Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik

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1 Kapitel 15 Wahrscheilichkeitstheorie ud Statistik Verstädisfrage Sachfrage 1. Erläuter Sie de Begriff der absolute ud relative Häufigkeit eier Stichprobe! 2. Erläuter Sie de Begriff der Klassehäufigkeit i der beschreibede Statistik! 3. Erläuter Sie de Begriff der Summehäufigkeit! 4. Erläuter Sie de Begriff der empirische Dichte! 5. Erläuter Sie de Begriff des Modalwerts! 6. Erläuter Sie de Begriff des arithmetische Mittels! 7. Erläuter Sie de Begriff des geometrische Mittels! 8. Erläuter Sie de Begriff der Spabreite, der Variaz ud der Stadardabweichug! 9. Was versteht ma uter eier Kotigeztabelle? 10. Was ist die Stichprobe-Kovariaz? 11. Wie ist der Bravais-Pearso-Korrelatioskoeffiziet defiiert? 12. Was ist eie Ereigis-Algebra? 13. Erläuter Sie de Asatz der Laplace-Wahrscheilichkeit! 14. Was ist eie geometrische Wahrscheilichkeit? 15. Was ist ei Wahrscheilichkeitmaß? 16. Was versteht ma uter eiem Wahrscheilichkeitsraum? 17. Was ist eie bedigte Wahrscheilichkeit? 18. Was sagt der Satz vo der totale Wahrscheilichkeit aus?

2 15 Wahrscheilichkeitstheorie ud Statistik Wie lautet der Satz vo Bayes? 20. Wa sid zwei Ereigisse uabhägig? 21. Was ist eie Zufallsvariable? 22. Was ist eie Verteilugsfuktio eier Zufallsvariable? 23. Welche Eigeschafte hat eie Verteilugsfuktio? 24. Was ist eie diskrete Zufallsvariable? 25. Was ist eie stetige Zufallsvariable? 26. Erläuter Sie de Begriff der Wahrscheilichkeitsdichte eier stetige Zufallsvariable! 27. Gibt es für eie stetige Zufallsvariable Ereigisse, die fast umöglich sid? 28. Wie ist der Erwartugswert eier Zufallsvariable defiiert? 29. Wie ist die Variaz ud die Stadardabweichug eier Zufallsvariable defiiert? 30. Welche Recheregel für Erwartugswert ud Variaz eier Zufallsvariable kee Sie? 31. Wa sid zwei Zufallsvariable uabhägig? 32. Erläuter Sie de Korrelatioskoeffiziete zweier Zufallsvariabler! 33. Wa sid zwei Zufallsvariable ukorreliert? 34. Erläuter Sie de Zusammehag zwische Uabhägigkeit ud Ukorreliertheit! 35. Wie lautet die Ugleichug vo Tschebyscheff? 36. Was ist ei Quatil eier Zufallsvariable? 37. Nee Sie wichtige diskrete ud stetige Verteiluge! 38. Was ist eie Beroulli-Variable? 39. Erläuter Sie Verteilugs- ud Dichtefuktio der Normalverteilug! 40. Erläuter Sie de Zusammehag zwische N(0, 1) ud eier beliebige N(µ, σ)-verteilug! 41. Was ist ei kσ-bereich? 42. Wie lautet das schwache Gesetz der große Zahle? 43. Was ist eie erwartugstreue Puktschätzug? 44. Was ist eie asymptotisch erwartugstreue Puktschätzug? 45. Nee sie Beispiele für erwartugstreue ud asymptotisch erwartugstreue Puktschätzer! 46. Erläuter Sie das Maximum-Likelihood-Prizip!

