Grundlagen der Nachrichtentechnik 1 Communications 1

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1 Grunlagen er Nachrichenechnik Communicaions Prof. Dr.-Ing. Anreas Czylwik S. Nachrichenechnik Organisaorisches Vorlesung SWS Übung SWS Bereuer: Dipl.-Ing. Thorsen Kempka Folienkopien sin verfügbar Prüfung: schriflich Neue Forschungshemen im Nachrichenechnische Syseme Suien- un Diplomarbeien S.

2 Nachrichenechnik Lieraur Lieraur zur Vorlesung: R. Unbehauen: Sysemheorie, Olenbourg-Verlag H. Marko: Mehoen er Sysemheorie, Springer-Verlag S. 3 Nachrichenechnik Inhal Einführung Tessignale 3 Lineare zeikoninuierliche Syseme 4 Fourier-Transformaion 5 Laplace-Transformaion 6 Hilber-Transformaion 7 Abasheorem 8 z-transformaion 9 Lineare zeiiskree Syseme S. 4

3 Nachrichenechnik Einführung Inhal: Theorie linearer Syseme Begrüner er moernen Sysemherorie: Karl Küpfmüller Eingangssignal Sysem Ausgangssignal NT: Deerminisische Signale un Syseme S. 5 Nachrichenechnik Einführung Beispiele Überragungssyseme Sabiliäsunersuchungen in Regelkreisen Mechanische Schwingungssyseme Allgemein: lineare Syseme beschrieben urch lineare Differenialgleichungen S. 6 3

4 Nachrichenechnik Einführung Beispiel: igiales Mobilfunksysem Zuornung komplexer Symbole Daen Deekion Senefiler Enzerrung Empfangsfiler Aufwärs- Mischung Abwärs- Mischung passives Filer Funkkanal Synchronisaion S. 7 Nachrichenechnik Einführung Signal Funkion er Zei x Funkion es Ores vx Beispiele Musiksignal Zeifunkion er Mikrofon-/Lausprecherspannung Zeifunkion er Auslenkung er Mikrofon- /Lausprechermembran S. 8 4

5 Nachrichenechnik Einführung Rauschen n Fernsehsignal Zeifunkion er Spannung am Ausgang eines RC-Gliees beim Einschalvorgang u S. 9 Nachrichenechnik Einführung Sysem x x x n.... Sysem y y.... y m Allgemeiner Zusammenhang zwischen Eingang un Ausgang: y i = fx, x, x 3... x n. S. 0 5

6 Nachrichenechnik Einführung Vekorielle Darsellung: Y= fx mi X = x, x, x 3... x n un Y = y, y, y 3... y m..3.4 Wichiger Sonerfall: ein Eingang, ein Ausgang x y = fx y S. Nachrichenechnik Einführung Klassifizierung von Sysemen Sysem linear schwach nichlinear nichlinear geächnislos lineare Gleichung Gerae Taylor-Reihe nichlineare Gleichung geächnisbehafe lineare Differenialgleichung Volerra-Reihe nichlineare Differenialgleichung S. 6

7 Nachrichenechnik Einführung Lineariä Gegeben: y un y seien Ausgangssignale für beliebige Eingangssignale x un x Ein Sysem heiß linear, wenn gil: Aus x y un x y folg: c x + c x c y + c y mi beliebigen Koeffizienen c un c..5 Lineare Syseme weren urch lineare Differenialgleichungen beschrieben. S. 3 Nachrichenechnik Einführung Beispiel: && y + y& 5y = 3x& + 5x.6 S. 4 7

8 Nachrichenechnik Tessignale Sprungfunkion s für 0 s =. 0 sons Moellierung von Einschal- un Einschwingvorgängen Problem: nich ifferenzierbar! S. 5 Nachrichenechnik Tessignale Begrenze Rampenfunkion ε 0 für ε ε sε = + für ε ε für. s ε Näherung er Sprungfunkion, a ie begrenze Rampenfunkion ifferenzierbar is: s = lim sε.3 ε 0 ε ε S. 6 8

