Winkel. Die Kreislinie k mit dem Mittelpunkt M berührt die Seiten des Dreeicks ABC in den Punkten F, P und Q.

Transkript

1 Winkel 1. k Q F ie Kreislinie k mit dem ittelpunkt berührt die Seiten des reeicks in den unkten F, und Q. (a) Zeichne die Figur mit = 8cm und = 66. Zeichne die zwei Kreisradien ein, die zu den unkten und Q führen. (b) erechne die aße der Innenwinkel des reiecks F Q. [ Teilergbnis: FQ = 66 ] Lösung: (a) k Q ψ ψ S ε F ε 1

2 ie Kreislinie k ist der Inkreis dieses reiecks. Im ittelpunkt schneiden sich die drei Winkelhalbierenden. ie Winkelhalbierende [F] ist bereits vorhanden. Für die Konstruktion von genügt es z.., die Halbierende des Winkels noch einzuzeichnen. (b) as reieck ist gleichschenklig, denn die beiden asiswinkel haben das aß. us Symmetriegründen taucht daher das Winkelmaß ε zweimal auf. Jeder der drei erührradien F, und Q steht auf seiner betreffenden reiecksseite senkecht. as Viereck F Q ist ein achsensymmetrischer rachen mit der Symmetrieachse [], die den Winkel halbiert. Weiter gilt dann: [QF] [] SF = 90. us der Winkelsumme im reieck FS ergibt sich dann: ε = = 57. = = 66 =. as reieck F Q ist aus Symmetriegründen gleichschenklig mit der asis [ Q]. ψ = ε = 57, da es Z-Winkel sind. 2. Ein Seil, das am linken Ende mit einem Gewicht belastet ist, wird über eine feste Rolle geführt. m rechten Seilstück, das mit der Waagrechten den Winkel einschließt, wird das Gleichgewicht gehalten. (a) egründe: = 90. (b) Zeichne die Rolle mit dem Seil für den Radius r = 3cm und = 37. (c) erechne den ruchteil des Umfangs der festen Rolle, der für = 30 vom Seil berührt wird. (d) Wie groß müsste man den Winkel wählen, damit die Länge des Seilstückes, das die Rolle berührt, 40% des Rollenumfangs beträgt? Lösung: (a) Siehe Zeichnung zu (b): ie Halbgerade [TE liegt auf der Kreistangente mit dem erührpunktt. er erührradius [T] steht auf dieser Tangente senkrecht. Weiter gilt: = (Z-Winkel). = 90 = 90. 2

3 (b) Wenn also = 37 ist, dann folgt = = 53. amit kannst du den erührradius mit dem unkt T und seine Kreistangente konstruieren. as linke Seilende führt senrecht nach unten. T µ E (c) us = 30 folgt = 60 µ = = 120. er ittelpunktswinkel µ nimmt also ein rittel des Vollwinkels (360 ) ein. amit bedeckt das Seil ein rittel des Rollenumfangs. (d) erechne aus dem ittelpunktswinkel µ: µ = 40% von 360 = 0,4 360 = 144. = = 36 = = F E G H Über der Hypotenuse [] des gleichschenklig-rechtwinkligen reiecks liegt das Trapez F, das sich aus fünf gleichseitigen reiecken zusammensetzt. (a) Zeichne die Figur für = 9cm, wobei über der Strecke [F] 6cm latz bleiben sollen. (b) enenne die Innenwinkel des Trapezes F mit griechischen uchstaben. erechne diese Innenwinkel. (c) Verlängere die Strecken [F] über F und [] über hinaus so weit, bis sie sich im unkt S schneiden. egründe: as reieck F S ist gleichseitig. 3