3 15 Wahrscheilichkeitstheorie ud Statistik 197 Methodefrage 1. Die empirische Dichte ud die absolute ud relative Häufigkeite eier Stichprobe bereche köe. 2. Für eie Stichprobe Klasse bilde köe. 3. Summehäufigkeite bereche köe. 4. Modalwert ud Mittelwerte eier Stichprobe bereche köe. 5. Spabreite, Variaz ud Stadardabweichug eier Stichprobe bereche köe. 6. Ei Kotigeztabelle für eie zweidimesioale Stichprobe aufstelle köe. 7. Stichprobe-Kovariaz ud Bravais-Pearso-Korrelatioskoeffiziet bereche köe. 8. Ei Streuugsdiagramm erstelle ud iterpretiere köe. 9. Für ei Zufallsexperimet eie geeigete Ereigis-Algebra kostruiere köe. 10. Nachweise köe, dass eie gegebee Mege eie Ereigis-Algebra darstellt. 11. Laplace-Wahrscheilichkeite bestimme köe. 12. Die Recheregel für ei Wahrscheilichkeitsmaß awede köe. 13. Bedigte Wahrscheilichkeite bereche ud awede köe. 14. Überprüfe köe, ob zwei gegebee Ereigisse uabhägig sid. 15. Verteilugs- ud Dichtefuktioe vo Zufallsvariable awede ud bestimme köe. 16. Wahrscheilichkeite für Zufallsvariable bereche köe. 17. Erwartugswert, Variaz ud Stadardabweichug eier Zufallsvariable bereche köe. 18. Recheregel für Erwartugswert ud Variaz eier Zufallsvariable awede köe. 19. Zufallsvariable auf Uabhägigkeit überprüfe köe. 20. De Korrelatioskoeffiziete bestimme ud iterpretiere köe. 21. Die Ugleichug vo Tschebyscheff awede köe. 22. Quatile bestimme köe. 23. Mit diskrete ud stetige Verteiluge arbeite köe. 24. Die typische Awedugsbereiche diskreter ud stetiger Verteiluge kee. 25. Mit der Normalverteilug arbeite köe. 26. kσ-bereiche der Normalverteilug bestimme köe. 27. Puktschätzer awede ud eischätze köe. 28. Das Maximum-Likelihood-Prizip awede köe.

4 15 Wahrscheilichkeitstheorie ud Statistik 198 Übugsaufgabe 1. Die folgede Date stelle eie Stichprobe eier Umfrage über das Alter vo Eigeheime i Jahre dar: 82, 70, 69, 19, 71, 70, 13, 70, 70, 23, 62, 53, 32, 65, 66, 55, 79, 15, 21, 69 59, 18, 21, 66, 72, 19, 65, 57, 24, 71, 51, 50, 82, 13, 13, 82, 82, 54, 64, 36. Stelle Sie die relative ud absolute Häufigkeite grafisch dar ud bestimme Sie die Lageparameter der Stichprobe! Modalwerte für die Stichprobe sid die Auspräguge 70 ud 82. Das arithmetische Mittel der Stichprobe ist gegebe durch x = 51, 825, der Media durch m ed = 60, 5. Das geometrische Mittel der Stichprobe ist gegebe durch x g = 44, 52. Die absolute Häufigkeite fide sie i Abbildug 15.1, die relative Häufigkeite i Abbildug 15.2 ud die empirische Verteilugsfuktio i Abbildug 15.3! 4 Absolute Häufigkeite Abbildug 15.1: Die absolute Häufigkeite für die Date i Aufgabe 1 2. Bestimme Sie die relative Häufigkeit ud die relative Summehäufigkeit für eie Klassebreite vo w = 50 für die Lebesdauer-Stichprobe auf Seite 401, ud stelle Sie diese grafisch dar! Die relative Klassehäufigkeite bei Klassebreite 50 fide Sie i Abbildug 15.4; die relative Summehäufigkeit i Abbildug Bestimme Sie die Lage- ud Streuugsparameter für die Date der der Lebesdauer-Stichprobe auf Seite 401 ud der Stichprobe aus Aufgabe 1!

