Computergestützte Datenanalyse in der Kern- und Teilchenphysik

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1 Computergestützte Datenanalysein der Kern- und Teilchenphysik p. 1/?? Computergestützte Datenanalyse in der Kern- und Teilchenphysik Vorlesung 4 Jan Friedrich

2 Computergestützte Datenanalysein der Kern- und Teilchenphysik p. 2/?? Hypothesentest Beobachtung x Hypothese(n) H (i) Bekannt: P (x H (i) )

3 Computergestützte Datenanalysein der Kern- und Teilchenphysik p. 2/?? Hypothesentest Beobachtung x Hypothese(n) H (i) Bekannt: P (x H (i) ) Gesucht: Bewertung der Hypothese(n) H (i) Gesucht: nach der Beobachtung x Frequentist Sichtweise: H (i) wahr oder falsch

4 Computergestützte Datenanalysein der Kern- und Teilchenphysik p. 2/?? Hypothesentest Beobachtung x Hypothese(n) H (i) Bekannt: P (x H (i) ) Gesucht: Bewertung der Hypothese(n) H (i) Gesucht: nach der Beobachtung x Frequentist Sichtweise: H (i) wahr oder falsch Bayes Sichtweise: suche nach P(H (i) x) P (H i x) = P (H i x)p (x) = P (x H i )P (H i ) P (H i x) = P (x H i)p (H i ) P (E)

5 Computergestützte Datenanalysein der Kern- und Teilchenphysik p. 3/?? Bayes Theorem Falls die H i vollständig und sich gegenseitig ausschließend P (H i x) = P (x H i)p (H i ) j P (x H j)p (H j )

6 Computergestützte Datenanalysein der Kern- und Teilchenphysik p. 3/?? Bayes Theorem Falls die H i vollständig und sich gegenseitig ausschließend P (H i x) = P (x H i)p (H i ) j P (x H j)p (H j ) Aber was ist P (H i )?

7 Computergestützte Datenanalysein der Kern- und Teilchenphysik p. 3/?? Bayes Theorem Falls die H i vollständig und sich gegenseitig ausschließend P (H i x) = P (x H i)p (H i ) j P (x H j)p (H j ) Aber was ist P (H i )? a priori Annahme P (H i ) falls P (H i ) = const P (H i x) = P (x H i )

8 Computergestützte Datenanalysein der Kern- und Teilchenphysik p. 4/?? Auswertung von Stichproben χ 2 -Verteilung Parameter-Anpassung

9 Computergestützte Datenanalysein der Kern- und Teilchenphysik p. 5/?? Schätzwert für σ Die Varianz einer Stichprobe ist s 2 = 1 n n (x i x) 2 [E( x) = ˆx] i=1

10 Computergestützte Datenanalysein der Kern- und Teilchenphysik p. 5/?? Schätzwert für σ Die Varianz einer Stichprobe ist s 2 = 1 n n (x i x) 2 [E( x) = ˆx] i=1 E(s 2 ) = 1 n E ( n i=1 (x i ˆx + ˆx x) 2 ) = n 1 n σ2 (x) d.h. ein unverzerrter Schätzwert für σ 2 ist s 2 = 1 n 1 n (x i x) 2 i=1 (Ein einzelner Messwert schätzt nur den Mittelwert einer Verteilung, nicht die Varianz)

11 Computergestützte Datenanalysein der Kern- und Teilchenphysik p. 6/?? χ 2 -Verteilung Für die Stichprobe einer Normalverteilung um x mit Varianz σ 2 betrachtet man χ 2 = 1 σ 2 n (x i x) 2 i=1

12 Computergestützte Datenanalysein der Kern- und Teilchenphysik p. 6/?? χ 2 -Verteilung Für die Stichprobe einer Normalverteilung um x mit Varianz σ 2 betrachtet man χ 2 = 1 σ 2 n (x i x) 2 i=1 Die Verteilungsfunktion für χ 2 lautet F (χ 2 ) = P (χ 2 s < χ 2 ) = 1 Γ(λ)2 λ χ 2 0 u λ 1 e u/2 du (λ = n/2) Konfidenzniveau W (χ 2 ) = 1 F (χ 2 )

13 Computergestützte Datenanalysein der Kern- und Teilchenphysik p. 6/?? χ 2 -Verteilung Für die Stichprobe einer Normalverteilung um x mit Varianz σ 2 betrachtet man χ 2 = 1 σ 2 n (x i x) 2 i=1 Die Verteilungsfunktion für χ 2 lautet F (χ 2 ) = P (χ 2 s < χ 2 ) = 1 Γ(λ)2 λ χ 2 0 u λ 1 e u/2 du (λ = n/2) Konfidenzniveau W (χ 2 ) = 1 F (χ 2 ) ( ) TMath::Gamma unvollständige Γ-Funktion n, χ2 2 2