4 (d) Verschiebe die Raute GEF mit dem Vektor F. (e) Wie viele reiecke vom Typ GF passen lückenlos in das reieck FS? egründe. (f) er Winkel HG hat das aß 36,87 (gerundet). erechne die aße der Innenwinkel des rachenvierecks HEG. erechne die aße der Innenwinkel des reiecks G. Lösung: (a) S F E F ψ 1 E ψ G H γ (b) ie Gerade S ist die Symmetrieachse der Figur. a sich das Trapez F nur aus gleichseitigen reiecken zusammensetzt, gilt: = γ = 60. us dem gleichen Grund gilt: 1 = 1 = 2 = 2 = 60. lso gilt: F = F = 120. (c) er Winkel ψ 1 ist der Nebenwinkel des Winkels F: ψ 1 = = 60 = ψ 2. Im reieck F haben also zwei Innenwinkel das aß 60. lso muss wegen der Innenwinkelsumme von 180 auch der dritte Innenwinkel das aß 60 haben. amit ist das reieck F S gleichseitig. (d) Es entsteht das Viereck FEE F : siehe Zeichnung. (e) Es sind vier solche reiecke, wie du an den dicken gestrichelten Linien erkennen kannst. 4

5 (f) as reieck ist gleichschenklig-rechtwinklig. lle Winkelmaße sind auf zwei Kommastellen gerundet. as reieck HG ist aus Symmetriegründen gleichschenklig. GH = GH = (180 36,87 ) : 2 = 71,57. as reieck GHE ist gleichseitig. lso gilt: HGE = 60 = EHG = GEH. EH = ,57 = 131,57 = GE G = (90 HG) : 2 = 26,57. Weiter gilt: = 45 G = ,57 = 108,43 nmerkung: Es gibt noch andere Lösüngsmöglichkeiten. 4. F E ψ k Lösung: (a) as reieck ist gleichschenklig mit der asis []. er Inkreis k mit dem ittelpunkt berührt die reiecksseiten in den unkten, E und F. (a) Zeichne die Figur für = 9cm und = 65. (b) Zeichne das Viereck F ein. Um welches besondere Viereck handelt es sich? egründe. (c) Zeige: ψ =. 5

6 F ε E 2 S ψ 1 1 er Inkreismittelpunkt ist der Schnittpunkt der beiden Winkelhalbierenden, die z.. auf [] und [] liegen. er Inkreisradius steht als erührradius auf [] bzw. [] senkrecht. (b) Siehe obige Zeichnung. as Viereck F ist ein achsensymmetrischer rachen, denn die iagonale [] ist die Halbierende des Winkels mit dem aß und damit die Symmetrieachse dieses Vierecks. (c) as reieck S ist rechtwinklig, weil die beiden iagonalen in jedem rachenviereck senkrecht aufeinander stehen: 1 = 90 2 = 2. Weiter muss gelten: ψ = 180 ( ψ = ) ψ =. 2 k Oder: ie Winkel mit den aßen und ε bilden mit den Winkeln 1 bzw. 2 Z- Winkel. lso gilt: = ε = ( ann gilt im reieck EF: +ε+ψ = 180. ψ = ) usw

7 (a) Welchen Winkel schließen die beiden Uhrzeiger um 12 : 30 Uhr ein? (b) Umwelchen Winkel habensich derinuten- undder Stundenzeiger von 12 : 30 Uhr bis 13 : 10 Uhr weitergedreht? Lösung: (a) 12 1 ψ = 15 ψ 2 3 er Winkel beträgt = 165. (b) er inutenzeiger hat sich um = 240 weitergedreht. is 13 : 00 Uhr hat sich der Stundenzeiger um 15 weitergedreht. 10 inuten sind der sechste Teil einer Stunde, die einem Winkel von 30 entspricht. ann entsprechen 10 inuten einem Winkel von 30 : 6 = 5. lso hat der Stundenzeiger während dieser Zeit einen Winkel von = 35 überstrichen

