6. Übung: Zustandsregler- und beobachter

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1 6. Übung: Zustandsregler- und beobachter Aufgabe 6.. Gegeben ist ein lineares zeitinvariantes System der Form 3 6 ẋ = 4 x + u (6.a) 5 y = x. (6.b) Weisen Sie die vollständige Erreichbarkeit und Beobachtbarkeit des Systems mit Hilfe des PBH-Eigenvektortests nach. Bestätigen Sie das Ergebnis durch die Analyse der entsprechenden Hankelmatrix. Lösung von Aufgabe 6.. Für die Untersuchung der Beobachtbarkeit bzw. Erreichbarkeit mithilfe des PBH-Eigenvektortests werden die Rechtseigenvektoren v i bzw. Linkseigenvektoren wi T, i =,, 3 der Dynamikmatrix A des zu untersuchenden Systems benötigt. Mit den Eigenwerten λ =, λ = und λ 3 = 5 und den Bestimmungsgleichungen (A λ i E)v i =, bzw. w T i (A λ i E) = der Rechts- bzw. Linkseigenvektoren ergeben sich zum Beispiel die Vektoren v T = 4 5, v T =, v3 T = w T =, w T = 3 5, w3 T = 6 4. Da damit die Bedingungen v i, i =,, 3 und wi T, i =,, 3 erfüllt sind, ist das gegebene System sowohl vollständig beobachtbar als auch vollständig erreichbar. Die Bestimmung der Hankelmatrix H[, ] erfordert die Ermittlung der Markov- Parameter des Systems. Alternativ kann von der Darstellung H[, ] = O(c T, A)R(A, b) Übung Automatisierung (Wintersemester 6/7)

2 6. Übung: Zustandsregler- und beobachter Seite 36 Gebrauch gemacht werden. Mit 3 3 O(c T, A) = 6 6, R(A, b) = führt dies auf 6 H[, ] = 6 3, womit unmittelbar die Regularität von H[, ] (und damit die vollständige Erreichbarkeit und Beobachtbarkeit des Systems) sichtbar wird. Aufgabe 6.. Gegeben sind die linearen zeitinvarianten Systeme der Form 4 9 ẋ = 3 3 x + u (6.a) 3 y = x. (6.b) und 4 5 ẋ = x + u (6.3a) y = x. (6.3b) Testen Sie diese Systeme auf vollständige Erreichbarkeit bzw. vollständige Beobachtbarkeit. Verwenden Sie dazu die Erreichbarkeits- bzw. Beobachtbarkeitsmatrix. Welche Aussagen können Sie bezüglich der Ordnung der zugehörigen Übertragungsfunktionen treffen? Berechnen Sie zur Kontrolle die zugehörigen Übertragungsfunktionen. Lösung von Aufgabe 6.. Die Erreichbarkeits- und Beobachtbarkeitsmatrix des ersten Systems ergeben sich zu 4 R = bzw. O = 3, Übung Automatisierung (Wintersemester 6/7)

3 6. Übung: Zustandsregler- und beobachter Seite 37 die des zweiten zu 4 R = bzw. O = O. Es ist entweder direkt ersichtlich oder kann durch die Berechnung der Determinante leicht ermittelt werden, dass nur R vollen Rang hat. Daher ist das erste System vollständig erreichbar, aber nicht vollständig beobachtbar, das zweite System ist weder vollständig erreichbar noch vollständig beobachtbar. Die Übertragungsfunktion des ersten Systems muss demnach von der Ordnung sein (rang(o ) = ), die des zweiten Systems von einer Ordnung. Die Berechnung der Übertragungsfunktionen zu G (s) = G (s) = s s 3 zeigt, dass beide Übertragungsfunktionen gleich und von der Ordnung sind. Aufgabe 6.3. Gegeben ist das lineare zeitdiskrete System der Form x k+ = x k + u k. (6.4) Zeigen Sie mit Hilfe der Erreichbarkeitsmatrix, dass das System nicht vollständig erreichbar ist. Geben Sie eine Parametrierung des erreichbaren Unterraums V r und des darauf orthogonal stehenden nicht erreichbaren Unterraums V nr in der Form V r = {x R 4 x = λ v + λ v, λ, λ R, v, v R 4 (6.5a) V nr = {x R 4 x = λ 3 v 3 + λ 4 v 4, λ 3, λ 4 R, v 3, v 4 R 4 (6.5b) an. Berechnen Sie schließlich eine Steuerfolge (u k ), k =,, welche das System ausgehend von einem beliebigen Anfangszustand x T = [x,, x,, x,3, x,4 ] innerhalb von Abtastschritten in den Ursprung x = überführt. Welche Aussage können Sie damit über die vollständige Steuerbarkeit des Systems treffen? Lösung von Aufgabe 6.3. Es zeigt sich, dass die Erreichbarkeitsmatrix den Rang hat, damit ist nachgewiesen, dass das untersuchte System nicht vollständig erreichbar ist. Der erreichbare Unterraum wird zum Beispiel von den ersten beiden Spalten der Übung Automatisierung (Wintersemester 6/7)

