Stochastik. Grundwissenskatalog G8-Lehrplanstandard

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Mathilde Messner
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1 GRUNDWISSEN MATHEMATIK Stochastik Grundwissenskatalog G8-Lehrplanstandard Basierend auf den Grundwissenskatalogen des Rhöngymnasiums Bad Neustadt und des Kurt-Huber-Gymnasiums Gräfelfing J O H A N N E S - N E P O M U K - G Y M N A S I U M R OHR

2 Zählprinzip Bsp.: 1) Herr Scherbl bietet Brezen (B), Semmeln (S) und Hörnchen (H) an, sowie Milch (M) und ACE-Saft (A). Du hast also 3 2 = 6 Möglichkeiten, dir eine Brotzeit aus einem Gebäck und einem Getränk zusammenzustellen. B S H M A M A M A Baumdiagramm 2) Fakultät: Du willst das Mathe-, Musik-, Englisch- und Lateinbuch nebeneinander ins Regal stellen. Dafür hast du 4! = = 24 verschiedene Möglichkeiten der Anordnung. Seite 2 von 10

3 Relative Häufigkeit Florian würfelt 80 mal, dabei erhält er 17 mal die Sechs. 17 heißt absolute Häufigkeit der Sechs, 17 relative Häufigkeit. 80 Daten und Diagramme Das arithmetische Mittel (=Mittelwert) einer Datenreihe erhält man, wenn man alle Werte addiert und den Summenwert dann durch die Anzahl der Werte dividiert. Beispiel: Notenverteilung bei einer Mathematikschulaufgabe Note Anzahl ( ) : 30 = 3,3 Seite 3 von 10

4 Anzahl Anzahl Note Grundwissen Mathematik Verschiedene Diagrammtypen zu obigem Beispiel: Säulendiagramm Note Liniendiagramm Balkendiagramm Anzahl Kreisdiagramm Note 1 Note 6 7% 3% Note 5 17% Note 2 23% Note 4 23% Note 3 27% Note Laplace-Experimente Grundbegriffe Jeden möglichen Ausgang eines Zufallsexperiments nennt man jeweils ein Ergebnis, alle Ergebnisse zusammen bilden den Ergebnisraum. Ein Ereignis E wird aus einem oder mehreren Ergebnissen gebildet. Das Gegenereignis E zu einem Ereignis E enthält alle Ergebnisse, die nicht in E enthalten sind. Seite 4 von 10

5 Bsp.: Würfeln mit zwei Würfeln, E = gerade Augenzahl ={2; 3;...; 11; 12}; E={2; 4;...; 10; 12}; E ={3; 5;...;11} Die Laplace-Annahme Laplace-Experiment: Die Wahrscheinlichkeit P für jedes Elementarereignis (= Ergebnis) ist gleich groß. Bsp.: Werfen eines idealen Würfels, Werfen einer idealen Münze Die Wahrscheinlichkeit P(E) für ein Ereignis E lässt sich dann mit dieser Formel berechnen: Anzahl der Elemente von E P ( E) Anzahl der Elemente von Bsp.: Eine Urne enthält drei rote und zwei schwarze Kugeln, E= Es wird eine rote Kugel gezogen P( E) Gesetz der großen Zahlen Führt man ein Experiment sehr oft hintereinander durch, so nähert sich die relative Häufigkeit für ein Ereignis einem festen Wert an; dieser wird mit Wahrscheinlichkeit des Ereignisses bezeichnet. Seite 5 von 10

6 Zählprinzip Zieht man aus k verschiedenen Mengen mit n 1, n 2,, n k Elementen jeweils ein Element, so gibt es insgesamt: n 1 n 2 n 3 n k verschiedene Möglichkeiten z. B.: Menüauswahl 3-gängig mit 4 Vorspeisen, 3 Hauptspeisen und 5 Nachspeisen: = 60 versch. Menüs Spezialfall: Will man n Objekte der Reihe nach anordnen, so gibt es dafür n! = n (n-1) (n-2) Möglichkeiten (n Fakultät) Zusammengesetzte Zufallsexperimente Zufallsexperimente Zufallsexperimente, bestehend aus mehreren (n) Teilexperimenten heißen zusammengesetzte Zufallsexperimente; Die Ergebnisse werden als n-tupel geschrieben, welche die Pfade in einem Baumdiagramm darstellen. Bsp.: Gegeben ist eine Urne mit 2 schwarzen und 3 weißen Kugeln; man zieht zweimal hintereinander ohne Zurücklegen. Seite 6 von 10

7 Pfadregeln 1. Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses ergibt sich aus dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten längs des zugehörigen Baumpfades. P ({S,W}) = Seite 7 von 10

8 2. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ergibt sich aus der Summe der zum Ereignis gehörenden Pfadwahrscheinlichkeiten. P ( genau eine Kugel ist schwarz ) = Zusammengesetzte Zufallsexperimente Bedingte Wahrscheinlichkeit heißt für P(A) 0 die bedingte Wahrscheinlichkeit des Ereignisses B unter der Bedingung, dass das Ereignis A eingetreten ist. Seite 8 von 10

9 Beispiel: Bei einer Befragung von 80 Personen geben 65 an Englisch und 55 Französisch zu sprechen. Von denen die Englisch sprechen, sprechen 45 auch Französisch. mit welcher Wahrscheinlichkeit spricht unter denen, die kein Englisch sprechen, jemand Französisch mit welcher Wahrscheinlichkeit spricht unter denen, die Kein Englisch sprechen, jemand auch kein Französisch mit welcher Wahrscheinlichkeit spricht unter denen, die Französisch sprechen, jemand auch Englisch Seite 9 von 10

10 Vierfeldertafel Passend zum Beispiel: E F 1 Seite 10 von 10

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Übungsaufgaben Wahrscheinlichkeit Aufgabe 1 (mdb500405): In einer Urne befinden sich gelbe (g), rote (r), blaue (b) und weiße (w) Kugel (s. Bild). Ohne Hinsehen sollen aus der Urne in einem Zug Kugeln