8 estimme das Winkelmaß an der Geradenkreuzung. eachte: ie Zeichnung ist nicht maßstabsgetreu. Lösung: Es muss gelten: +( 70 ) = = = ε ε 190 egründe: en Winkel ε gibt es in Wirklichkeit nicht. Lösung: u siehst in der Zeichnung zwei Nebenwinkel: ε+(ε 190 ) = 180 2ε = 370 ε = 185. ε ist somit überstumpf. as geht bei Nebenwinkeln nicht. eide Nebenwinkel dürfen nicht größer als 180 werden erechne. eachte: ie Zeichnung ist nicht maßstabsgerecht. Lösung: Es gilt = = = 44. 8

9 9. ε +25 erechne ε. eachte: ie Zeichnung ist nicht maßstabsgerecht. Lösung: Nach dem Satz vom ußenwinkel muss +25 = +ε ergeben. lso gilt: ε = In einem reieck ist der erste Winkel doppelt so groß wie der zweite Winkel. er dritte Winkel ist um 36 kleiner als der zweite Winkel. erechne die Winkelmaße. Lösung: 1. Winkel: 2. Winkel: 3. Winkel: γ = 2 γ = 36. Innenwinkelsumme: + +γ = 180 : 2 + +( 36 ) = = = 54 = 108 γ = In einem rechtwinkligen reieck ist ein Winkel fünf al so groß wie ein anderer Winkel. Wie groß sind die Winkel? Es gibt verschiedene Lösungsmöglichkeiten. Lösung: In jedem reieck gilt: + +γ = 180 : In jedem rechtwinkligen reieck gilt: + = öglichkeit: = = 90 = 15 = 75 ie Variante = 5 liefert ein spiegelbildliches Ergebnis. 9

10 2. öglichkeit: 5 = 90 = 18 = 72. ie Variante 5 = 90 liefert ein spiegelbildliches Ergebnis. 12. erechne jeweils die mit griechischen uchstaben gekennzeichneten Winkelmaße. Zuweilen musst du erst Zwischenwinkel selbst markieren und diese zunächst berechnen. ie Zeichnungen sind nicht maßstabgerecht. Figur a) Figur b) 35 ε ε γ 1 γ 2 70 Figur c) 50 Figur d) µ ε 65 10

11 Figur e) Figur f) µ Q ε 30 Tipp zur Figur f): Zeichne eine Hilfslinie durch den unkt Q ein. Lösung: In allen Zeichnungen findest du gleichschenklige reiecke, deren Schenkel so lang wie der jeweilige Kreisradius sind. Figur a) as reieck ist gleichschenklig: ε = 35. Wegen der Innenwinkelsummevon 180 folgt = 110 er Winkel ist der Nebenwinkel dazu: = = 70. Im reieck gilt dann: = ( ) : 2 = 55. Figur b) as reieck ist gleichschenklig: γ 2 = 70. Wegen der Innenwinkelsumme von 180 folgt = 40 er Winkel ε ist der Nebenwinkel dazu: ε = = 140. Im gleichschenkligen reieck gilt dann: = γ 1 = ( ) : 2 = 20. Figur c) as reieck ist gleichschenklig: = 50. Wegen der Innenwinkelsumme von 180 folgt µ = 80. er Winkel ist der Nebenwinkel dazu: = = 100. Im gleichschenkligen reieck gilt dann: = = ( ) : 2 = 40 Figur d) as reieck ist gleichschenklig: = 65. Wegen der Innenwinkelsumme von 180 folgt = 50. er Winkel ist der Nebenwinkel dazu: = = 130 Im gleichschenkligen reieck gilt dann: = = ( ) : 2 = 25 ε = + = = 90. Figur e) as reieck ist gleichschenklig: =. Wegen der Innenwinkelsumme von 180 folgt = = ( ) : 2 = 40 ie Winkel und µ sind maßgleich, weil sie Z-Winkel sind. µ =

12 Figur f) Figur f) Q ε 30 ie gesuchte Hilfslinie ist die arallele zu den Geraden bzw. durch den unkt Q. Nun gilt: 1 = 65 (Z-Winkel) und 2 = 30 (Z-Winkel). ε = 360 ( ) = erechne jeweils die mit griechischen uchstaben gekennzeichneten Winkelmaße. Zuweilen musst du erst Zwischenwinkel selbst markieren und diese zunächst berechnen. ie Zeichnungen sind nicht maßstabgerecht. Figur a) ε ψ ε γ 1 γ 2 12