9 Nachrichenechnik Tessignale Recheckfunkion für rec = 0 sons.4 Darsellung urch Sprungfunkionen: + s rec = s.5 Recheckfunkion er Dauer T un mi er Verschiebung T 0 rec T rec 0 T T0 T T 0 T0 + T S. 7 Nachrichenechnik Tessignale Dreieckfunkion + für 0 für = = für 0 0 sons 0 sons.6 Darsellung urch Sprungfunkionen: = s s + s.7 S. 8 9

10 Nachrichenechnik Tessignale Gauß-Funkion sg = e T0.8 e e T 0 Fläche: T 0 T sg e 0 π = = T0.9 S. 9 Nachrichenechnik Tessignale Diracsche Dela-Funkion für = 0 δ = 0 sons.9 δ mi δ.0 Darsellung urch Recheckfunkion: δ = lim rec ε 0 ε ε. ε ε rec ε ε ε S. 0 0

11 Nachrichenechnik Tessignale Anere Definiionen er Dela-Funkion δ = lim. ε 0 ε ε δ δ = lim ε ε 0 π ε.3 Ausbleneigenschaf f δ T0 = f T0 δ T0.4 f δ T0 = f T0.5 f δt 0 T 0 S. Nachrichenechnik Tessignale Zusammenhang er δ-funkion mi er Sprungfunkion: s = δ.6 Ableiung er δ-funkion: δ δ = δ.7 Die δ-funkion un ihre Ableiungen sin verallgemeinere Funkionen S.

12 Nachrichenechnik Tessignale Weiere Eigenschafen er δ-funkion: δ = δ.8 δ a = δ a.9 ε a rec ε ε ε a ε a δ = δ.0 S. 3 Nachrichenechnik Tessignale Harmonische Schwingungen x = cos x = sin j x = e...3 S. 4

13 Nachrichenechnik Tessignale Signalparameer: Momenane Leisung eines Signals x P = x Milere Leisung T P = lim x T T T Energie T E = lim x T T S. 5 Nachrichenechnik Tessignale Komplexe Signale: P = x T P = lim x T T T T E = lim x T T S. 6 3

14 Nachrichenechnik Tessignale Beispiele Sinusförmiges Signal leisungsbegrenz: x = xˆ sin0 x xˆ π 0 S. 7 Nachrichenechnik Tessignale Momenane Leisung: P = x = xˆ sin 0 x xˆ Milere Leisung: π -.5 T 0 P = lim x 0 xˆ sin 0 T = T π T 0 π ˆ ˆ 0 0 x = x + sin 0 = π π.3 0 S. 8 4

15 Nachrichenechnik Tessignale Dreieck-Doppelimpuls energiebegrenz: x xˆ xˆ T 4 xˆ x = T 4 T xˆ T 4 0 für für für sons T 4 T 3T 4 4 3T T T.33 S. 9 Nachrichenechnik Tessignale Energie T T 4 4 xˆ E = x = 4 xˆ = = xˆ T T 4 0 T xd Dreieckförmiges Signal xˆ x D = x nt n= T S. 30 5

16 Nachrichenechnik Tessignale Momenane Leisung es reieckförmigen Signals: xd xˆ Milere Leisung es reieckförmigen Signals: T xˆ PD = lim x E T = = T T 3 T S. 3 T.36 Nachrichenechnik Tessignale Gaußimpuls energiebegrenz: Energie: EG = T sg e 0 T e 0 π = = = T Recheckimpuls: Energie T Erec = rec = = T T.38 T S. 3 6