5 15 Wahrscheilichkeitstheorie ud Statistik 199 Relative Häufigkeite 0,1 0,1 0, Abbildug 15.2: Die relative Häufigkeite für die Date i Aufgabe 1 Empirische Verteilugsfuktio 1,0 1,0 0,9 0,9 0,8 0,8 0,7 0,7 0,6 0,6 0,5 0,5 0,4 0,4 0,3 0,3 0,2 0,2 0,1 0,1 0, Abbildug 15.3: Die empirische Verteilugsfuktio für die Date i Aufgabe 1 Die Ergebisse für die Stichprobe der Lebesdauer auf Seite 401: x 313, 166, x g 266, 85, x m = 325. Die Spabreite ist 470, die Variaz s , 59 ud

6 15 Wahrscheilichkeitstheorie ud Statistik 200 Relative Klassehäufigkeite bei Klassebreite 50 0,14 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0, Abbildug 15.4: Die relative Häufigkeite für die Date i Aufgabe 2 Relative Summehäufigkeit bei Klassebreite ,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0, Abbildug 15.5: Die relative Summehäufigkeite für die Date i Aufgabe 2 die Stadardabweichug s 145, 89. Für die Stichprobe i Aufgabe 1 sid die Lageparameter: Modalwerte für die Stichprobe sid die Auspräguge 70 ud 82. Das arithmetische Mittel der Stichprobe ist gegebe durch x =

7 15 Wahrscheilichkeitstheorie ud Statistik , 825, der Media durch x med = 60, 5. Das geometrische Mittel der Stichprobe ist gegebe durch x g = 44, 52. Die Spabreite der Stichprobe ist 6, die Variaz s 2 560, 507 ud die Stadardabweichug ist s 23, Weise Sie ach, dass der Media eier Stichprobe mit Werte die Gleichuge erfüllt! x i x med x i x med = 0, x med = x i x i x med 1 x i x med Nehme wir eimal a, dass es eie gerade Azahl vo Stichprobe gibt. Da war x med = 1 2 (x k + x k+1 ) mit k = 2. I der erste Summe ist für alle Idices mit i k der Summad gleich 1, für die restliche Summade ist der Wert kostat 1, ud die Summe ist igesamt Null. Ist die Azahl der Stichprobe ugerade, da war der Media gegebe durch die Zahl x med = x k mit k = +1 2.Für diese Idex ist der Summad 0; die Summade mit i < k sid wieder alle 1, die Summade mit i > k sid 1; ud es gibt geauso so viele Summade mit 1 wie mit 1. Die zweite Gleichug für de Media folgt aus x med x i x i x med = x med x i x i x med 1 x i x med 1 x i x med Auf der Basis beider Gleichuge ka eie Berechugsroutie für de Media ohe Sortiere der Stichprobe aufgestellt werde. Beispielsweise ka das Bisektiosverfahre für die Bestimmug der Nullstelle eigesetzt werde. 5. Weise Sie ach, dass das arithmetische Mittel für eie Stichprobe mit Werte die Fuktio (x i x) 2 miimiert! Für die Fuktio f (x) = (x i x) 2 ist die erste ud die zweite Ableitug gegebe durch f (x) = 2 x i + 2x, f (x) =2. Für ei lokales Extremum der Fuktio f muss f (x) =0 erfüllt sei. Die Nullstelle der erste Ableitug ist gegebe durch 2x = 2 x i x = 1 = x. Die zweite Ableitug f (x) =2 > 0 ist immer positiv, also ist x ei lokales Miimum! 6. Bestimme Sie die Streuugsparameter für die Date der Lebesdauer-Stichprobe auf Seite 401 ud der Stichprobe aus Aufgabe 1! Die Lösug fide Sie i der Lösug vo Aufgabe 3! = 0.