13 Figur b) ψ ψ Lösung: In allen Zeichnungen findest du gleichschenklige reiecke, deren Schenkel so lang wie der jeweilige Kreisradius sind. In jedem gleichschenkligen reieck gibt es zwei maßgleiche Winkel. Figur a) as reieck ist gleichschenklig: γ 1 = 60. Wegen der Innenwinkelsumme von 180 folgt = 60 ; d.h. das reieck ist sogar gleichseitig. er Winkel ist der Nebenwinkel zu dem 60 -Winkel: = = 120. Im reieck gilt dann: ε 1 = ε 2 = ( ) : 2 = 30. as reieck ist gleichschenklig: 3 = 18. Wegen der Innenwinkelsumme von 180 folgt = 144. er Winkel ψ ist der Nebenwinkel zu dem 144 -Winkel: ψ = = 36. as reieck ist gleichschenklig: γ 2 = ( ) : 2 = 72. Im gleichschenkligen reieck ist = = = 2 = ( ) : 2 = 42 Figur b) er Winkel ist der Nebenwinkel zu dem 36 -Winkel: = = 144. as reieck ist gleichschenklig: 1 = = ( ) : 2 = 18. Weiter gilt: = = 30. Weil das reieck gleichschenklig ist, folgt 2 = 30. = = 120. er Winkel ψ 1 ist der Nebenwinkel zu dem 120 -Winkel: 13

14 ψ 1 = = 60. Im reieck gilt: = = 96. as reieck ist gleichschenklig: 1 = 2 = ( ) : 2 = 42. Im reieck findest du über die Innenwinkelsumme: ψ 2 = 180 ( ) = Zur erechnung der mit griechischen uchstaben gekennzeichneten Winkelmaße musst du zuweilen erst Zwischenwinkel selbst markieren und diese zunächst berechnen. ie Zeichnungen sind nicht maßstabgerecht. (a) Figur a) γ (b) In der Figur a) gilt: = 4cm. erechne γ. egründe: = 4cm. Figur b) R T Q In der Figur b) gilt: RQ = 7,64cm. erechne und. 14

15 egründe: R = 7,64cm und T = 3,82cm. Lösung: (a) er Winkel ist der Nebenwinkel des 135 -Winkels: = = 45 γ = = 90. as reieck ist gleichschenklig, weil es zwei maßgleiche Innenwinkel besitzt: = = 4cm. (b) as reieck TQR ist rechtwinklig. = = 60. er Winkel TR ist der Nebenwinkel des 120 -Winkels: TR = = 60 = = 30. as reieck QR ist wegen seiner drei 60 -Innenwinkel gleichseitig: Q = R = QR = 7,64cm. ie Strecke [RT] ist in diesem reieck QR eine Winkelhalbierende, also gleichzeitig die itttelsenkrechte auf die asis [ Q]. T = 0.5 Q = 3,82cm. 15. Zur erechnung der mit griechischen uchstaben gekennzeichneten Winkelmaße musst du zuweilen erst Zwischenwinkel selbst markieren und diese zunächst berechnen. ie Zeichnungen sind nicht maßstabgerecht. (a) Figur a) 60 In der Figur a) gilt: = 5cm und + = 90. erechne die mit griechischen uchstaben gekennzeichneten Winkelmaße. egründe: = 10cm und = 5cm. (b) 15