17 Nachrichenechnik 3 Lineare zeikoninuierliche Syseme Kausaliä x y = fx y Ausgangssignal y 0 häng nur von Weren x ab mi {... 0 } Ein Sysem heiß kausal, wenn gil: Aus x y un x y sowie x = x für 0 folg: y = y für 0 3. S. 33 Nachrichenechnik 3 Lineare zeikoninuierliche Syseme Zeiinvarianz Gegeben: Sysem mi Eingangssignal x un Ausgangssignal y Ein Sysem is zeiinvarian, wenn gil: Aus x y folg x 0 y x x 0 y y S. 34 7

18 Nachrichenechnik 3 Lineare zeikoninuierliche Syseme Sabiliä Ein begrenzes Eingangssignal x führ zu einem begrenzen Ausgangssignal y boune inpu boune oupu BIBO Für jees zulässige Eingangssignal x mi x A < für alle gil auch y B < für alle. 3.3 S. 35 Nachrichenechnik 3 Lineare zeikoninuierliche Syseme Geächnislose un geächnisbehafee ynamische Syseme Geächnislose Syseme: Das Ausgangssignal y 0 zum Zeipunk 0 häng nur vom Eingangssignal x 0 zum gleichen Zeipunk 0 ab. Geächnislose Syseme weren urch eine Kennlinie y = f x beschrieben. Geächnisbehafee Syseme: Das Ausgangssignal y 0 zum Zeipunk 0 häng vom Eingangssignal x 0 zum gleichen Zeipunk 0 un er Vorgeschiche x < 0 ab. S. 36 8

19 Nachrichenechnik 3 Lineare zeikoninuierliche Syseme Falungsinegral Näherung eines Eingangssignals x urch schmale recheckförmige Impulse n T x x n T rec n= T x T 3.4 S. 37 Nachrichenechnik 3 Lineare zeikoninuierliche Syseme Grenzübergang: T 0 n T τ T τ rec δ T T Anwor es Sysems auf einen einzelnen Recheck-Impuls: 3.5 T rec T δ δτ Lineares zeiinvarianes Sysem h T h hτ S. 38 9

20 Nachrichenechnik 3 Lineare zeikoninuierliche Syseme Allgemeines Eingangssignals x: n T x x n T rec n= T Ausgangssignal y: y x n T T h T n T n= Grenzübergang: T 0 y = x τ h τ τ = x h Falungsinegral, h = Impulsanwor S. 39 Nachrichenechnik 3 Lineare zeikoninuierliche Syseme Eigenschafen es Falungsprouks: Kommuaivgesez y = x τ h τ τ = h τ x τ τ y = x h = h x Beweis urch Subsiuion: τ = u τ = u y = x u h u u = h u x u u 3. S. 40 0

21 Nachrichenechnik 3 Lineare zeikoninuierliche Syseme Kommuaivgesez als Blockschalbil x h y h x y Assoziaivgesez y = [ x h ] h = x [ h h ] = x h h 3. x h h y x h h y S. 4 Nachrichenechnik 3 Lineare zeikoninuierliche Syseme Reihenfolge von linearen Teilsysemen kann verausch weren: x y h h x y = [ x h ] h = [ x h ] h Lineariä h h y 3.3 x h h y x h +h y y = [ x h ] + [ x h ] = x [ h + h ] 3.4 S. 4

22 Nachrichenechnik 3 Lineare zeikoninuierliche Syseme Falung mi δ-funkion: y = x δ = x τ δ τ τ = x 3.5 y = x δ 0 = x τ δ τ 0 τ = x S. 43 Nachrichenechnik 3 Lineare zeikoninuierliche Syseme Impulsanwor x h y Ein lineares zeiinvarianes Sysem wir vollsänig urch seine Impulsanwor beschrieben. Beingung an ie Impulsanwor für Sabiliä: Mi x A < muss auch gelen: y B < y = h τ x τ τ h τ x τ τ h τ A τ B < h τ τ C < 3.7 S. 44

