) mit u ij = u(i, j). Die Konsistenzordnung önnen wir diret abscätzen: Proposition Sei ϕ C 4 (), und L, L definiert durc (2.14), (2.15). Dann existiert eine Konstante C >, nur abängig von ϕ, sodass gilt. (Lϕ)(i, j) (L ϕ) ij C 2 25

26 Proof. Analog zum eindimensionalen Fall in Kapitel önnen wir den Feler der Ordnung 2 beim zentralen Differenzenquotienten für die ersten und zweiten Ableitungen durc Taylor- Entwiclung abscätzen. Nun aben wir die Stabilität aus Korollar 2.13 und die Konsistenzordnung aus Proposition 2.14, in Kombination eralten wir daraus eine Felerabscätzung: Satz Sei u C 4 () die Lösung der Differentialgleicung Lu = f mit dem Operator L definiert in (2.14). Weiters sei u die Lösung der Differenzengleicung L u = f, wobei fij = f(i, j), und die Disretisierung erfülle (2.12). Dann gilt eine Felerabscätzung der Form max u(i, j) u (i, j) C 2, (2.16) i,j mit einer Konstante C unabängig von. Proof. Sei V = (u ij ) = (u(i, j)), dann gilt Aus Proposition 2.14 folgt L (u u ) = L u f = L u (Lu)(i, j) =: r (i, j). max r (i, j) C 1 2 i,j mit einer Konstante C 1 nur abängig von u, und aus Korollar 2.13 folgt max i,j u(i, j) u (i, j) C 2 max r (i, j). i,j Die Kombination dieser beiden Abscätzungen liefert (2.16). 26

27 Kapitel 3 Finite Elemente In diesem Kapitel befassen wir uns genauer mit der Disretisierung von partiellen Differentialgleicungen mit Finite Elemente (FE) Metoden. Der Fous liegt dabei wieder auf elliptiscen Gleicungen, da finite Elemente meist zur Ortsdisretisierung verwendet werden. Die Erweiterung auf den ortsabängigen Teil einer paraboliscen ist dann z.b. im Ramen einer orizontalen Linienmetode völlig lar, da ja dort in jedem Zeitscritt elliptisce Probleme gelöst werden müssen. Zumindest teilweise lassen sic die ier vorgestellten Konzepte auc auf yperbolisce Probleme übertragen, eine genauere Disussion dieser Probleme würde aber den Ramen dieser Vorlesung sprengen. 3.1 Scwace Formulierung elliptiscer Randwertprobleme Wir beginnen mit der scwacen Formulierung elliptiscer Randwertprobleme in Divergenzform und den dazugeörigen funtionalanalytiscen Grundlagen. Der Einfaceit alber betracten wir vor allem Gleicungen zweiter Ordnung, werden an einigen Stellen aber auc die Erweiterung auf öere Ordnung disutieren. Das Randwertproblem in einem Gebiet R d bestet aus der Gleicung mit den Randbedingungen (A u) + cu = f in (3.1) u = g D auf Γ D (3.2) (A u) n = g N auf Γ N, (3.3) wobei = Γ D Γ N gelten soll. In der obigen Formulierung nemen wir wieder an, dass A(x) für alle x positiv definit mit minimalem Eigenwert grösser gleic a > ist, sowie dass die salare Funtion c nictnegativ ist. Wir leiten zunäcst die scwace Formulierung des Randwertproblems (3.1)-(3.3) er. Dazu multiplizieren wir (3.1) mit einer Testfuntion v und integrieren über. Die beiden Divergenzterme auf der linen Seite önnen wir mit Hilfe des Gauss scen Integralsatzes umformen und eralten so ((A )u v + cuv) dx (A u) nv dσ = (fv + v) dx nv dσ. 27