8 15 Wahrscheilichkeitstheorie ud Statistik Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass i eier Gruppe vo 60 Persoe zwei Persoe am gleiche Tag Geburtstag habe? Auf Seite 408 fide sie im Beispiel die Berechug für de Fall vo = 30 Persoe; dort war die Wahrscheilichkeit, dass zwei Persoe am gleiche Tag Geburtstag habe (bei 365 Tage im Jahr) p = 0, 706 = 1 0, 294. Jetzt ist die Wahrscheilichkeit, dass alle Persoe a eiem verschiedee Tag Geburtstag habe gegebe durch P(A c )= 365 i=306 i , Daraus ergibt sich die gesuchte Wahrscheilichkeit als P(A) =1 P(A c ) 0, Weise Sie ach, dass für zwei uabhägige Ereigisse A ud B auch A c ud B c sowie A ud B c uabhägig sid! Es gilt A =(A B) (A B c ), ud damit folgt aus de Wahrscheilichkeitsaxiome ud der vorausgesetzte Uabhägigkeit vo A ud B P(A) =P(A B)+P(A B c )=P(A)P(B)+P(A B c ) ud damit P(A B c )=P(A)(1 P(B)) = P(A)P(B c ). Da sid A ud B c uabhägig. We Sie i dieser Herleitug A durch A c ersetze erhalte Sie die Uabhägigkeit vo A c ud B ud auch vo A c ud B c. 9. Weise Sie ach, dass für eie Zufallsvariable P(X [µ 3σ; µ + 3σ]) 8 9 [µ 4σ; µ + 4σ]) gilt! ud P(X Allgemei gilt, das P(x [µ kσ; µ + kσ]) 1 1. Also ist P = 8 k 2 9 k = 4. für k = 3 ud P = für 10. Für welche Wert vo a ist die Fuktio f (x) =a(x 1) für x [1; 3] ud f (x) =0 sost Dichtefuktio eier Zufallsvariable X? Bestimme Sie die zugehörige Verteilugsfuktio, P(X > 2), E(X), Var(X), das 75%- ud das 90%-Quatil! Für eie Dichtefuktio muss f X (t)dt = 1 erfüllt sei. Für die gegebee Fuktio f folgt daraus die Bedigug 3 a (x 1)dx = 1 1 ud a = 1 2.

9 15 Wahrscheilichkeitstheorie ud Statistik 203 Da ist die Verteilugsfuktio gegebe als 0 < t 1, F X (t) = 1 4 (t 1)2 1 < t 3, 1 t > 3. Da ist P(X > 2) =1 P(X 2) =1 F X (2) = 3 4. Der Erwartugswert ist gegebe als E(X) = 1 x(x 1)dx = , die Variaz als Var(X) = 1 3 (x )2 (x 1)dx = 2 9. Das 75%-Quatil t 0,75 ist gegebe als Lösug der Gleichug 3 F X (t 0,75 )=0, 75. Dadurch ergibt sich eie quadratische Gleichug für t 0,75 ud die Lösug t 0,75 = t 0,9 ist gegebe als Nullstelle der etsprechede quadratische Gleichug mit rechter Seite 0, 9 als t 0,9 2, 64. gege- 11. Weise Sie ach, dass die Variaz eier geometrische Verteilug durch Var(X) = 1 p p 2 be ist. Wie im Fall des Erwartugswerts der geometrische Verteilug auf Seite 426 ka hier die zweite Ableitug der geometrische Reihe als Potezreihe verwedet werde. Es gilt also i q i 1 = Die Variaz ist gegebe durch 1 (1 q) 2, i (i 1)q i 2 = i=2 Var(X) =E(X 2 ) (E(X)) 2, also müsse wir zuerst E(X 2 ) bestimme. Es gilt E(X 2 )= = p = p [ = p i 2 p(1 p) i 1 i 2 (1 p) i 1 (i + i(i 1))(1 p) i 1 i(1 p) i 1 +(1 p) = 1 p + p(1 p) 2 p 3 = 2 p p 2. i=2 2 (1 q) 3. i(i 1)(1 p)i 2 ]