23 Nachrichenechnik 3 Lineare zeikoninuierliche Syseme Beingung an ie Impulsanwor für Kausaliä: Ausgangssignal y 0 häng nur von Weren x ab mi {... 0 } δ h h = 0 für < y = x τ h τ τ = h τ x τ τ S. 45 Nachrichenechnik 3 Lineare zeikoninuierliche Syseme Falung zweier kausaler Funkionen: h = 0 für < 0 un h = 0 für < 0 h h = h τ h τ τ = h 0 0 τ h τ τ 3.0 Dimension er Impulsanwor: Dim[ y ] Dim[ h ] = Dim[ x ] Dim[ ] häufig : Dim[ h ] = s S. 46 3

24 Nachrichenechnik 3 Lineare zeikoninuierliche Syseme Beispiel : RC-Glie U I C C = 3. U U I C = 3. R Lineare Differenialgleichung: U U U RC = Impulsanwor: U = δ Kausaliä: h = 0 für < 0 R I C U U C 3.3 S. 47 Nachrichenechnik 3 Lineare zeikoninuierliche Syseme Zeinullpunk: U >> U U U RC = 3.4 R I C U U C U 0+ = U = = RC RC δ RC Impulsanwor für > 0 Ein-Speicher-Nezwerk: U = RC RC S. 48 4

25 Nachrichenechnik 3 Lineare zeikoninuierliche Syseme Impulsanwor eines RC-Tiefpass-Filers h RC S. 49 Nachrichenechnik 3 Lineare zeikoninuierliche Syseme Berechnung es Ausgangssignals für eine Sprungfunkion als Eingangssignal: U = U 0 s U = U h = h τ U τ τ Prakische Berechnung am besen mi Skizze, ie ie beien Fakoren im Inegranen zeig S. 50 5

26 Nachrichenechnik 3 Lineare zeikoninuierliche Syseme Berechnung es Falungsinegrals < 0 : U = : τ U RC = e U0 τ RC 0 τ U = 0 RC RC RC RC U 0 < 0 hτ U τ > 0 τ τ S. 5 Nachrichenechnik 3 Lineare zeikoninuierliche Syseme 0 : U U 0 = RC RC + RC = U0 [ e RC RC ] 3.3 U U 0 S. 5 6

27 Nachrichenechnik 3 Lineare zeikoninuierliche Syseme Beispiel : Berechnung es Ausgangssignals auf zwei Recheckimpulse: T U = U0 rec U0 rec 3.3 T T U U 0 0,5,5,5 0,5 / T U = U h = h τ U τ τ U S. 53 Nachrichenechnik 3 Lineare zeikoninuierliche Syseme Berechnung es Falungsinegrals <,5 T : U = ,5 T < 0,5 T : RC hτ τ +,5 T τ U RC = e U0 τ RC 0 + T τ,5 U = 0 RC RC RC U -τ +,5 T τ S. 54 7

28 Nachrichenechnik 3 Lineare zeikoninuierliche Syseme,5 T < 0,5 T : +,5 T U = U0 [ e RC ] 0,5 T < 0,5 T : 3.36 U -τ +,5 T τ U = e RC U0 τ RC + 0,5 T +,5 T τ U = 0 RC RC RC T τ + 0,5 T = U0 [e RC +,5 T τ τ +,5 T e RC ] 3.37 S. 55 Nachrichenechnik 3 Lineare zeikoninuierliche Syseme 0,5 T <,5 T : U -τ +,5 T τ 0,5 T τ U = e RC U0 τ + e RC U 0 τ RC RC + 0,5 T 0,5 0,5 τ + T τ T U = 0 RC U RC 0 RC RC RC RC T 0 τ + 0,5 T τ +,5 T τ 0,5 T = U0 [e RC e RC + e RC ] S. 56 +,5 T τ