4 6. Übung: Zustandsregler- und beobachter Seite 38 Erreichbarkeitsmatrix aufgespannt, also 3 { V r = x R 4 x = λ +λ {{{{ v v λ, λ R. Der nicht erreichbare Unterraum wird dementsprechend von Vektoren w aufgespannt, die die Bedingungen v Tw = und vt w = erfüllen, also zum Beispiel { V nr = x R 4 x = λ 3 + λ 4 λ 3, λ 4 R. Die Steuerfolge, die das System innerhalb von zwei Abtastschritten aus jedem beliebigen Anfangszustand in den Ursprung überführt ist u = 4 x, 5 x,3 u = x, + x,3. Die Existenz dieser Steuerfolge weist nach, dass das System vollständig steuerbar ist. Aufgabe 6.4. Gegeben ist das lineare zeitkontinuierliche System der Form ẋ = 4 x + u (6.6a) y = x. (6.6b) Entwerfen Sie für dieses System einen Zustandsregler der Form u = k T x + gr so, dass die Eigenwerte des geschlossen Kreises bei λ =, λ = und λ 3 = 3 liegen. Ermitteln sie weiterhin den Vorfaktor g in der Form, dass für sprungförmige Führungsgrößen r stationäre Genauigkeit (d. h. lim t (y r) = ) erreicht wird. Lösung von Aufgabe 6.4. Die Rückführung wird beispielsweise mithilfe der Formel von Ackermann zu [ k T = ] berechnet. Die Bestimmung des Vorfaktors g so, dass für eine stationäre Führungsgröße Übung Automatisierung (Wintersemester 6/7)

5 6. Übung: Zustandsregler- und beobachter Seite 39 r stationäre Genauigkeit erreicht wird, ergibt g = c T (E Φ Γk T ) Γ = 3. Aufgabe 6.5. Gegeben ist das zeitdiskrete, lineare zeitinvariante System der Form x k+ = x k + u k y k = x k. (6.7a) (6.7b) Entwerfen Sie für dieses System einen Zustandsregler der Form u k = k T x k + gr k so, dass alle Eigenwerte des geschlossen Kreises bei λ i =, i {,, 3 liegen. Ermitteln sie weiterhin den Vorfaktor g so, dass für sprungförmige Führungsgrößen r k = () k stationäre Genauigkeit (d. h. lim k (y k r k ) = ) erreicht wird. Berechnen Sie außerdem den Rückführungsvektor ˆk eines vollständigen Luenberger- Beobachters, wobei alle Eigenwerte der Beobachtungsfehlerdynamik bei ˆλ i = 3 liegen sollen und geben Sie das Beobachtersystem an. Lösung von Aufgabe 6.5. Auch hier kann die Formel von Ackermann verwendet werden, womit die Rückführung zu k T = berechnet wird. Der Vorfaktor g für stationäre Genauigkeit bei der Führungsgröße r k = () k ergibt sich zu g = c T (E Φ Γk T ) Γ = 4. Der Rückführungsvektor ˆk des Luenberger-Beobachters lautet ˆk = Übung Automatisierung (Wintersemester 6/7)