10 15 Wahrscheilichkeitstheorie ud Statistik 204 Da folgt Var(X) =E(X 2 ) (E(X)) 2 = 2 p p 2 1 p 2 = 1 p p Bei der Produktio eies Speicherbausteis sid im Durchschitt 5% Ausschuss. Die Losgröße beträgt 200 Stück. Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass i eier Stichprobe vo 20 Stück geau 5 Bausteie Ausschuss sid, dass alle verwedbar oder höchstes 2 Bausteie defekt sid? Bestimme Sie de Erwartugswert ud die Variaz dieser Verteilug! Es hadelt sich um eier relativ kleie Stichprobe, das gezogee Stück wird icht i die Grudgesamtheit zurückgelegt; da verwede wir die hypergeometrische Verteilug. Wir verwede eie Hyp(200; 10, 20)-Verteilug. Da ist die gesuchte Wahrscheilichkeit, dass i der Stichprobe geau 5 Stück Ausschuss sid P 5 = (10 5 )( ) ( ) 0, Die Wahrscheilichkeit, dass uter de 20 gezogee Stücke geau 5 Ausschuss sid beträgt rud 0, 1%. Dass alle verwedbar, also kei Ausschuss i der Stichprobe ist, hat die Wahrscheilichkeit P 0 = (10 0 )( ) ( ) 0, Die Wahrscheilichkeit, dass höchstes 2 Stück Ausschuss sid ist gegebe durch P(X 2) =P(X = 0)+P(X = 1) 0, Der Erwartugswert ist E(X) = M N = 1, die Variaz ist Var(X) = M (1 M N ) N N 1 0, Weise Sie ach, dass für eie P(λ)-verteilte Variable Var(X) =λ gilt! Für de Erwartugswert gilt E(X) =λ. Da gilt Var(X) = = = (i λ) 2 λi i=0 i 2 λi i=0 i=0 i! e λ i! e λ 2λ i(i 1) λi i! e λ + i λi i=0 i=0 i! e λ + λ 2 e λ i λi i! e λ 2λ λ i i! i=0 i λi i=0 = i(i 1) λi i! e λ + λ 2λ 2 + λ 2 e λ e λ i=2 = λ 2 + λ 2λ 2 + λ 2 = λ. i! e λ + λ 2 e λ 14. Bei der Produktio vo Stoff sid im Durchschitt auf 100m 10 Fehler ethalte. Der Stoff wird zur Weiterverarbeitug i Abschitte vo jeweils 3m zerschitte. Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass i eiem Abschitt kei Fehler ethalte ist? i=0 λ i i!

11 15 Wahrscheilichkeitstheorie ud Statistik 205 Im Durchschitt ergebe sich m = 0, 1 Fehler pro Meter. N Für eie Abschitt vo 3 Meter folgt da, dass es m N = λ = 0, 3 Fehler pro Abschitt gibt. Die Wahrscheilichkeit, dass ei Abschitt vo 3 Meter keie Fehler aufweist ist da gegebe durch eie P(0, 3)-Verteilug mit 0, 30 P(X = 0) = e 0,3 0, ! 15. Stelle Sie die Poisso-Verteilug für λ = 9, = ud λ = 1, = 200 als Stabdiagramm dar! I Abbildug 15.6 fide Sie das Stabdiagramm für λ = 9, Abbildug 15.8 de Fall λ = 1. Ma erket gut, dass im Fall λ = 1 die Verteilug usymmetrisch ist. Mit wachsedem λ wird die Verteilug immer symmetrischer. Wie bereits im Buch vermerkt ist die Poisso-Verteilug eie gute Approximatio eier Biomialverteilug. I der Aufgabestellug ist ebe λ auch ei Wert für gegebe; daraus ergibt sich für die Biomialverteilug p = λ = bzw. p = λ = I de Abbilduge 15.7 ud 15.9 fide Sie die Stabdiagramme für diese Biomialverteiluge. 0, 1 0, Abbildug 15.6: Das Stabdiagramm der Poisso-Verteilug mit λ = 9für Aufgabe Weise Sie ach, dass für eie E(λ)-verteilte Zufallsvariable E(X) = 1 λ ud Var(X) = 1 λ 2 gilt! Der Erwartugswert eier E(λ)-verteilte Zufallsvariable X ist gegebe durch das Itegral E(X) = 0 xλe λx dx.