29 Nachrichenechnik 3 Lineare zeikoninuierliche Syseme,5 T : U -τ +,5 T τ 0,5 T τ U = e RC 0 e RC U τ + U0 RC τ RC + 0,5 T,5 T +,5 T 0,5 T τ U τ 0 e RC U = RC 0 RC RC RC RC T,5 T τ + 0,5 T τ +,5 T τ 0,5 T τ,5 T = U0 [e RC e RC + e RC e RC ] S. 57 τ 3.39 Nachrichenechnik 3 Lineare zeikoninuierliche Syseme U U 0 0,5,5 RC = 0, T U U 0 0,5,5,5 0,5 / T,5 0,5 / T U 0 U 0 U 0 U RC = T U 0 0,5,5 RC = 0 T U 0 0,5,5,5 0,5 / T,5 0,5 / T U 0 U 0 S. 58 9

30 Nachrichenechnik 3 Lineare zeikoninuierliche Syseme Inegraor y = x τ τ = x s Keine BIBO-Sabiliä: x = k Differenzierer h I = s x y = = x δ hd = δ Keine BIBO-Sabiliä: x = s y y δ S. 59 Nachrichenechnik 3 Lineare zeikoninuierliche Syseme Sprunganwor s h a δ s s h a δ h h s a a = h τ τ = h s S

31 Nachrichenechnik 3 Lineare zeikoninuierliche Syseme Beschreibung es Überragungsverhalens urch ie Sprunganwor Annahme: x besiz einen verschwinenen Anfangswer x = 0 x h y x δ x s x h y a Zusammenhang ohne Einschränkung an x: y = x a + a τ x τ τ = x a + a x 3.45 S. 6 Nachrichenechnik 4 Fourier-Transformaion Ableiung: Überragungsfunkion Exponenialfunkionen sin Eigenfunkionen linearer zeiinvarianer Syseme LTI linear ime-invarian sysems y = xeigen h = H xeigen Eingangssignal: j x = e Ausgangssignal: y = h τ x τ τ = j τ h τ τ j jτ j = e h τ τ = e H S. 6 3

32 Nachrichenechnik 4 Fourier-Transformaion Überragungsfunkion: j H = h τ e Eingangssignal: τ τ j j e + x = cos = e Ausgangssignal: y = = = Re j j H + H j j H + H j { H } = H cos + ϕ H S Nachrichenechnik 4 Fourier-Transformaion Anwenung von 4.4 auf beliebige Signale/Funkionen Fourier-Transformaion j FF = f f 4.7 F F = Fourier-Transformiere = Fourier-Spekrum F F is eine komplexwerige Funkion Fourier-Rückransformaion: + j f = FF FF π 4.8 S. 64 3

33 Nachrichenechnik 4 Fourier-Transformaion Beispiel: Transformaion er Recheck-Funkion: f = rec T T / T / j j FF = = j T / T / = j j T / j T / j T / j T / e e = e e j = sin T / = T si T / 4.0 sin x mi si x = 4. x S Nachrichenechnik 4 Fourier-Transformaion Beispiel: Transformaion er Recheck-Funkion: rec/ T T T si T/ Konvergenz T/ T/ π / T Die Fourier-Transformaion konvergier nich für konsane Funkionen oer für x oer x anseigene Funkionen S

34 Nachrichenechnik 4 Fourier-Transformaion Beispiel: Transformaion einer konsanen Funkion: x = = j = j X e e j Inegral konvergier nich! α Hilfsfunkion: xα = e mi α > Grenzwer: x = = lim xα α S. 67 Nachrichenechnik 4 Fourier-Transformaion Transformaion er Hilfsfunkion: 0 j α j α j Xα = xα = e + e 0 0 α j α j = e + e α j α j 0 α = + = α j α + j α Glockenkurve mi Maximum bei = 0! S

35 Nachrichenechnik 4 Fourier-Transformaion Hilfsfunkion in Zei- un Frequenzbereich: x α X α /α /α α /α S. 69 Nachrichenechnik 4 Fourier-Transformaion Grenzübergang er Hilfsfunkion für α 0: α lim = 0 für 0 α 0 lim X = α + α α 0 α lim = lim für = 0 α 0 α + α 0α 4.7 Eigenschafen einer δ -Funkion! α π π X α = = α arcg = = π + α + α α 4.8 π δ 4.9 S