16 Figur b) R ψ 15 ψ T 15 Q In der Figur b) gilt: Q = 9,38cm. erechne die mit griechischen uchstaben gekennzeichneten Winkelmaße. egründe: RT = 4,69cm. Lösung: (a) er Winkel ist der Nebenwinkel des 60 -Winkels: = = 120. = ( ) : 2 = 30. Wegen + = 90 folgt: = 60. Wegen der Innenwinkelsumme im reieck ergibt sich = 60. as reieck enthält zwei maßgleiche Innenwinkel, also ist es gleichschenklig. = = 5cm. as reieck enthält drei maßgleiche Innenwinkel, also ist es gleichseitig. amit gilt: = 5cm = = = = 5cm+5cm = 10cm. (b) In der Figur b) gilt: Q = 9,38cm. Wegen der Innenwinkelsumme im reieck T QR ergibt sich: QTR = = 150. er Winkel RT ist der Nebenwinkel des 150 -Winkels: RT = = 30. Im reieck TR folgt ψ = ( ) : 2 = 75. nmerkung: Wegen ψ +15 = 90 ist das reieck QR rechtwinklig. as reieck T QR ist gleichschenklig, weil es zwei maßgleiche Innenwinkel besitzt: TQ = TR. as reieck T R ist ebenfalls gleichschenklig, weil es zwei maßgleiche Innenwinkel besitzt: T = TR. lso gilt: TQ = TR = T. lso ist der unkt T der ittelpunkt der Seite [Q] und es gilt: T = 0.5 Q = 4,69cm. nmerkung: Wegen TQ = TR = T liegen die unkte, Q und R auf einer Kreislinie mit dem ittelpunkt T

17 55 50 Q Figur a): R Figur b): Q RS S erechne die mit griechischen uchstaben gekennzeichneten Winkelmaße. Zeichne dazu geeignete Hilfslinien ein. ie Zeichnungen sind nicht maßstabgerecht. Lösung: Figur a) ψ Eine Hilfslinie ist z.. die arallele zu bzw., die durch den Scheitel des 70 - Winkels verläuft (hier: die gestrichelte Linie). u erkennst nun: = 55 (Z-Winkel) und ψ = (Z Winkel). Wegen +ψ = 70 ist nun ψ = = 15 =. nmerkung: Es gibt auch eine andere Hilfslinie, die zur Lösung führt, nämlich die Senkrechte zu durch den Scheitel des 70 -Winkels. robiere es aus. Figur b) 50 Q R S

18 Wieder ist eine Hilfslinie ist z.. die arallele zu Q bzw. RS, die durch den Scheitel des Winkels mit dem aß verläuft (hier: die gestrichelte Linie in der itte). u erkennst nun: = 50 (F-Winkel). Wenn du die Strecke [SR] ein wenig über den unkt R hinaus verlängerst, entsteht ein weiterer Winkel - hier mit dem aß. u siehst einerseits : = = 25 (Nebenwinkel). ndererseits sind die Winkel und maßgleiche Z Winkel. = = 25. lso ergibt sich = + = = ε w F Im reieck gilt: = und ε = 56,81. ie Halbgerade w = [ halbiert den Winkel. ie Skizze ist nicht maßstabgerecht. erechne. Lösung: 18

19 w ε ψ 2 ψ 1 F Im reieck F gilt: ψ 1 = 90 ε = 90 56,81 = 33,19. Weil w die Winkelhalbierende ist, gilt: ψ 2 = ψ 1 = 33,19. Weil das reieck gleichschenklig ist, gilt = 2 33,19 = 66,38. Im rechtwinkligen reieck F gilt dann: = 90 = 90 66,38 = 23, Q 40 ie unkte und Q sind die ittelpunkte der beiden Kreisbögen. (a) Zeichne die Figur für = 4cm. 19

20 Lösung: (a) (b) erechne. (c) egründe, dass das reieck nicht gleichschenklig ist. (d) Wie groß müsste der Winkel Q werden, damit das reieck bei sonst unveränderlichen edingungen gleichschenklig wird? (e) Könnte das reieck bei geeigneter Wahl des Winkels Q vielleicht sogar gleichseitig werden? Q 1 2 ψ 40 (b) ie beiden reiecke Q und Q sind gleichschenklig: = Q = Q. lso gilt: 1 = 2 = ( ) : 2 = 70. er Winkel mit dem aß ist der Nebenwinkel von 2 : = = = 110. Im reieck Q gilt: = ψ. = ψ = ( ) : 2 = 35. (c) Es müsste 1 = 40 +ψ gelten, aber: = ( ). (d) Q Es muss gelten: = 180 2, = 180 und 20