14 Computergestützte Datenanalysein der Kern- und Teilchenphysik p. 7/?? χ 2 -Probabilität TMath::Gamma(1/2,x/2) F(χ 2 ) 1 n=1 0.8 n= n= χ 2

15 Computergestützte Datenanalysein der Kern- und Teilchenphysik p. 7/?? χ 2 -Probabilität TMath::Gamma(1/2,x/2) F(χ 2 ) 1 n=1 0.8 n= n= χ 2 Die Umkehrfunktion χ 2 F kann zur Bewertung der χ2 s aus Stichproben herangezogen werden (Ablesen der Quantile):

16 χ 2 -Probabilität TMath::Gamma(1/2,x/2) F(χ 2 ) 1 n=1 0.8 n= n= χ 2 Die Umkehrfunktion χ 2 F kann zur Bewertung der χ2 s aus Stichproben herangezogen werden (Ablesen der Quantile): TMath::Prob(χ 2, ndf) ist (bei korrektem Modell, insbesondere richtigem σ für die Berechnung von χ 2 ) gleichverteilt. Computergestützte Datenanalysein der Kern- und Teilchenphysik p. 7/??

17 Computergestützte Datenanalysein der Kern- und Teilchenphysik p. 8/?? Parameter-Anpassung ( Fitten ) Die Wahrscheinlichkeitsdichte der Zufallsgrößen x i habe die Form f = f(x i, λ j ) mit unbekannten (bzw. anpassbaren) Parametern λ j.

18 Computergestützte Datenanalysein der Kern- und Teilchenphysik p. 8/?? Parameter-Anpassung ( Fitten ) Die Wahrscheinlichkeitsdichte der Zufallsgrößen x i habe die Form f = f(x i, λ j ) mit unbekannten (bzw. anpassbaren) Parametern λ j. Für jede Stichprobe (Ereignis) k (aus einer Reihe der Länge N) ist die aufgrund von f zugeordnete Wahrscheinlichkeit dp (k) = f(x (k) i, λ j )dx

19 Computergestützte Datenanalysein der Kern- und Teilchenphysik p. 8/?? Parameter-Anpassung ( Fitten ) Die Wahrscheinlichkeitsdichte der Zufallsgrößen x i habe die Form f = f(x i, λ j ) mit unbekannten (bzw. anpassbaren) Parametern λ j. Für jede Stichprobe (Ereignis) k (aus einer Reihe der Länge N) ist die aufgrund von f zugeordnete Wahrscheinlichkeit dp (k) = f(x (k) i, λ j )dx und für die gesamte Stichproben-Reihe dp = N k=1 f(x (k) i, λ j )dx Likelihood-Funktion

20 Computergestützte Datenanalysein der Kern- und Teilchenphysik p. 9/?? Maximum Likelihood Da die f(x (k) i, λ j ) > 0 und ln(x) monoton steigend, kann anstelle der Likelihood-Funktion selbst deren Logarithmus maximiert werden: l = ln L = dl dλ j = = N k=1 N k=1 N k=1 ln f(x (k) i, λ j ) und d dλ j ln f(x (k) i, λ j ) d dλ j f(x (k) i, λ j ) f(x (k) i, λ j )! = 0

21 Computergestützte Datenanalysein der Kern- und Teilchenphysik p. 10/?? Interpretation von l Falls die Likelihood-Schätzung erwartungstreu ist, d.h. für große N λ ohne Verzerrung (Bias) liefert, so folgt aus der Informationsungleichung (Behandlung der Empfindlichkeit der Messung auf λ, s. z.b. Brandt, loc. cit., und Zitate dort) dl dλ = 1 (λ E(λ)) σ2 Verallgemeinerung auf mehrere Parameter liefert Verfahren zur Auffindung der Kovarianzmatrix.

22 Computergestützte Datenanalysein der Kern- und Teilchenphysik p. 11/?? Beispiel I: Verschiedene σ k Dieselbe Größe λ wird durch verschiedene Messungen k bestimmt, welche um λ gaußisch mit verschiedenen σ k streuen. f(x (k), λ)dx = 1 2πσk e (x(k) λ) 2 /2σ 2 k dx Die zugehörige Likelihood-Gleichung hat die Lösung λ dl dλ =0 = N x (k) k=1 σk 2 N 1 k=1 σk 2

23 Computergestützte Datenanalysein der Kern- und Teilchenphysik p. 12/?? Beispiel II: Binomialverteilung L(k, λ) = ( ) n λ k (1 λ) n k k l = k ln λ + (n k) ln(1 λ) + ln dl dλ = n λ(1 λ) ( ) k n λ wahrscheinlichster Wert für λ ist k/n maximum Likelihood ist erwartungstreu Varianz λ(1 λ)/n ( ) n k