36 Nachrichenechnik 4 Fourier-Transformaion Beispiel: Transformaion er Sprungfunkion: x = s = j = j X e e 0 j Inegral konvergier nich! α Hilfsfunkion: xα = s mi α > 0 4. Grenzwer: x = s = lim xα 4.3 α 0 S. 7 Nachrichenechnik 4 Fourier-Transformaion Transformaion er Hilfsfunkion: j α j Xα = xα = e 0 α j = e α j 0 α j α j = = = α + j α + α + α Unsymmerie er Zeifunkion zwei Beiräge: Real- un Imaginäreil S. 7 36

37 Nachrichenechnik 4 Fourier-Transformaion { } Re X α /α x α α /α { } Im X α /α /α /α /α /α /α S. 73 Nachrichenechnik 4 Fourier-Transformaion Grenzübergang er Hilfsfunkion für α 0: lim X α = πδ + α 0 j 4.5 s πδ + j 4.6 S

38 Nachrichenechnik 4 Fourier-Transformaion Eigenschafen Gegeben: f F, f / F / 4.7 Lineariä: c f + c f c F + c F 4.8 Beweis: j j j [ c f + c f ] = c f + c f j j = c f + c f = cf + cf 4.9 S. 75 Nachrichenechnik 4 Fourier-Transformaion Negaive Zeiachse: f F 4.30 Beweis: j + ju j u f = f u u = f u u = F 4.3 Konjugier komplexe Were: f * F * 4.3 Beweis: F f e + j = 4.33 S

39 Nachrichenechnik 4 Fourier-Transformaion Gerae un ungerae Aneile es Real- un Imaginäreils f = f Rg + f Ru + j f Ig + j f iu 4.34 F = F Rg + F Ru + j F Ig + j F iu 4.35 Beweis: reelle Funkion j frg = frg [cos jsin ] = frg cos 4.36 j fru = fru [cos jsin ] = j fru sin 4.37 S. 77 Nachrichenechnik 4 Fourier-Transformaion Folgerung für reelle Funkionen f F* = F posiive Funkionen: f 0 F F Beweis: j F = f j j0 f e = f 4.39 S

40 Nachrichenechnik 4 Fourier-Transformaion Symmerieeigenschaf: F π f Beweis: F f e j = Subsiuion, : j j F = f = π f π S. 79 Nachrichenechnik 4 Fourier-Transformaion S

41 Nachrichenechnik 4 Fourier-Transformaion Maßsabsänerung Ähnlichkeissaz a is reell: f a F a F a a f a a Beweis von 4.43 mi a > 0: e + ja f a = F π Subsiuion: a = u u + ju f a = F u π a a S Nachrichenechnik 4 Fourier-Transformaion Beweis von 4.43 mi a = b < 0: e j b f a = f b = F π 4.47 Subsiuion: b = u u + ju f a = f b = F u π b b u + ju u + ju = F u = F π b b π a u a 4.48 S. 8 4

42 4 S. 83 e 0 j 0 f F Nachrichenechnik 4 Fourier-Transformaion Zeiverschiebung: Beweis: Frequenzverschiebung: Beweis: π π e e e j j j F F f + + = = e 0 j 0 F f f f F e e e j j j = = 4.5 S. 84 Differeniaion im Zeibereich: Beweis: j F f n n n Nachrichenechnik 4 Fourier-Transformaion π π π e j e e j j j n n n n n n n F F F f = = =

43 43 S. 85 Differeniaion im Frequenzbereich: Beweis: j f F n n n Nachrichenechnik 4 Fourier-Transformaion f f f F n n n n n n n e j e e j j j = = = S. 86 Falung von Zeifunkionen: Beweis: F F u u f u f f f = Nachrichenechnik 4 Fourier-Transformaion e e j j F F u F u f u u f u f f f u = = h H x y = x * h X Y = X H