21 = 180 = [180 (180 )] : 2 = 1 2. Soll das reeick gleichschenklig werden, dann muss = + sein: = ,5 = 180 = 72. (e) In der Lösung der ufgabe(d) wurde gezeigt, dass es nur ein einziges gleichschenkliges reieck gibt. essen asiswinkel hat aber das aß 72. Im Falle des gleichseitigen reiecks müsste der asiswinkel (wie alle Inneninkel dort) 60 betragen. lso ist ein gleichseitiges reeick auf diese Weise nicht zu konstruieren Q ie unkte und sind die ittelpunkte der beiden Kreisbögen. (a) Zeichne die Figur für = 6cm. (b) Zeige: = 17. (c) Untersuche, ob das reieck Q gleichschenklig ist. Lösung: (a) ε 1 ε 2 ψ 34 Q (b) er Halbkreis mit dem urchmesser [] ist der THLES-Kreis über []. lso folgt: = 90. = = 56 = 90 = = 34. Im reieck gilt: =, also ist das reieck gleichschenklig. ε 1 = ε 2 = ( ) : 2 = 73. as reieck Q ist rechtwinklig: +90 +ε 2 = ε 2 = 90 = 17. (c) Im reieck Q gilt: ψ = 180. lso: ψ = 180. ψ = 17. amit haben zwei Innenwinkel des reiecks Q gleiches aß. lso ist das reieck Q gleichschenklig. 21

22 20. ψ S Q ie achsensymmetrische arstellung zeigt einen Halbkreis und das Viereck. (a) Um welches besondere Viereck handelt es sich beim Viereck? egründe deine ntwort. (b) Zeichne die Figur für Q = 8cm und = 55. (c) Trage überall dort, wo es möglich ist, das Winkelmaß ein. (d) Zeige: = und = (e) Für welche elegungen von gibt es überhaupt solche Vierecke? (f) Zeige: ψ = (g) erechne so, dass das Viereck eine Raute wird. Lösung: (a) as Viereck ist ein achsensymmetrischer rachen, denn die beiden iagonalen stehen aufeinander senkrecht. (b) ψ S Q (c) Siehe Zeichnung. 22

23 (d) Im reieck gilt: 2+ = 180 = m unkt gilt: ++ = 180. lso: = = 180 = (e) Es muss = > 0 sein: > 0 > 45. ußerdem muss < 90 sein. Insgesamt muss gelten 45 < < 90. (f) Im reieck gilt: 2+ψ = 180 ψ = (g) amit das Viereck eine Raute wird, muss = ψ gelten: lso: = = 360 = 60. Lösung: 21. Sechs unkte,,,,e und F liegen getrennt auf einer Kreisline. Wie viele reiecke kannst du aus jeweils drei dieser sechs unkte einzeichnen? F E Eckpunkt als erster:,, E, F, E, F E, F EF. Eckpunkt als erster:, E, F E, F EF. Eckpunkt als erster: E, F EF. Eckpunkt als erster: EF. Es gibt nicht mehr und nicht weniger als 20 solche reiecke. 23

24 22. 92,8 115,3 75,4 Uwe und Emil wollen aus den gegebenen Winkeln den Winkel bestimmen. ie Zeichnung ist aber nicht maßstabgerecht. Emil behauptet: as ist ganz einfach: er 115,3 -Winkel und sind F-Winkel. lso ist auch 115,3. Uwe widerspricht: as können keine F-Winkel sein, weil... (a) Notiere, wie Uwe seine ntwort begündet. (b) erechne. Lösung: 24

