Abtastregelung - Theorie und Praxis

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1 Abtast- Regler Prozess FHD Prof. Dr. Gernot Freitag Seite 1

2 Historie Abtastregelung - Theorie und Praxis - Einführung / Historie - In den 50er Jahren erstmals Überlegungen zum Einsatz von Digitalrechnern für Regelungszwecke - Damalige industrielle Digitalrechner hatten Zimmergröße und waren unzuverlässig (Röhrentechnik) - Regelungen wurden analog ausgeführt (mechanisch, pneumatisch oder auf Basis von analoger Rechentechnik) - Größere Verbreitung von digitalen Prozessrechnern mit Einführung der Mikroelektronik ab ca Heute: Analoge Regelungstechnik in der industriellen Praxis nahezu völlig abgelöst FHD Prof. Dr. Gernot Freitag Seite 2

3 - Einführung / Abtastregler Vorteile digitaler Abtastregler (u.a.) - Preiswerte Standard-Hardware verfügbar (oft z.b. auf PC- oder SPS-Basis) - Mehrere Regelkreise pro Prozessrechner - Wiederverwendung erprobter Algorithmen - Einfache Fehlerdiagnose durch weltweite Fernwartung - Komplexeste Algorithmen preiswert implementierbar Identifikation / Adaption Strukturumschaltung - Höhere Reglerentwurfsverfahren einsetzbar Moderne Mehrgrößenregelungen - Schnelle Entwicklungszyklen durch Einsatz höherer Entwicklungswerkzeuge (z.b. MATLAB/Simulink) FHD Prof. Dr. Gernot Freitag Seite 3

4 - Typischer Aufbau eines Abtastregelkreis w _ x z A d Regler u Prozess y D T A Prozessrechner D A Sensor Abb. 2 Prozessrechner ersetzt den analogen Regler Kommunikation mit dem Prozess - A/D (analog/digital) Wandlung zur Istwert-Erfassung - D/A (digital/analog) Wandlung zur Stellgrößen-Ausgabe - Synchrone Abtastung FHD Prof. Dr. Gernot Freitag Seite 4

5 - Der Abtastregelkreis im Detail w _ x d z Halteglied Regler Prozess y D/A A/D Zeitdiskretisierung Halteglied sorgt für zeitliche Verzögerungen Amplitudendiskretisierung (Quantisierung, meist vernachlässigt) Sensor Abb. 3 FHD Prof. Dr. Gernot Freitag Seite 5

6 - Beispiel: Drehzahlregelung (analog) ω Soll _ x d u = M M ω Ist PIDT 1 IT 1 PIDT 1 Regler F () s = K R 1+ Tns + TnTv s T s n ( 1+ T s) 1 2 Abb. 5 IT 1 -Strecke F () s = θ s 1 1 ( + T s) S S1 FHD Prof. Dr. Gernot Freitag Seite 6

7 - Beispiel: Drehzahlregelung (analog) FHD Prof. Dr. Gernot Freitag Seite 7 Abb. 6

8 - Beispiel: Diskretisierung des Reglers Nach Tustin (bilineare Transformation) gilt der Näherungsansatz: F () s = K s 2 T A z 1 z + 1 Nach Einsetzen in die s-übertragungsfunktion des Reglers 1+ Tns + TnTv s T s 2 R = n ( 1+ T1 s) u x ( s) () s d Erhält man die z-übertragungsfunktion: 1 2 b0 + b1 z + b2 z F( z) = = a z + a z 1 2 u x ( z) ( z) d a i, b j abhängig von K R, T n, T v, T 1 und T A FHD Prof. Dr. Gernot Freitag Seite 8

9 - Beispiel: Diskretisierung des Reglers Auflösen der Gleichung nach u(z) liefert: Rechtsverschiebungssatz der z-transformation liefert die Differenzengleichung des PIDT 1 -Abtastreglers u u ( ) ( ) ( ) 1 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 2 z = b x z + b x z z + b x z z a u z z a u z z 0 d 1 d 2 ( k) = b x ( k) + b x ( k ) + b x ( k 2) a u( k 1) a u( k 2) 1 0 d 1 d 2 d 1 2 Linearkombination aktueller und vergangener Ein- und Ausgangsgrößen Direkt auf einem Prozessrechner implementierbar Ordnung der Diff.-Gleichung in z gleich der Ordnung der s-übertragungsfunktion d 1 2 FHD Prof. Dr. Gernot Freitag Seite 9

10 - Beispiel: Drehzahlregelung (T A = 10msec) FHD Prof. Dr. Gernot Freitag Seite 10 Abb. 7

11 - Beispiel: Drehzahlregelung (T A = 100msec) FHD Prof. Dr. Gernot Freitag Seite 11 Abb. 8

12 - Aliasing / Abtastung (f A = 5*f S ) FHD Prof. Dr. Gernot Freitag Seite 12 Abb. 12

13 - Aliasing / Abtastung (f A = 2*f S ) FHD Prof. Dr. Gernot Freitag Seite 13 Abb. 13

14 - Aliasing / Abtastung (f A = f S ) FHD Prof. Dr. Gernot Freitag Seite 14 Abb. 14

15 - Aliasing / Abtastung (f A = 0,8*f S ) FHD Prof. Dr. Gernot Freitag Seite 15 Abb. 15

16 - Aliasing / Shannon sches Abtasttheorem Ein Signal s(t) sei bandbeschränkt und besitze eine maximale Frequenz f S Durch die Abtastung des Signals geht genau dann keine Information verloren, wenn gilt: f A >= 2 * f S Die Abtastfrequenz muss daher mindestens doppelt so groß sein wie die höchste im Signal enthaltene Frequenz Für f A = 2 * f S (Shannon scher Grenzfall) ist bereits die Amplitude nicht mehr eindeutig rekonstruierbar FHD Prof. Dr. Gernot Freitag Seite 16

17 - Das Anti-Aliasing Aliasing-Filter Problem: Messsignal enthält mittel- und hochfrequente Signalfrequenzen > 2*f A (z.b. Sensorrauschen) Lösung: Ein Anti-Aliasing-Tiefpassfilter (AAF) - Angepasstes analoges Tiefpassfilter mit f F < f A /2 Durchlassbereich Sperrbereich Abb. 16 Kein digitales Filter kann Alias-Frequenzen wieder entfernen!! FHD Prof. Dr. Gernot Freitag Seite 17

18 - Wahl der Abtastzeit einer Abtastregelung Orientierung an den dominanten Zeitkonstanten (langsamen Polen) oder Totzeit der Regelstrecke Shannon sches Abtasttheorem beachten / Anti-Aliasing-Filter Vermeidung zu kleiner Abtastzeiten - Numerische Stabilität Faustregel: 5*f S < f A < 50*f S Typische Abtastzeiten - Temperaturregelungen: 1 10 sec - Verfahrenstechnik: msec - Dynamische Antriebsregelungen: 0,1 10 msec FHD Prof. Dr. Gernot Freitag Seite 18

19 - Wahl der Abtastzeit einer Abtastregelung FHD Prof. Dr. Gernot Freitag Seite 19