44 Nachrichenechnik 4 Fourier-Transformaion Muliplikaion von Zeifunkionen: f f F F = F u F u u π π 4.59 Beweis: F F π f F f F + j e F u F u u π π + ju = F u f e u = f f π 4.60 f f F F π S. 87 Nachrichenechnik 4 Fourier-Transformaion Inegraion im Zeibereich: F f u u + π F0 δ j Beweis: f u u = f u s u u = f s F F + π δ = + π F0 δ 4.63 j j S

45 Nachrichenechnik 4 Fourier-Transformaion Parsevalsches Theorem für reelle Zeisignale f Energiesaz f = F π Beweis: Muliplikaion im Zeibereich 4.64 j f f = F F = F u F u u π π 4.65 = 0: f f = F u F u u = F u F u u π π 4.66 S. 89 Nachrichenechnik 4 Fourier-Transformaion Wichige Korresponenzen δ 4.67 π δ 4.68 j e 0 π δ sin 0 jπ δ + 0 jπ δ 0 cos 0 π δ π δ 0 s π δ j sgn = + s j S

46 rec T Nachrichenechnik 4 Fourier-Transformaion = s s + T s T + jπ δ T si T π π si 0 [ s + 0 s 0 ] = rec π π s sin 0 0 j δ + 0 j δ s cos 0 π π j δ δ [ s + T s T ] cos 0 T[si + 0 T + si 0 T ] S. 9 Nachrichenechnik 4 Fourier-Transformaion a s a + j a a e a + a sgn j a + a a π e a + a e π e 4a a j sgn π S. 9 46

47 Nachrichenechnik 4 Fourier-Transformaion J0 a a 0 für < a sons 4.86 s J0 a a j a für für < a > a 4.87 S. 93 Nachrichenechnik 4 Fourier-Transformaion Beispiele: Transformaion er Dreieckfunkion = rec rec T T T T 4.88 T T T T si T si = T si T 4.89 S

48 Nachrichenechnik 4 Fourier-Transformaion Transformaion er Dreieckfunkion / T si T/ / T T/π T T si T 4.90 S. 95 Nachrichenechnik 4 Fourier-Transformaion Beispiel zum Parsevalschen Theorem: f = s T F = j T Berechnung im Zeibereich: T T f e T e T = = = Berechnung im Frequenzbereich: [ arcg ] F = = T T π π + π T T π π T = = π S

49 Nachrichenechnik 4 Fourier-Transformaion Transformaion einer perioischen Zeifunkion: f P = f P +T Darsellung als Fourier-Reihe: mi en Koeffizienen: π un 0 = T jn f = A n 0 P e n= + T n A = 0 n f j 0 P T Fourier-Transformiere: F P = A n π δ n0 n= 4.97 S. 97 Nachrichenechnik 4 Fourier-Transformaion Beispiel: Transformaion einer perioischen δ-impulsfolge: A = δ nt 4.98 n= T / T / jn jn An A e 0 = e 0 T = T δ = 4.99 T T / T / π A DA = An π δ n0 = δ n0 n= n= T 4.00 S

50 Nachrichenechnik 4 Fourier-Transformaion Perioische δ-impulsfolge Α D Α /T 3 3 / 0 δ nt 0 δ n0 n= n= 4.0 S. 99 Nachrichenechnik 4 Fourier-Transformaion Ieales Tiefpassfiler Überragungsfunkion: für g HTP = 0 sons 4.0 Impulsanwor: g htp = si g = fg si g 4.03 π Anregung mi einer Sprungfunkion: atp = htp s = htp τ τ = fg si g τ = + Si g π 4.04 Mi er Inegralsinusfunkion Six: x Si x = si u u S