Grundlagen der Optimierung. Übung 6

Transkript

1 Technische Universität Chemnitz Chemnitz, 2. November 24 Prof. Dr. R. Herzog, J. Blechschmidt, A. Schäfer Abgabe am 28. November 24 Grundlagen der Optimierung Übung 6 Aufgabe 2: Verschiedene Verfahren zum Lösen eines LPs Betrachten Sie das folgende lineare Optimierungsproblem min 3 x + x 2 sodass x x 2 3 x 3x 2 x, x 2. (a) Lösen Sie das Problem grafisch. (b) Formen Sie das Optimierungsproblem in ein LP in Normalform um. (c) Berechnen Sie alle Basisvektoren (mit zugehöriger Basis- und Nichtbasismatrix) und identifizieren Sie sie in der Skizze aus (a). (d) Welche der Basisvektoren sind zulässig? (e) Bestimmen Sie die Ecken des Polyeders in Normalform aus der Nebenbedingung des LPs in (b). (f) Lösen Sie das Programm von Hand mit dem Simplex-Algorithmus (Algorithmus 7.6). Starten Sie mit dem zu (x, x 2 ) = (4, ) gehörenden Basisvektor aus (b).

2 Lösung Aufgabe 2: (a) (b) Die Normalform lautet Diese passt mit A = min 3x + x 2 sodass x x 2 + s = 3 x 3x 2 + s 2 = und x, x 2, s, s 2. ( ), 3 ( ) 3, c = 3, n = 4 in die Form min c x über x R n sodass Ax = b und x 2

3 (c) Wir berechnen alle ( 4 2 ) = 6 mögliche Basen. B = {, 2} B 2 = {, 3} B 3 = {, 4} B 4 = {2, 3} B 5 = {2, 4} B 6 = {3, 4} x B = A B ( ) 4 mit Basismatrix A,2 = x B2 = A B 2 ( ) 2 mit Basismatrix A,3 = ( ) x B3 = A 3 B 3 2 mit Basismatrix A,4 = x B4 = A B 4 mit Basismatrix A 2,3 = x B5 = A B 5 4 x = ist zulässig ( ) 3 3,4 = x 2 = 2 ist zulässig ( ) 2,4 = x 3 = 3 2 ( ) ( ) 3 ist nicht zulässig ( ) 2,3 = ( ) /3 8/3 ( ) 3 8 mit Basismatrix A 2,4 = x B6 = A B 6 ( ) 3 mit Basismatrix A 3,4 = x 4 = /3 8/3 ( ) 3 ist nicht zulässig ( ) 3,4 = ( ) x 5 = 3 ist nicht zulässig 8 ( ) 3,3 = x 6 = 3 ist zulässig ( ),2 = ( ) ( ) 3 (d) Zulässig sind die Basisvektoren wenn ihre Komponenten sind, also sind x, x 2 und x 6 zulässig, siehe auch c). 3

4 (e) Nach Satz 6.3 sind alle zulässigen Basisvektoren aus c) Ecken. Da in b) bereits alle Basisvektoren ausgerechnet wurden, kann es keine weiteren Ecken geben. Alternativ kann auch Satz 6. benutzt werden. Vielleicht sollte man darauf hinweisen. (f) Wir starten mit B = {, 2}, N = {3, 4}, x = ( 4 ) Dann ergeben sich die folgenden Simplex-Schritte c N = c N A N A B c B ( ) ( ) ( ) ( ) 3 = 3 ( ) 5 = = r 2 = 3 ˆt := d B = A B a r ( ) ( ) = 3 ( ) 3/2 = /2 x i min i B,d i > d i x = = B = {, 3} N = {2, 4} = x s d = 2 = s = 2 s 4 2 3/2 2 = 2 c N = c N A N A B c B ( ) ( ) ( ) ( ) 3 = 3 ( ) = = r 3 = 4 d B = A B a r ( ) ( ) = ( ) = 4

5 x ˆt i := min i B,d i > d = x s i d = = s = s x 2 = 3 = B 2 = {3, 4} N 2 = {, 2} c N2 = c N2 A N 2 A B 2 c B2 ( ) ( ) ( ) ( ) 3 = 3 ( ) 3 = = x 2 ist Lösung Aufgabe 2: Beweis von Satz 6.3 Beweise Satz 6.3 aus der Vorlesung. Lösung Aufgabe 2: Sei x eine Ecke von P. Wir bezeichnen die Indexmenge, auf der x positiv ist mit I = I(x) := {i {,..., n}, x i > }. Die Spalten von A I sind nach Satz 6. linear unabhängig. Falls I < m gilt, kann I (wegen rank A = m) zu einer Basis B ergänzt werden. Sei x ein Basisvektor mit Basis B. Aus I = I(x) B folgt die lineare Unabhängigkeit der Spalten von A I und damit aus Satz 6., dass x eine Ecke ist. Hausaufgabe 9: Jeder zulässige Basisvektor kann optimal sein Es sei x ein zulässiger Basisvektor zur Basis B des durch x R n, Ax = b, x (A R m n, b R m ) beschriebenen Polyeders. Zeige, dass ein Kostenvektor c R n existiert, sodass x die einzige Optimallösung von min c x sodass Ax = b und x ist. Das heißt, jeder zulässige Basisvektor kann optimal sein. 5