12 15 Wahrscheilichkeitstheorie ud Statistik 206 0, 1 0, Abbildug 15.7: Das Stabdiagramm der Biomial-Verteilug mit λ = 9, = ud p = λ für Aufgabe 15 0, 3 0, 2 0, Abbildug 15.8: Das Stabdiagramm der Poisso-Verteilug mit λ = 1für Aufgabe 15 Dieses Itegral ka mit Hilfe vo partieller Itegratio bestimmt werde. Dazu wähle wir

13 15 Wahrscheilichkeitstheorie ud Statistik 207 0, 3 0, 2 0, Abbildug 15.9: Das Stabdiagramm der Biomialverteilug mit λ = 1, = ud p = für Aufgabe f (x) =x, also ist f (x) =1 ud g (x) =λe λx, da ist g(x) = e λx. E(X) = xλe λx dx 0 = [ xe λx] + e λx dx 0 0 [ = 1 ] λ e λx 0 = 1 λ. Für die Bestimmug der Variaz bereche wir E(X 2 ), wieder mit partieller Itegratio: E(X 2 )= x 2 λe λx dx 0 = [x 2 e λx] + 2 xe λx dx 0 0 = 2 λ 1 λ = 2 λ 2. Da ist die Variaz gegebe durch Var(X) =E(X 2 ) E(X) 2 = 2 λ 2 1 λ 2 = 1 λ Erfahrugswerte zeige, dass die Reparaturzeit eies PCs i eiem Uterehme expoetiell verteilt ist. Die mittlere Reparaturzeit beträgt 4 Stude. Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass für eie PC zwische 5 ud 8 Stude, höchstes 10 Stude ud midestes 3 Stude beötigt werde? Wir müsse i eiem erste Schritt de Parameter λ der ageommee Expoetialverteilug bestimme. I der Aufgabestellug fide Sie de Erwartugswert, ämlich 4 Stude

14 15 Wahrscheilichkeitstheorie ud Statistik 208 für die Reparaturzeit. Der Erwartugswert der Expoetialverteilug ist E(X) = 1 λ = 4, da ist also λ = 0, 25. Es ist da P(5 < X < 8) =P(X < 8) P(X < 5) =(1 e 0,25 8 ) (1 e 0,25 5 ) 0, 151. Dass eie Reparatur höchstes 10 Stude dauert ist 0, DieWahrscheilichkeit, dass die Reparatur midestes 3 Stude dauert ist gegebe durch P(X 3) =1 P(X < 3) 0, Weise Sie ach, dass P( X µ kσ) =2Φ(k) 1 gilt. Zur Erierug: ist X eie N(µ,σ 2 )-verteilte Zufallsvariable, da ist N(0, 1)-verteilt! Y = X µ σ P( X µ kσ) =P( X µ k) σ = P( k < X µ < k) σ = P(Y < k) P(Y < k) = Φ(k) Φ( k) = Φ(k) (1 Φ(k)) = 2Φ(k) Implemetiere Sie die Approximatio der Normalverteilug Φ(0; 1) ach der Formel auf Seite 431 i der Programmiersprache Ihrer Wahl ud vergleiche Sie die Ergebisse mit Tafelwerke! Die Approximatio vo Poto (Sie fide Sie uter der URL grpporc/- crisp/crisp.3.6.htm) diet zur Näherug der sogeate Error Fuctio er f c(t) = 1 t e x2 2 dx. 2π Die stadardisierte Normalverteilug ist da gegebe durch { 12 + er f c(t), t 0, Φ(t) = 1 2 er f c(t), t < 0. Da ergibt sich der folgede Java-Code: private static double poto(double x) { double k, value = 0.0; k = (1.0/Math.sqrt(Math.PI)-0.5)* Math.exp(-x*x/Math.sqrt(2.0*Math.PI)); value = k * Math.sqrt(1.0-Math.exp(-x*x/2.0)); 0