25 γ 92,8 115,3 75,4 (a)... die Halbgeraden [ und [ nicht parallel sind. (b) = 75,4 (Scheitelwinkel) γ = ,8 = 87,2 und = ,3 = 64,7 (jeweils Nebenwinkel) ie Innenwinkelsumme in jedem Viereck beträgt 360. = ,4 87,2 64,7 = 132, ,8 Lösung: (a) er ittelpunkt der Strecke [, ] ist gleichzeitig der ittelpunkt des Halbkreises durch die vier unkte,, und. (a) Zeichne die Figur für = 8cm. (b) erechne. 25

26 ψ ψ S 66,8 (b) er Halbkreis ist gleichzeitig der THLES-Kreis mit dem urchmesser []. lso gilt: = 90. [] [] = 66,8. as reieck ist gleichschenklig; es gilt: = = 4cm ψ = ψ = (180 66,8 ) : 2 = 56,6. Im reieck S gilt: = 90 = 90 66,8 = 23,2. lso ist = ψ = 56,6 23,2 = 33, E ε γ 55 Lösung: (a) as Viereck ist ein arallelogramm. Es gilt: = 6cm und = 5cm. er unkt ist der ittelpunkt des Kreisbogens durch den unkt. (a) Zeichne die Figur in folgenden Schritten: Zeichne zunächst die Strecke []. Trage am unkt den 55 -Winkel an. Zeichne den unkt ein. Zeichne den unkt ein. Konstruiere mit Hilfe des Kreisbogens den unkt E. (b) egründe: as reieck E ist gleichschenklig. (c) egründe: Es gilt γ = ε = 55 as Viereck E ist ein achsensymmetrisches Trapez. 26

27 E ε γ 55 (b) Es gilt = E = 5cm; also ist das reieck E gleichschenklig. (c) Im arallelogramm gilt: γ = 55. = 55 (F-Winkel zu γ). Weil das reieck E gleichschenklig ist, folgt = ε = 55. ann gilt aber auch = ε = 55 (Z-Winkel zu ε). = 55 (Z-Winkel zu γ). = = 125 (Nebenwinkel von ). ndererseits ist E der Nebenwinkel von : E = = 125 =. Im Viereck E gilt: [] [E]. ie beiden spitzen und die beiden stumpfen Innenwinkel haben jeweils gleiches aß. lso ist das Viereck E ein achsensymmetrisches Trapez. 25. E 1 h as Viereck ist ein achsensymmetrisches Trapez. Es gilt: = 8cm, = 4cm und h = 3,5cm. er unkt ist der ittelpunkt des Kreisbogens durch den unkt. (a) Zeichne die Figur. (b) egründe: as reieck E ist gleichschenklig. 1 =. as Viereck E ist ein arallelogramm. Lösung: (a) 27

28 H E 1 2 h F (b) Es gilt: = E, weil die beiden unkte und E auf derselben Kreislinie mit als ittelpunkt liegen. Weil das Trapez achsensymmetrisch ist, folgt =. Weiter gilt: = 1 (Z-Winkel). lso folgt 1 =. as reieck E ist gleichschenklig. 1 = 2 =. Weiter folgt = 2 (Z-Winkel) =, d.h. es gilt: [] [E] weil damit und F-Winkel sind. eim Trapez gilt [] [] und damit auch [] [E]. aher sind im Viereck E jeweils zwei gegenüberliegende Seiten parallel, also ist das Viereck E ein arallelogramm. 26. ε Lösung: (a) as Rechteck wurde an seiner iagonalen [] gespiegelt. adurch ist das Viereck entstanden. (a) Zeichne die Figur für = 8cm und = 6cm. (b) erechne für ε = 36,87. 28

29 S ψ ε ε (b) Jede chsenspiegelung ist längen- und winkeltreu. aher sind das Viereck und das Rechteck kongruent. S = 90. er Winkel S ist ein Stufenwinkel zum Winkel S: ψ = 2 ε = 73,74. = 90 ψ = 90 73,74 = 16,26. Lösung: 27. In einem Viereck sind drei Winkel gleich groß. er vierte Winkel ist ein rechter Winkel. Um welches besondere Viereck handelt es sich? Es gilt: = = 360 = 90. ie drei restlichen Innenwinkel des Vierecks sind damit ebenfalls rechte Winkel. ei diesem Viereck muss es sich also um ein Rechteck handeln. 29