6 Lösung Hausaufgabe 9: Wir setzen c j := { falls j B falls j / B. Dann ist x optimal wegen c x = und c y für alle zulässigen y. Darüber hinaus ist x einzige Optimallösung, denn sei y x eine weitere Optimallösung, d.h. c y = = y j = für j / B. Aus Ay = b folgt A B y B = y B = A B x B = y = x und damit ein Widerspruch zu y x. Hausaufgabe 2: LPs in Normalform umschreiben Formen Sie die folgenden linearen Programme in Normalform um. (a) (b) (c) min x + x 2 sodass x + x 2 3, max x + x 2 sodass x + x 2 3 x, x 2, max x + x 2 sodass x + x 2 3 x 2 x 2 2 x x 2 x 2. Lösung Hausaufgabe 2: (a) Erste Umformungen ergeben: min x + x 2 sodass x + x 2 s = 3, s. Setze x = x + x, x 2 = x + 2 x 2 : min x + x + x+ 2 x 2 sodass x + x + x+ 2 x 2 s = 3, x +, x, x+ 2, x 2, s. 6

7 (b) Erste Umformungen ergeben: min x x 2 sodass x + x 2 s = 3 x, x 2, s. Setze x := x und x 2 := x 2 : Beachte: Die zulässige Menge ist leer. min x + x 2 sodass x x 2 s = 3 x, x 2, s (c) Erste Umformungen ergeben: min x x 2 sodass x + x 2 s = 3 x 2 x 2 s 2 = 2 x x 2 + s 3 = x 2, s, s 2, s 3. Setze x = x + x : min x + + x x 2 sodass x + x + x 2 s = 3 x + x 2 x 2 s 2 = 2 x + 2x x 2 + s 3 = x +, x, x 2, s, s 2, s 3. Hausaufgabe 2: Basisvektoren eines LPs bestimmen Gegeben sei das Polyeder in Normalform P = {x R 7 Ax = b, x } mit 4 A = 3, Welche der folgenden Vektoren sind (zulässige) Basisvektoren des Polyeders P? (a) x = (2,, 3, 2,,, ) (b) x = (,, 3,,,, ) (c) x = (,, 3,, 3,, ) (d) x = (2, 2,,,,, 3) (e) x = (2,,,, 2,, 2) Lösung Hausaufgabe 2: Für einen (zulässigen) Basisvektor x sind die folgenden Sachen zu prüfen: (a) Es gilt Ax = b. (b) Es existiert B {,..., 7} mit B = 4, sodass A B regulär ist und x N = für N = {,..., 7}\B. 7

8 (c) (Es gilt x.) Teste das nun an den einzelnen Vektoren. (a) Ax = b ist erfüllt. Wähle B = {, 2, 3, 4}, dann ist A B regulär und x 5,6,7 =. x = (2,, 3, 2,,, ) ist ein Basisvektor, der nicht zulässig ist. (b) Ax = (4, 4,, 3) b. x = (,, 3,,,, ) ist kein Basisvektor. (c) Ax = b ist erfüllt. Wähle B = {, 4, 5, 6}, dann ist A B regulär und x 2,3,7 =. x = (,, 3,, 3,, ) ist ein zulässiger Basisvektor. (d) Ax = b ist erfüllt. Wähle B = {, 2, 6, 7}, dann ist A B regulär und x 3,4,5 =. x = (2, 2,,,,, 3) ist ein zulässiger Basisvektor. (e) In B sind mindestens alle aktiven Indizes, also B = {, 2, 3, 5, 7}. Damit kann A B nicht regulär sein. x = (2,,,, 2,, 2) ist kein Basisvektor. Hausaufgabe 22: Lösung des Tischlereiproblems Löse die Tischlereiaufgabe aus Übung, Aufgabe 2 mit der Simplexmethode, ohne die Ganzzahligkeit der Variablen zu fordern! Hinweis: Die auftretenden Gleichungssysteme können numerisch (z. B. mit Matlab) gelöst werden. Nutzen Sie auch, dass sie mit A(:,[,2,4,5]) auf einzelne Spalten von A zugreifen können, im Beispiel auf die Spalten, 2, 4 und 5. Lösung Hausaufgabe 22: Die Lösung mittels implementiertem Simplex findet sich unter Optimierung/Aufgabe_63/solution.m. 8