15 15 Wahrscheilichkeitstheorie ud Statistik 209 } if (x>= 0.0) retur value; else retur value; Die Tabelle, beispielsweise i Greier/Tihofer, Stochastik für Studieafäger der Iformatik aus dem Haser-Verlag sid typischerweise so aufgebaut, dass i eier quadratische Matrix Werte für Φ(t) stehe. I de Zeile fide Sie Werte vo t, i de Spalte die Überschrifte 0.00, 0.01,...,0.09. I der Zeile mit t = 0.5 ud Spalteüberschrift 0.04 köe Sie da de Wert für t = 0.54 ablese: Φ(0.54) Der Java-Code liefert die Näherug , das etspricht eiem Fehler vo δ = I Tabelle 15.1 fide Sie die berechete Werte, die Tabellewerte aus Greier/Tihofer ud die Fehler für die komplette Zeile t = 0.5. Je äher die Argumete bei 0 liege desto besser ist die Approximatio vo Poto. Beispielsweise ist für t = 0.05 i Greier/Tihofer ei Wert vo agegebe, Poto berechet 0, , ei Fehler vo 1, x Φ(x) Greier/Tihofer Fehler 0, 5 0, , , , 51 0, , , , 52 0, , , , 53 0, , , , 54 0, , , , 55 0, , , , 56 0, , , , 57 0, , , , 58 0, , , , 59 0, , , Tabelle 15.1: Die Approximatio ach Poto, Werte aus Greier/Tihofer ud die Fehler für eie Zeile der tabellierte Stadardormalverteilug i Aufgabe 19 Poto gibt eie och eifachere Approximatio a; er ersetzt die Näherug aus der Aufgabestellug durch K(t) =0, 5 + 0, 064 e 0,4 t2, Φ(t;0,1) 0, 5 ± K(t) 1 e t2 2. Für t = 0.59 ergibt sich damit ei Näherugswert vo 0, , eie Abweichug vom Tabellewert vo 3, Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass eie N(50; 10)-verteilte Zufallsvariable im Itervall (45; 55), uterhalb vo 45, oberhalb vo 60 ud um mehr als 5 vom Erwartugswert abweicht? Es gilt P(45 X 55) =Φ(55; 10, 0, 1) Φ(45; 10, 0, 1) = Φ(0, 5) Φ( 0, 5) =2Φ(0, 5) 1 0, Oberhalb vo 60 liegt die Zufallsvariable mit Wahrscheilichkeit P(X > 60) =1 Φ(1) 0, Die Wahrscheilichkeit, dass sie um mehr als 5 cm vom Erwartugswert abweicht ist ( P( X µ > 5) =1 P( X µ ) 5) =1 2Φ( 5 ) 10 ) 1 0, 617.

16 15 Wahrscheilichkeitstheorie ud Statistik Weise Sie ach, dass bei Biomial- ud Poisso-Verteilug der Maximum-Likelihood-Schätzer mit dem arithmetische Mittel übereistimmt! Die Maximum-Likelihood-Fuktio für die Poisso-Verteilug ist Logarithmiere ergibt da λ L(x; λ) = x i x i! e λ = e λ λ x i x i! = e λ λ x x i!. λ x LL(λ) =l (e λ x i! )= λ + x l (λ) l ( x i!). Da ist LL (λ) = + x λ, Nullsetze dieser Ableitug ergibt de Maximum-Likelihood-Schätzer λ = x. Die Maximum-Likelihood-Fuktio für die Biomialverteilug (mit p = 1, p = 0) ist L(x; p) = ( Logarithmiere dieser Fuktio ergibt die Fuktio ( LL(p) = l ( x i ( = l ( x i Die erste Ableitug vo LL ist gegebe durch x i ) p x i(1 p) x i. ) p x i(1 p) x i) ) )+l (p)x + l (1 p)( x) LL (p) = x p = ( x) 1 p x p2 p(1 p) Die Nullstelle dieser Ableitug ist gegebe durch p = x. Zur Erierug, p ist der Erwartugswert eier biomialverteilte Zufallsvariable! Also ist das arithmetische Mittel x der Maximum-Likelihood-Schätzer für de Erwartugswert der Zufallsvariable.