30 28. In einem gleichschenkligen reieck hat ein Winkel das aß 42,68. Lösung: γ In einem gleichschenkligen reieck haben die beiden asiswinkel gleiches aß. In der Figur gilt also: =. 1. öglichkeit: = = 42,68 γ = ,68 = 94, öglichkeit: γ = 42,68 = = (180 42,68 ) : 2 = 68, Lösung: (a) er Inkreismittelpunkt des reiecks ist der unkt. (a) Zeichne die Figur für = 70, = 8cm und = 44. (b) erechne das aß des Winkels. (c) erechne für = 60 erneut das Winkelmaß. Was fällt dir auf? Zeige: = (d) erechne für = 135,68. 30

31 γ 2 (b) γ = = 66. ie drei Winkelhabierenden des reiecks schneiden sich im Inkreismittelpunkt. lso folgt: = 180 0, = 125. (c) γ = = 50. = 180 0, = 125. as Winkelmaß hängt gar nicht vom Winkelmaß ab. γ 2 ψ 2 W er Winkel mit dem aß ψ ist ein ußenwinkel am reieck : ψ = 2 + γ 2. Gleichzeitig gilt = 180 ψ. Wegen +γ = 180 folgt 2 + γ 2 = ( lso ergibt sich: = ). 2 Und damit = (d) = 135,68 = 91,36. 31

32 30. S as Viereck ist ein Quadrat. er ittelpunkt des Kreisbogens ist der unkt. (a) Zeichne die Figur für = 6cm. (b) erechne das aß des Winkels S. Lösung: (a) ψ S (b) Im Quadrat halbiert die iagonale [] den rechten Winkel. lso gilt: ψ = 45. as reieck S ist gleichschenklig. = ( ) : 2 = 67,5. = 90 = 22,

33 as Viereck ist ein Quadrat. Es gilt = 123,4. ie Zeichnung ist nicht maßstabgerecht. erechne auf zwei verschiedene rten. Lösung: S 1. öglichkeit: Über die Innenwinkelsumme im Viereck SQ Weil jede Quadratdiagonale Winkelhalbierende von zwei rechten Winkeln ist, folgt = 45. ann gilt im Viereck SQ: ,4 +90 = 360 = 101,6. Weil und Scheitelwinkel sind, folgt = = 101,6. 2. öglichkeit: Über den Satz vom ußenwinkel ist der Nebenwinkel von. lso gilt: = ,4 = 56,6. ist ein ußenwinkel am reieck QS: = + = ,6 = 101,

34 2 S 2 as Viereck ist ein arallelogramm. Es soll gelten: 2 = 42,1, 2 = 38,7 und = 65,3. ie Zeichnung ist nicht maßstabgerecht. (a) Skizziere das arallelogramm. (b) erechne. Lösung: (a) 1 2 S (b) Es gibt mehrere öglichkeiten, z..: S: 1 = ,1 65,3 = 72,6 = 2 (Z-Winkel). 1 = 2 = 38,7 (Z-Winkel) = = 111, S 2 2 ie Klasse 7a bekommt vom athematiklehrer die folgende ufgabe gestellt: as Viereck ist ein arallelogramm. 34

35 Es soll gelten: 2 = 38,9, = 109,2, = 67,5 und = 77,6. erechne 2. ie Zeichnung ist nicht maßstabgerecht. Erwin meint nach mehreren Rechenversuchen: In der ngabe kann etwas nicht stimmen. Wo liegt der Fehler? Lösung: Es müsste gelten: =<) = 180 = ,6 = 102,4. Weil aber und zwei zugehörige F-Winkel sind, müssten beide Winkel gleiches aß besitzen. ber in der ngabe steht: = 109,2 102,4. as geht nicht. 35